解一元二次方程公式法
一元二次解方程的公式法
一元二次解方程的公式法一、引入对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，我们尝试采用配方法求解：二、公式法及其两个用途通过上面解一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²-4ac≥0时，方程有解，那么解出来的根一定是：这个叫做求根公式我们发现，任何一个一元二次方程的根只和系数a，b，c有关，也就是说只要确定了系数，就可以得到方程的根，这就是公式法的第一个用途——根据系数直接确定方程的根另外我们发现：当b²-4ac>0时，方程有两个不等实根当b²-4ac=0时，方程有两个相等实根当b²-4ac<0时，方程无实根我们经常把△=b²-4ac叫做根的判别式(△是希腊字母，读作“德尔塔Delte”)，利用它我们可以判别一元二次方程根的个数，这也是公式法的第二个用途。
三、利用公式法求解的一般步骤【公式法法求解的一般步骤】：①将方程化为一般形式②确定a，b，c的值③判断△=b²-4ac的符号④当b²-4ac≥0时(有实根)，我们将a，b，c代入得到方程的两个根当b²-4ac<0时(无实根)，我们直接判定方程无实根【理解】1、在利用(代入)求根公式之前，要有两个准备工作：一是必须先把方程化为一般式，因为只有这样才能确定a，b，c二是判定△=b²-4ac的符号，当△≥0时才能代入求根公式，而当△<0时，直接得到方程无实根即可2、由于在判断△符号的过程中，已经把△的值求出，所以在后续的求解中，直接代入即可。
另外当△=0时，求根公式中的根号部分为0，此时直接代入x=-b/2a即可3、我们发现，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当a、c异号时即ac<0时，△=b²-4ac中b²≥0，-4ac>0，所以此时一定有△>0，即方程有两个不等实根，如例题中的方程5x²-4x-1=0，由于a、c异号所以方程必然有两个不等实根，这在做小题时，是个不错的技巧。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
用公式法解一元二次方程的一般步骤
根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式法步骤
把方程化成一般形式ax²+bx+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值；
当Δ＞0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,)，等式两边都除以a，得x2+bx/a+c/a=0。
(2)移项得x2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的
一半的平方，即方程两边都加上b2/4a2。
(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2－c/a，即（x+b/2a）2=(b2-
4ac)/4a。
(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得
x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
一元二次方程配方法步骤
(1)把原方程化为一般形式；
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
一元二次方程的解法公式法
例1. 解方程:
（1）x +3x+2=0 （2）-7x+2x2=4
2
例2. 解方程:
（1）x 2 2 2x
2
（2）（x -1）（6-x）=6
说一说
利用公式法解一元二次方程 的步骤？
用公式法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; 2 (3)求出b -4ac的值; 2 (4)若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
2
b b 4ac x 2a
2
（b -4ac≥0）
2
利用公式法解一元二次方程时需注意：
(1)利用公式法解方程前，应将方程化为
一般形式，以正确确定a、b、c的值．
(2) 当b -4ac≥0时，方程有实数解; 当b -4ac＜0时，方程无解.
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
用配方法解一元二次方程:
(1) -2x2-7x+3=0 (2) (x-1)(x+6)=3
配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式; (2) 把方程二次项系数化为1;
(3) 移项:把方程的常数项移到方程的右边;
(4) 配方:方程两边都加上一次项系数一半
的平方. (5) 把方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,然
随堂练习 1.方程3x2-8=7x化为一般形式
2-7x-8=0ห้องสมุดไป่ตู้3x 是 ，
3 b=_____, -7 c=_____, -8 a=____,
用公式法求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程。
公式法求解一元二次方程是一种常见且有效的方法，可以帮助我们找到方程的解。
在这篇文章中，我将详细介绍公式法的步骤和原理，并通过实例来说明如何使用公式法解决一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
要使用公式法求解一元二次方程，首先需要了解二次方程的求根公式。
根据求根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，让我们通过一个实例来说明公式法的具体步骤。
假设我们要解决方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
第一步，根据方程的系数，我们可以确定a = 2，b = 5，c = -3。
第二步，将这些值代入求根公式中，计算出两个解。
根据求根公式，我们有：x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)计算得到：x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4x = (-5 ± √49) / 4现在，我们需要计算出根号内的数值，然后求解方程。
根号内的数值为49，它的平方根为7。
因此，我们可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 0.5x2 = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3所以，方程2x^2 + 5x - 3 = 0的解为x = 0.5和x = -3。
通过这个实例，我们可以看到公式法的求解步骤相对简单，只需要代入系数并进行简单的计算即可得到方程的解。
而且，公式法适用于所有一元二次方程，无论系数的大小。
需要注意的是，在使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意方程的根号内的数值是否为负数。
如果根号内的数值为负数，则方程无解。
这是因为在实数范围内，负数的平方根是无法求得的。
总结一下，公式法是一种常见且可靠的求解一元二次方程的方法。
通过代入系数并进行计算，我们可以轻松地找到方程的解。
一元二次方程的解法——公式法
一元二次方程的解法——公式法1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式 ，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
问题：求根公式是怎样得来的呢？如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？？已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2．一元二次方程的判别公式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,1x =，2x =； ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根，122b x x a-==； ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根；3.一元二次方程跟与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：， （也称韦达定理）。
4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况； ③在的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。
一元二次方程6种解法
一元二次方程6种解法
一元二次方程没有6种解法，一元二次方程4种解法：
一、直接开平方法。
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。
方程无实数根。
二、配方法。
1、二次项系数化为1。
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成
（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法。
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。
再将abc 代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法。
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是
一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程的解法公式法
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨 析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨 析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程 觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨 析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15
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公式法解一元二次方程
一、教学目标
（1）知识目标
1.理解求根公式的推导过程和判别公式；
2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
（2）能力目标
1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思
想．
2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。
(3)德育目标
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
二、教学的重、难点及教学设计
（1）教学的重点
1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.
2.熟练地用求根公式解一元二次方程。
（2）教学的难点：
理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。
（3）教学设计要点
1.情境设计
上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。
利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。
然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。
2.教学内容的处理
（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。
（3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.
3.教学方法
在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学
生处于主导地位。
通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知
识。
三、教具准备
彩色粉笔、小黑板、幻灯片等。
四、教学过程
1.复习导入新课
在上课之前给出一个一元二次方程2x 2-8x-9=0 要求用配方法求解，并写出
配方法的一般步骤。
（1）整体感知：学生先运用配方法解2x 2-8x-9=0；
二次项系数化为1得x 2-4x-92=0；移项x 2-4x=92；配方x 2-4x+22=92
+4； （x-2）2=172
，x-2
=2或
x-2=-2；解得x 1
=2+2，x 2=
2-2． （1）所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的
（2）总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备
1. 呈现问题，层层递进，探索新知
你能用配方法解般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)吗?
化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到 这步时，提出问题:
①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②等号右边的值有可能为负吗？说
明什么？让小组交流、讨论达成共识。
学生会对
进行讨论，应及时鼓励。
分类思想也是今后常用的一种思想，应加以强化。
最终总结出：当 时，原方程无实数解。
当 时，原方程有实数解，解是多少可以将a 、b 、c 的值带入公式 而得到，这个公式就称为“求根公式”。
利用它解一元二次方程叫做公式法。
师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便于将主要精力放在后
边公式的推导上。
通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助；有利于发挥集体
的优势；有利于突破难点。
对学生的出色表现应予以及时的鼓励。
最终结果将表
示成如下：
ac b 42-24422)2(a ac b a b x -=+042<-ac b 042≥-ac b
2. 例题讲解
和学生共同完成 用公式法解方程（1）
（2） （3） 通过讲解例题规范解题格式，体验用公式法解一元二次方程的步骤。
3. 总结步骤
由学生根据例题自己总结出用求根根式解方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a ，b ，c 的值。
2、求出b2-4ac 的值。
3、代入求根公式 : (a ≠0, b2-4ac ≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
通过总结使学生规范解题格式,让学生体会数学课中的严谨的逻辑推理不仅在几何问题中大量存在,也更广泛应用于代数中；从而更好地体会到用公式法解一元二次方程的步骤 。
4. 巩固练习
给出习题然后由学生自己去做。
由于没说用何种方法，有些人可能习惯配方，有些人想用公式法尝试，都可以从做题速度与准度去比较这几个题哪种方法更好。
让三个不同层次的学生上讲台板演，同时走下来看看下面的学生有何问题，及时纠正。
设计意图：⑴ 比较配方法与公式法，⑵ 发现对于这几道题公式法步骤较为简单，⑶ 熟悉公式法，强化解题格式， ⑷ 及时发现错误及时解决。
让学生自己去做,选取对同一个方程利用配方法解的和公式法解的，让学生从简捷性与准确性去比较这几个题用哪种方法更好，并在小组内交流解方程过程中的0
122=--x x 02122=+-x x 02342=+-X x a ac b b x 242-±-=062=-+x x 094
=--x x 010522=++x
得失，从而让学生在比较中加深对两种方法的认识,熟练这两种方法的应用。
并在学生口述中得以验证这一点.
学生比较配方法与公式法发现对于这几道题而言公式法步骤较为简单，并在学生练习时展示中强化解题格式、及时发现错误、及时解决。
然后让学生进一步反思：什么情况下用公式法较为简便，什么情况下用配方法较为适宜？二者之间有无本质区别？在思维上你有什么收获？ 在解题细节上你又有哪些注意的地方？你还有解一元二次方程的其它方法吗？
5. 总结反思
采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识
（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
布置作业（一）P59 习题2.6 1、2（二）预习内容：P59～P61
设计意图：一是书面作业。
目的是通过练习，强化基本技能训练。
二是预习下节课内容，提高学生良好的学习习惯。
一、
板书设计
六、后记
通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象。
然后让学生用配方法推导一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解，使学生的推理能力得到加强。
通过分层布置作业，基于学生基础较好,对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同的提高. §22.2 公式法解一元二次方程 （回顾旧
知识）
配方法的
一般步骤 （讲授新课） 推导求根公式 （总结归纳） 用公式法解一元二次方程的步骤
例题 练习。