7届初赛数学A高一
全国数学知识应用竞赛七年级初赛(校拟)试题(A)卷附答案
全国数学知识应用竞赛七年级初赛(校拟)试题（A ）卷 （本卷满分150分，考试时间120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧，愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷。
一、填空题（每小题5分，共30分）1．七年级（1）班的生物小组在同一枝条上收集到三枚叶片做植物标本，测得叶片①的最大宽度是8厘米，最大长度是16厘米；叶片②的最大宽度是7厘米，最大长度是14厘米；叶片③的最大宽度是6.5厘米,最大长度是13厘米．叶片①、 ②分别记为（8+，16-）、 （7+，14-），仿照上述记法，则叶片③应记为 ．2．美国是世界上最大的纸张生产和消费国．美国人买礼品讲究纸包装，购物喜欢用纸袋，餐桌喜欢用纸台布，吃饭、喝水更是离不开纸巾、纸杯．另外，报刊、广告、商品目录在美国多如牛毛，许多免费刊物人们随看随丢．政府部门办公用纸的用量更是令人咋舌，平均每小时工作用纸1 000万张．以美国国防部为例，一年约用纸210万箱，每箱5 000张，则美国国防部一年约用纸 张（用科学记数法表示）．3．某校七年级有三个班，（1）班有40人，（2）班有36人，（3）班有44人，现三个班都按相同的比例派同学参加第七届“学用杯”数学知识应用竞赛，已知全年级共有30人未参加，则该校七年级（1）班参加竞赛的有 人．4．保险公司赔偿损失的计算公式为：保险赔偿=参保财产价值×损失程度，损失程度=保险财产受损价值保险财产受损当时市场完好价值×100%．若某人参加保险的财产价值为100 000元，受损时，按当时市场价计算总值为80 000元，受损后残值为20 000元，则该投保人能获得 元保险赔偿．5．假设图1为特快火车软座车厢的座位图，若小明坐在第6车、第八列、第三排，则他的车票号码为第6车第 号．6．小明家最近买了一套二手楼房，小明的爸爸准备将厨房、卫生间原来的地砖换成一种既防滑，又不易结污的新型正方形地砖（如图2，阴影部分表示地砖上的略凸起的部分，有防滑效果）．利用4块这样的地砖，你能拼出 种不同的正方形图案．二、选择题（每小题5分，共30分）7．有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到．当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（自左而右）截这个物体时，得到了如图3所示的（1）、（2）两组形状不同的截面，则这个物体的内部构造是（ ）．A ．空心圆柱B ．空心圆锥C ．空心球D ．空心半球8．有一条围粮的席子，长5米，宽2.5米，把它围成一个筒状的粮食囤．围法有两种： 第一种围法：围成周长2.5米，高5米的粮囤；第二种围法：围成周长5米，高2.5米的粮囤．下列说法正确的是（ ）．A ．第一种围法的容积大，盛粮多B ．第二种围法的容积大，盛粮多C ．因是同一条席子围成的粮囤，所以两种围法围成的粮囤盛的粮一样多D ．无法判断哪种围法围成的粮囤盛的粮多9．把一根绳子对折成线段AB ，如图4，从P 处把绳子剪断，已知12AP PB ，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40厘米，则绳子的原长为（ ）．A ．30厘米B ．60厘米C ．120厘米D ．60厘米或120厘米10．某省积极响应“村村通公路”政策号召，截至2007年6月底，全县已有23的农村修建了公路．现准备将一条新修成的公路（如图5）一旁等距离地竖立电线杆，要求在两端及转弯的地方都分别竖立一根电线杆，则至少要竖立电线杆（ ）．A ．20根B ．19根C ．18根D ．17根11．我国著名的数学家华罗庚教授，在他生前写的文章中这样说：“……如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在．我们用什么东西作为我们之间的媒介呢？带幅画去吧，那边风景特殊，不了解．带一段录音去吧，也不能沟通．我看最好带两个图形去，一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）……”他在这里谈的到“数”指的是我国古代的“河图”，它是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图6给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）．12．有一拉面师傅首先把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折，再拉长到1.6米；再对折，再拉长到1.6米；……这样对折10次，再拉长到1.6米，就做成了拉面．此时，若将手中的面条伸展开，把面条看作粗细均匀的圆柱形，它的粗细（直径）是原来面棍粗细(直径)的 （ ）．A ．116B ．132C ．164D ．1128三、解答题（每小题15分，共60分）13．小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪刀、布”的游戏，规则如下：在每一个回合中，若某一方赢了对方，便可向右走2米，而输的一方则向右走-3米，和的话就原地不动，最先向右走18米的便是胜方．假设游戏开始时，两人均在旗杆处．（1）若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置？（2）若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置？（3）假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜和（即五个回合中没有出现和的情况）．问小惠此时会站在什么位置？14．某儿童商场暑期进行大促销活动，并在购物大厅的一角设置了一个名为“智力快乐站”的参与游戏，每位在儿童商场购物的家长都可以带孩子参加这个游戏，每位家长与孩子一起抽取问题并进行解答，若能答对的话，会有精美礼品赠送．其中一位家长和孩子抽到的题目是：如图8，是由图7的六种图形拼成的，请你在图8中标出一种拼法．15．某市积极响应政府提出的“加快旧城改造，建设新型绿色城市”的号召，将位于居民区较集中的一处破旧厂房进行规划，建成了一个供附近居民休闲散步的公园．在公园的中心建了一个正方形的音乐喷泉（图9）．现计划将喷泉四周用花隔开．如有16盆花，要放在喷泉四周，要使每一条边上所放盆花同样多，该怎么放呢？有几种放法？每边放几盆花？试画图说明．16．为了备战北京奥运会，国家田径队的运动员在专门设置的新型三环形跑道上，夜以继日抓紧训练．每条环形跑道的长度都是200米并相交于同一个点A（如图10所示）．有一天，李刚与其他两名队员从三条跑道的共同交点A同时出发，各取一条跑道练习长跑．（按图中箭头所示方向开始跑）．甲每小时跑5千米，乙每小时跑7千米，李刚每小时跑9千米．请问他们三人第五次在A点相遇时，跑了多长时间？17．古时候有个做油炸馓子的小贩，一日正挑着货担行走，与一村民相撞，将所有的馓子都撞落在地，那村民答应赔他50枚馓子的钱，小贩偏说他的馓子有300枚，两人争执不下．这时，有一位刘大人正好路过此地，问明情况后，刘大人让人拿来一枚馓子，称了它的重量，然后让人从地上扫起所有馓子的碎末，再称出总质量来，把这两个数字一折算，便得小贩的馓子的确实数目了，谁是谁非一目了然．读完上面的故事，请你想一想：（1）现有一大捆粗细均匀的电线，要确定其长度总值，怎样做比较简捷可行．．．．？（使用的工具不限）（2）针对上面问题的讨论，你有哪些感想？七年级初赛试题（A）卷参考答案一、填空题（每小题5分，共30分）1．( 6.513)，+-2．101.0510⨯3．304．75 0005．326．8二、选择题（每小题5分，共30分）7．C 8．B 9．D 10．C 11．D 12．B三、解答题（每小题15分，共60分）13．（1）小惠站在旗杆左12米处；……………………（5分）（2）小红站在旗杆右1米处；…………………………（10分）（3）小惠站在旗杆左5米处．…………………………（15分）14．提示：找出一种拼法即可．评分注意：只要给出其中的一种正确拼法即可得分．15．4种放法，………………………………………………（3分）如下图：（1）每边放5盆花 （2）每边放6盆花（3）每边放7盆花 （4）每边放8盆花评分注意：①答对“4种放法”得3分，再每画对一种放法得“3分”；②若“4种放法”没答对，无论放法画的正确与否，均不能得分．16．甲跑一圈用2001500025= （小时）， 乙跑一圈用2001700035= （小时）， 李刚跑一圈用2001900045= （小时），故他们三人第一次相遇用了15小时（此时他们三人分别跑了5、7、9圈），所以他们第五次在A点相遇时恰好跑了1小时．评分注意：要求有详细的解题步骤才能得满分，只给出最后结果不能得分．四、开放题（本题30分）17．（1）设这捆电线总长度为L，称出这捆电线的总质量为M，拿剪刀剪下一段，量出其长度为l，称出其质量为a，则这捆电线的长度为lMLa ．……………………………（15分）（2）提示：不惟一，如：遇到不易解决的问题要学会转化．………………………（15分）。
成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试与答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试符合题目要求的．1. 下列集合符号运用不正确的是( )A. ∈Z 2B. ⊆1,2,31,2{}{}C. ，⋂∅=∅12}{D. ⋃=N R R2. 已知全集R =U ，集合∣==∈≥A B x R x {1,2,3,4,5},{2}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}3. 命题“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是（ ）A. ∀>x 1，−+<x x 2102B. ∃>x 1，−+<x x 2102C. ∀≤x 1，−+<x x 2102D. ∃≤x 1，−+<x x 2102 4. 设集合==−−A a B a {2,},1,22}{，若⋂≠∅A B ，则实数a =（ ） A. −2 B. −1 C. −1或−2 D. −1或±25. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a b ,，设物体的真实质量为G ，则（ ） A. =+G a b 2 B. <+G a b 2 C. >+G a b 2D. <G6. 已知a ，∈b R 且¹a b ，命题p ：>a b ，命题q ：+>+a b a b ab 3322，则命题p 是命题q 成立的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）A. 98人B. 106人C. 104人D. 1108. 对∀∈x R ，x ][表示不超过x 的最大整数，如=3.143][，=0.6180][，−=−2.718283][，我们把=y x ][，R ∈x 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian ）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian ）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式−+≤x x 412502][][成立的充分不必要条件是（ ） A. ≤≤x 2215 B. ≤≤x 12C. ≤<x 13D. ≤≤x 13 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 关于命题“N ∃∈+≤a a a ,02”，下列判断正确是（ ）A. 该命题是全称量词命题B. 该命题是存在量词命题C. 该命题是真命题D. 该命题是假命题10. 若>a 0，>b 0，+=a b 2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ≤ab 1B. ≤C. +≥a b 222D.+≥a b 211 11. 已知不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，其中>>n m 0，则以下选项正确的有（ ）A. 0a<B. >b 0C. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫nm x x 11 D. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎨<⎧nx x 1或⎭⎬>⎫m x 1 12. 定义集合运算−=∈M N x x M {且∉x N }，称为集合M 与集合N 的差集；定义集合运算(M N M N N M ∆=−−))(称为集合M 与集合N 的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（ ）A. ∆=∆M N N MB. ∆∆=∆∆M N P M N P )()(C. ()()()MN P M N M P ∆=∆ D. ()()()M N P M N M P ∆=∆.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 已知集合=+−=−−+M a a P a a a ,1,3,3,21,122}{}{，⋂=−M P 3}{，则a =_________. 14. 已知对一切≤≤x 23，≤≤y 36，不等式−+≥mx xy y 022恒成立，则实数m 的最小值为______．15. 已知+=a b 23（>a 0，>b 0，∈b N ），则+a b 212最小值为______．16. 已知关于x 的不等式组R ⎩+++<∈⎪⎨−⎪<⎧+x a x a a x x 227704022)()(仅有一个整数解，则a 的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}.（1）求集合∁R B ∩A ；（2）设集合M ＝{x |a ＜x ＜a +6}，且A ∪M ＝M ，求实数a 取值范围.18. 已知命题p ：关于x 的方程−+−−=x ax a a 226022有实数根， 命题−≤≤+q m a m :13．（1）若命题⌝p 是真命题， 求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件， 求实数m 的取值范围．.19. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm ．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设cm EF x =．（1）当100cm x =时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？20. 已知一元二次不等式2320x x −+>的解集为A ，关于x 的不等式()2220mx m x −++<的解集为B （其中R m ∈）．（1）求集合B ；（2）在①B ⊆∁R A ，②，③A B A ⋃=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m ，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．21. 已知,,a b c 均为正实数，且2222a b c ++=.（1）求a b c ++的最大值；（2）求111a b b c c a +++++的最小值.22. 关于的方程2x a x +=（R a ∈）的解集为A （A ≠∅），关于的方程()22x a a x ++=（R a ∈）的解集为B（1）对于集合，，若x M ∀∈，x N ∈，则M N ⊆．求证：A B ⊆（2）若A B =，求实数的取值范围．成都七中高2026届高一数学十月阶段性测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列集合符号运用不正确的是( )A. ∈Z 2B. ⊆1,2,31,2{}{}C. ，⋂∅=∅12}{D. ⋃=N R R【详解】对于A,【答案】B 【分析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.由∈Z 2,故A 正确;对于B,因为⊆1,21,2,3{}{},故B 错误;对于C,因为，⋂∅=∅12}{,故C 正确;对于D,因为⋃=N R R ,故D 正确.故选:B.【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.2. 已知全集R =U ，集合∣==∈≥A B x R x {1,2,3,4,5},{2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}【答案】A 根据图像判断出阴影部分表示()U B ðA ，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示()U B ðA ，ð=<B x x |2U }{，所以()U B ðA =1}{.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.3. 命题“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是（ ）A. ∀>x 1，−+<x x 2102B. ∃>x 1，−+<x x 2102C. ∀≤x 1，−+<x x 2102D. ∃≤x 1，−+<x x 2102【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题【答案】D 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.“∀≤x 1，−+≥x x 2102”的否定是“∃≤x 1，−+<x x 2102”.故选：D.4. 设集合==−−A a B a {2,},1,22}{，若⋂≠∅A B ，则实数a =（ ） A. −2B. −1C. −1或−2D. −1或±2【详解】【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交集的结果结合集合元素的性质求解作答.集合==−−A a B a {2,},1,22}{，则≠a 2，且−≠−a 212，解得≠a 2，且≠±a 1，由⋂≠∅A B ，得−=a 222，或−=a a 22，解−=a 222，得=−a 2或=a 2（舍去）；解−=a a 22，得=−a 1（舍去）或=a 2（舍去），所以=−a 2故选：A5. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a b ,，设物体的真实质量为G ，则（ ） A. =+G a b 2 B. <+G a b 2 C. >+G a b 2D. <G【答案】C【解析】【分析】根据物理知识可求真实重量为G ，利用基本不等式可得两者之间的大小关系.【详解】解：设天平的左右臂分别为l l 1,2，物体放在左右托盘称得的重量分别为a b ,, 真实重量为G ,所以，由杠杆平衡原理知：⋅=⋅l G l a 12，⋅=⋅l G l b 21,所以，由上式得=G ab 2，即=G ，因为≠l l 12,¹a b ，.所以，由均值不等式>=+G a b 2， 故选：C. 6. 已知a ，∈b R 且¹a b ，命题p ：>a b ，命题q ：+>+a b a b ab 3322，则命题p 是命题q 成立的（ ）条B. 必要不充分D. 既不充分也不必要件A. 充分不必要C. 充分必要【答案】A 【分析】对命题q 进行等价转化为>−a b ，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.【详解】+>+a b a b ab 3322，即++−+>a b b b b ab a a a 22)()()(，即++−+>a b b b b ab a a a 22)()()(，则命题+>+q a b a b ab :3322等价于−+>a b a b ()()02，因为¹a b ，则−>a b ()02，则+>a b 0，即>−a b ，而>a b ||可以推出>−a b ，反之，举例=−=−a b 2,3，但<a b ||，则反推无法推出，故>a b ||是>−a b 成立的充分不必要条件，故选：A.7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）B. 106人C. 104人D. 110【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数A. 98人【答案】B .【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：++−−−+=11625748142106，故选：B.8. 对∀∈x R ，x ][表示不超过x 的最大整数，如=3.143][，=0.6180][，−=−2.718283][，我们把=y x ][，R ∈x 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian ）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian ）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian ）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式−+≤x x 412502][][成立的充分不必要条件是（ ） A. ≤≤x 2215 B. ≤≤x 12C. ≤<x 13D. ≤≤x 13【答案】B 【分析】解不等式得到≤≤x 2215][，确定≤<x 13，对比选项得到答案. 【详解】−+≤x x 412502][][，则≤≤x 2215][，故=x 1][或=x 2][，≤<x 13， 对比选项知：≤<x 13成立的一个充分必要条件是≤≤x 12，其他选项不满足.故选：B.二、多项选择题：本题共45分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 关于命题“N ∃∈+≤a a a ,02”，下列判断正确的是（ ）B. 该命题是存在量词命题D. 该命题是假命题【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB ，再由命题真假判断A. 该命题是全称量词命题C. 该命题是真命题【答案】BC CD.【详解】,0a a a ∃∈+≤N 2是存在量词命题，∴A 选项错误B 选项正确；0a =时，+≤a a 02成立，∴命题为真命题，即C 正确D 错误.故选：BC10. 若>a 0，>b 0，+=a b 2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A. ≤ab 1B. ≤C. +≥a b 222D. +≥a b 211【答案】ACD 【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】≤=+ab a b 2()12，当且仅当==a b 1时取等号，故A 成立；≤，则++≤a b 2≤0，与已知矛盾，故B 不成立；+=+−≥−⨯=−=+a b a b ab a b 2()242()4222222，当且仅当==a b 1时取等号，故C 成立； +==+a b ab aba b 112，由A 可得+=≥a b ab 2112，当且仅当==a b 1时取等号，故D 成立. 故选：ACD ．11. 已知不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，其中>>n m 0，则以下选项正确的有（ ）A. 0a<B. >b 0C. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫nm x x 11 D. ++>cx bx a 02的解集为⎩⎨<⎧nx x 1或⎭⎬>⎫m x 1【答案】ABC 【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.【详解】不等式++>ax bx c 02的解集为<<x m x n }{，∴a <0，故A 正确；n m >>0，令=++f x ax bx c 2)(，∴−>ab 20，即>b 0，故B 正确； 由上所述，易知<f 00)(，<c 0，由题意可得m n ,为一元二次方程++=ax bx c 02，则+=−am n b ，=a mn c ， 则⋅=n m c a 11，+==−+n m mn c m n b 11，即n m,11为方程++=cx bx a 02的解， 则可知不等式++>cx bx a 02的解集为⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫n m x x 11，故C 正确，D 错误. 故选：ABC.12. 定义集合运算−=∈M N x x M {且∉x N }，称为集合M 与集合N 的差集；定义集合运算(M N M N N M ∆=−−))(称为集合M 与集合N 的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是真命题的是（ ）A. ∆=∆M N N MB. ∆∆=∆∆M N P M N P )()(C. ()()()M N P M N M P ∆=∆D. ()()()MN P MN MP ∆=∆∆=∆M N N M ；BCD 选项，通过韦恩图进行推理求解【答案】ABC 【分析】A 选项，通过题意得到. 【详解】A 选项，由题意得)M N M N ð−=M (，)N M MN ð−=N (，故)()M NM N MN MN 痧∆=(，)()N MN M M N MN 痧∆=(，A 正确；B 选项，由题意，∆M N 表示的运算为集合M 与N 的并集中去掉M 与N 的交集部分， 不妨设M N P ,,均有交集，如图所示，故∆M N 表示①②⑥⑦部分的并集，∆∆M N P )(表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即∆∆M N P )(表示①②③④部分的并集，∆N P 表示②③⑤⑥部分的并集，∆∆M N P )(表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集，即∆∆M N P )(表示①②③④部分的并集，故∆∆=∆∆M N P M N P )()(，B 正确； C 选项，通过推理()()(),MN P M N M P ∆∆均表示⑤⑥部分的并集，C 正确；D 选项，通过推理得到()MN P ∆表示①②③④⑤⑥部分的并集，⋃M N 表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，⋃M P 表示①③④⑤⑥⑦部分的并集，)()M N M P ∆(表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集，即②③部分的并集，D 错误. 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 已知集合=+−=−−+M a a P a a a ,1,3,3,21,122}{}{，⋂=−M P 3}{，则a =_________.【答案】−1=−a 【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出1符合题意. 【详解】因为⋂=−M P 3}{，所以−∈P 3，易知+≠−a 132，当−=−a 33时，=a 0，此时=−M 0,1,3}{，=−−P 3,1,1}{，不合题意舍去； 当−=−a 213时，=−a 1，此时=−M 1,0,3}{，=−−P 4,3,2}{，满足题意， 所以=−a 1. 故答案为：−114. 已知对一切≤≤x 23，≤≤y 36，不等式−+≥mx xy y 022恒成立，则实数m 的最小值为______．【答案】0【分析】令=∈x t y 1,3][，则原题意等价于对一切∈t [1,3]，≥−m t t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】因为≤≤x 23，≤≤y 36，则⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤x 32,111， 所以，∈xy1,3][， 又不等式−+≥mx xy y 022恒成立，且≤≤x 23，可得⎝⎭⎪≥−⎛⎫x x m y y 2，令=∈xt y1,3][，则原题意等价于对一切∈t [1,3]，≥−m t t 2恒成立， 因为=−y t t 2，当=t 1时，=−=y 110max 2，故实数m 的取值范围是≥m 0.15. 已知+=a b 23（>a 0，>b 0，∈b N ），则+a b212的最小值为______． 【答案】2>a 【分析】0，>b 0，∈b N ，所以=b 1或=b 2，分类讨论.【详解】因为>a 0，>b 0，∈b N ，所以=b 1或=b 2，当=b 1，=a 1，故+=+=a b 22221215， 当=b 2，=a 21，故+=+=a b 2112121， +a b212的最小值为2. 故答案为：216. 已知关于x 的不等式组R ⎩+++<∈⎪⎨−⎪<⎧+x a x a a x x 227704022)()(仅有一个整数解，则a 的取值范围为______．【答案】−⋃5,34,5]()[【分析】求出第一个不等式的解，讨论a 的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组织含有一个整数得出第二个不等式的端点的范围，从而求得a 的范围.【详解】由不等式xx −<+402，即+−>x x 240)()(，解得−x <2或>x 4， 解方程x a x a x x a +++=++=22772702)()()(，解得=-x 271或=−x a 2，1.若a −=−27，即=a 27时，不等式x a x a +++<227702)(解集为∅，不合题意；2.若a −<−27，即>a 27时，不等式x a x a +++<227702)(的解集为a ⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,7，若不等式组只有1个整数解，则a −≤−<−54，解得<≤a 45； 3.若a −>−27，即<a 27时，不等式x a x a +++<227702)(的解集为a ⎝⎭⎪−−⎛⎫2,7，若不等式组只有1个整数解，则−≤<−a 35，解得<−≤a 53； 综上可得，实数a 的取值范围是[5,3)(4,5]−.故答案为：−⋃5,34,5]()[四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}. （1）求集合ð⋂B A R ；（2）设集合M ＝{x |a ＜x ＜a +6}，且A ∪M ＝M ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤1} （2）−<<−a a 42}{（2【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；）根据＝⋃A M M 可得出⊆A M ，然后即可得出＞⎩+⎨⎧<−a a 622，然后解出的范围即可．【小问1详解】＞＝B x x 1{|}，则ð＝≤B x x |1R }{，又＝≤−≤A x x |2{2}，则ð＝≤−⋂≤x B A x 21{|}R ； 【小问2详解】∵＝⋃A M M ，∴⊆A M ，且＜＜＝+M x a x a {|6}， ∴＞⎩+⎨⎧<−a a 622，解得-＜＜−a 42，∴实数的取值范围为:−<<−a a 42}{18. 已知命题p ：关于的方程−+−−=x ax a a 226022有实数根， 命题−≤≤+q m a m :13． （1）若命题⌝p 是真命题， 求实数的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件， 求实数的取值范围．【答案】（1）−∞−⋃+∞(,2)(3,) （2）−≤≤m 10【分析】（1）依题意命题p 是假命题，即可得到<0Δ，从而求出参数的取值范围； （2）记≤≤=−a A a |23}{，=−≤≤+B a m a m |13}{，依题意可得B A ，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：因为命题⌝p 是真命题，所以命题p 是假命题． 所以方程−+−−=x ax a a 226022无实根，所以=−−−−=−++<a a a a a (2)4(26)44240Δ222． 即−−>a a 602，即−+>a a 320)()(，解得>a 3或<−a 2， 所以实数a 的取值范围是−∞−⋃+∞(,2)(3,)． 【小问2详解】解：由（1）可知p ：−≤≤a 23，记≤≤=−a A a |23}{，=−≤≤+B a m a m |13}{， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以⎩+≤⎨⎧−≥−m m 3312（等号不同时取得），解得−≤≤m 10，所以实数的取值范围是−≤≤m 10．19. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且=GH EF 2），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36000cm 2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设=EF x cm ．（1）当=x 100cm 时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？ 【答案】（1）cm 49000;2（2）选择长宽分别为cm cm 350,140的海报纸.=x 【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入100cm ，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积； （2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案. 【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为ycm ,所以阴影部分的面积：=⨯==S xy xy 263360001，所以=xy 12000,即：==x cm y cm 100,120，由图像知：=+==+=AD y cm AB x cm 20140,350350，∴=⨯=S cm ABCD 14035049000.2)(【小问2详解】由（1）知：=>>xy x y 12000,0,0,=++=+++≥++S x y xy x y xy ABCD 3502036050100031000)()(=49000，当且仅当=x y 65,即==x cm y cm 100,120，即==AB cm AD cm 350,140等号成立. 综上，选择长宽分别为cm cm 350,140的海报纸.20. 已知一元二次不等式−+>x x 3202的解集为A ，关于x 的不等式−++<mx m x 2202)(的解集为B （其中∈m R ）．（1）求集合B ； （2）在①ð⊆A B R ，②，③⋃=A B A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若【分析】（1问题中的实数m 存在，求m 的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m ，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析）由−++<mx m x 2202)(，得−−<mx x 210)()(，从而根据m 的范围，分类讨论，解一元二次不等式即可；（2）由（1）或=A x x x 12}{，若选择①ð⊆A B R ，则ð|=≤≤A x x 12R }{，从而列式求得m 的取值范围；若选择②，，根据m ⋃=A B A ，则⊆B A ，由此可求出m 的取值范围． 【小问1详解】解：由−++<mx m x 2202)(，即−−<mx x 210)()(．①=m 0时，>x 1； ②<m 0时，>x 1或<mx 2； ③<<m 02时，<<mx 12； ④=m 2时，不等式无解； ⑤>m 2时，<<mx 12． 综上所述：当=m 0时，=>B x x 1}{；当<m 0时，或⎩⎭⎨⎬=><⎧⎫m B x x x |12； 当<<m 02时，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12；当=m 2时，=∅B ；当m>2时，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12．【小问2详解】由（1）或=A x x x 12}{，若选择①ð⊆A B R ，则ð|=≤≤A x x 12R }{， 由（1）可知：只有当<<m 02，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12，则有≤m 22，所以≤<m 12；另外，当=m 2时，=∅B 也成立，所以选择①，则实数m 的取值范围是≤≤m 12； 若选择②，，由（1）可知：当=m 0，<m 0，>m 2时，都能符合条件； 当<<m 02，⎩⎭⎨⎬=<<⎧⎫m B x x |12，则有>m22，所以<<m 01 所以选择②，则实数m 的取值范围是<m 1或>m 2； 若选择③，⋃=A B A ，则⊆B A ， 由（1）可知：只有当m>2时，⎩⎭⎨⎬=<<⊆⎧⎫m B x x A |12成立； 另外，当=m 2时，=∅B 也成立所以选择③，则实数m 的取值范围是≥m 2． 21. 已知a b c ,,均为正实数，且++=a b c 2222. （1）求++a b c 的最大值； （2）求+++++a b b c c a111的最小值.【答案】（1（2）4【解析】【分析】（1）由++=+++++a b c a b c ab bc ca ()2222222，结合基本不等式即可求解； （2）令=+m a b ，=+n b c ，=+p c a ，由⎝⎭⎪++++⎛⎫m n p m n p ( ) 111展开，利用基本不等式得⎝⎭⎪++++≥⎛⎫m n p m n p ()9111，又由（1）知≤++=++m n p a b c 2()，代入求解即可 【小问1详解】∵++=+++++a b c a b c ab bc ca ()2222222，又≤+ab a b 222，≤+bc b c 222，≤+ca c a 222， ∴++≤++=a b c a b c()362222)(，∴++≤a b c ===a b c 时，等号成立，即++a b c . 【小问2详解】令=+m a b ，=+n b c ，=+p c a ， 则⎝⎭⎪++++=++++++⎛⎫m n p m m n n p p m n p n p m p m n( ) 3111，∵+≥m nn m2，+m p m p ≥2，+n p n p ≥2，∴⎝⎭⎪++++≥⎛⎫m n p m n p ()9111， 当且仅当==m n p ，即==a b c 时，等号成立，由（1）知≤++=++m n p a b c 2()，∴⎝⎭⎭⎪⎪++++≤++⎛⎫⎫m n p m n p m n p ()111111，∴⎭⎪++≥⎫m n p 9111，∴++≥m n p 4111，即+++++a b b c c a 111，当且仅当===a b c 3时，等号成立，故+++++a b b c c a111最小值为4. 22. 关于的方程+=x a x 2（∈a R ）的解集为A （≠∅A ），关于的方程++=x a a x 22)(（∈a R ）的解集为B（1）对于集合，，若∀∈x M ，∈N x ，则⊆M N ．求证：⊆A B（2）若=A B ，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）−≤≤a 4431【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可；（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 小问1详解】设∈x A 0，∴+=x a x 002，将x 0带入方程++=x a a x 22)(等式成立．∴x 0是方程++=x aa x 22)(的解，∴∈x B 0，∴⊆A B ； 【小问2详解】 ∵≠∅A ，∴−+=x x a 02有实根，∴∆=−≥a 140，∴≤a 41， ∵集合B 为方程++=x a a x 22)(即+−++=x ax x a a 20422的根的集合，由（1）的结论⊆A B且集合A 为方程−+=x x a 02根的集合，∴因式+−++x ax x a a 2422分解后必定含有因式−+x x a 2， 由多项式的除法：+−++=−++++x ax x a a x x a xx a 2142222)()(，∵=A B ，∴+++=x x a 102无实根或其根为方程−+=x x a 02的根， 当+++=x x a 102无实根时，=−+<a 1410Δ)(，解得>−a 43，当+++=x x a 102的根为方程−+=x x a 02的根时，①当+++=x x a 102有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与−+=x x a 02的根相同； ②当+++=x x a 102有两相等实根时，即∆=−+=a 1410)(即=−a 43时， 方程的根为=−x 21，此根刚好是−+=x x a 02的根，满足条件． 综上：故a 的取值范围是−≤≤a 4431. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出+++=x x a 102无实根或其根为方程−+=x x a 02的根.。
2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862AB C D２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角783660A B C D都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.解 答一、 选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 2.令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .令t x=2，则题设方程为 )()(1t ft f -=-，即 )110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+tt，1)110)(110(=-+tt，2102=t， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x. 从而 1)2(l g l o g )2lg 21(log 22-==x . 答：A. 3. 注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以 6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）, 所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）. (2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n .所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.4.易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k .从而b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba)]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ⋅--⋅+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a b a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故 b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ， ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m .又因为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x =5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.）显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .6.显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2+--=θθθ, 所以+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，2B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B iA )5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=21)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=)1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+==)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sini +. 因为2A 和2B是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====B A B A . 答：D.二、 填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a cb <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.8.注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θc o s 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22c o s 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sinπn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8.10. 解：将向量1，，分别记为，，. 2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1， A ++-=1， BD +-=1， DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=22260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33.11.令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ， ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 12.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得CO QO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m my y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-.因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ，由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lg lg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而 22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y xP.（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f −1(−x) (B) g(x)=f −1(x)(C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）．yAA 1B 1C 1D 1B CDABCD Q M O F E(A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)2008 4.四面体的６个二面角中至多可能有（）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ).8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ).10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC的方程为( )时，DeltaABC的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan−1−−−−−√](n≥2)，其中[x]表示不超过x的最大整数.证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D，直线EF分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A,B,G三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10] 9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.200713. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F四点共圆，以A（或B）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cosϕ=，sin ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11yx e--=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=1=，故t =.5.答案：1提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即 8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分） 9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n na -+=--.…（20分） 10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤； （3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. ……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 .4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n .5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ . 6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应.若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.第5题第6题解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5.417. 6. 2π46r ar +. 7. zz zz ++1. 8.)3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n n a n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k kn k nk a p k k n====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)f c f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩可知。
高一年级初赛试题及参考解答
答 : ( A) . 解 log2 sin
= log2 = log2 = log2 = log2 = - 3. 5 . 对于函数 f ( x) =
x + bx + c
2
π 5π + log2 sin 12 6 π 1 5π sin ・ ・sin 12 2 12 π
12 + log2 sin
答 : (B) . 解 因为 3π< 12 < 4π, 所以 sin12 < 0 . 又 4π< 13 < 14 < 4 . 5π, 13 与 14 弧度都是第一象 限的角 , 余弦函数取正值且在第一象限是减函 数 , 所以 co s13 > co s14 > 0 > sin12 . 选 (B) . 3 . 在 △A B C 中 , A B = 6 , A C = 8 , ∠B A C
— — → — — →
co s ( A D , B E) = = 4 . log2 sin
3 ×( - 6) + 4 × 4 2 2 3 + 4 × ( - 6 ) + 42
2
- 2 13 = . 65 5× 2 13
π
12
图1
+ log2 sin
π 5π + log2 sin 等 12 6
答 : ( D) . 2 . 将 sin12 , co s13 , co s14 从小到大排列的 ). 次序是 (
2
答 : ( C) . 解 如果函数 f ( x ) = ( x + a) 3 x - 2 + a - ( x
- a) 38 x - 3a
答 :13 . 5 . 解 如图 4 , 在坐标平面上作点 A , B , C , D , 围绕所 得到的 四边 形 A B CD 作 外接 长方 形 , 其顶点为 M ( 1 , 1 ) , N ( 1 , 5 ) , P ( 7 , 5 ) , T ( 7 , 1) , 四边形 A B CD 则是从长方形 M N P T 中去掉 △A M D 、 △A N B 、 △B PC 、 △C T D 得到 的图形 , 易知
第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。
（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。
（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。
（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。
6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。
2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷答案
数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CBADCABD【解析】1．因为i i a z z +=- ，所以i (1)(1)i1i 2a a a z -+--++==+，因为复数z 为纯虚数，所以1010a a -=+≠，，所以1a =，故选C ．2．集合2{|320}[12]A x x x =-+=≤，，(2)B a a =+，，01A B a ⊆⇔<<，所以0a >是A B⊆的必要不充分条件，故选B ．3．设OA = a ，OB = b ，OC = c ，因为+=a b c ，所以四边形OACB 是2π3AOB ∠=的菱形，所以a 与-a b 的夹角即π6OAB ∠=，故选A ． 4．可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为2232[7(8078)][2(7578)]55+-++-11=，故选D ．5．因为e 11e ()()e 1e 1x x xx f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又因为1e ()1e 12x x f x +-==-+ 2e 1x+，所以()f x 为R 上的增函数．因为2()(2)0f m f m +->，所以2()(2)(2)f m f m f m >--=-，所以22m m >-，即220m m +->，解得2m <-或1m >，所以实数m 的取值范围为(2)(1)-∞-+∞ ，，，故选C ． 6．根据题意可得A D A E A D A F A E A F ''''''⊥⊥⊥，，，且1A E A F ''==， 1，2A D '=，所以三棱锥D A EF '-可补成一个长方体，则三棱锥D A EF '-的外接球即为长方体的外接球，如图1所示，设长方体图1的外接球的半径为R，可得2R=，所以2R=，所以外接球的体积为3344ππ33V R===⎝⎭，故选A．7．由函数的图象可知：(1)0(2)0f f==，，解得32b c=-=，，所以32()32f x x x x=-+，可得2()362f x x x'=-+，由韦达定理得1212223x x x x+==，，所以21212121212()()2()3()23f x f xx x x x x xx x-=+--++=--，故选B．8．因为2224b b a b b aa b a b a b++=+=++≥，当且仅当23a b==时，等号成立，因为223bt ta b-+≤恒成立，所以234t t-≤，即(34)(1)0t t-+≤，解得413t-≤≤，故选D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号9 10 11答案ABD ACD AC【解析】9．由图可得，2A=，ππ12π3124ω-=⨯，解得2ω=，故A正确；又函数图象经过点π212⎛⎫⎪⎝⎭，，则π2sin2212ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，即πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因π||2ϕ<，故ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，故π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于B，当5π12x=-时，ππ232x+=-，此时函数取得最小值，故B 正确；对于C，2π4ππ2sin22sin2333f x x x⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是奇函数，故C错误；对于D，将函数π()2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数π2sin3y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故D正确，故选ABD．10．对于A：直线210l kx y k++-=：，整理为(2)10k x y++-=，不管k为何值，直线l始终过点(21)-，，故A正确；对于B：1k=时直线l的方程为10x y++=，它不过圆C的圆心(03)，，故B不正确；对于C：由A知当(21)-，是线段AB的中点时，此时弦长AB数学参考答案·第2页（共8页）数学参考答案·第3页（共8页）最短，而圆22(3)16C x y +-=：，圆心是(03)，，半径4r =，圆心(03)，和点(21)-，的距离是||AB ==，故C 正确；对于D ：当2k =时，直线230l x y ++=：，曲线222(6)370x y x y λλλ+++-+-=，即2267x y y +--+(23)0x y λ++=，显然该曲线过直线l 与圆C 的交点，故D 正确，故选ACD ．11．由题意知函数()y f x =的图象关于点(21)，对称，所以(2)1f =，A 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则函数()πcos(π)g x x =，(2)πg =，B 错误；易得函数()y f x =的周期也为2，而函数(2)1y f x =+-是奇函数，所以函数()1y f x =-是奇函数，C 正确；若函数()sin(π)1f x x =+，则(1)1f =，所以20241()2024k f k ==∑，D 错误，故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．由正弦定理得a b c c b a b-=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得222cos 22b c a bc A bc bc +-== 12=，又(0π)A ∈，，所以π3A =． 13．因为na x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，所以5n =，515C kkk k a T x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5325C ()kkk a x--，所以2x -的系数为335C ()80a -=，所以2a =-．14．3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立，y x a =-在定义域上单调递增且零点为x a =，0.5(log )y x b =+在定义域上单调递减且零点为1x b =-，故y x a =-与0.5(log )y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=，所以33a b +=≥．数学参考答案·第4页（共8页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：由2n n S a n =-可得，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， …………………………………………………（2分） 当2n ≥时，112(1)n n S a n ++=-+， 所以111221n n n n n a S S a a +++=-=--，即121n n a a +=+， …………………………………………………………………………（4分） 所以11211211n n n n a a a a ++++==++为常数，且112a +=， 所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………………………………………………………………………（6分） （2）由（1）得11222n n n a -+== ，则21n n a =-，………………………………………………………………………………………（7分） 所以1222n n n S a n n +=-=--，…………………………………………………………（9分） 所以23112(222)[34(2)]n n n T S S S n +=+++=+++-++++22242(32)5241222n n n n n n ++-+++=-=---． …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为AB AD =，CB CD =，所以ABC ADC △≌△，所以ABO ADO △≌△．所以BO OD =，90AOB AOD ∠=∠=︒，所以AC BD ⊥．……………………………（3分） 因为AB AP BC PC AC AC ===，，，所以ABC APC △≌△． 因为BO AC ⊥，所以PO AC ⊥，又因为PO BD O = ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． …………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：由（1）可知OB OC ⊥，因为5AB BC AC ===， 所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒， 从而由等面积法，可知1025BO ==，由勾股定理，可知1AO ==，因为PB =222PB PO BO =+，所以PO OB ⊥．又因为PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………（8分） 以O 为原点，OB OC OP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，由（1）可知BO OD OP ==， 所以2OD OP ==，所以(002)P ，，，因为(200)(010)(200)(040)B A D C --，，，，，，，，，，，，………………………………………………………………………………………（10分） 因为点Q 为线段PC 的中点，所以(021)Q ，，，………………………………………（11分） 所以(221)(012)(202)BQ PA PD =-=--=--，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()n x y z =，，，则00PA n PD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，令1z =-，解得12x y ==，，所以平面PAD 的法向量为(121)n =-，，，……………………………………………（13分） 设直线BQ 与平面PAD 所成角为θ，则||sin |cos |||||18n BQ n BQ n BQ θ〉=〈===，， 所以直线BQ 与平面PAD15分） 图2数学参考答案·第6页（共8页）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意得()f x 的定义域为(0)+∞，，11()ax f x a x x='-=-………………………………………………………………………………………（2分） 当0(0)a x ∈+∞≤，，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)+∞，内单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x <'，单调递减；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x >'，单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在区间(0)+∞，内单调递减；………………………………（4分） 当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………（6分）（2）当1a =时，由2e ()x k x f x x -≤，得2e ln x k xx x x--≤， 整理得22e ln xk x x x x +-≥，即2ln 2e xx x x xk +-≥．……………………………………（8分）令2ln ()exx x x xh x +-=， 则22(21ln 1)e (ln )e (ln )(1)()(e )e x x x xx x x x x x x x x h x +---+---='=，……………………（10分）由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为(1)10f =>，即ln 0x x ->恒成立， …………………………………………………………………（11分）所以当(01)x ∈，时，()0()h x h x >'，单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0()h x h x <'，单调递减．…………………………………………（13分） 故当1x =时，()h x 取得最大值2(1)e h =，即22ek ≥， 故k 的取值范围为1e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为A ， 11111()11.52522p A ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第7页（共8页）（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为1p ，则1111111117115252252220p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；…………………………………（7分）记甲同学先投2分球通过测试的概率为2p ， 则2111111117112222220255p ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为12p p =，故甲同学先投2分或先投3分是一样的．……………………………（10分） （3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为X ，先投2分球投篮累计得分为Y ，X 可能取0，2，3，4，5，………………………………………………………………（11分） 412(0)525P X ==⨯=，411(2)51225P X ==⨯⨯=， 1111(3)52220P X ==⨯⨯=，411(4)51225P X ==⨯⨯=，111113(5)5252220P X ==⨯+⨯⨯=，1113()2345 2.1520520E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………（14分）Y 可能取0，2，4，5， 111(0)224P Y ==⨯=，121142(2)C 2255P Y ==⨯⨯⨯=， 111(4)224P Y ==⨯=，121111(5)C 22510P Y ==⨯⨯⨯=， 21123()245 2.1541010E Y =⨯+⨯+⨯=>． 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）因为点P 在椭圆C 上，PF x ⊥轴，且||1PF =，故0)F ，所以P的坐标为1)， 所以222112a a +=-，解得24a =，2a =．……………………………………………（4分） （2）由（1）知椭圆C 的方程为22142x y +=，设动点00()M x y ，，则2200142x y +=，所以220022x y =-，………………………………（5分）故||||2MF x==-，…………………………………………（7分）|||MN x=-，………………………………………………………………………（9分）所以||||2MFMN=．………………………………………………………………………（10分）（3）不妨设AFB∠γ=，ABF△的外接圆半径为R，则由正弦定理||||||2sin sin sinAF BF ABRαβγ===，所以||2sin||2sin||2sinAF R BF R AB Rαβγ===，，．…………………………………（12分）如图3，过A B，分别作直线x=D E，，过B作BG AD⊥于点G，由（2）的结论可得||||||||AF BFAD BE==所以||||(||||)2AF BF AD BE-=-，即2sin2sin||2R R AGαβ-=，所以||(sin sin)AGαβ=-，………………………………………………………（14分）又2ABk=，得tan2BAG∠=，则||cos||3AGBAGAB=∠=，即(sin sin)2sin3Rαβγ-=，…………………………（16分）所以sin sinαβγ-=，当且仅当π2γ=时等号，所以sin sinαβ-的最大值为3．……………………………………………………（17分）图3数学参考答案·第8页（共8页）。
成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试——数学
成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列对象不能组成集合的是(A)不超过20的质数(B)π的近似值(C)方程21x 的实数根(D)函数2,R y x x 的最小值2. 函数()f x的定义域为(A)[3,1] (B)[1,3] (C)[1,3] (D)[3,1]3. 下列四组函数中,表示相等函数的一组是(A)()||,()f x x g x(B)2()()f x g x(C)21(),()11x f x g x x x (D)()()f x g x4. 当02x 时,22a x x 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)(,0) (B)(,0] (C)(,1] (D)(,1)5. 已知集合{|(1)(2)0},A x x x 集合{|0}1xB x x ,则A B (A){|20}x x (B){|12}x x (C){|01}x x (D)R6. 我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数,已知集合2{R |(1)0}A x x x ,则card()A (A)0 (B)1 (C)2 (D)37. 已知实数,a b 满足4a b ,则ab 的最大值为(A)2 (B)4 (C) (D)8.设函数()f x 满足(0)1,f 且对任意,R,x y 都有(1)()()()2f xy f x f y f y x 则(1)f(A)2 (B)9. 已知函数212 ()2, 1x x xf x x x(A) (B)(C)10. 某公司2020一整年的奖金有如方案1：奖金10万元方案2：前半年的半年奖金4.5万元方案3：第一个季度奖金2万元方案4：第n 个月的奖金 基本奖金如果你是该公司员工,你选择的奖金(A)方案1 (B)方案2 (C)方案11.已知函数2()48f x kx x k 的值为(A)45(B)012. 已知函数1(),f x x x()g x (A)()()f x g x 是奇函数(B)f (C)()()f x g x 的最小值为4二、填空题：本大题共4小题,每小2 (C)1 ,0,0.x 则函数()y f x 的图象是(D)金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性,后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的,以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加7000元 200n 元 的奖金方案是 3 (D)方案4在[5,10]上单调递减,且()f x 在[5,10]上的最小(C)0或45(D)则下列结论中正确的是 ()()x g x 是偶函数(D)()()f x g x 的最小值为3第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.(D)1一次性发放). 1.2倍 上增加5000元 最小值为32 ,则实数0或1713.方程260x x p 的解集为,M 方程260x qx 的解集为,N 且{1},M N 那么p q14. 函数21,[3,5]x y x x的最小值是 15.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x 时,32()f x x x , 则(1)f16. 已知平行四边形ABCD 的周长为4,且30ABC ,则平行四边形ABCD 的面积的取值范围为三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知集合{1,2,3},{2,1,1,3},A B 全集,U A B 求()U C A B ；(2)解关于x 的不等式(1)()0x x a ,其中R.a18.(本小题满分12分)对于任意的实数,,a b min{,}a b 表示,a b 中较小的那个数,即,min{,}.,a a ba b b a b已知函数2()3,()1.f x x g x x(1)求函数()f x 在区间[1,1] 上的最小值；(2)设()min{(),()},R h x f x g x x ,求函数()h x 的最大值.19.(本小题满分12分)已知函数()f x(1)用描点法画出函数()f x 的图象；(2)用单调性的定义证明函数()f x 在1(,)2上单调递增.参考公式：a b ,其中0,0.a b 参考列表如下：20.(本小题满分12分)设函数()f x 是定义在区间I 上的函数,若对区间I 中的任意两个实数12,x x ,都有1212()()(,22x x f x f x f 则称()f x 为区间I 上的下凸函数. (1)证明：2()f x x 是R 上的下凸函数； (2)证明：已知0,0a b ,则221.(本小题满分12分)据百度百科,罗伯特 纳维利斯是一位意大利教师,他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说,家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成,据某位专家量化研究发现,适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升,过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0,一个填空题约量化为1.6,一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量m 对应的关联函数 4, 010, 40, 1020,()1003,2030, 10, 30.m m m h m m m m家庭作业量m 对应的学习成绩提升效果()f m 可以表达为坐标轴x 轴,直线x m 以及关联函数()h m 所围成的封闭多边形的面积()S m 与m 的比值(即()()S m f m m).通常家庭作业量m 使得()30f m 认为是最佳家庭作业量.(1)求(10),(10)S f 的值； (2)求()f m 的解析式；(3)成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题),问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量?22.(本小题满分12分)已知函数21()|1|,R.f x x x 我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x11()(()).n n f x f f x 其中2,3,.n(1)判断函数1()f x 的奇偶性,并给出理由； (2)求方程13()()f x f x 的实数根个数；(3)已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m 其中1,0 1.i j n m 求实数m 的所有可能值构成的集合.。
2022-2023学年重庆市七校联考高一上学期期末数学试卷带讲解
【小问1详解】
由题意得: , ,
当 时, ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故改良后所排放 废气中含有的污染物数量的函数模型为 .
【小问2详解】
由(1)知, ,
整理得: ,即 ,
两边同时取常用对数,得: ,
整理得: ,
将 代入,得 ,
（2）由 的单调性结合函数零点存在定理求出实数 的取值范围.
【小问1详解】
函数
因为 ，所以 ，解得
所以 .
由 得
故函数 的单调递增区间为 ，
由 得
故函数 的单调递减区间为 .
【小问2详解】
由（1）可知，
在 上为增函数；在 上为减函数
由题意可知： ，即
解得 ，故实数 的取值范围为 .
21.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
故答案为： ．
14.函数 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，பைடு நூலகம்
又 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15.关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式 的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.
又因为 ，所以 ，解得 ，
因此实数 的取值范围是 .
选择③：因为 ，而 ，且 ， ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
18.已知 .
（1）若 为锐角，求 的值.
第七届全国大学生数学竞赛预赛试题解答
=
1 24
,
亦即A的行列式为
1 24
.
......(20分)
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专业:
考生座位号:
三、(本题 15 分) 设 A 为 n 阶实方阵，其 n 个特征值皆为偶数. 试证明关于 X
的矩阵方程
X + AX − XA2 = 0
只有零解。
证明 设C = I + A, B = A2, A的n个特征值为 λ1, λ2, . . . , λn, 则B的n个特征值为 λ21, λ22, . . . , λ2n; C的n个特征值为 µ1 = λ1 + 1, µ2 = λ2 + 1, . . . , µn = λn + 1; C 的特征 多项式为 pC(λ) = (λ − µ1)(λ − µ2) · · · (λ − µn).
设两直线L∗1和L2的交点为Q, 过Q做平面σ 的法线，交直线L1为P , 则 P Q 同时垂直
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
a3 = −(λ1 + λ2 + λ3 + λ4) λ1λ2 + λ1λ3 + λ1λ4 + λ2λ3 + λ2λ4
+ λ3λ4
a1 = −(λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + λ1λ3λ4 + λ2λ3λ4) a0 = |A| = λ1λ2λ3λ4
北京市高一 数学初赛试题及解答
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2−2∈A, x−2∉A}，则集合B的所有元素之积为（A）36．（B）54．（C）72．（D）108．答：A．解：由x2−2∈A，可得x2=4，2，3，9，即x=±2，，±3．又因为x−2∉A，所以x≠2，x≠3，故x= −2，，，−3．因此，集合B={−2, , , , −3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)=（A．（B）2．（C）1．（D答：A．解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为Oe的直径. 连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CEKC//AD，因此AKCH是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ． 在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(2BAC∠)= tan30°=3．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C） （D答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ． 易见△COA ≌△DAB ．设点A (a , 1a )，则点B (a +1a , 1a − a )．因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1，即21a− a 2=1． 因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515．答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >．答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S= (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边ABBCCA厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数()f x =的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得()1f x =+因为NA M BP)())(())]x x x x ++-=---=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x +是奇函数．进而可判定，函数22)()1x x g x x ++=+为奇函数．则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−2)2= 6π−π， 卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积B FADCEO= 2π+2×2π−4+6π−4π = (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )， 即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=② 由①、②两式可得DACBD A C B EG FO 1 O 2 · a b b c·4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即b b ，（负根舍）．于是，AB = a +c +2b = 4b ，或AB若AB ，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．所以AB 的长为．。
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第七届全国中学生数理化学科能力展示活动
高一数学解题技能展示试题(A 卷)
总分
考生须知:
1.本试卷分必做题和选做题两部分,必做题部分必须作答,选做题部分任选其一,如果均作答成绩以选做题一为准.
2.考试时间为120分钟,满分为150分.
3.
请在密封线内填写所在地区㊁
学校㊁姓名和准考证号.4.成绩查询:2015年1月9日起,
考生可通过活动官方网站 理科学科能力评价网 (w w w.x k s l h .c o m )
查询自己的分数及获奖情况.第一部分 必做题 (共114分)
本题得分
评卷人
一㊁选择题(每题6分,共30分,
每题只有1
个选项是正确的)
1.仁川亚运会上,某国派出28名游泳选手参加比赛,有15人参加接力比赛,有8人参加蝶泳比赛,有14人参加自由泳比赛,兼项参加接力比赛和蝶泳比赛的有3人,兼项参加接力比赛和自由泳比赛的有3人,没有人兼项参加三项比赛,则兼项参加蝶泳比赛和自由泳比赛的有多少人?( )
A 3;
B 6;
C 8;
D 9
2.对集合{1,2, ,n }及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的 交替和 如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后交替地减或加后继的数所得的结
果.例如,集合{1,2,4,6,9}的 交替和 是9-6+4-2+1=6.{5,6}的 交替和 是6-5=1,{2}的交替和是2.那么,对于n =7.则所有子集的 交替和 的总和为( ).
A 348;
B 448;
C 548;
D 648
3.若定义域在[0,1]的函数f (x )满足:①对于任意x 1,x 2ɪ[0,1],当x 1<x 2
时,都有f (x 1)ȡf (x 2)
;②f (0)=0;③f (x )=1f (x );④f (1-x )+
f(x)=-1,则f(13)+f(92014)=().
A -916;
B -1732;
C -174343;
D -5121007
)的所有x之和为().
4.f(x)是偶函数,当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(x+1
x+4
A -8;
B -7/2; C2; D -9/2
5.T h e v e r t i c e s o f a3-4-5r i g h t t r i a n g l e a r e t h e c e n t e r so f t h r e e
m u t u a l l y e x t e r n a l l y t a n g e n t c i r c l e s,a s s h o w n.W h a t i s t h e s u m
o f t h e a r e a s o f t h e t h r e e c i r c l e s?()
A 12π; B25π2; C13π; D 14π
本题得分评卷人
二、填空题(每题8分,共40分)
6.已知函数f(x)=-x2+(m-2)x+2-m,且y=|f(x)|
在[-1,0]上为单调减函数,则实数m的取值范围为.
7.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意
两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上
的凸集,右图为平面上4个点集的图形(阴影
区域及其边界),其中为凸集的是
(填序号).
8.
幂函数y=x a(aʂ0),当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它
们的图象是一簇美丽的曲线,设点A(1,0)㊁B(0,1),连接A B,线段
A B恰好被其中的两个幂函数y=x m,y=x n的图象三等分,即有
B M=MN=N A,则m n=.
9.已知a㊁b㊁x是实数,函数f(x)=x2-2a x+1与函数g(x)=
2b(a-x)的图象不相交,记参数a㊁b所组成的点(a,b)的集合为A,
则集合A表示的平面图形的面积为.
10.
如右图,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆
点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生
长出1个实心圆点和1个空心圆点.
(1)第n行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个
数的关系为;
(2)第11行的实心圆点的个数为.
本题得分评卷人
三、解答题(每题22分,共44分)
11.2014年,西非爆发埃博拉病毒疫情.目前,全世界都在关注埃博拉病毒的扩散及防治工作,许多科学家都在研制抗病
毒的新药,以期能阻击埃博拉病毒.在某实验室,科学家在进行药品试剂浓度实验.已知每投放质量为m 个单位的药剂到纯净水中后形成该药剂的溶液,经过x 天该药剂在溶液中释放的浓度y (m g
/L )满足y =m f (x ),其中f (x )=l o g 2(x +4),0<x ɤ4,6x -2,x >4ìîíïïïï
,当药剂在溶液中释放的浓度不低于6m g /L 时,称为有效浓度;当药剂在溶液中释放的浓度不低于6m g /L ,且不高于18m g
/L 时,称为最佳浓度.(1
)如果投放的药剂质量m =4,试问溶液达到有效浓度一共可持续几天?(2
)如果投放的药剂质量为m ,为了使溶液在7天(从投放药剂算起包括第7天)内每天都能达到最佳浓度,试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.
12.已知定义在(0,+ɕ)上的函数f (x )=x +1/x ([x ]+1)([1/x ]+1),其中[x ]表示不小于x 的最小整数,如[2]=2,[0.3]=1,[2.3]=3.
(1)求f (π)的值,其中π为圆周率;(2)若在区间(2,3]上存在x ,使得f (x )ɤk 成立,求实数k 的取值范围;
(3)求函数f (x )
的值域.
第二部分选做题(共36分)
本题得分评卷人
选做试题一‘空间几何体“模块试题
13.(6分)如下左图,动点P在正方体A B C D-A1B1C1D1的
对角线B D1上.过点P作垂直于平面B B1D1D的直线,与正方体表面相交于M㊁N.设B P= x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是().
14.(8分)某品牌香水瓶的三视图如右图所示
(单位:c m),则该几何体的表面积为.
15.(22分)如图甲所示,在边长为12的正方形
A D D
1A1中,点B㊁C在线段A D上,A B=3,B C=4,
作B B1ʊA A1分别交A1D1㊁A D1于点B1㊁P,作C C1
ʊA A1分别交A1D1㊁A D1于点C1㊁Q,将该正方形沿
B B1㊁
C C1折叠,使得
D D1与A A1重合,构成如图乙
所示的三棱柱A B C-A1B1C1.
(1)求证:A Bʅ平面B C C1B1;
(2)求多面体A1B1C1-A P Q的体积.
本题得分评卷人
选做试题二‘算法与统计初步“模块试题
13.(6分)某工程的工序流程如右图所示(工时单位:天),现
已知工程总时数为10天,则工序c所需工时为
天.
14.(14分)下图是两个流程图中的一部分,其余部分
完全相同,试问它们表示的算法相同吗?请说明理由.
{,画出f(f(x))的程序框图,并写出运行程序.
15.(16分)已知函数f(x)=x2-2x,xȡ2,
x+5,x<2
本题得分评卷人
选做试题三 ‘三角函数“模块试题
13.(6分)如果圆x 2+y 2=
n 2
至少覆盖函数f (x )=3s i n πx n 的一个最大值点和一个最小值点,则正整数n 的最小值是( ).
A 1;
B 2;
C 3;
D 4
14.(8分)已知函数f (x )=2c o s π2x ,x ɤ2000,x -100, x >2000
ìîíïïïï,则f (f (
2014))=.
15.(22分)已知向量a =(2s i n ωx ,c o s 2
ωx ),向量b =(c o s ωx ,23)
,其中ω>0,函数f (x )=a ㊃b ,若f (x )
图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x )
的解析式;(2)若对任意实数x ɪ[π6,π3
],恒有|f (
x )-m |<2成立,求实数m 的取值范围.。