静电场--高斯面

10
（3） 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的
电通量恒等于零。
由于电力线的连续性可知，
E
穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量应该相等。所以
dS ''
当闭合曲面无电荷时，电 通量为零。
dS '
q
4证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的
电通量的代数和。 利用场强叠加原理可证。
q2 qqi 1
11
(Enˆ)
de E dS
EdS cos
E
nˆ
电通量是 标量
dS
dS
5
电通量有正负，取决于场强与面元方向夹角 对于闭合曲面，为正时表明穿出该曲面， 反之为进入（图１－１０）
E
nˆ
de 0
E
nˆ
de 0
nˆ
E
de 0
6
通过任一曲面S的电通量：
把该曲面分割成很多小元 求得每一个小面元的电通量 求积分
垂直于平面，当 e 0场强指离平面。
当 e 0 场强方向指向平面。
20
选一其轴垂直于带电平面的圆筒
式封闭面作为高斯面 S，带电平 面平分此圆筒，场点 p位于它的
S
一个底面上。由于圆筒侧面上各
o
点的场强方向垂直于侧面的法线
p
方向，所以电通量为零；又两个 底面上场强相等、电通量相等，
e E
均为穿出。
对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确， 而高斯定律仍然有效。
13
四、利用高斯定律求静电场的分布
当场源电荷分布具有某种对称性时，
应使用面高积斯分定律SE， d选S中取的适当E 的能高以斯标面量，
形式提出来，即可求出场强。
S
E
l O rp
E S
p
Q
均匀带电球壳
o
e
E
e
均匀带电细棒
均匀带电无限大平板
14
q
（1） 证明包围点电荷 q的同心球面 S 的电通量 e 等于 0
球面上各点的场强方向与其径向相同。
球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
1q
de E dS EdS 4 0 r 2 dS
r
E
q
8
d e
E dS
EdS
1
4 0
q r2
dS
e
S de
q dS q
S 4 0r 2
4 0r 2
dS q
S
0
此结果与球面的半径无关。换句话说， 通过各球面的电力线总条数相等。从
q 发出的电力线连续的延伸到无穷远。
r
E
q
（2） 证明包围点电荷 q的任意闭合曲面 S 的
电通量 e等于 q / 0
dS
立体角solid angle
d r 2
q
9
立体角
d
dS r2
dS dS'cos
e
E dS
S
S ( E1 E2 E3 En ) dS
S E1 dS S E2 dS S En dS
e
S E dS e1 e2
en
1 qi
0 inside ,i
两 点
高斯定律中的场强E 是由全部电荷产生的。
说 明
通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
1 定义：
电力线上各点的切线方向表 示电场中该点场强的方向， 在垂直于电力线的单位面积
q E
上的电力线的条数（数密度) 等于该点的场强的大小。
E
(
p)
(
N S
)
p
正确的选择 N可以使数密度等于场强。
2
2 电力线的性质：
电力线不会中断。
电力线不会相交。（单值） q
电力线不会形成闭合曲线， 它起始于正电荷(或∝处) 终止于负电荷(或∝处) 。 2.2、电通量
4 0r 2
rˆ
r R 高斯面
当 r R高斯面内电荷为 0
E 0 r R
r
E
RQ
均匀带电球壳
高斯面 15
结果表明：
QR
均匀带电球壳外的场强
分布正象球面上的电荷
都集中在球心时所形成
E
的点电荷在该区的场强
分布一样。在球面内的
场强均为零。
r
QK_1
16
例二、均匀带电的球体内外的场强分布。 设球体半径为R，所带总带电为Q
E dS side E dS
S
face
E dS E dS
top
bottom
lO
因上、下底面的场强方向与面法向垂直，
S
E rp
其电通量为零。即式中后两项为零。
此闭合面包含的电荷总量
qi el
e
inside
e
side E dS E
face
side dS
face
E
2rl
12
高斯定律的用途：
当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。
当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。 开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。 〖附〗对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。
提纲
§2 静电场的高斯定律
2.1 电力线 2.2 电通量
2.3 静电场的高斯定律
作业：1-8，1-9，1-10
例一、均匀带电的球壳内外的场强分布 例二、均匀带电的球体内外的场强分布 例三、求无限长均匀带电直线的场强分布 例四、求无限大均匀带电平板的场强分布
1
2.1 电力线(electric line of force)
例一、均匀带电的球壳内外的场强分布。
QK_1
设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R高斯面内电荷为Q，所以
e
SE dS
E SdS
E4r 2
Q
0
E
Q
e
E dS
S
left E dS
face
right E dS 2ES
face
2ES eS 0
场强方向垂直于带电平面。
21
E e 2 0
e 0 场强方向指离平面; e 0 场强方向指向平面。
E
E
e 0
e 0
22
提纲
§2 静电场的高斯定律
2.1 电力线 2.2 电通量
E
q
1 定义
通过任一面元的电力线的条数称为通过这一 面元的电通量。（类比于流速场的定义）。
3
面元
S dS
是矢量，或写成
dS dS nˆ
方向的规定：
闭合曲面外法线方向(自内向外) 为正。
非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺 旋法则
n
4
电通场过面E元也是dS矢的量电，通与量面为元：的夹角为
1
0
el
其方向沿求场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。
E e 2 0r 19
例四、求无限大均匀带电平板的场强分布。
设面电荷密度为 e
解：由于电荷分布对于求场点
p到平面的垂线 op 是对称的， 所以 p 点的场强必然垂直于该
平面。
S
p
o
e E
又因电荷均匀分布在无限大的平面上， 所以电场分布对该平面对称。即离平 面等远处的场强大小都相等、方向都
S
距离导线 r 处一点 p 点的场强方向
E
l 一定垂直于带电直导线沿径向，并
O rp
且和 p点在同一圆柱面（以带电直
导线为轴）上的各点场强大p点，
高为 l 的圆筒形封闭面为高斯面 S，
通过S面的电通量为圆柱侧面和上下
底面三部分的通量。
18
e
d
dS ' rˆ r2
dS' cos
r2
nˆ
E
dS '
d 4 可以证明，略。
S
dS
d e E dS ' Erˆ dS ' nˆ
EdS ' cos EdS q d
d rˆ
4 0
e
S d e
q
0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以
通过闭合曲面 S ' 和 S 的电力线数目是相等的。
解：它具有与场源同心的球对称性。
固选取同心的球面为高斯面。
E dS
S
E 4r 2
q
0
1
0 Vr
Q VR
1
0
4r 3
3
Q
4R 3
Qr 3
o R3
Q
3
E
Qr
4 o R3
rˆ
rR
E
E
Q
4 or 2
rˆ
rR
R
r 17
例三、求无限长均匀带电直线的场强分布。
设线电荷密度为 e
该电场分布具有轴对称性。
2.3 静电场的高斯定律
作业：1-8，1-9，1-10
例一、均匀带电的球壳内外的场强分布 例二、均匀带电的球体内外的场强分布 例三、求无限长均匀带电直线的场强分布 例四、求无限大均匀带电平板的场强分布
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e de E dS
S
S
若是闭合曲面：
e de E dS
S