突破高考卷题型讲座(2)

例3：(2018全国Ⅲ
21题
12分)已知函数f
(x)

ax2
x ex
1。
(1)求曲线y f (x)在点(0,1)处的切线方程；
（2）证明：当a 1时，f (x) e 0。
解析：(1)
f
(x)


ax2
(2a ex
Hale Waihona Puke )x2,f
(0)

2。
因此曲线y f (x)在点(0,1)处的切线方程是2x y 1 0。
(1)若a 3,求f (x)的单调区间； (2)证明：f (x)只有一个零点。
解析：(1)当a 3时，f (x) 1 x3 （3 x2 x 1）, 3
f (x) x2 6x 3
令f (x) 0,解得x 3 2 3或x 3 2 3。 当x (3 2 3,3 2 3)时，f (x) 0, f (x)是减函数； 当x (-，3 2 3）（3 2 3， )时，f (x) 0, f (x)是增函数。
(2)由于x2

x 1
0, 所以f
(x)

0

x2
x3 3a x 1

0。
设g ( x)

x2
x3 3a,则g(x) x 1

（x（2 xx22x2x1）23）
0，
仅当x 0时，g(x) 0,所以g(x)在(,)上单调递增，
故g(x)至多有一个零点。从而f (x)至多有一个零点。
(2)当a 1时, f (x) e (x2 x 1 ex1)ex。 令g(x) x2 x 1 ex1，则g(x) 2x 1 ex1 当x 1时，g(x) 0, g(x)单调递增； 当x 1时，g(x) 0, g(x)单调递减。 所以g(x) g(1) 0。因此f (x) e 0
③最值讨论策略：图像连续的函数在闭区间 上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值 和区间端点的函数值进行比较为标准进行的， 在极值和区间端点函数值中最大的为最大值， 最小的为最小值
(2)研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法,把 问题转化为研究构造的函数g(x)的零点间题，研究 函数g(x)零点的策略 ①如果函数g(x)在已知区间上是单调的，则其最多 只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定 其零点是否存在。
解题思维
解题策路 (1)函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、 最值的分类讨论．其讨论策略有三个： ①单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零 的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导 数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时， 还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论
②极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的 讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的 极值点
【解题技巧】（1）对含有字母参数的函数在确定其单 调性时，一般要根据字母的取值范围进行分类讨论，其 方法是以函数在定义域内的极值点为分界点，把定义域 划分为若干个区间，在不同区间上确定导数的符号，对 极值的确定也要根据字母的取值进行讨论 （2）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单 调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求， 画出函数图像的走势规律，标明函数极（最）值的位置， 通过数形结合的思想去分析间题，可以使间题的求解有 一个清晰、直观的整体展现 （3）利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函 数利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相 应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离 变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题
（3）转化为f(a)＋g(a)≥f(b)＋g(b)型，构造函数 h(a)＝f(a)＋g(a)），利用h(a)单调性及a，b的大 小证明
突破高考卷题型讲座(2)
函数与导函数综合问题的解题策略
高喜萍 2018.9
高考考情解读
题型特点
导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难 度通常较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要 有利用导数来研究函数的单调性、极值、最值；利用 导数研究不等式；利用导数研究方程的根（或函数的 零点）；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨 论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想 的运用
由题意知：f
(2)

0, 所以a

1 2e2
。
x
从而f (x) 1 ex ln x 1, f (x) 1 ex 1 。
， 2e2
2e2
x
当0 x 2时，f (x) 0, f (x)在(0,2)是单调递减；
当x 2时，f (x) 0，f (x)在(2,)是单调递增。
例2：(2018全国Ⅰ 21题 12分)已知函数f (x) aex ln x 1。
(1)设x 2是f (x)的极值点，求a，并求f (x)的单调区间；
（2）证明：当a 1时，f (x) 0。 e
解析：(1) f (x)的定义域为(0,). f (x) aex 1。
（4）利用导数解决恒成立问题主要涉及方面及对策 ①已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范 围：
a．一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上 的最值问题求解；
b．如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行 分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考 虑限制二次项系数或判别式的方法求解. ②已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为
【方法总结】
利用导数研究函数零点的方法：如例1 方法一：（1）利用导数求出函数f(x)的单 调区间和极值；
（2）根据函数f(x)的性质作出图象； （3）判断函数零点的个数 方法二：（1）利用导数求出函数f(x)的单 调区间和极值；
（2）分类讨论，判断函数零点的个数
【方法总结】
构造函数证明不等式的策略: 如例3 （1）转化为f(x)≥C（C为常数）型，证明f(x)min 或临界值大于或等于C （2）转化为f(x)≥g(x)型，利用导数判断f(x)，g(x) 的单调性，进而求出函数f(x)、f(x)的最值或临界 值，用原不等式成立的充分条件证明
f/(x)≥0（或f/(x)≤0）恒成立的问题.
规律总结
（1）函数背景下的不等式证明对学生来说有两个 主要的挑战： 一是要善于观察待证不等式的等价不等式的结构特 征，由等价不等式的结构特征去构造出相应的、适 当的、合理的函数，将不等式证明的问题转化为对 函数的有关性质研究的问题；
二是要掌握有关函数性质研究的性质研究的验．可 以说，掌握好上述列举的三种类型问题的探究思维 途径及思想方法，函数背景下的不等式证明的问题 就能很好地解决了
故f (x)在(0,2)是单调递减，在(2,)是单调递增。
(2)当a 1 时，f (x) ex1 ln x 1. e
设g(x) ex1 ln x 1,则g(x) ex1 1 。 x
当0 x 1时，g(x) 0；当x 1时，g(x) 0。 所以x 1是g(x)的极小值。故当x 0时，g(x) g(1) 0。 因此，当x 0时，f (x) 0。
（2）有关方程和不等式的问题如果只依据基本 初等函数的知识无法求解，需要运用导数的方法 进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的 基本思路是构造函数，通过求导数的方法研究这 个函数的单调性、极值和特殊点的函数值根据函 数的性质推断不等式成立的情况
高考真题剖析
例1：(2018全国Ⅱ 21题 12分)已知函数f (x) 1 x3 a(x2 x 1)。 3
【解后反思】求曲线的切线方程需注意的几个问题：
（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需 要设出切点坐标
（2）切点既在原函数的图象上，也在切线上，可将 切点坐标代入解析式，从而建立方程（组）
（3）在切点处的导数值是切线的钟率，这是求切线 方程至关重要的条件
【方法总结】
利用导数证明不等式的常用方法：如例2 （1）证明f(x)＜g(x），x∈(a，b)，可以构造函数F(x） ＝f(x)-g(x）如果 F(x)＜0，则F(x)在(a,b)上是减函数， 同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a,b)时，有 F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x）。 （2）证明f(x)>g(x），x∈(a,b)，可以构造函数F(x） ＝f(x)-g(x），如果 F(x)＞0，则F(x)在(a,b)上是增函数， 同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a,b)时，有 F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)。
考情分析
2018 (文科)全国Ⅰ 21T 12分；全国Ⅱ 21T 12分； 全国Ⅲ 21T 12分；北京19T 13分；天津20T 14分； 江苏19T 16分；浙江22T 15分； 2017(文科)全国Ⅰ 21T 12分；全国Ⅱ 21T 12分； 全国Ⅲ 21T 12分；北京19T 13分；天津20T 14分； 江苏19T 16分；浙江22T 15分；
②如果函数g(x)在已知区间上不是单调的，则求出 这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与 零的大小，以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定 理判断其零点的个数
（3）利用导数证明不等式的策略 利用导数证明不等式的关键是构造函数，其思路
①对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构 造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)＞f(b)的形式 ②对形如f(x)＞g(x)的不等式，构造函数F(x)＝f(x)-g(x) ③对于（或可化为）f(x1，x2）≥A的不等式，可选x1 （或x2）为主元，构造函数f(x，x2)（或f(x1，x）
又f (3a 1) 1 (3a 1)3 a((3a 1)2 (3a 1) 1) 3
6(a 1)2 1 0; 66
f (3a 1) 1 (3a 1)3 a((3a 1)2 (3a 1) 1) 1 0,