全等三角形动点问题

一）、知识回顾

动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．

热身练习：

1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝．二）、例题辨析

例1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF.

（2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形.

（3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由．

（4）、求△CDE 面积的最大值．

例2如图，△ABC 的边BC 在直线上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△EFP 的边FP 也在直线上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP 。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

练习：1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积

保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①③ C ．①③④ D ．②③④

2、（2011随州，18，7分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．

例2：在ABC ?中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，

另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、

DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)

例3、如图，在等边△ABC 中，AB=9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动．P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．

（1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？

E G

图3

C G

图1

（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，

请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

三）、归纳总结

动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

四）、拓展延伸

例1、在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF

绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.

1、当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证

DEF CEF ABC

S S S

△△△

．

2、当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

例2、（2014?，第23题10分）问题背景：

如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

例3、如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗？并说明理由；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．

例4、在平面，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积．

小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：______________ ．活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．

小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：__________．②AE的长是_________ ．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．

例5、已知，在ABC

∠为锐角，D是射线BC上一动点(D与C不重合)，以AD为?中，ACB

一边向右侧作等边ADE

?(C与E不重合)，连接CE．

⑴若ABC

?为等边三角形，当点D在线段BC上时(如图1所示)，则直线BD与直线CE所夹锐角为度；

⑵若ABC

?为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；

⑶ 若ABC ?不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC 上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．

图1

D C B A

图2

B C D F A

图3

B C

问题（1）中结论不成立，当∠ACB=60°时，能使直线BD 与直线CE 所夹锐角为60°，证明：①当CD ＜AC 时，在CB 上截取一点G ，使得CG=CA ，连接AG （如图所示）， ∵∠ACB=60°，

∴△GAC 是等边三角形，

∴AC=AG ，∠AGC=∠GAC=60°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD ，∠DAE=60°， ∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD ，

从而∠CAE=∠GAD ， ∴△ACE ≌△AGD （SAS ）， ∴∠ACE=∠AGD=60°，

∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE ）=60°，此时直线BC 与直线CE 所夹锐角为60°，

②当CD=AC 时，点C 与点E 重合，不符合题意．

③当CD ＞AC 时，延长EC 到H ，在CB 上截取一点G ，使得CG=CA ，连接AG （如图所示）．

同（1）可证△ACE ≌△AGD ．

∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°， ∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°，此时直线BC 与直线CE 所夹锐角为60°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CD ＜AC 时，当CD=AC 时，当CD ＞AC 时得出答案是解题关键．

例6、在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ?外一点，且

60MDN ∠=?，120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M N ，

分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．

图①

M N

A 图②

D C

图③

D C

B A

⑴如图①，当点M N ，在边AB AC ，

上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时Q

=__________