2015年高中数学新课标一轮复习76

七十六 参 数 方 程
1．直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧
x ＝4＋2cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此
直线的倾斜角α＝________.
[答案] π6或5π
6
[解析] 直线：y ＝x tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝1
2.
∴α＝π6或5π6.
2．(2014·武汉质检)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，
y ＝sin θ(0≤θ<π)和
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2，
y ＝t
(t ∈R )，它们的交点坐标为________． [答案] ⎝
⎛⎭⎪⎫
1，
255 [解析] 把参数方程⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，y ＝sin θ化为标准方程得x 25＋y 2
＝1(y ≥0)．
把⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2，y ＝t
化为标准方程为y 2＝45x (x ≥0)． 联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x 25＋y 2
＝1，
y 2＝45x ，
解得x ＝1或x ＝－5(舍去)．
把x ＝1代入y 2＝45x ，得y ＝255或y ＝－255(舍去)，所以交点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
1，
255.
3．(2014·保定模拟)直线⎩⎨⎧ x ＝－2＋4t ，y ＝－1－3t (t 为参数)被圆⎩⎨⎧
x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．
[答案] 6
[解析] 直线⎩⎨⎧
x ＝－2＋4t ，
y ＝－1－3t (t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋10＝0，圆
⎩⎨⎧
x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ
(θ为参数)化为普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，则圆心(2,1)到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离d ＝|6＋4＋10|5
＝4，因此弦长为252－42
＝6，故填6.
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t ＋3，
y ＝3－t (参数t ∈R )，
圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为
________，圆心到直线l 的距离为________．
[答案] (0,2) 2 2
[解析] 将⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ＋2消去参数得方程x 2＋(y －2)2＝4，故圆C 的圆心坐
标为(0,2)．将⎩⎨⎧
x ＝t ＋3，
y ＝3－t 消去参数得方程x ＋y －6＝0，利用点到直线的距离公
式得d ＝
|2－6|
2
＝2 2. 5．(2014·宁夏模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋35t ，y ＝2＋45t
(t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．
(1)求|AB |的长；
(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．
[解析]
(1)将直线l 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋3
5t ，
y ＝2＋4
5t
(t 为参数)代入(y －2)2－x 2＝
1，得725t 2＋12
5t －5＝0.
∴t 1＋t 2＝－607，t 1t 2＝－125
7.
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10
771. (2)P 点直角坐标为(－2,2)，
线段AB 中点对应的参数值为t 1＋t 2
2， ∴点P 到线段AB 中点M 距离为|t 1＋t 22|＝30
7.
6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴
重合，曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝22与曲线C 2：⎩
⎨⎧
x ＝4t 2
，y ＝4t ，(t ∈R )交于A ，B 两点，
求证：OA ⊥OB .
[证明] 曲线C 1的直角坐标方程为x －y －4＝0，曲线C 2的普通方程为y 2＝4x .
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立⎩⎨⎧
x －y －4＝0，
y 2＝4x ，得y 2－4y －16＝0.
∴y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－16.
∴OA →＋OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1＋4)(y 2＋4)＋y 1y 2 ＝2y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋16＝0，∴OA ⊥OB .
7．(2014·福建模拟)坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)， (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
[解析] (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，
233. 又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，33，
故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝3
3x .
(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，
233， 所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝
|23－33－23|3＋9
＝3
2<r ，故直线l 与圆C 相交．
8．(2014·云南师大附中月考)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝22t (其中t 为常数)．
(1)若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； (2)当t ＝－2时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离． [解析] (1)曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]， 曲线N 可化为x ＋y ＝t ， 若曲线M ，N 只有一个公共点，
则当直线N 过点(2，1)时满足要求，此时t ＝2＋1，
并且向左下方平行运动直到过点(－2，1)之前总是保持只有一个公共点， 当直线N 过点(－2，1)时，此时t ＝－2＋1， 所以－2＋1<t ≤2＋1满足要求；
再接着从过点(－2，1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立⎩⎨⎧
x ＋y ＝t ，
y ＝x 2
－1，
得x 2＋x －1－t ＝0，
Δ＝1＋4(1＋t)＝0，
解得t＝－5 4，
综上可求得t的取值范围是－2＋1<t≤2＋1或t＝－5 4.
(2)当t＝－2时，直线N：x＋y＝－2. 设M上的动点为(x0，x20－1)，|x0|≤2，
则曲线M上的点到直线N的距离为d＝|x20＋x0＋1|
2
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x0＋
1
2
2＋
3
4
2
≥
32
8，
当x0＝－1
2时取等号，满足|x0|≤2，所以所求的最小距离为
32
8.。