四川省成都石室中学2009年高考数学第三轮复习精编模拟二
四川省成都市石室中学高三数学模拟(理科)
四川省成都市石室中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分2．（5分）复数的虚部是（）解：复数==i3．（5分）已知，则的值为（）．．．）﹣﹣﹣）﹣（﹣）4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）．．D，由=3，T=．x+∴×．2=≥﹣8．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（），由条件可得2，故⊥∵∴﹣2∴•，∴⊥9．（5分）反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录10．（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数．．．．二、填空题：每小题5分，共25分11．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a n=﹣3×2n﹣1（n∈N*）．，得（12．（5分）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．（•，4=4，=2×，解得13．（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．高为的正四棱锥，，高为的正四棱锥V==故答案为：14．（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．先求出解：∵∴=∴==故答案为：15．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a n∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f（a n）}为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是①②④．，可证出，当，，则，则，所以，，，则=f三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．）由题意知=3tan∵∴，∴，∴．，∴，即时，，）的最大值为17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．中，∴∵为正三角形，解得，，，∵，∴，∵，取的法向量为∴18．（12分）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=﹣cos2x+cos2x+2sinx ﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．先验证当时方程2a=的值域即可，分类讨论：①当时，当时，时，，则，因为函数时，，则，，+3（19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）﹣﹣取最大值，且时，当且仅当x=x=21．（13分）设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若，求证：．∴，）证明：22．（14分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．时，恒成立，即）知：）解：由题恒成立，即，则，则，知：∴=高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。
成都石室中学高2011级20082009学年下期期末考试数学试题
成都市石室中学高2011级2008—2009学年度下学期期末考试数学试题第一卷、选择题(每题5分，共60分，注意：每题仅一个答案是正确的)在平面直角坐标系中，点 A (4, -2)按向量a ( 1,3)平移，得点A '的坐标是A . ( 5, -5) B . ( 3, 1)C.( 5, 1)D . ( 3, -5)1.7.7.若M .6 . 5, N 2、、2,7,则M与N的大小为2.M>N B . M<N C. M=N D •无法判定3. 若点A分有向线段BC所成的比是2,则点C分有向线段BA所成的比是4. 设向量a5.6.C. -2D. -3 (1,2),b ( 3,1),则a与b 的夹角是arccos( )10v'2arccos —10arccos(3arccos2 10在厶ABC中，若(1 tan A)(1 tanB) 2，则角C是A. 45° 或135°B. 45°C . 135°已知命题“若x+y>0,则x>0且y>0” •这个命题与它的否命题的真假是A .原命题是真命题，否命题是假命题B. 原命题与否命题都是真命题C. 原命题是假命题，否命题是真命题D .原命题与否命题都是假命题D. 225°A. 2n是函数y sin |x|的周期a bB.非零向量a,b，则a在b方向上的投影是=|a|C .角B 在第一象限，则（0，2）12 2a b a—对任意实数2&下列函数具有奇偶性的是二、填空题 （每题4分，共16分）13. 2 右a b 2 4,则a b 的最大值是 .14.若x 0,y0,且丄x21,则当x y 最小时，x= y,y15. 若向量 a,b 满足|a | 2,|a b| 3,则|b|的最大值是16.下列命题：③若R 且a 0,则 0或 a 0;④对任意两个单位向量n① y x ,n Z ② y .xcos 2 xA .②③B .①④C .①③④D .①③9.在△ ABC 中角 A 、B 、C 所对的边是b 、c ,且 a 2b sin A,则角B=A . 30° 10.设 a 0,b 0,若 a b C . 30° 或 150°abab 3,则的取值范围是a b60°60° 或 120 °.A . 2, 35C .11.在锐角△ ABC 中, B 、C 成等差数列，则COSA 的范围是si nC43 43 A ."0冲C .22交于F.若AC a, BD b,则 AF =()1 ' 1 _■2 1」 A . ab B . ab 4 2 3 31 1 / 1 •2;c . 一ab D . - ab 243312.在平行四边形 ABCD 中,AC 与DB 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD a 、 b 都成立①若a b 0,则a b ;②若a b 0,则a 0,或b 0;都有 0 62 1 ;⑤若a//b,则a在b方向上的投影是|a|;其中正确的有_________________ .（填序号）第二卷三、解答题（满分74分，要求写出必要步骤和过程）17.（本题12分）(I)已知| a| 2,|b| 3,a与b的夹角是-,求实数k,使得5a3b与3a kb 垂直.(II )若01 、,sin cos -,求tan 的值.518.(本题12分)3 3 2 2(I)设a 0, b 0求证:a b a b ab（II ）设a 0,b 0,c 0,且a,b,c不且相等，求证：l g b2c❻詈 x lgb lgc19. (本题12分)(I )求函数f(x)的单调减区间;(H )若x 齐，求函数f(x)的最大值和最小值20. (本题12分)在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边是a 、b 、c. (I )若a,b,c 成等比例数列，求角 B 的范围；(II )若 acosB bcos A 2ccosC,且 sinA 2si n B,边 c积的范围21. (本题12分)设函数 f (x) x | x a | b.已知a3 3 (cos x,sin x),b 2 2(吨,吨,若f(x)a b | a b |2 .丄,4时，求 ABC 面20恒成立，求实数a的取值范围22. (本题14分)若定义在区间D上的函数y f(x)对于区间D上任意X i,X2都有不等式1 x Xf (x1) f (x2) f 1 2成立，则称函数y f (x)在区间D上的凸函数p m n q, p q m n,证明：f(p) f (q) f (m) f(n).(1)求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2 b2(I)证明：定义在R上的二次函数f(x) (II )对(I)的函数y f (x),若| f (1)| 值时函数y f (x)的解析式；(III ) 定义在R 上的任意2ax bx c(a 0)是凸函数；1,| f(2)| 2,| f (3)| 3,求| f(4)| 取得最大凸函数y f(x),当q,p,m,n N 且(II)设常数b 2、23,且对任意x [0,1], f (x)25参考答案、填空题（每题 4分，共16分）13. 2.2 14. .. 2 1 2 215. 5 16. ①③④三、解答题（满分 74分，要求写出必要步骤和过程） 17. （本题12分）解：（I ）|a| 2,|b| 3,a 与b 勺夹角是一3a b —r—►|a||b|cos- 2 31 32(5a 3b) (3a kb)22即15 a (9 5k)a b3k b60 27 k 3(95k) 029 k 14、选择题（每题 5分，共60分，注意：每题仅一个答案是正确的）1 — 5 BADBC 6— 10 CDDCC 11—12 BB29 T —* —►即实数k，使得5a 3b 与141 (ll ) 0 ,si n cos丄5平方得12sin cos25得 2sin24coskb 垂直.……①则一2Ig(abc),2(sin cos ) 1 2sin cos1唱) 495 得sin cos由①②得sin得tan -318.（本题12分）证明：（I）4 3,cos5 5(a b ) (a b ab ) a (a2 2 2(a b)(a b ) (a b) (a2b) b (bb)a)a 0,b 0,a b 0,(a b)20(a3 b3) (a2b ab2) 0得a3a2b ab2(II)0,b 0,c 0a2a b2■-ab_ b crc a2bc 、、caabc 0又a、b、c不全相等b c2lg19.（本题a b ,T lg12分)lg£—lga2 algb lgc 解：（i)由a3 3 -(cos x,sin x),b2 2吨，sin2).则|a| 1,|b|2a b2533x cos —— 2x cos- 2 3x x sin sin — 2 22cos2x 2令 2k 2x 2k得k2xk分函数 f(X)的单调区间是—k 2k k Z .JJ(II )_x —34则22x_32分1 cos2x 12分当x—时,f(X )max3;当x 20时,f (x)min3分20. (本题12分)解( I )a ，b ， c 成等比例数列，得b 2 ac所以0 即B 0,.33分1(II )由 acosB bcosA 2ccosC 得c 2cosC,则cosC ,0 C2得C - 3分又sin A 2sin B,由正弦定理得 a 2b又 cosB2 2.2a c b2 2a c ac2ac2ac分而0 B2ac ac 1 (3)2ac 23由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC 2 2 24b b 2b 3b236f (x)是奇函数必要性：若f (x)是奇函数，则对一切x R, f( x) f (x)恒成立，即x | x a | b x | x a | b. 令x 0,得b b,所以b 0. 3分2 2再令 x a,得2a | a | 0, a 0,即 a b 0. .................. 5 分(II )解法一： b 2 2 3 0,当x 0时,a 取任意实数不等式恒成立,故考虑x0,1时,原不等式变为 |x a|b b b,即 x a x ,x xxa (xb)max 7(1)只需对 x 0,1 ,满足x…7 分a (xmin ・(2)x对(1)式，由b<0时，在0,1上,f (x) x —为增函数，x (x b )maxf(1)1 b.x a 1 b.(3).................. 8 分bb j --------对(2)式，当 1 b 0时,在 0,1 上,xx 2 b. xx当x . b 时,X — 2、b, (x b) min 2 6xx21. c .3b,则 b则ABC 面积Sc 丄,4 ,则S2(本题12分) 解：(I )充分性:f( x) x| c, a 2b1 absin C 2,3 248.3 3若a 2b 20时，即a b 0,所以f(x) x |x |.x| x|x|f (x),对一切x R 恒成立,由（3）、（ 4），要使a 存在，必须有 1 b 乂、b 即 i b 32 2.1 b 0.当 1 b 3 2 2 时,1 ba 2 一 b................ …10分当b 1 时,在 0,1 上,f(x) x -为减函数，（证明略） X(x b)minf(1) 1 b.X当b1时,1 b a 1 b.综上所述，当1 b 2、2 3时,a 的取值范围是（1 b,2 b ）;当b1时,a 的取值范围是（1 b,1 b ）.12分22.（本题14分）解：（I ）因为a 0所以 |f(4)||16a b c| | f (1) 3f (2) 3f (3) | 当且仅当 f (1)1, f (2) 2, f (3)3即a 4,b 此时 f (x) 4x 2 15x 125分(III ) p m n q ,p q m n,不妨设 m p i ,i Na 2 b.(4)f(xj f(xj2a (生2 X 2)b(X1X2)c a(j 2b(X1 X2) cX 2 22 所以定在R 上的二次函数f （X ） axbX c （a 0）是凸函数.f(1) (II )由 f (2) f(3) a b c 4a 2b c9a 3b c1a 寸 f(1) f(2) f(3)53 b -f(1) 4f(2) - f(3)22c 3f (1) 3f (2) f (3)1 323 3 16 15,c c12时取等号m p q n i由定义任意x1, x2都有不:等式1-[f(X1)2f(X2)] f(X12X2)所以f(p) f(p 2)2f(p 1)即f (p) f(p 1) f(p 1) f(p 2) 同理有f(p 1) f(p 2) f(p 2) f (p 3)f(p 2) f (p 3) f(p 3) f(p 4)f(p k 2 ：)f(p k 1) f(p k 1) f(p k)相加得f ( p )f(p k 1) f(p 1) f(p k)即f(p) f (p k) f([p 1) f(p k 1)所以f (p) f (p k) f(p 1) f(p k 1) f(p 2) f(p k 2) f(p i) f(p k i)令p k q ，得f(p) f (q) f(p i) f (q i) f (m) f(n)得证.8分所以f（x）。
2024年成都市石室中学高三数学(文)高考三模试卷附答案解析
2024年成都市石室中学高三数学（文）高考三模试卷（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A ．9x =B ．6y =C ．乙的成绩的中位数为28D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4．用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A ．1项B ．21k -项C ．12k +项D ．2k 项5．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 的周期为πC ．(1π,4)是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增6．物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（）A ．14B ．1C ．2D ．1038．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A ．平行B ．相交C ．异面且垂直D ．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A ．316B ．1316C ．716D ．91610．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOF S S = （）A．B．3-CD11．如图，射线l 与圆()()22:111C x y -+-=，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A 、B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，则函数()L α的解析式为（）A ．()L α=B ．()L α=C ．()L α=D ．()L α=12．若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．30,2e ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=.14．已知a 是1，2的等差中项，b 是1，16的等比中项，则ab 等于；15．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =.16．某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值；(2)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.18．如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．(1)求sin sin BACABC∠∠的值；(2)设AC =3，求2AB ．19．已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20．已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.(1)证明：四面体ABCD 的体积为定值；(2)已知异于C 、D 两点的动点P β∈，且P 、A 、B 、C 、D 的球面上.求点P 到直线AB 的距离的取值范围.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆C 上运动且半径为3的圆是椭圆C 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.(1)写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；(2)若将曲线1C上各点的横坐标缩短为原来的6倍，22倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．1．B【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M 中的元素，即可求解集合M 的个数.【详解】由{}{},,M a b c a ⋂=可得：{}a M ⊆，a M ∈，,b c M ∉.又因为{},,,M a b c d ⊆，所以{}M a =或{},M a d =.故选：B 2．C【分析】先将CA CB AB +< 等价变形为CA CB CB CA +<- ，两边平方后得0CA CB ⋅<u u u r u u u r，且,,A B C 三点不共线，即可做出判断.【详解】“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<- ”，所以22222222CA CB CA CA CB CB CB CA CA CA CB CB ⋅-+=++<+⋅-= ，从而0CA CB ⋅<u u u r u u u r，在ABC 中，显然,,A B C 三点不共线，即两个向量CA CB,不能方向相反，则ACB ∠是钝角，则必要性成立，若ACB ∠是钝角，则0CA CB ⋅<u u u r u u u r，则CA CB AB +< ，则充分性成立，则“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +< ”的充要条件.故选：C ．3．C【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，甲得分的极差为31，30831x +-=，解得：9x =，A 正确；对于B ，乙的平均数为()11225262031245x y =⨯+++++=乙，解得6y =，B 正确；对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C 错误；对于D ，甲的平均数()1813283239245x =⨯++++=甲，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确；故选：C ．4．D【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232nf n =++++ ，所以()1111232kf k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D 5．B【分析】利用二倍角公式化简可得()12sin214f x x =+，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案．【详解】由函数()1111sin cos sin 22sin 214244f x x x x x =+=+=⋅+，由此可作出()f x 的函数图象，如图所示，对于A 中，由()()()111π2sin 2π12sin 212sin 21444f x x x x f x -=⋅-+=⋅-+=⋅-≠，所以()f x 关于直线π2x =不对称，所以A 错误；对于B 中，由()()()11π2sin 2π12sin 2144f x x x f x +=⋅++=⋅+=，所以B 正确；对于C 中，由函数()f x 图象可知，()f x 不存在对称中心，所以C 错误；对于D 中，因为π344f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，所以D 错误.故选：B.6．C【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n k k k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．7．D【分析】求出函数的导函数，依题意可得12122222x x x x +=+，再由10x >、20x >、12x x ≠，即可得到121=x x ，最后由基本不等式求出12x x +的范围，即可判断.【详解】由2()2ln f x x x =+，则()22f x x x='+，则()11122f x x x '=+，()22222f x x x '=+，依题意可得12122222x x x x +=+且10x >、20x >、12x x ≠，所以121=x x ，所以122x x +>=，经验证，当1x 、2x 分别取3、13时12103x x +=满足题意.故选：D 8．B【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C 两点重合，所以AB 与CD 相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．9．C【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.【详解】设甲船到达泊位的时间为x ，乙船到达泊位的时间为y ，则0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则14x y -≤，画出不等式组010114x y x y ≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪-≤⎪⎩表示的平面区域，如图中的阴影部分，33171244216S =-⨯⨯⨯=阴影，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为=671S P S =阴影.故选：C 10．D【分析】根据向量的坐标运算求得点C 的坐标，消参得其轨迹方程，然后与双曲线的渐近线方程联立求得点P 和Q 的纵坐标，从而把面积比转化为坐标绝对值比即可求解.【详解】由于向量OC mOA nOB =+，点()()1,0,2,3A B -，所以()2,3C m n n -+，因为40m n --=，所以点()4,3C n n -，则点C 的轨迹为3(4)y x+=，与双曲线2212x y -=其中一条渐近线y =，联立23(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得Q y =联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得3621217P y =，因此1196221172PPOF P QOFQ Q OF y S y S y OF y ⋅-===⋅ .故选：D11．C【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系求出()L a 【详解】由圆()()22111C x y -+-=∶可得圆C 的极坐标方程为()()22cos 1sin 11ρθρθ-+-=，化简得到()22cos 2sin 10ρθθρ-++=，联立方程组()22cos 2sin 10ρθθρθα⎧-++=⎨=⎩，得到方程()22cos 2sin 10ρααρ-++=，则()12Lαρρ=-==故选：C.12．B【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合可行域可知当0a=时，不成立，所以可以把()()324e ln ln0x a y x y x+--=化为322e lny ya x x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设ytx=，根据可行域求出t的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数a的取值范围．【详解】画出不等式组23100290360x yx yx y-+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩表示的平面区域，如图所示，()1,4A，()3,3B，()4,6C，可知当0a=时，原式不成立，所以()()324e ln ln0x a y x y x+--=可转化为322e lny ya x x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设ytx=，根据可行域可知14t≤≤，()322e lnt ta-=-，设()()22e lnf t t t=-，（14t≤≤），则()()14e2ln22e2ln2f t t t tt t'=+-⋅=+-，()2224e24etf tt t t+''=+=，因为14t≤≤，所以()0f t''>恒成立，则()f t'单调递增，且()e0f'=，所以当[)1,et∈时，()0f t'<，()f t单调递减，当(]e,4t∈时，()0f t'>，()f t单调递增，又()10f=，()e2ef=-，()()()4242e ln442e ln40f=-=-<，所以()[]2e,0f x∈-，所以32e0a-≤-≤，解得32ea≥，故选：B.13．12+【分析】根据复数的性质计算即可.【详解】因为12z =，所以21111(i)(i)(i)=i 2222z z ⋅=⋅⋅.故答案为：12.14．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求,a b ，即可求解.【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==，因为b 是1，16的等比中项，所以211616b =⨯=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.15．2167【分析】通过赋值得到(3),(4)f f 的值，之后猜想()f n 的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入()f n 表达式即可求得答案.【详解】令5,2x y ==即可求出()34f =，令2,5x y ==即可求出()47f =，()()2323x y f x f f y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()()62363233423133f f f f f +⨯⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，结合()21f =，()34f =，()47f =，()510f =，()613f =可猜想()()31235f n n n =--=-.下面用数学归纳法证明：当()*6N n n ≤∈时，由上述知()35f n n =-成立.假设当()*,N n k n k ≤∈时有()35f n n =-，则当1n k =+时，不妨设6k ≥，()()()()()()125132533253k k f k f f k f k f k ⎛⎫++-+=--=--- ⎪⎝⎭()()()()()33352355315k k k =-----=+-.所以()35f n n =-成立，所以()724372452167f =⨯-=.故答案为：2167.16【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则BD 是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴，12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，记BD 与12O O 的交点为12F O O ，的中点为E ，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，由垂径定理知EO 垂直平分MN ，再求椭圆的离心率即可.【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则6,8,12.AB CD BC BD ===是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴.12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，则12O O BH ===8BD =记BD 与12O O 的交点为12,F O O 的中点为E ，则12OE O O ⊥，12122123::4:3,7FO FO O D O B FO O O ===，221212121312714EF EO FO O O O O O O =-=-=，1212222311:::1:6,14762O O O O OE O B EF FO OE O B =====，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，()121722EM O D O A =+=.由垂径定理知EO 垂直平分MN ，OM ON ===记椭圆的离心率为e ，长半轴长､短半轴长､半焦距为a b c ､､，则222222222311,42c a b b e e a a a ⎛-===-=-==.故答案为：2.17．(1)0.125；(2)310【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【详解】（1）依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；（2）由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.18．(2)15-【分析】（1）根据对称的性质和已知条件可得AD ‖BC ，则CAD ACB ∠=∠，45ACB CAD ∠=∠=︒，再利用正弦定理可求得结果；（2）在ACD 中利用正弦定理可求出CD ，再在ABC 中利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为C 点关于直线BD 的对称点在直线AD 上，所以DB 平分ADC ∠，所以ADB CDB ∠=∠，因为CBD CDB ∠=∠，所以ADB CBD ∠=∠，BC =CD ，所以AD ‖BC ，所以CAD ACB ∠=∠，因为30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒，所以45ACB CAD ∠=∠=︒，所以sin sin sin 45sin sin sin 60BAC BC CD CAD ABC AC AC ADC ∠∠︒=====∠∠︒（2）因为在ACD 中，由正弦定理得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠,所以3sin 45sin 60CD =︒︒232=⨯，所以CD =CB ，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AB CB CA CB CA ACB=+-⋅⋅∠2233cos 4515=+-⨯︒=-．19．(1)答案见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）求导分析()f x '的符号，讨论()f x 的单调性，即可求解.（2）先对()g x 求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到12b a =-，再结合要证不等式构造函数()ln 2ln 24h a a b a a =+=+-，求导并结合单调性与最值即可证明.【详解】（1）函数2()ln f x ax x =-的定义域为(0,)+∞，求导得2121()2ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，由()0f x '<，得0x <<，由()0f x '>，得x >即函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）函数2()()ln g x f x bx ax x bx =+=-+的定义域为(0,)+∞，求导得1()2g x ax b x=-+'，由1x =是()g x 的极值点，得(1)210g a b =-+='，即12b a =-，212(12)1(21)(1)()212ax a x ax x g x ax a x x x+--+-=-+-=='，而0a >，则当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减，当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以当1x =时，()g x 取得极小值.设()ln 2ln 24,0h a a b a a a =+=+->，求导得1()4h a a'=-，当10a 4<<时，()0'>h a ，当14a >时，()0h a '<，则函数()h a 在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+∞上单调递减，因此1()(1ln404h a h ≤=-<，所以2+ln 12ln 2b a ≤-.20．(1)证明见解析；(2)⎡⎣【分析】（1）用补形法将三棱锥B ADC -补形为三棱柱，利用三棱锥与三棱柱体积的关系即可求解.（2）考查点到直线的距离问题，与球的截面圆相结合，先确定球心位置和动点P 的轨迹即可进一步研究点P 到直线AB 的距离的取值范围.【详解】（1）如图，平移线段AB 使得A 与C 重合，并将四面体ABCD 补成一个斜三棱柱，则该斜棱柱的底面积122sin 602S =⨯⨯⨯︒=，高1h =，所以该斜棱柱的体积为定值V Sh ==又此斜棱柱恰好可以分为三个与三棱锥B ADC -的底面积相同，高相同的三棱锥，于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的13，所以四面体ABCD 的体积为13V Sh ==.（2）设球心是O ，并设O 与平面α，平面β的距离分别是1h ，2h ，由OA OB OC OD ====可知，O 在A ，B 的中垂面和C ，D的中垂面（过线段中点且垂直于线段的平面）的交线上，设AB 的中点是M ，CD 的中点是N .则由勾股定理得12OM ON ==，注意到1211h h OM ON =+≤+=，所以O ，M ，N 共线，且MN ⊥平面α，因为P β∈，且P 、A 、B 、C 、D 均在球O 上，所以P 在以N 点为圆心、以CD 为直径的圆上（除去C 、D 两点），过点N 直线AB 的平行线11A B ，设点P 到直线AB ，11A B 的距离分别为d ，1d，则d 又[]10,1d ∈，所以d ⎡∈⎣.【点睛】关键点睛：确定球心位置和动点P 的轨迹是解决点P 到直线AB 的距离的取值范围的关键.21．(1)22154x y +=(2)(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据条件可得225,4a b ==即可得椭圆方程；（2）先设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，由题意得环绕圆方程，由直线与圆相切及同解方程可得12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，结合圆心()00,x y 在椭圆C 上得2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭，由0x 的范围可得最终答案.【详解】（1）由题意，得c a =1222a b ⋅⋅=，又222a b c =+，解得225,4a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22154x y +=.（2）设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，“环绕圆”的圆心D 为()00,x y .由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为()()22001x x y y -+-=.因为直线1:OA y k x =与“环绕圆”1=，化简得()2220100101210x k x y k y --+-=.同理可得()2220200201210x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，所以22001220110,Δ0,1y x k k x --≠>=-.又因为“环绕圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，所以代入椭圆方程22154x y +=中，可得2200154x y +=，解得2200445y x =-.所以2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭.又因为2005x ≤≤且2010x -≠，所以20110x -≤-<或20014x <-≤.所以20111x ≤--或201114x ≥-，所以2011111x -≥-或20111114x -≤--，所以20111435x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭或201111454x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭.所以12k k 的取值范围是(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ .22．(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为x yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；(2)2362【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，极坐标方程先根据公式化为直角坐标方程，再化为参数方程即可.（2）利用参数方程，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质确定点P 到直线l 的距离的最小值即可.【详解】（1）因为直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C的极坐标方程为ρ=，消去参数，直线l0y -+=，曲线1C 的普通方程为：226x y +=，所以1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（2）由（1）有：1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由题意知，曲线2C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以可设点()cos P θθ，又直线l0y -+=，故点P 到直线l的距离为：d =所以当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，min d ，即点P 到直线l23．（1）4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）见解析.【详解】试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的应用22221a b a b --+=()()2211a b --．试题解析：（1）由()()246f x f x ++≥得：2136x x -++≥，当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-；当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）证明：()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--，因为1a <，1b <，即21a <，21b <，所以221||ab a b ---=2222212a b ab a ab b -+-+-=22221a b a b --+=()()22110a b -->，所以221|||ab a b --，即1ab a b ->-，所以原不等式成立.【点睛】解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。
数学理卷_届四川省成都石室中学高三二诊模拟考试(.03)word版
成都石室中学高2010级“二诊”模拟考试数学试题(理科)、选择题： (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 •复数等于1+iA • 1 2iB • 1 -2iC • 2 iD • 2-i2 22.已知 M ={x|x -4}, N ={x|_1},则 MRN 二 x —1A • {x|1 ：：x _2} C . {x|1 空x 空 2}D • {x|x ：： 2}3•函数f(x)=lnx-2的零点所在的大致区间是xA • (1, 2)B • ( e , 3)C • (2, e )D • (e,+ ：：)4•对于平面:-和两条不同的直线m,n ，下列命题中真命题是A • 0 ：： b 乞 2B • 0 :: b ■ 2C • b _ 2D • b 2KTt6 •函数y 二cos(x ) ■ sin( x)具有性质高2 3A •最大值为3，图像关与直线x 对称6冗B •最大值为1，图像关于直线x 对称6lnC •最大值为3，图像关于(一,0 )对称6nD •最大值为1，图像关与(一,0)对称67•若等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n33 1 a ，则常数a 的值等于D • -3A •若m,n 与〉所成的角相等，则 m// nB •若 m // ：, n 〃二，贝 y m // nC •若 m 二：-,n II 】，则 m // nD •若 m _ ： , n _：,贝U m 〃 n5 •已知a,b 是不相等的正数，若lim x ]:n 1 n 1 a -b n 丄」a b=2，贝U b 的取值范围是B • -1&已知函数f (x)在R上可导，且f (x) = x2• 2xLf '(2)，贝U f(-1)与f (1)的大小关系为B • f (一 1) • f (1)C • f (一1) ：：： f(1)D •不确定中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直， ABC 、厶ACD 、厶ADB 的面第II 卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)21 213 •二项式(X 2)2的展开式中，常数项为 __________ 。
09年成都3诊
四川省成都市2009届高中毕业班第三次诊断性检测数学试题（理科）一、选择题： 1．3cos 的值（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．无法确定2．已知集合a N M a N a M 则若},4{},1,2{},,1{2=⋂-==等于 （ ）A ．4B ．0或4C ．0或2D ．23．已知)tan()(),,,()1(b ax x f i R b a i i bi a +=∈-=+则函数为虚数单位的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．14．已知等差数列5332*:,2:5:),(}{S S a a N n S n a n n 则若项和为的前=∉等于 （ ）A ．3：2B ．3：5C ．2：5D ．2：35．在标准正态总体N （0，1）中，已知9762.0)98.1(=φ，则标准正态总体在区间)98.1,98.1(-内取值的概率为（ ）A ．0.9672B ．0.9706C ．0.9412D ．0.95246．已知点O 为坐标原点，点P 满足2||=OP ，则点P 到直线023=--y x 的最短距离为（ ）A ．5B ．3C ．1D ．237．若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为y x yB P xA P +==则,1)(,4)(的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．6D ．88．从0、1、4、5、8这5个数字中任选四个数字组成没有重复数字的四位数，在这些四位数中，不大于5104的四位数的总个数是（ ）A ．56B ．55C ．54D ．529．已知)()(),(1x f x f x f 分别是函数'-的反函数和导函数，若2ln )1()1(,log )(121f fx x f '+-=-则的值等于 （ ）A ．2ln 21+B ．2C ．1D ．2ln 3+10．有下列命题：①在空间中，若B O A AOB B O OB A O OA '''∠=∠'''则,//,//；②直角梯形是平面图形；③{正四棱柱}⊆{直平行六面体}⊆{长方体}；④在四面体P —ABC 中，AC PB BC PA ⊥⊥,，则点A 在平面PBC 内的射影恰为PBC ∆的垂心，其中逆否命题为真命题的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．设D 是由⎩⎨⎧≥≥+-00))((y y x y x 所确定的平面区域，记“平面区域D 被夹在直线])1,1[(1-∈=-=t t x x 和之间的部分的面积”为S ，则函数)(t f S =的大致图象为（ ）12．已知曲线E 的参数方程为)(cos 2sin 12为参数θθθ⎩⎨⎧=-=y x ，则下列说法正确的是 （ ） A ．过点（1，0）并与曲线E 相交所得弦长为8的直线存在且有两条 B ．0)3(0=-+=y m x m 是直线与曲线E 相切的充分不必要条件 C ．若),(y x P 为曲线E 上的点，则22x y -的最大值为3D ．与曲线E 相交所得弦的中点为Q （2，2）的直线存在且其方程为0=-y x二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
精品解析：四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
1.已知 为虚数单位，集合
，
.若
，则复数 等于（ ）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 由复数的概念得到集合 Q ，计算集合 P 与集合 Q 的补集，即可确定出复数 z.
【详解】
,
,则
，
即 zi=-1,z=
,
故选： C
【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题
.
2.已知 为第二象限角，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 【分析】 将
平方得到 cos sin ，再将所求
平方， 结合 为第二象限角即可得到答案 .
1
【详解】 ∵
，平方得
，
∴ 2cos sin ＝﹣
∴
，
∵ 为第二象限角，
∴
故选： B． 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查
础题 .
之间关系的应用，属于基
3.已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 ，则
”成立不能得到“
”成立，反之，当“
”成立时，“
”
成立，所以“
”是“
”的必要不充分条件，所以 B 符合题意；
选项 C 中，“
”是“
”的既不充分也不必要条件，所以 C 不符合题意；
选项 D 中，“
”是“
”的充分不必要条件，所以 D不符合题意．
故选 B．
【点睛】解题的关键是正确理解 “ 使
成立的必要不充分条件”的含义，即由
的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果
2023年成都石室中学高三数学(理)高考三模试题卷附答案解析
2023年成都石室中学高三数学（理）高考三模试题卷（试卷满分150分；120分钟完卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{N1},{04}A x x B x x =∈>=<<∣∣，则A B = （）A.{14}x x <<∣B.{0}xx >∣ C.{}2,3 D.{}1,2,32.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A.2i-- B.2i -+ C.2i + D.2i-3.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路4.已知()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，a b +=r r ，则a b -= （）A.B.1C.2D.125.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（）A.561B.595C.630D.6666.《易∙系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A.14B.13C.12D.237.“1a =”是“函数())lgf x x =-是奇函数”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.过圆2216x y +=上一点P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A B 、，若23AOB π∠=，则实数m =A.2B.3C.4D.99.用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A.840种B.1200种C.1800种D.1920种10.蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）【参考数据】π 3.14≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈．A.101gB.182gC.519gD.731g11.函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.412.已知函数()2,0ex x f x x =>.若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，则正实数m 的取值范围为（）A.1,12⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()0,1 D.(]0,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若三个元件A 、B 、C 按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件A 正常工作且B 、C 中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件A 、B 正常工作的概率依次为0.7、0.8，且这个系统正常工作的概率为0.686，则元件C 正常工作的概率为______.14.已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．15.已知,αβ均为锐角，()tan tan 4sin αβαβ+=+，则()cos αβ+的最小值为______.16.1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =-且,,A B D 三点共线，则实数k =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和n A ．18.如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，BC AC ⊥．（1）证明：平面SAB ⊥平面ABC ；（2）若BC SC =，SC SA ⊥，试问在线段SC 上是否存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°，若存在，请求出D 点的位置；若不存在，请说明理由．19.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩（随机误差ii i e y bx =-）．请推导：当随机误差平方和Q ＝21ni i e =∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii)令变量x t t y w w =-=-，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()nii tt r w w -=-∑，()25176.9ii w w =-=∑，()()5127.2i i i t t w w =--=∑，5160.8ii w ==∑27.7≈20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()πln sin 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中a 为实数．（1）若()f x 在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求a 的取值范围；（2）求证：对任意的实数a ，方程()cos f x x =均有解．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为332(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，若函数()f x 的最小值为t ，且满足a b c t ++=，求证：1119a b c++≥.1.C【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题意，{N14}A x x B ∈<<==I ∣{}2,3故选：C 2.B【分析】根据复数的除法运算，化简可得2i z =--，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，12i 2i iz -==--，从而2i z =-+.故选：B.3.D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.4.B【分析】根据a b 、，利用a b +=r r 求出2a b⋅ ，根据a b -= .【详解】∵()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，所以1a b ==，由22||2321a b a b a b a b +=⇒++⋅=⇒⋅=，所以1a b -=== .故选：B.5.D【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律得出结果.【详解】由题意，第一层1个球，第二层123+=个，第三层1236++=个，第四层123410+++=个，据此规律，第三十六层有小球36(136)123366662⨯+++++== 个.故选：D 6.C【分析】本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则2155310105512012C C P C ´===，若任取3个数中有3个阳数，则3531010112012C P C ===，故这3个数中至少有2个阳数的概率51112122P =+=，故选：C.【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N 个物品（包括M 个指定物品）中抽取n 个物品，若抽取的n 个物品中有k 个指定物品，则概率k n k M N MnNC C P C --=，考查计算能力，是中档题.7.A【分析】函数())lg f x x =-为奇函数，解得1a =±，判断1a =±与1a =的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数())lg f x x =-为奇函数，则()()))2lg lglg 0f x f x x x a +-=+==，解得1a =±.所以“1a =”是“函数())lg f x x =-为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.8.A【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆2216x y +=上一点()40P ，，过P 作圆()2220O x y m m +=：＞的两条切线PA PB 、，求出23AOB π∠=时OA 的值即可．【详解】如图所示，取圆2216x y +=上一点()40P ，，过P 作圆()2220O x y m m +=：＞的两条切线PA PB 、，当23AOB π∠=时，3AOP π∠=，且4OA AP OP ⊥=，；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．9.D【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂A 、B 、C 三点，再确定1A 、1B 、1C 三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若5种颜色全用上，先涂A 、B 、C 三点，有35P 种，然后在1A 、1B 、1C 三点中选择两点涂另外两种颜色，有23P 种，最后一个点有2种选择，此时共有32532720P P ⨯=种；②若用4种颜色染色，由45C 种选择方法，先涂A 、B 、C 三点，有34P 种，然后在1A 、1B 、1C 三点中需选择一点涂最后一种颜色，有3种，不妨设涂最后一种颜色的为点1A ，若点1B 与点A 同色，则点1C 只有一种颜色可选，若点1B 与点C 同色，则点1C 有两种颜色可选，此时共有4354331080C P ⨯⨯=种；③若用3种颜色染色，则有35C 种选择方法，先涂A 、B 、C 三点，有33P 种，点1A 有2种颜色可选，则1B 、1C 的颜色只有一种选择，此时共有33532120C P ⨯=.由分类加法计数原理可知，共有72010801201920++=种涂色方法.故选：D.10.B【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a 63=，设正四面体外接球半径为R ，则2222()()332R R a =-+⨯，解得R =所以3D 打印的体积为：323346113662343223812V a a a ππ⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，又336216a ==，所以207.71125.38182.331182V =-≈-=≈，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．11.C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.12.A【分析】依题意，令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，求出()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于max 12()f g a m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，进而转化为()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，再根据函数()2,0e x xf x x =>的单调性，得到10210mm ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，从而求出正实数m 的取值范围.【详解】令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，则()()()232321g a a a a a '=--=+-，∴当[]a 0,1∈时，()0g a '≤，函数()g a 在[]0,1上单调递减，∴()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得不等式3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于1max 12()e f g a m -⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭成立，又 ()11e f -=，∴()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ()2exx f x =，所以()()222,0e e x x x x x x f x x --==>'.当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,2上单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，m 为正实数，∴122m-<，又 函数()f x 在()0,2上单调递增，∴10210mm ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，解得1 1.2m <≤∴正实数m 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.13.0.9##910【分析】设元件C 正常工作的概率为P ，当系统正常工作时，当且仅当A 正常工作，B 、C 中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于P 的等式，即可解得P 的值.【详解】设元件C 正常工作的概率为P ，系统正常工作，当且仅当A 正常工作，B 、C 中至少有一个正常工作，由题意可得，系统正常工作的概率为()0.710.210.686P ⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦，解得0.9P =.故答案为：0.9.14.-7【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15.12-##0.5-【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.【详解】()()sin sin cos sin cos 4sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为,αβ均为锐角，则()sin 0αβ+≠，因此1cos cos 4αβ=，因此()1cos cos cos sin sin 4αβαβαβ+=-=1144==111442≥==-，当且仅当1cos cos 2αβ==时，等号成立.故答案为：12-16.8-【分析】先表示出BD，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，123BC e e =-- ，于是121212432BD e e C e D e e B C e =+-+-=-=-，由,,A B D 三点共线可知，存在λ，使得AB BD λ=，即()121224e ke e e λ+=- ，由于1e ，2e 是两个不共线的向量，则24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-.故答案为：8-17.（1）证明见解析（2）()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭【分析】（1）由前n 项和与通项之间的关系即可证明数列{}n S 是等比数列；（2）以错位相减法求数列{}n na 的前n 项和n A 即可解决．【小问1详解】因为n T 为数列{}n S 的前n 项和，当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S =当2n ≥时，1n n nT T S --=2n n S T +=①112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18.（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【分析】（1）先证线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）先假设存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°，然后建立空间直角坐标系，求出相关向量，再用夹角公式计算即可求解.【小问1详解】法一证明：取AB 的中点E ，连接SE ，CE ，∵SA SB =，∴SE AB ⊥，因为BC AC ⊥所以三角形ACB 为直角三角形，所以BE EC=又BS SC =所以SEC SEB ≌△△所以90SEB SEC ∠=∠=︒所以SE EC ⊥又SE AB ⊥，AB CE E ⋂=，∴SE ⊥平面ABC ．又SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABC ．法二、作SE ⊥平面ABC ，连EA ，EC ，EB ，EA ，EC ，EB 都在平面ABC 内所以SE EA ⊥，SE EC ⊥，SE EB ⊥又SA SB SC ==所以EA EC EB==因为BC AC ⊥所以三角形ACB 为直角三角形，所以E 为AB 的中点则SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以E 为坐标原点，平行AC 的直线为x 轴，平行BC 的直线为y 轴，ES 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设2AS SB SC ===，SC SA ⊥，则22AC =，2BC SC ==知23EC =，1SE =则()A，)1,0B-，)C ，()0,0,0E ，()0,0,1S ，∴()2,0AB =-，()1SA =-，设(),,D x y z ，CD CS λ=()01λ≤≤，则()()1,1,1x y z λ--=-，∴),1,D λλ-，(),2,BD λλ=-．设平面SAB 的一个法向量为()111,,n x y z =则11111200n AB y n SA y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取11x =，得()n = ，sin 60n BD n BD ⋅︒=2=，得2710λλ++=，又∵01λ≤≤，方程无解，∴不存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°19.（1）0.98r ≈,这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）（i ）121ˆniii nii x ybx===∑∑；（ii ）经验回归方程 2.72y x =;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.【分析】（1）根据相关系数计算，若0r >两个变量正相关，若0r <两个变量负相关，r 越接近于1说明线性相关越强.（2）(i )整理得2221112nn nii i i i i i Q bxb x y y ====-+∑∑∑，根据二次函数求最小值时b 的取值；(ii )根据ˆb计算公式求得经验回归方程，并代入7t =可预测2024年移动物联网连接数.【小问1详解】由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.因为1(12345)35t =++++=,所以52222221()(13)(23)(33)(43)(53)10ii tt =-=-+-+-+-+-=∑,所以()()527.20.9827.7ii ttw w r --=≈∑,所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.【小问2详解】(i )()()222221112n n niiii i i i i i i Q e y bx ybx y b x =====-=-+∑∑∑2221112nn nii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，要使Q 取得最小值，当且仅当121ˆniii nii x ybx===∑∑.(ii )由(i )知()()()5511552211ˆi ii i i i ii i i x y ttw w bxt t====--==-∑∑∑∑27.22.7210==，所以y 关于x 的经验回归方程 2.72y x =，又5160.812.1655i iww ====∑，所以当7t =时，则734, 2.72412.1623.04x w y w =-==+=⨯+=，所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.20.（1）2212x y +=；（2）存在，y =+y =.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -==，则椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的离心率为e =.因为双曲线E 的实轴长为4，设椭圆C 的焦距为2c，则2,4c 成等比数列，所以28c =，解得1c =.又c e a ==222a b c =+，解得1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E的虚轴上端点为2B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l的方程为y kx =+，联立方程组221,2x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()221220k x +++=.显然()22)41220k∆=-+⨯>，解得2k >或2k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y，则1212222,1212x x x x k k+=-=++，所以(()2121212122y y kx kx k x x x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅=，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得k =()*式，所以直线l的方程为y =或y =+.21.（1）,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭（2）证明见解析【分析】（1）由题意π()cos 4af x x x '=+≥-在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()maxc s πo 4a x x ⎡⎤⎛⎫≥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，记()c π3π()os ,,4π44g x x x x ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数求解即可；（2）设,0π4x t t -=>，故方程转化为ln 0a t t +=，设()ln h t a t t =，分为0a =，0a ≠两种情况讨论，结合零点存在定理得出结论．【小问1详解】因为π()ln sin 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以π()cos 4af x x x '=+≥-在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()maxc s πo 4a x x ⎡⎤⎛⎫≥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．记()c π3π()os ,,4π44g x x x x ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4πy x =-在π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增且恒大于0，cos y x =-在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0y x =-<，所以()g x 不可能取得最大值；当π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0y x =->且单调递增，4πy x =-单调递增且恒大于0，所以()g x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()443πg x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以4a ≥，即a的取值范围是,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭．【小问2详解】设,0π4x t t -=>，由方程()cos f x x =得πln sin cos 04a x x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即ππln 044a x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ln 0a t t +=，设()ln h t a t t =+，当0a =时，由()0h t t ==，得π,(0,Z)t k k k =>∈，故原方程有解；当0a ≠时，110h ⎛⎫=++- ⎪⎝≥ ⎪⎭，1e 10eh ⎛=++ ⎭≤ ⎪⎝，则0e h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理可知，()h t 在e⎛ ⎪⎝⎭上有零点，故原方程有解．综上，对任意的实数a ，方程()cos f x x =均有解．【点睛】方法点睛：一般地，由函数的单调性求参数范围的问题常转化为不等式恒成立问题，常见处理方法有：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若()0f x ≥恒成立，则()min 0f x ≥；若()0f x ≤恒成立，则()max 0f x ≤；③数形结合法：若()()f x g x >恒成立，则()y f x =图象始终在()y g x =的上方；④分段讨论法：对变量x 进行分段讨论，然后再综合处理．22.1）30x --=，22(2)4x y -+=（2）2【分析】（I）将2t y =代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离.【详解】解：（I）将2t y =代入32x t =+，整理得30x --=，所以直线l 的普通方程为30x --=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（II）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22132422t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=1222p t t t +==-.设()00,P x y，则0093,2241,224x y ⎧⎛⎫=+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=⨯-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩则93,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以点P 到原点O的距离为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.1）[]1,4-（2）证明见详解.【分析】（1）转化为分段函数解不等式即可；（2）由（1）知t ，运用基本不等式证明即可.【小问1详解】由条件可知：()32,1121,1223,2x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()[]3251,1f x x x =-≤⇒∈-，当12x <<时，()()151,2f x x =≤⇒∈，当2x ≥时，()[]2352,4f x x x =-≤⇒∈，综上()5f x ≤的解集为[]1,4-；【小问2详解】由（1）可知当1x ≤时，()321f x x =-≥，1x =时取得最小值，当12x <<时，()1f x =，当2x ≥时，()231f x x =-≥，2x =时取得最小值，综上，故()min 1f x =，即1t a b c =++=，则1113a b c a b c a b c b a c ac b a b c a b c a b a c b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵a ，b ，c 均为正实数，∴2,2,2b a c a b c a b a c c b +≥=+≥≥，当且仅当13a b c ===时取得等号，即332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，。
四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(2)
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可显？请说明理由，并据此预测该家庭2020年能否实现小康.
17. 已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为 ， 为
的外心，
，
.
(1)证明：BC⊥AD； (2)若E为AD中点，OD=2，求平面
与平面
夹角的余弦值．
18. 已知公差 的等差数列 （1）求 的通项公式； （2）设数列 满足
为预测该家庭2020年能否实现小康，建立了y与时间变量 的两个线性回归模型，根据2020年1月至2020年7月的数据(时间变量 的值依次为
)建立模型①：
；根据2020年4月至2020年7月的数据(时间变量 的值依次为1，2，3，4)建立模型②：
.
（1）求该家庭2020年1月至2020年7月的人均纯收入之和；
四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(2)
一、单选题
1. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是
A．B=A∩C
B．B∪C=C
C．A C
D．A=B=C
2. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3. 已知
A．49
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
B．7
，，
C．
，则 边上的中线长为（ ）
D．
4. 已知点 是椭圆
则椭圆 的离心率为（ ）
A．
的左焦点，
B．
，直线 交 于 ， 两点，若 ， 均是线段 的三等分点，
四川省成都石室中学高三数学三诊模拟考试 理
一、选择题（答案填到机读卡上）1.已知2()2a i i -=-，其中i 是虚数单位，则实数a =（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．22. 已知sin （4πα+）=23，则cos （4πα-）的值等于( ) A. 23-B.23C.3D. 3±3. 设{n a }为递增等比数列，2010a 和2011a 是方程4x 2—8x+3=0的两根，则2012a =( )A. 9B. 10C.92D. 25 4.设G 为△ABC 的重心，且sin sin sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则B 的大小为( )A ． 450B ． 600C ．300D ． 155．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．14-B ．2C ．4D ．12-6. 下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充分条件是“直线a 平行于直线b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α”的充要条件是“直线l ⊥平面α内无数条直线”； ③“直线a 、b 不相交”的必要不充分条件是“直线a 、b 为异面直线”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”．其中正确命题的序号是( ) A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④7．设f (x )=|2－x 2|，若0＜a ＜b 且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（ ） A ．(0，2)B ．(2, 2)C ．(2,4)D ．(2，22)8. 若变量x ，y 满足约束条件360203x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，且0z kx y(k )=+>的最大值为14，则k =( )A.1B.2C.23D.5399．已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=，记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于( ) A．2-B．3-C．4-D110. 某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2014级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“民乐社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为( ) A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 11.已知a 为常数，函数()2f x x x a =-+-的图象关于3x =对称，函数()()22lim n n n n n a x g x x b a x→∞-=-⋅+(*n N ∈)在()0,+∞上连续，则常数b =( ) A.0 B.2 C.3 D.4 12.函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。
《精编》四川省成都石室中学高三试数学下学期“三诊”模拟考试题 文(含解析)新人教A版.doc
四川省成都石室中学2021届高三下学期“三诊〞模拟考试数学〔文〕试题一、选择题〔共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上．〕1．〔5分〕集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|，x∈Z}，那么M∩N=〔〕A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．[﹣1，1〕D．[﹣1，0]考点：指数函数单调性的应用；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解二次不等式求出集合M，解指数不等式式求出集合N，根据集合交集的定义，可求出答案．解答：解：∵集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤0≤1}N={x|，x∈Z}={x|2﹣1＜2x+1＜22，x∈Z}={x|﹣1＜x+1＜2，x∈Z}={﹣1，0}故M∩N={﹣1，0}应选B点评：此题考查的知识点是指数函数单调性，交集运算，二次不等式的解法，其中解不等式求出集合M，N是解答的关键．2．〔5分〕〔2021•肇庆二模〕设z=1﹣i〔i是虚数单位〕，那么=〔〕A．2﹣2i B．2+2i C．3﹣i D．3+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将分子与分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化再与进行运算即可．解答：解：∵z=1﹣i，∴+=+=+〔1+i〕=〔1+i〕+〔1+i〕=2〔1+i〕．应选B．点评：此题考查复数代数形式的乘除运算，着重考查复数的混合运算，属于根底题．3．〔5分〕〔2021•东莞市模拟〕经过圆C：〔x+1〕2+〔y﹣2〕2=4的圆心且斜率为1的直线方程为〔〕A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线．专题：计算题．分析：由题意先求出圆心C的坐标，再代入点斜式方程，再化为一般式方程．解答：解：由题意知，直线过点〔﹣1，2〕，斜率为1，代入点斜式得，y﹣2=x+1，即直线方程为x﹣y+3=0．应选A．点评：此题重点考查了直线的点斜式方程，最后要化为一般式方程，这是容易无视的地方．4．〔5分〕〔2021•安徽模拟〕一个几何体的三视图如以下列图，且其侧视图是一个等边三角形，那么这个几何体的体积为〔〕A．B．〔4+π〕C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，应选D．点评：此题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图复原直观图，此题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．5．〔5分〕设x＞0，y＞0，且+=4，z=2log4x+log2y，那么z的最小值是〔〕A．﹣4 B．﹣3 C．﹣log26 D．2log2考点：根本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由4=+≥2=2，利用根本不等式即可求解xy的最小值，又z=2log4x+log2y=log2x+log2y=log2xy，从而得出z的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，且+=4，∴4=+≥2=2，∴≤2，∴xy≥，当且仅当x=2y时取等号．∴z=2log4x+log2y=log2x+log2y=log2xy≥log2=﹣3，那么z的最小值是﹣3．应选B．点评：此题主要考查了根本不等式在求解最值中的应用，解题的关系是对数的运算性质进行化简．属于根底题．6．〔5分〕〔2021•安徽〕假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A．B．1C．D．2考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：此题主要考查线性规划的根本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那局部区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积．解答：解析：作出可行域，如图，那么直线扫过的面积为应选C．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．〔5分〕函数y=sin〔πx+φ〕〔φ＞0〕的局部图象如以下列图，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，那么sin2θ的值是〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．分析：由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．解答：解：函数y=sin〔πx+φ〕∴T==2，过p作PD⊥x轴于D，那么AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP=在直角三角形中有sin∠APD=，cos∠APD=；cos∠BPD=，sin∠BPD=∴sinθ=sin〔∠APD+∠BPD〕==cosθ=∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=应选：A．点评：此题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，此题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，此题是一个中档题目．8．〔5分〕以下命题中：①“x＞|y|〞是“x2＞y2”的充要条件；②假设“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕；③平面α，β，γ，直线m，l，假设α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么l⊥α；④函数f〔x〕=〔〕x﹣的所有零点存在区间是〔，〕．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．分析：①利用充分条件与必要条件的关系判断．②根据特称命题成立的等价条件去求值．③由线面垂直的判定定理可判断．④利用根的存在定理可判断．解答：解：①由x＞|y|，可知x＞0所以有x2＞y2，当x＜y＜0时，满足x2＞y2，但x＞|y|不成立，所以①错误．②要使“∃x∈R，x2+2ax+1＜0”成立，那么有对应方程的判别式△＞0，即4a2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣1，所以②正确．③因为γ∩α=m，γ∩β=l，所以l⊂γ，又l⊥m，所以根据面面垂直的性质定理知l⊥α，所以③正确．④因为，，且函数连续，所以根据根的存在定理可知在区间〔，〕上，函数f〔x〕存在零点，所以④正确．所以正确的选项是②③④，共有三个．应选C．点评：此题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练．9．〔5分〕〔2021•江西〕数列{a n}的前n项和s n满足：s n+s m=s n+m，且a1=1，那么a10=〔〕A．1B．9C．10 D．55考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．解答：解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，应选A．点评：此题考查数列的前n项和的性质，对于此题，赋值法是比较简单、直接的方法．10．〔5分〕〔2021•上海模拟〕f〔x〕=〔〕x﹣log2x，实数a、b、c满足f〔a〕f〔b〕f〔c〕＜0，〔0＜a＜b＜c〕假设实数x0是方程f〔x〕=0的一个解，那么以下不等式中，不可能成立的是〔〕A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：有f〔a〕f〔b〕f〔c〕＜0可得①f〔a〕，f〔b〕，f〔c〕都为负值；②〔a〕＞0，f〔b〕＞0，f〔c〕＜0，对这两种情况利用图象分别研究可得结论解答：解：因为f〔x〕=〔〕x﹣log2x，在定义域上是减函数，所以0＜a＜b＜c时，f〔a〕＞f〔b〕＞f〔c〕又因为f〔a〕f〔b〕f〔c〕＜0，所以一种情况是f〔a〕，f〔b〕，f〔c〕都为负值，①，另一种情况是f〔a〕＞0，f〔b〕＞0，f〔c〕＜0．②在同一坐标系内画函数y=〔〕x与y=log2x的图象如下，对于①要求a，b，c都大于x0，对于②要求a，b都小于x0是，c大于x0．两种情况综合可得x0＞c不可能成立应选D．点评：此题考查函数零点的判定和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具二、填空题〔此题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置〕11．〔5分〕从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数〞，那么P〔A〕等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由于需在1，2，3，4，5中任取2个不同的数，共有种可能，而取到的2个数之和为偶数，共有种，依据古典概型的概率计算公式，即可得到事件A的概率．解答：解：由于从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，共有种取法，而取到的2个数之和为偶数，那么分取出的两数全为偶数或全为奇数两种情况，故取到的2个数之和为偶数，共有种取法，那么P〔A〕=故答案为点评：此题属于简单的古典概型的问题，属于根底题．关键是找准根本领件以及所求事件包含的根本领件总数．12．〔5分〕如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．假设要使输入的x值与输出的y值相等，那么这样的x值有 3 个．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．解答：解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当x≤2时，x=x2，解得x=0，或x=1，当2＜x≤5时，x=2x﹣4，解得x=4，当x＞5时，x=，解得x=±1〔舍去〕，故满足条件的x值共有3个．故答案为：3．点评：此题考查的知识点是选择结构，其中分析出函数的功能，将问题转化为分段函数函数值问题，是解答此题的关键．13．〔5分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣2，0〕，B〔1，3〕，O为原点，且，〔其中α+β=1，α，β均为实数〕，假设N〔1，0〕，那么的最小值是．考点：向量的线性运算性质及几何意义．分析：根据可化简为，找到∥，即A，B，M共线．可解决问题．解答：解：∵〔其中α+β=1，α，β均为实数〕===+∴∴∥∴A，B，M共线，∴MN的最小值为N到直线AB的距离．故答案为：点评：此题主要考查向量的线性运算和几何意义．对于向量的线性运算要求一定要会画出图象．14．〔5分〕〔2021•江西〕椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．假设|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质；等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．解答：解：因为椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．假设|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以〔a﹣c〕〔a+c〕=4c2，即a2=5c2，所以e=．故答案为：．点评：此题考查椭圆的根本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．15．〔5分〕给出以下五个命题：①直线a，b和平面α，假设a∥b，b∥α，那么a∥α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；③双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕，那么直线y=x+m〔m∈R〕与双曲线有且只有一个公共点；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过M〔2，0〕的直线l与椭圆+y2=1交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l斜率为k1〔k≠0〕，直线OP的斜率为k2，那么k1k2等于﹣．其中，正确命题的序号为④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用线面平行的性质．②结合抛物线的定义及条件．③利用双曲线渐近线的性质．④利用面面垂直的判定定理．⑤利用直线与椭圆的位置关系以及点差法求解．．解答：解：①线面平行的前提条件是直线a⊄α，所以条件中没有a⊄α，所以①错误．②当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误．③因为双曲线的渐近线方程为，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误．④根据面面垂直的性质定理可知，只有当平面内的直线垂直于交线时，才垂直于另一个平面，否那么将不和另一个平面垂直，所以④正确．⑤设P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，中点P〔x0，y0〕，那么，把P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕分别代入椭圆方程+y2=1，得①②，两式相减得，整理得，即，所以⑤正确．所以正确命题的序号为④⑤．故答案为：④⑤．点评：此题考查空间线面平行于垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．考查学生的运算能力．三、解答题〔本大题共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕：16．〔12分〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，﹣〕，函数f〔x〕=〔+〕•﹣2〔1〕求函数f〔x〕的最小正周期T及单调减区间；〔2〕a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f〔A〕=1．求A，b和△ABC的面积．考点：平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔1〕由利用向量的运算及数量积即可得到，进而得到f〔x〕，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数f〔x〕的最小正周期T及单调减区间；〔2〕利用〔1〕即可得到A，再利用正弦定理即可得到C，利用三角形内角和定理即可得到B，利用直角三角形含30°角的性质即可得出边b，进而得到三角形的面积．解答：解析：〔1〕∵，，∴〔〕=•〔sinx，﹣1〕===+2，∴=．∴．由，解得．∴单调递减区间是．〔2〕∵f〔A〕=1，∴，∵A为锐角，∴，解得A=；由正弦定理得，∴==1，C∈〔0，π〕，∴．∴，∴=2．∴．点评：此题综合考查了向量的运算及数量积运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等根底知识与根本技能，考查了推理能力和计算能力．17．〔12分〕如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．〔1〕求证：AF⊥平面CBF；〔2〕求三棱锥C﹣OEF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：〔1〕欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF 内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，那么AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；〔2〕由面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，即棱锥的高为CB，根据正△OEF的边长为半径，可求出底面面积，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．解答：证明：〔1〕∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB又AB为圆O的直径∴AF⊥BF∴AF⊥平面CBF解：〔2〕过点F作FG⊥AB于G∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高∴FG=∴S△OBC=〔2〕解：由〔1〕知CB⊥平面ABEF，即CB⊥平面OEF，∴三棱锥C﹣OEF的高是CB，∴CB=AD=1，…〔8分〕连接OE、OF，可知OE=OF=EF=1∴△OEF为正三角形，∴正△OEF的高是，…〔10分〕∴三棱锥C﹣OEF的体积v=•CB•S△OEF=，…〔12分〕点评：此题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化是解答的关键．18．〔12分〕某为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运发动进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩〔单位：cm〕．跳高成绩在175cm以上〔包括175cm〕定义为“合格〞，成绩在175cm以下〔不包括175cm〕定义为“不合格〞．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为鼓励乙队队员，决定只有乙队中“合格〞者才能参加市运动会开幕式旗林队．〔Ⅰ〕求甲队队员跳高成绩的中位数；〔Ⅱ〕如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运发动中共抽取5人，那么5人中“合格〞与“不合格〞的人数各为多少．〔Ⅲ〕假设从所有“合格〞运发动中选取2名，用X表示所选运发动中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求X=1的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：〔Ⅰ〕将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数；〔Ⅱ〕根据茎叶图，有“合格〞12人，“不合格〞18人，求出每个运发动被抽中的概率，然后根据分层抽样可求出所求；〔Ⅲ〕根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格〞的人数，利用排列组合公式求出X=1的概率．解答：解：〔Ⅰ〕由茎叶图得，所求的中位数==177cm，〔Ⅱ〕根据茎叶图，有“合格〞12人，“不合格〞18人，用分层抽样的方法，每个运发动被抽中的概率是=，所以选中的“合格〞有12×=2人，“不合格〞有18×=3人．〔Ⅲ〕由题意得，乙两队“合格〞有4人，甲队“合格〞有8人，∴P〔X=1〕==．点评：此题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，利用排列组合公式求概率，难度不大．19．〔12分〕各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，且4S n=+2a n+1，n∈N+．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕公比为q〔q∈N+〕的等比数列{b n}满足b1=a1，且存在m∈N+满足b m=a m，b m+1=a m+3，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；等比关系确实定．专题：等差数列与等比数列．分析：〔1〕利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{a n}各项均为正数，可得数列{a n}为首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；〔2〕利用b m=a m，b m+1=a m+3，求出公比，即可求得数列{b n}的通项公式．解答：解：〔1〕∵4S n=+2a n+1，∴4S n+1=+2a n+1+1，两式相减得：4a n+1=﹣+2a n+1﹣2a n，…〔2分〕即〔a n+1+a n〕〔a n+1﹣a n﹣2〕=0∵数列{a n}各项均为正数∴a n+1﹣a n=2，…〔4分〕∴数列{a n}为首项为1，公差为2的等差数列，故a n=2n﹣1…〔6分〕〔2〕，依题意得，相除得=1+∈N+，…〔8分〕∴2m﹣1=1或2m﹣1=3，代入上式得q=3或q=7，…〔10分〕∴或．…〔12分〕点评：此题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．〔13分〕椭圆C ：〔a＞b＞0〕的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕由题意可得2a=2×2b，，再由c2=a2﹣b2可解得a，b；〔2〕设直线l的方程为：y=kx+m〔k≠0，m≠0〕，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕，由直线OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列，得，变形后代入韦达定理可求出k值，由△＞0 得m的范围，利用三角形面积公式表示出面积，根据m的范围可得答案；解答：解析：〔1〕由得解得，所以椭圆C 的方程：；〔2〕由题意可设直线l的方程为：y=kx+m〔k≠0，m≠0〕，联立消去y并整理，得：〔1+4k2〕x2+8kmx+4〔m2﹣1〕=0，那么△=64k2m2﹣16〔1+4k2〕〔m2﹣1〕=16〔4k2﹣m2+1〕＞0，此时设M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕，那么，，于是y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=，又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，∴=k2⇒﹣=0，由m≠0得：⇒k=．又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1〔否那么：x1x2=0，那么x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！〕设原点O到直线l的距离为d，那么×=|m|=，故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为〔0，1〕．点评：此题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力．21．〔14分〕〔2021•福州模拟〕函数f〔x〕=﹣x2+2lnx．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕与g〔x〕=x+有相同极值点，〔i〕求实数a的值；〔ii〕假设对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕求导函数，利用函数f〔x〕与g〔x〕=x+有相同极值点，可得x=1是函数g〔x〕的极值点，从而可求a的值；〔ⅱ〕先求出x1∈[[，3]时，f〔x1〕min=f〔3〕=﹣9+2ln3，f〔x1〕max=f〔1〕=﹣1；x2∈[[，3]时，g〔x2〕min=g〔1〕=2，g〔x2〕max=g〔3〕=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．解解：〔Ⅰ〕求导函数可得：f′〔x〕=﹣2x+=﹣〔x＞0〕答：由f′〔x〕＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′〔x〕＜0且x＞0得，x＞1．∴f〔x〕在〔0，1〕上为增函数，在〔1，+∞〕上为减函数．∴函数f〔x〕的最大值为f〔1〕=﹣1．〔Ⅱ〕∵g〔x〕=x+，∴g′〔x〕=1﹣．〔ⅰ〕由〔Ⅰ〕知，x=1是函数f〔x〕的极值点，又∵函数f〔x〕与g〔x〕=x+有相同极值点，∴x=1是函数g〔x〕的极值点，∴g′〔1〕=1﹣a=0，解得a=1．〔ⅱ〕∵f〔〕=﹣﹣2，f〔1〕=﹣1，f〔3〕=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜=1，即f〔3〕＜f〔〕＜f〔1〕，∴x1∈[[，3]时，f〔x1〕min=f〔3〕=﹣9+2ln3，f〔x1〕max=f〔1〕=﹣1由〔ⅰ〕知g〔x〕=x+，∴g′〔x〕=1﹣．当x∈[，1〕时，g′〔x〕＜0；当x∈〔1，3]时，g′〔x〕＞0．故g〔x〕在[，1〕为减函数，在〔1，3]上为增函数．∵，g〔1〕=2，g〔3〕=，而2＜＜，∴g〔1〕＜g〔〕＜g〔3〕∴x2∈[[，3]时，g〔x2〕min=g〔1〕=2，g〔x2〕max=g〔3〕=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f〔x1〕﹣g〔x2〕]max+1∵f〔x1〕﹣g〔x2〕≤f〔1〕﹣g〔1〕=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f〔x1〕﹣g〔x2〕]min+1∵f〔x1〕﹣g〔x2〕≥f〔3〕﹣g〔3〕=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为〔﹣∞，]∪〔1，+∞〕．点评：此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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2009届高考数学第三轮复习精编模拟二参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)kkn kn n P k C p p k n -=-=，，，…，第一部分 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若sin 2x>cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）{x|2k π－34π＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z} （B ） {x|2k π＋π4＜x ＜2k π＋54π，k ∈Z}（C ） {x|k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z } （D ） {x|k π＋π4＜x ＜k π＋34π，k ∈Z}2 在复平面内，把复数33对应的向量按顺时针方向旋转π/3，所得向量对应的复数是…………………………（ ）A））－3i D ）i 3、已知101,1 1.log ,log ,a a a b ab M N b b<<>>==且则1log bP b=.三数大小关系为（ ）()A PN M<< ()B N P M << ()C N M P << ()D P M N <<4、若x 2si n 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为：（ ）A 、8331+B 、8331-C 、8331±D 、421-5、方程sin 100x x=的实数解的个数为 （ ）()61A ()62B ()63C ()64D6、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ， EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为……（ ）A ）9/2B ）5C ）6D ）15/2 EABCFD7、过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是（ ）（A ） y 2＝2x －1 （B ） y 2＝2x －2 （C ） y 2＝－2x ＋1 （D ） y 2＝－2x ＋28、设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）9、若,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+,0,0,2432,3692,123y x y x y x y x ，则使得y x z 23+=的值最小的),(y x 是 （ ）A 、（4.5，3）B 、（3，6）C 、（9，2）D 、（6，4）10、已知两点M （1，5/4），N （－4，-5/4），给出下列曲线方程： ①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2=3 ③222xy+=1 ④222xy-=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是………………………………（ ）A ）①③B ）②④C ）①②③D ）②③④第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．11、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
12、数列{}n a 中，()⎪⎩⎪⎨⎧-=是偶数），（是奇数，n n a n n n 5251 nn a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则.________2lim=∞→n n S13、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()20022≤≤=y xy ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________. 14、(坐标系与参数方程选做题) 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .15．(几何证明选讲选做题) 已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD＝2，AB ＝6，则AC 长为_______.三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知02cos22sin=-x x ，（Ⅰ）求x tan 的值； （Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．17. （本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的单调奇函数, 且(1)2f =-.(Ⅰ)求证函数()f x 为R 上的单调减函数； (Ⅱ) 解不等式2()(22)0f x f x x +--<.18.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1),xf x a e a x =+-+(其中0a >) ,点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+.(Ⅰ) 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；(Ⅱ) 求证：⊿ABC 是钝角三角形;(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．19.（本小题满分14分） 已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a nn n n∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20.（本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.C A C B C D BD AB AD ======（I ）求证：A O ⊥平面BCD ； （II ）求点E 到平面ACD 的距离； （III ）求二面角A —CD —B 的余弦值。
21. （本小题满分14分）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（Ⅰ）已知函数()2sin f x x x =-．求证：2y x =+为曲线()f x 的“上夹线”．（Ⅱ）观察下图：2：∵复数3－的一个辐角为－π/6，对应的向量按顺时针方向旋转π/3， 所得向量对应的辐角为－π/2，此时复数应为纯虚数，对照各选择项，选（B ）。
3：由01,10,0.a b M N <<>><知又10.P =-<代入选择支检验()(),C D 被排除；又由1lo g 0lo g lo g 0a aa ab a b b a >⇒<⇒+<，log 1.a b <-即()1log log .a bb A b <被排除.故选()B .4：依题意有θθcos sin 2sin 2+=x ， ① 2s i n s i n c o sx θθ=②由①2-②×2得，022cos 2cos 42=--x x ，解得1cos 28x ±=。
又由θθcos sin sin 2=x ，得02sin 12cos ≥-=θx ，所以8331-不合题意。
故选A 。
5：令,si n 100x y y x==，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数.由于直线1100yx=的斜率为1100，又1sin 1.x -≤≤所以仅当100100x -≤≤时，两图象有交点.由函数sin y x =的周期性，把闭区间[]100,100-分成()()[]100,2161,2,21,215,100.k k ππππ--++⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(15,14,,k =-- 2,1,0,1,2,,14),-- 共32个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有63个.即原方程有63个实数解.故选()C .6：连接BE 、CE 则四棱锥E －ABCD 的体积V E-ABCD =13×3×3×2=6，又整个几何体大于部分的体积，所求几何体的体积V 求> V E-ABCD ，选（D ）7：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除答案A 、C 、D ，所以选8：在同一直角坐标系中，作出函数()y f x =的图象和直线1y =，它们相交于（－1，1）和（1，1）两点，由0()1f x >，得01x <-或01x >.9：把各选项分别代入条件验算，易知B 项满足条件，且y x z 23+=的值最小，故选B 。
10：P 满足|MP|=|NP|即P 是MN 的中垂线上的点，P 点存在即中垂线与曲线有交点。
MN 的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 满足|MP|=|NP|，直线4x+2y-1=0与2x+y+3=0平行，故排除（A ）、（C ）， 又由2223012x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒△=0，有唯一交点P 满足|MP|=|NP|，故选（D ）。
二．填空题：11、1331； 12、81； 13、.10≤<r ；145；15、23；解析： 11：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。
12：分类求和，得()()，n n n a a a a a a S 24212312+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-∴8151152511512222lim=--+-=∞→n n S ，故应填81．13：依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 ().222r r y x =-+由 ()⎪⎩⎪⎨⎧==-+，，22222xy r r y x ，消去x ，得 ()0122=-+y r y （*） 解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r再结合半径0>r ，故应填.10≤<r14.解：直线sin 2cos 1ρθρθ+= 化为直角坐标方程是2x+y-1=0; 圆2cos ρθ=的 圆心（１，０）到直线2x+y-1=0515.（略）三．解答题： 16、解：（Ⅰ）由02cos22sin=-x x , 22tan=⇒x ，3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ．-----------------------6分（Ⅱ） 原式＝xx x xx sin )sin 22cos 22(2sincos22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=xxx sin sin cos +=1cot +=x 1)43(+-= 41=．-----------------------12分17、 (Ⅰ)证明：∵函数()f x 是奇函数 ∴(1)(1)2f f -=-=∵(1)(1)f f ->∴函数()f x 不是R 上的增函数--------------------------------2分又函数()f x 在R 上单调 ∴函数()f x 为R 上的单调减函数-------------------4分 (Ⅱ)由2()(22)0f x f x x +--<得22()(22)(22)f x f x x f x x <---=-++----------6分由(Ⅰ)知函数()f x 为R 上的单调减函数 ∴222x x x >-++----------------8分 即2320x x -+<(1)(2)0x x ⇒--<，--------------------------------10分12x ∴<< ∴原不等式的解集为{|12}x x <<--------------------------12分18、解：(Ⅰ) ()ln(1)(1),xf x a e a x =+-+ .10≤<r(1)()(1)011x xxxaea e f x a ee-+-'∴=-+=<++恒成立,所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. …………………………4分 (Ⅱ) 证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3,由(Ⅰ)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=231x x +…………………………6分12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--…………………8分123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-< 0,(,)2B A BC B ππ∴⋅<∴∠∈即⊿ABC 是钝角三角形……………………………………..9分(Ⅲ) 假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =即2132()()()f x f x f x =+3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()xxxa e a x a e e a x x ⇔+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)xxxa e a x a e e a x ⇔+-+=++-+3212ln(1)ln(1)(1)xx x e e e ⇔+=++31332122122(1)(1)(1)2xx x xxxx x x e e e eeeee +⇔+=++⇔+=++3212xx x ee e ⇔=+ ① …………………………………………..12分而事实上, 3122x xxe ee +≥= ②由于31x x e e <,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾.所以⊿ABC 不可能为等腰三角形. ……………………………….14分 19、解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ． …………….2分当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ； …………………………….4分当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，nn n a a )21()21(122=⋅=∴-．…………………………….6分 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ． ………………………7分222212123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-即：2221321232[()()][()()]x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-（Ⅱ） n n n b )21()12(⋅-=，nn n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴- (1)1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S …（2） （1）、（2）两式相减， 得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． nn n S )21()32(3⋅+-=∴．……………………………….14分20、（I ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ …………….1分 ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ ……….2分在A O C ∆中，由已知可得1, 3.AO C O ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+=……….3分90,oAOC ∴∠=即.A O O C ⊥,BD OC O =A O ∴⊥平面BC D …………………………….5分（II ）解：如图建立空间直角坐标系，设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则.(,,).(1,0,1)0,.(,,1)0,n A D x y z n A C x y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩0,0.x z z +=⎧⎪∴-= …………………….7分令1,y=得(n =是平面ACD 的一个法向量。