中考数学复习几何压轴题答案

中考数学复习几何压轴题

1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△(使＜180°)，连接、，设直线与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，:的值为 ；

(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求:的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.

图① 图②

答

案

：

1；……………………………………………………………………………………………1分

（2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴

． 由旋转图形的性质得，,∴

． ∵,∴即．

∴

∽

.∴

E D C ''E BC '∠D A 'E B 'E B 'D A 'E B 'D A 'E B 'AC

DC

BC EC =C D DC C E EC '='=,AC

C

D BC C

E '='D C E ECD ''∠=∠,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠D AC E BC '∠='∠E BC '

?D AC '

?

．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=2．

∵E 为BC 中点，∴CE =

BC =2． △CDE 旋转时，点在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着的增大而增大，

∴当与⊙C 相切时，即=90°时最大，则CO 最大．

∴此时=30°，=

BC =2 =CE ． ∴点在AC 上，即点与点O 重合．∴CO ==2． 又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3．

∴．……………………………………………………8分 2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作和，连接AF ，CE ．取AF 、

CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

(1)若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是

三角形．

(2)在和中，若BA =BE ,BC =BF ,且，(如图2)，

则是 三角形，且 .

(3)若将(2)中的绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

4

5

==''BC AC E B D A 32

1

E 'E CB '∠E B 'C E B '∠E CB '∠E CB '∠E C '2

1

E 'E 'E C '332

1

=?=

?BM AO S OAB 最小ABE ?BCF ?ABE ?FBC ?0

90=∠=∠FBC ABE MBN

?ABE ?BCF ?α=∠=∠FBC ABE MBN

?=∠MBN ABE ?

（如图2）

C

（如图3）

C

B

（如图1)

B （如图3

）

C

答案：（1）等腰直角 ………1分

（2）等腰 ………2分 ………3分 （3）结论仍然成立 ………4分

证明： 在

∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分 ∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分

∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =.……7分

3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合)．

(1)固定△，将△绕点顺时针旋转得到△，连结(如图2)．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)设图2中的延长线交于，并将图2中的△在线段上沿着方向

αABF EBC ??和中，BA BE

ABF EBC BF BC =??

∠=∠??=?

αABC C D E '''C C 'ABC C D E '''C 30?CDE AD BE 、BE AD CE AB F CDE CF CF

以每秒1个单位的速度平移，平移后的△设为△(如图3)．设△移动(点

在线段上)的时间为x 秒，若△与△重叠部分的面积为y ，求y 与

x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

图1 图2 图3 图4

(3)若固定图1中的△，将△沿方向平移，使顶点C

落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于

点M ，边交于点N (如图4)．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由． 答案：（1）. ………………………………………………………………1分 证明：如图2，∵△与△都是等边三角形，△绕点顺时针旋转30°得到△，

∴△也是等边三角形，且，

∴, . …………………………………2分

∴,∴,∴.∴△≌△，

∴ . ……………………………………3分 （2）如图3，设分别与交于点.

CDE QRP QRP P Q 、CF QRP AFC C D E '''ABC C E ''C E ''C ()3090ACC αα'∠=?<

αC N E M ''g

BE AD =ABC DCE C D E '''C CDE CDE 230∠=?60ACB DCE ∠=∠=?,CA CB CE CD ==130∠=?330∠=?23∠=∠BCE ACD BE AD =PR RQ 、AC O L 、B

A

M B

C '

C

A

N

(C ')

D '

E 'E

B A

D

C (C ')E '

D '3

21 图2

(C ')

C D

A B

E

∵△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移x 秒， 平移后的△为△，.

由（1）可知，，

..

,.在

中，

，

. .…………………………………………………………4分 过点作于点.

在中， ， . . ……………………………………5分 ，.

当点与点重合时，，∵，∴. ∴此函数自变量x 的取值范围是 . …………………………………………6分

（3）的值不变 . ……………………………………………………7分 CDE PQR CQ x ∴=60,30PQR PRQ BCA BCF ∠=∠=∠=?∠=?30ACF ∴∠=?30CLQ RLO ∴∠=∠=?,90LQ CQ x ROL ∴==∠=?3QR =Q 3RL x

∴=-Rt ROL

△11

(3)22

OR RL x =

=

-cos30)2

OL RL x =?=

-

g 21)28

ROL S RO OL x ?∴=

=-g R RK PQ ⊥K Rt RKQ

△sin 602

RK RQ =?=

g

12RPQ

S PQ RK ?∴==

g 2RPQ ROL y S S x x ??∴=-=++30,60BCF B ∠=?∠=?Q 90BFC ∴∠=?P F 3FQ PQ ==sin606CF BC =?=g

3CQ =03x ≤≤C N E M ''

g

图3

证明：如图4，由题意知，，∴，

在中，，∴.

又∵，

∴△∽△，∴

． ∵点是的中点，，∴， ∴，∴． …………………………………………………8分

4． (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =

∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ;

答案：（1）证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG . ∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°, AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF . ∴AG ＝AF , ∠1＝∠2． --------------------1分

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =1

2

∠BAD ．

54180α∠+∠+∠=?1204α?

∠=-∠CME '?61204?

∠=-∠6α∠=∠60C E ''∠=∠=?E MC 'C CN 'E M E C

C C C N

''=''C C E ''3C E ''=32

E C CC ''==

3

232

E M

C N '='94C N E M ''=g 1

2

α

654D 'E '

图4

N

C '

M A

B

∴∠GAE =∠EAF ．又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ． -----------------2分

∵EG =BE +BG ．∴EF = BE ＋FD --------3分

5． (1)如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．

答案：（1）如图１，延长至，使．

可证明是等边三角形． ……………………………………………1分 联结，可证明≌． ……………………………………………2分 故．……………………………………………3分

ABCD CB AB =?=∠60ABC ?=∠120ADC DA DC BD ABCD BC AB =?=∠60ABC P ABCD ?=∠120APD PA PD PC BD CD E DA DE =EAD ?AC BAD ?CAE ?BD CE CD DE CD AD ==+=

+图2

图１

图1 图2

（2）如图２，在四边形外侧作正三角形，

可证明≌，得．…………………………………………4分 ∵ 四边形符合（1）中条件，∴ ．………………………5分 联结，

ⅰ）若满足题中条件的点在上，则．∴ ． ∴ ． ……………………………………………6分 ⅱ）若满足题中条件的点不在上，

∵ ，∴ ．

∴ ． ……………………………………………7分 综上，． ……………………………………………8分

6.如图10，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. （1）求C 点的坐标；

（2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；

（3）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 与△ABC 全等？若存在，求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，说明理由.

ABCD D B A 'C B A '?ADB ?DB C B ='DP B A 'PD AP P B +='C B 'P C B 'PC B P C B +'='PC PD AP C B ++='PC PD PA BD ++=P C B 'PC B P C B +'<'PC PD AP C B ++<'PC PD PA BD ++

解：（1）∵线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2－mx +2(m －3)=0的两个根，

∴??

?-=?=+） （

2)3(2)1(m OB OA m OB OA 又 ∵OA 2+OB 2=17， ∴（OA+O B ）2－2·OA ·OB =17.（3） ∴把（1）（2）代入（3），得m 2－4(m －3)=17. ∴m 2－4m －5=0.， 解得m =-1或m =5. 又知OA+OB =m >0，∴m =－1应舍去. ∴当m =5时，得方程x 2－5x +4=0. 解之，得x =1或x =4. ∵BC>AC, ∴OB>OA . ∴OA =1，OB =4.

在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CO ⊥AB ， ∴OC 2=OA ·OB =1×4=4. ∴OC =2， ∴ C （0，2）.

（2）∵OA =1，OB =4，C 、E 两点关于x 轴对称， ∴A (－1,0),B (4,0),E (0,－2).

设经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,则

1,

20,31640,,,22. 2.

a b c a b c b c c ??-+=??

??

++==-????

=-?=-???

a=解之得

∴所求抛物线解析式为213

2.22

y x x =

-- A O

图10

E

B G x

C

y E ′

（3）存在.∵点E 是抛物线与圆的交点， ∴Rt △ACB ≌△AEB . ∴E （0，-2）符合条件. ∵圆心的坐标（

3

2

，0）在抛物线的对称轴上， ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E ′也符合题意. ∴可求得E ′（3，-2）.

∴抛物线上存在点P 符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。

如图8，P A 切⊙O 于点A ，PBC 交⊙O 于点B 、C ，若PB 、PC 的长是关于x 的方程

0)2(82=++-m x x 的两根，且BC =4，求:（1）m

的值；（2）P A 的长；

解：由题意知：（1）PB +PC =8，BC =PC －PB =2

∴PB =2，PC =6 ∴PB ·PC =(m +2)=12 ∴m =10

（2）∴P A 2=PB ·PC =12 ∴P A =32

已知双曲线x

y 3=

和直线2+=kx y 相交于点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），且102

221=+x x ,

A

B C

P

·

图8

A

B C

P

·

图8

求k的值.