排列组合典型例题详解
(完整版)排列组合知识点总结典型例题及解析
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中排列组合例题及其解法
一.常规问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.1.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是21110872520C C C =种.解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种.2.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有4441284C C C 种. 3. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？解析：将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
4.公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？解析：将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则④变成了③，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
二.可重排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.2. 5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？解析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以投进五个信箱，有5种投递方法。
由乘法原理知有53种.三.特殊元素优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合经典例题(含解析)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选 B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选 C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选 A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选 C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26·C24A22·A44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72（B ）96（C ）108（D ）144w_w_w.k*s 5*u.co*m解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.co*m①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
经典排列组合问题100题配超详细解析版
1．n N 且n 55,则乘积(55 n)(56 n)L (69 n) 等于A．55 nA B ．69 n15A C．55 n15A D ．69 n14A69 n【答案】 C【分析】依据摆列数的定义可知，(55 n)(56 n)L (69 n) 中最大的数为69-n, 最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n, 共有69-n- （55-n ）+1=15 个数，所以选择C2．某企业新招聘8 名职工，均匀分派给部下的甲、乙两个部门，此中两名英语翻译人员不能分在同一部门，此外三名电脑编程人员也不可以全分在同一部门，则不一样的分派方案共有（）A. 24 种B. 36 种C. 38 种D. 108 种【答案】 B【分析】因为均匀分派给部下的甲、乙两个部门，此中两名英语翻译人员不可以分在同一部门，此外三名电脑编程人员也不可以全分在同一部门，那么特别元素优先考虑，分步来达成可知所有的分派方案有36 种，选B*3．n∈N，则（20-n ）(21-n) ⋯⋯(100-n) 等于（）A．80A B．100 n20A100nnC．81A D．100 n81 A20 n【答案】 C*【分析】因为依据摆列数公式可知n∈N，则（20-n ）(21-n) ⋯⋯(100-n) 等于81A ，选C 100 n4．从0,4,6 中选两个数字, 从中选两个数字,构成无重复数字的四位数. 此中偶数的个数为()B. 96C. 36【答案】 B【分析】因为第一确立末端数为偶数，那么要分为两种状况来解，第一种，末端是0，那么3其余的有 A 5=60，第二种状况是末端是4，或许6，首位从 4 个人选一个，其余的再选2个摆列即可 4 3 3，共有96 种5．从6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不一样的工作，若此中甲、乙两名志愿者不可以从事翻译工作，则选派方案共有（）A. 280 种B. 240 种C. 180 种D. 96 种【答案】B【解析】依据题意，由摆列可得，从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事四项不一样工作，有4A6 360 种不一样的状况，此中包含甲从事翻译工作有3A5 60 种，乙从事翻译工作的有3A5 60 种，若此中甲、乙两名增援者都不可以从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240 种．6．如图，在∠AOB的两边上分别有A1、A2、A3、A4 和B1、B2、B3、B4、B5 共9 个点，连接线段A iB j（1≤i ≤4,1 ≤j ≤5），假如此中两条线段不订交，则称之为一对“友善线”，则图中共有（）对“友善线”.A．60 B ．62 C．72【答案】A【解析】在∠AOB的两边上分别取 A , A (i j), 和B p ,B q (p q) ，可得四边形A i A j B p B qi j中，恰有一对“友善线”( A B 和A j B q )，而在OA上取两点有i p2C 种方法，在OB 上取两5点有 2C 种方法，共有10 6 60对“友善线”.47．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个摆列（数字同意重复）表示一个信息，不一样摆列表示不一样信息，若所用数字只有0 和1，则与信息0110 至多有两个对应地点上的数字同样的信息个数为（）A．10 B．11 C．12 D．15【答案】B【解析】由题意知与信息0110 至多有两个对应地点上的数字同样的信息包含三类：第一类：与信息0110 有两个对应地点上的数字同样有C42=6（个）第二类：与信息0110 有一个对应地点上的数字同样的有C41=4 个，第三类：与信息0110 没有一个对应地点上的数字同样的有C4 =1，由分类计数原理知与信息0110 至多有两个对应地点数字同样的共有6+4+1=11 个8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中起码有1门不同样的选法共有（）A．6 种B．12 种C．30 种D．36 种【答案】C【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有 2 1 1 2C4 C2C2 C4 30 9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5 ，已知袋中红球有 3 个，则袋中共有球的个数为() ．A．5 个 B ．8 个 C ．10 个 D ．15 个【答案】D【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5 ，而且袋中红球有 3 个，设袋中共有球的个数为n,则3 1 ,n 5 所以n 15.10．从编号为1,2,3,4 的四个不一样小球中取三个不一样的小球放入编号为1,2,3 的三个不一样盒子，每个盒子放一球，则1号球不放 1 号盒子且 3 号球不放 3 号盒子的放法总数为A．10 B．12 C ．14 D ．16【答案】 C解决，，要分类意知元素的限制条件比许多【分析】解：由题，从前一组为例，当选出的三个球是1、2、3 或1、3、4时1 号球在2 号盒子里， 2 号和3 号只有一种方法，1 号球在 3 号盒子里，2 号和3 号各有两种结果，选1、2、3时共有 3 种结果，选1、3、4时也有 3 种结果，，各有C2当选到1、2、4 或2、3、4时1A 2=4 种结果，2果，数原理获取共有3+3+4+4=14 种结和分步计由分类应选C．11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实行 6 个程序，此中程序A只好出此刻第一或最后一步，程序B和C 在实行时一定相邻，则实验次序的编排方法共有（）A．34 种B．48 种C．96 种 D ．144种【答案】 C题，数问【分析】解：此题是一个分步计刻第一步或最后一步，意知程序 A 只好出此∵由题1果∴从第一个地点和最后一个地点选一个地点把A摆列，有A2 =2 种结一定相邻，时∵程序 B 和C实行还有一个摆列，共有∴把 B 和C看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素摆列，注意B和C之间A44A 2=48 种结果. 依据分步计数原理知共有2×48=96 种结果，2应选C．12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字构成6 位数，要求同样数字不可以相邻，则这样的 6 位数有A. 12 个B. 48 个C. 84 个D. 96 个【答案】 C依据同样数字不可以相邻【分析】解：因为先排雷1，2，3,4 而后将其与的元素插入进去，则意的 6 位数有84 个。
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合排队问题典型例题讲解【典型例题】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．【答案】24【解析】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种．故答案为：24例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）【答案】11760【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数48A ，故所有排法种数为487A 11760⨯=． 故答案为：11760．例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．【答案】192【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有2123223496A C A A =（种）排列方法，同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，∴共有192种排列方法．故答案为：192本课结束。
排列组合例题与解析
排列组合例题与解析【公式】r n!P n= (n-r)!rr n! P n n-rC n= r!(n-r)! = r! =C n例题分析：1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴ 本题答案为：=56。
2．分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
排列组合知识点总结典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
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排列组合典型例题详解
典型例题一
例1 用0到9这10 个数字?可组成多少个没有重复数字的四位偶数，
典型例题二
例2 三个女生和五个男生排成一排
1如果女生必须全排在一起?可有多少种不同的排法，
2如果女生必须全分开?可有多少种不同的排法，
3如果两端都不能排女生?可有多少种不同的排法，
4如果两端不能都排女生?可有多少种不同的排法，
典型例题三
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
1任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种，
2歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种，
典型例题四
例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课?如果第一节不排体育?最后一节不排数学?那么共有多少种不同的排课程表的方法?
典型例题五
11例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员?每辆车上需配位司机和位售票员?问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种，典型例题六
4例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表?如果有所重点院校?每所院校有3个专业是你较为满意的选择?若表格填满且规定学校没有重复?同一学校的专业也没有重复的话?你将有多少种不同的填表方法，学校专业
1 1 2
2 1 2
3 1 2
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典型例题七
例5 名同学排队照相? 7
(1)若分成两排照?前排人?后排人?有多少种不同的排法， 43
(2)若排成两排照?前排人?后排人?但其中甲必须在前排?乙必须在后排?有多少43
种不同的排法，
(3)若排成一排照?甲、乙、丙三人必须相邻?有多少种不同的排法，
(4)若排成一排照?人中有名男生?名女生?女生不能相邻?有多少种不面的排法， 437
典型例题八
2、3、4、5、6例8 从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数?求所有三位数
的和?
典型例题九
例9 计算下列各题(
m；1n；mAA！26n；1n；m(1) ) (2) ) (3) ) AA156n；1An；1
123n；11!;2！2!;3！3!;;;n！n!;;;;;(4) (5) 2!3!4!n!
典型例题十
a,b,c,d,e,f例10 六人排一列纵队?限定要排在的前面?与可以相邻?bbaa
ABD也可以不相邻??求共有几种排法?对这个题目?、、C、四位同学各自给出了一
111111446AB种算式(的算式是)的算式是(A;A;A;A;A)！A)C的算式是A) A661234542
24D的算式是C！A上面四个算式是否正确?正确的加以解释?不正确的说明理由? 64
典型例题十一
例11 八个人分两排坐?每排四人?限定甲必须坐在前排?乙、丙必须坐在同一排?
共有多少种安排办法，
典型例题十二
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例12 计划在某画廊展出10幅不同的画?其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画?排成一行陈列?要求同一品种的画必须连在一起?并且不彩画不放在两端?那么不同陈列方式有
45345145245A B C D A！AA！A！AC！A！AA！A！A34524545345
典型例题十三
0,1,2,3,4,5 由数字组成没有重复数字的六位数?其中个位数字小于十位数的例13
个数共有?
A210 B300 C464 D600
典型例题十四
1,2,3,4,5例14 用这五个数字?组成没有重复数字的三位数?其中偶数共有?
A24个 B30个 C40个 D60个
典型例题十五
1238例15 (1)计算 A;2A;3A;;;8A1238
(2)求(n？10)的个位数字? S？1!;2!;3!;;;n!n
典型例题十六
0、1、2、3、4、5例16 用共六个数字?组成无重复数字的自然数?(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数，(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数，
典型例题十七
42例17 一条长椅上有个座位?人坐?要求3个空位中?有个空位相邻?另一个空7
2位与个相邻空位不相邻?共有几种坐法，
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典型例题分析
1、分析(这一问题的限制条件是(?没有重复数字)?数字“0”不能排在千位数上)?个位数字只能是0、
2、4、6、8、?从限制条件入手?可划分如下(
如果从个位数入手?四位偶数可分为(个位数是“0”的四位偶做?个位数是2、4、6、8的四位偶数?这是因为零不能放在千位数上??由此解法一与二?
如果从千位数入手?四位偶数可分为(千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类?由此得解法三?
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类?先求出四位个数的个数?用排除法?得解法四?
解法1(当个位数上排“0”时?千位?百位?十位上可以从余下的九个数字中任选3
3个来排列?故有个) A9
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排?则千位上从余下的八个非零数字中任选一
112个?百位?十位上再从余下的八个数字中任选两个来排?按乘法原理有个?? A！A！A488
没有重复数字的四位偶数有
3112 个? A;A！A！A？504;1792？22969488
3 解法2(当个位数上排“0”时?同解一有个)当个位数上排2、4、6、8中之一时?A9
千位?百位?十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得(132个 A！(A；A)498
没有重复数字的四位偶数有
3132 A;A！(A；A)？504;1792？2296个? 9498
解法3(千位数上从1、3、5、7、9中任选一个?个位数上从0、2、
4、6、8中任选一个?百位?十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
112 个 A！A！A558
干位上从2、4、6、8中任选一个?个位数上从余下的四个偶数中任意选一个?包括0在内??百位?十位从余下的八个数字中任意选两个作排列?有
112A！A！A个 448
没有重复数字的四位偶数有
112112 A！A！A;A！A！A？2296个? 558448
解法4(将没有重复数字的四位数字划分为两类(四位奇数和四位偶数?
43A；A 没有重复数字的四位数有个? 109
132A(A；A)其中四位奇数有个 598
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没有重复数字的四位偶数有
431323332 A；A；A(A；A)？10，A；A；5A;5A1095989998
32 ？4A;5A98
22 ？36A;5A88
2 ？41A8
个？2296
说明(这是典型的简单具有限制条件的排列问题?上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质?掌握其解答方法?以期灵活运用?
2、解(?1捆绑法?因为三个女生必须排在一起?所以可以先把她们看成一个整
6体?这样同五个男生合一起共有六个元素?然成一排有种不同排法?对于其中的每一种A6
363排法?三个女生之间又都有对种不同的排法?因此共有种不同的排法? AA！A？4320363
2插空法?要保证女生全分开?可先把五个男生排好?每两个相邻的男生之间留出一个空档?这样共有4个空档?加上两边两个男生外侧的两个位置?共有六个位置?再把三个女生插入这六个位置中?只要保证每个位置至多插入一个女生?就能保证任意两个女生都
5不相邻?由于五个男生排成一排有种不同排法?对于其中任意一种排法?从上述六个位A5
353置中选出三个来让三个女生插入都有种方法?因此共有种不同的排法? AA！A？14400656
3解法1(?位置分析法?因为两端不能排女生?所以两端只能挑选5个男生中的2
26个?有A种不同的排法?对于其中的任意一种排法?其余六位都有A种排法?所以共有56
26A！A？14400种不同的排法? 56
8 解法2(?间接法?3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法?从中扣除女生A8
1717排在首位的A！A种排法和女生排在末位的A！A种排法?但这样两端都是女生的排法在3737
扣除女生排在首位的情况时被扣去一次?在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次?所以
26还需加一次回来?由于两端都是女生有A！A种不同的排法?所以共有36
81726A；2AA;AA？14400种不同的排法? 83736
3A解法3(?元素分析法?从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入?有种不同6
5A的排法?对于其中的任意一种排活?其余5个位置又都有种不同的排法?所以共有5
35A！A？14400种不同的排法? 65
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