形式逻辑和数学逻辑的区别

形式逻辑和数学逻辑的区别

( 本来是写成回答的，但是发现回答无法支持 Markdown 格式Copy，于是又发成图文了！)

问题：形式逻辑和数学逻辑有什么区别吗？

（遇到感兴趣的问题，小石头总是标记一下留在草稿箱里，于是积累的问题就会越来越多。已经很长时间注意力都在图文写作上了，但最近推荐量太低，实在打击写作热情。自己想一想：反正也没啥推荐，与其写要求最高的图文，还不如这段时间准备清一清之前积累的回答！）

（这个问题，从去年三月份左右小石头被邀请到现在，已经一年零三个月了，竟然没有一个人回答，估计大家不敢兴趣，但小石头觉得这是个好问题，感谢题主提问，接下来自己会认真回答的！）

A. 什么是形式逻辑？

逻辑研究的对象是:能够区分正确推理和错误推理的方法和原理。那些独立于意义，能在形式上明确区分正确推理和错误推理的部分是形式逻辑，其余的是非形式逻辑。

演绎逻辑，例如，

大前提：人都会死小前提：苏格拉底是人

────────────────结论：苏格拉底会死

和归纳逻辑，例如，前提：没有人见过黑天鹅

────────────────结论：世界上没有黑天鹅

是人类的两大逻辑推理模式。

其中演绎逻辑可以保证从前提到结论的有效性，故属于形式逻辑，而大部分归纳逻辑则不能，故他们不属于形式逻辑。

形式逻辑用三大律，确保推理的有效性，

同一律：推理过程中的任何思维形式必须保证确定性和一致性，即，A 是 A；

矛盾律：两个矛盾命题不能同时为真，即，非 'A 且非

A' ；

排中律：两个矛盾命题必要有一个是真，即， A 或非A；

充足理由律：用于论证，论题的论据必须是真实有效的，即，由 A 和 '若A则B' 可推出 B。

B. 什么是数学逻辑？

数理逻辑不是逻辑类型，而是指数学中包含的所有逻辑的总和。具体来说，数学逻辑是，

首先，数学使用的大部分的形式逻辑；

其次，形式逻辑不包含意义，而数学还使用部分与数学意义相关的逻辑；

最后，数学反过来变成了研究形式逻辑的工具，也就是说数学会研究逻辑。

也就是说，数学逻辑分为：数学使用的逻辑（前两者）和数学研究的逻辑（后者）。

数学的本质是从公理推导定理的过程(运用数理逻辑)。

C. 形式逻辑和数学逻辑之间的关系？

演绎逻辑可分为经典逻辑和现代逻辑，数学用的是后者。

现代逻辑，具有自己的逻辑语言，

值：F 假，T 真；

运算：¬非，∧与，∨或，→蕴含，↔等价，⊤恒真，⊥ 恒假；

量词：∃存在，∀全称；

模态词：□ 必然◇ 可能；

谓词：P(x), ...；

变量：x, y, ...;

兰姆达表达式：λx. P(x)；

同时，又分为很多子类，这些子类对逻辑语言的使用广度不同，如下图所示，

其中，（非模态的）一阶谓词逻辑（包括命题逻辑），被证明具有可靠性和完全性（详见后文），所以被数学当做可靠的逻辑工具使用，也就是说，数学使用的逻辑包含仅仅包含现代逻辑中的一阶谓词逻辑。

另一方面，现代逻辑是以数学为工具来研究的，也叫数理逻辑。所以现代逻辑属于数学研究的逻辑，也就是说数学在一些可靠的现代逻辑的基础上研究了整个现代逻辑。

数学在一阶谓词逻辑的基础上，加入了归纳逻辑中的完全归纳逻辑：

若谓词P(x) 满足，

P(0) 成立；

对于任意n∈ℕ，若 P(n) 成立，则 P(n+1) 成立；

则，对于自然数集合ℕ中的任意元素 n，P(n) 都成立。

作为新的逻辑工具来使用，这称为数学归纳法。

数学还发展了概率论，于是部分不完全归纳逻辑，可用概率来表达归纳推理的可靠性后，就变成统计归纳法，例如，

总体S的n个样本m个样本是 P剩下的个样本不是

P────────────────S有m/n的概率是P

这样，这部分归纳逻辑就成为了有一种数学工具，被数学（特别是统计学）广泛使用。而科学归纳法是对不完全归纳逻辑的科学使用，它只能作为数学家在研究数学时的方式，不能作为逻辑工具被数学使用。

D.形式逻辑系统的具体定义是什么？

在一阶谓词逻辑基础上，我们用 L 表示一个逻辑系统使用的符号的总体，称为一门语言，例如：

群语言： L = {◦, e}

语言 L 中的符号是抽象的，我们需要对它具体化，例如：

整数加法群：ℤ = {ℤ, +, 0}

自然数乘法群：ℕ = {ℕ, × , 1}

这些成为语言L的结构。

同一个 L 语言的公式（即，命题）φ ，在 L 的不同结构中可能逻辑真假不同。又设Γ 语言 L 的公式组成的集合。对于任意 L的结构M，若Γ中的所有公式在M中为真，则

φ 在M中一定为真，我们称Γ 重言蕴含φ，记为Γ ⊨φ。

一阶谓词逻辑的推演系统 PF，包括：

一组一阶谓词逻辑公式，称为推演公理，记为Λ ，例如：A → (B → A)；

一组推理规则，例如：分离规则A∧(A→B) ⇒ B （充足理由律）；

对于Γ 和φ，若存在一组公式序列 a₀ a₁ a₂ ...

aᵣ=φ，满足：

aᵢ∈ Γ ∪ Λ ；

或

aᵢ由 aᵤ, aᵥ（u, v < i）经过推理规则得到；

则称φ 是Γ 的定理，Γ 是公理。

E.数学系统的逻辑缺陷是什么？

我们之前说过，一阶谓词逻辑是可靠的、完备的，所以被数理逻辑所用。

可靠性是说，一个公理系统Γ 的任何定理φ 都是Γ 重言蕴含，即，若Γ ⊢ φ 则Γ ⊨ φ；

可靠性的逆命题，任意Γ 重言蕴含φ 都是Γ 的定理，就是完全性，即，若Γ ⊨ φ 则Γ ⊢ φ；

后者被哥德尔首先证明，称为哥德尔完全性定理。

但是，这只是一阶谓词逻辑系统，而数学逻辑系统，又加入了完全归纳逻辑，由前面的定义看出，这是建立在算术系统

之上的，因此，这要求数学必须先加入算术系统ℕ，这就出现了问题。

对于由 L语言公式组成的公理系统Γ ，

一致性（自洽性）：若存在公式φ ，同时有Γ ⊢ φ 和Γ ⊢¬ φ，则称Γ 是不一致的，否则称是一致的；（满足矛盾律）

完全性（完备性）：对于任何公式φ ，总有Γ ⊢ φ 或Γ ⊢¬ φ，则称Γ 是完全的，否则称不完全的；（满足排中律）

而哥德尔证明了，哥德尔第一不完全性定理：

含有ℕ的Γ 不能同时保证一致性和完全性；

于是，数学只能牺牲完全性而让位于一致性，但是遗憾的是，

哥德尔同时又证明了，哥德尔第二不完全性定理：

一致系统Γ 的一致性不能在Γ内被证明；

这就是数学系统的两大逻辑缺陷。

第一个缺陷告诉我们，数学永远不可能搭建一个可以证明任何命题的公理系统，哥德巴赫猜想很可能是当前数论系统的不完全实例。

第二个缺陷告诉我们，对于公理系统的一致性，我们只能在没有发现矛盾时，被迫承认。

再回到最初，让我们看看，数学逻辑对于形式逻辑的四大律的支持：

同一性：完全支持，数据概念是精确的；

矛盾律：支持，但无法证明支持（第二不完全性定理）；

排中律：大部分情况支持，存在不支持的可能（第一不完全性定理）；

充足理由律：数学是从公理到定理的演绎推导过程，在这个过程中完全支持，但是，数学无法给出公理正确性的论据。严格的来说，演绎的前提，必须归纳得到，公理的归纳不是完全归纳法，其可靠性是一个概率，数学不能无法保证其值是1，而且公理的正确性来自（数学之外的）实践。

因此，数理逻辑仅限于支持形式逻辑的四大定律。

虽然，完全归纳法的引入，给数学引起了不小的麻烦，但是数学确实离不开这个逻辑，所以也就只能这样了。

F. 数学逻辑有哪些演变？

演变1：

数学将概率本身直接作为逻辑工具的一部分使用，开创了一个新的数学分支——模糊数学，概率可认为是模态词的数学化，于是模糊数学可认为纳入了模态逻辑的数学。

演变2：

无穷是数学中引入的一个逻辑概念，对于无穷有两种认识：

潜无穷：认为无穷是一个变化过程，而非数学对象，以此建立了标准分析；

实无穷：认为无穷是一种对象，以此建立了非标准分析；

而集合论也是实无穷思想的体现。

演变3：

有些数学家认为数学是一种结构，这叫直觉主义。然而，归谬法:

由Γ 证明φ 比较难，于是将¬ φ 加入Γ 中，组成Γ' = Γ ∪ {¬ φ}，然后找出Γ' 的不一致性，这样就说明，¬ φ 与Γ 不兼容，¬ φ 不是Γ 的定理，Γ ⊢

¬ φ 不成了，然后排中律，得出Γ ⊢ φ 成立。

的证明并没有，从Γ 构造出φ，因此被直觉主义否认。直觉主义将排中律从形式逻辑中拿掉，从而建立的直觉逻辑。

G. 如何学习形式逻辑和数学逻辑？

数理逻辑是用数学的方法来研究形式逻辑，而在数理逻辑之前，人们用传统的哲学方法来研究形式逻辑，称之为经典逻辑。

早期，与经典逻辑，同时出现的还有印度的因明和中国的名/墨辩，但时间进入 19 世纪中叶，数理逻辑的出现，标志着形式逻辑从传统走向现代，而因明和名辩至今并没有长足发展。黑格尔的辩证逻辑，虽然和传统逻辑有少部分重合，但它也没有进入现代化。

学习《数理逻辑》需要很好的数学基础，这就把很多人拒之门外，为了让更多的人学习形式逻辑，逻辑学家，尽量去除现代形式逻辑中数学部分，得到了《普通逻辑学》比较基础和数学关系不大。《普通逻辑》（或《逻辑学》）是形式逻辑的入门教材，以经典逻辑为主要内容，包含一些数理逻辑的初期的结论（以哲学方式来论述）。由于学习数理逻

辑需要很好的数学基础，所有这样编写教材的好处是，不至于把文科生拒之形式逻辑的大门外。

虽然，理科生的形式逻辑入门教材是《离散数学》，其中包括数理逻辑，但是看看《普通逻辑》依然有好处。

这里必须吐槽一句：有些辅导机构，以中国没有单独的开设逻辑学课，来抹中国基础教育，从而达到销售其课程的目的，的作法，是非常不厚道的。实际上，数理逻辑，在高中数学中就引入了，而从小学开始语文就潜移默化的培养孩子的传统逻辑能力了。

当然，不管是文科还是理科，要研究形式逻辑，最终都要去啃像《数理逻辑教程》这样，砖一样的书，因为数理逻辑是现代形式逻辑的唯一形式。

《数理逻辑》主要包括：《公理集合论》《证明论》《模型论》《递归论》，今年来也加入了《范畴论》的支持。