大学物理下册重点复习题

例11-8 设在半径为R 的球体内，其电荷分布是对称的，电荷体密度 ρ= k r (0≤r ≤R )，ρ=0(r>R )，k 为一正的常量，用高斯定理求场强与r 的函数关系。

在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r kr V q d 4d d 2π⋅==ρ 在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4kr r kr dV q rVπ=π==⎰⎰ρ(r ≤R)以该球面为高斯面，按高斯定理有0421/4εkr r E π=π⋅得到()0214/εkr E =，(r ≤R ) 方向沿径向向外。

按高斯定理有0422/4εkR r E π=π⋅得到()20424/r kR E ε=，(r >R )方向沿径向向外。

假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电例11-13假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电． (1) 当球上已带有电荷q 时，再将一个电荷元d q 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？(2) 使球上电荷从零开场增加到Q 的过程中，外力共作多少功？ (1) 令无限远处电势为零，那么带电荷为q 的导体球，其电势为RqU 04επ=将d q 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能q RqW A d 4d d 0επ==(2)带电球体的电荷从零增加到Q 的过程中，外力作功为⎰⎰==QR qq A A 004d d πεR Q 028επ=11-1 如下图，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试证明在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度大小为：()d L d q+π=04E ε设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q /L ， 在x 处取一电荷元d q =λd x = q d x /L ， 它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L x q -+π=ε总场强为：⎰+π=Lx d L xL q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε 11-5 图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0 (x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷 d q =λ0 (x －a )d x 它在O 点产生的电势()xxa x U 004d d ελπ-=O 点总电势⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π==⎰⎰⎰++l a a la a x x a x dU U d d 400ελ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=a l a a l ln 400ελ11-6 一半径R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O 点电势 在圆盘上取一半径为r →r ＋d r X 围的同心圆环．其面积为 d S =2πr d r 其上电荷为 d q =2πσr d rLqx它在O 点产生的电势为002d 4d d εσεrr q U =π=总电势02d 2d εσεσRr U U RS ===⎰⎰ 11-7 在盖革计数器中有一直径为2.00 cm 的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条直径为0.134 mm 的导线．如果在导线与圆筒之间加上850 V 的电压，试分别求: (1) 导线外表处 (2) 金属圆筒内外表处的电场强度的大小．设导线上的电荷线密度为λ，与导线同轴作单位长度的、半径为r 的(导线半径R 1＜r ＜圆筒半径R 2)高斯圆柱面，那么 高斯定理有 2πrE =λ / ε0得到E = λ/ (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2)方向沿半径指向圆筒．导线与圆筒之间的电势差⎰⎰⋅π==2121d 2d 012R R R R r rr E U ελ120ln 2R R ελπ=那么()1212/ln R R r U E = 代入数值，那么：(1) 导线外表处()121121/ln R R R U E =＝2.54 ×106 V/m(2) 圆筒内外表处()122122/ln R R R U E =＝1.70×104 V/m 11-8 在强度的大小为E ，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R 的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图)．槽的质量为M ，一质量m 带有电荷＋q 的小球从槽的顶点A 处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求：(1) 小球由顶点A 滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度；(2) 小球通过B 点时，槽相对地面的速度．设小球滑到B 点时相对地的速度为v ，槽相对地的速度为V ．小球从A →B 过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒 m v ＋MV ＝0 对该系统，由动能定理mgR －EqR ＝21m v 2＋21MV 2② ①、②两式联立解出()()m M m qE mg MR +-=2v 方向水平向右．()()m M M qE mg mR M m V +--=-=2v 方向水平向左． 11-9 如下图，一半径为R 的均匀带正电圆环，其电荷线密度为λ．在其轴线上有A 、B 两点，它们与环心的距离分别为R OA 3=，R OB 8= . 一质量为m 、电荷为q 的粒子从A 点运动到B 点．求在此过程中电场力所作的功．设无穷远处为电势零点，那么A 、B 两点电势分别为0220432ελελ=+=R R RU A 0220682ελελ=+=R R R U B q 由A 点运动到B 点电场力作功()0001264ελελελq q U U q A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-= 11-10 电荷以一样的面密度σ 分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V ．(1) 求电荷面密度σ．(2) 要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？ (1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=22110041r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ππ=22212104441r r r r σσε()210r r +=εσ2100r r U +=εσ＝8.85×10-9C / m 2(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，那么应有()21001r r U σσε'+='= 0即σσ21r r -='外球面上应变成带负电，共应放掉电荷()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π='-π='212222144r r r r q σσσ()20021244r U r r r εσπ=+π=＝6.67×10-9C 11-12 质量为m 、电荷为－q 的粒子沿一圆轨道绕电荷为+Q 的固定粒子运动，证明运动中两者间的距离的立方与运动周期的平方成正比． 设半径为r 、周期为T ，那么有r /m r4qQ220v =πε 因为v = r ω = r( 2π / T ) 所以qQ / (4πε0r 2) = mr (4π2 / T 2) M A m,q CBEEO ARλ R 3 R 8 B即得r 3 = Q qT 2 / (16π3ε0m )11-15 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在此区域有一静电场，场强为j i E300200+= .试求穿过各面的电通量． 由题意知E x =200 N/C , E y =300 N/C ,E z =0平行于xOy 平面的两个面的电场强度通量01=±==⋅S E S E z eΦ 平行于yOz 平面的两个面的电场强度通量2002±=±==⋅S E S E xeΦb 2N ·m 2/C 平行于xOz 平面的两个面的电场强度通量3003±=±==⋅S E S E yeΦb 2 N ·m 2/C11-18 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内外表半径为R 1，外外表半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．由高斯定理知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为U . 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为d q = ρ 4πr 2d r 该薄层电荷在球心处产生的电势()00/d 4/d d ερεr r r q U =π=整个带电球层在球心处产生的电势()212200002d d 21R R r r U U R R-===⎰⎰ερερ因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U 为()2122002R R U U -==ερ11-19 电荷Q (Q ＞0)均匀分布在长为L 的细棒上，在细棒的延长线上距细棒中心O 距离为a 的P 点处放一电荷为q (q ＞0)的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． 沿棒方向取坐标Ox ，原点O 在棒中心处．求P 点场强：()()20204d 4d d x a x x a q E -π=-π=ελε()⎰--π=2/2/204d L L x a x E ελ()2202/2/0414L a Qx a L L -π=-⋅π=-εελ解：令1B 、2B 、acb B 和ab B分别代表长直导线1、2和三角形框ac 、cb 边和ab 边中的电流在O 点产生的磁感强度ab acb B B B B B+++=211B ：由于O 点在导线1的延长线上，所以1B= 0． 2B ：由毕－萨定律)60sin 90(sin 402︒-︒π=dIB μ 式中6/330tan 21l l Oe d =︒⋅== )231(34602-⋅π=lI B μ)332(40-π=l I μ方向：垂直纸面向里．acb B 和ab B：由于ab 和acb 并联，有acb acb ab ab R I R I ⋅=⋅又由于电阻在三角框上均匀分布，有21=+=cb ac ab R R acb ab ∴acb ab I I 2= 由毕奥－萨伐尔定律，有ab acb B B =且方向相反．方向沿x 轴正向.点电荷受力：=F 例14-1在真空中，电流由长直导线b 点从三角形框流出，经长直导线求正三角形的中心点O 处的磁感强Oxzy bb b PO -L/2 L/2 d x d qa.∴)332(402-π==lIB B μ，B的方向垂直纸面向里．例14-2 如下图，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为δ ，求与平板共面并且距离平板一边为b 的任意点P 的磁感强度．利用无限长载流直导线的公式求解．(1) 取离P 点为x 宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流x i d d δ=(2) 这载流长条在P 点产生的磁感应强度xiB π=2d d 0μxxπ=2d 0δμ方向垂直纸面向里．(3) 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都一样，所以载流平板在P 点产生的磁感强度==⎰B B d ⎰+πba bxdx 20δμb ba +π=ln 20δμ方向垂直纸面向里． 例14-3 如下图，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．λωR I =2/32230)(2y R R B B y +==λωμB的方向与y 轴正向一致．例14-4 平面闭合回路由半径为R 1及R 2 (R 1 > R 2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图)．两个直导线段在两半圆弧中心O 处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O 处产生的总的磁感强度B 与半径 为R 2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R 1与R 2的关 由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R 1的载流半圆弧在O 点产生的磁感强度为B 1那么1014R IB μ=同理, 2024R IB μ=∵21R R >∴21B B <故磁感强度12B B B -=204R I μ=104R Iμ-206R I μ=∴213R R =例14-7 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明导线a 到b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线ab 所受的安培力．由安培定律B l I f ⨯=d d ，ab 整曲线所受安培力为 ⎰⎰⨯==b aB l I f fd d 因整条导线中I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I和B 提到积分号之外，即⎰⨯=b aB l I f d B l I ba⨯=⎰)d (B ab I⨯=载流一样、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样．例14-9 如下图，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为σ．该筒以角速度ω线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．如下图，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ，σωσωR R i =ππ=)2/(2作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B且B 的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B的方向与线元垂直，在de , cd fe ,0=B．应用安培环路定理∑⎰⋅=I l B 0d μ 可得ab i ab B 0μ=σωμμR i B 00==.均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行轴线朝右．14-4 如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中半径为r 的阴影局部均匀带正电荷，面电荷密度为+σ ，其余局部均匀带负电荷，面电荷密度为-σ 当圆盘以角速度ω 旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感强度为零，问R 与r 满足什么关系？带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加． 某一半径为ρ 的圆环的磁场为)2/(d d 0ρμi B =而ρσωρωρρσd )]2/([d 2d =π⋅π=i ∴ρσωμρρσωρμd 21)2/(d d 00==B正电局部产生的磁感强度为r B r2d 2000σωμρσωμ==⎰+负电局部产生的磁感强度为)(2d 200r R B Rr-==⎰-σωμρσωμ今-+=B B ∴r R 2=14-9 如下图，有两根平行放置的长直载流导线．它们的直径为a ，反向流过一样大小的电流I ，电流在导线内均匀分布．试在图示的坐标系中求出x 轴上两导线之间区域]25,21[a a 内磁感强度的分布．解：建立坐标系，应用安培环路定理，左边电流产生的磁感应强度x 2IB 01πμ=； 方向向里 右边电流产生的磁感应强度)x a 3(2I B 02-πμ=； 方向向外 应用磁场叠加原理可得磁场分布为， )3(2200x a I x I B -π+π=μμ)252(a x a ≤≤B 的方向垂直x 轴及图面向里． 14-1 在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度为B方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如图．今有一电子(质量为m ，电荷为-e )在底边距顶点O 为l 的地方，以垂直底边的速度v射入该磁场区域，假设要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？ 电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如下图情形．R R l =︒+45sin )(∴l l R )12()12/(+=-=由)/(eB m R v =，求出v 最大值为m leBm eBR )12(+==v14-2 一边长a =10 cm 的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，B 竖直向上，且B = 9.40×10-3 T ，线圈中电流为I =10 A ．(1) 今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？ (2) 假假设线圈能以某一条水平边为固定轴自由摆动，问线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为多少？(铜线横截面积S = 2.00 mm 2，铜的密度ρ = 8.90 g/cm 3 )(1) 2Ia p m =，方向垂直于线圈平面．︒=⨯=90sin B p B p M mm = 9.40×10-4 N ·m (2) 设线圈绕AD 边转动，并且线圈稳定时，线圈平面与竖直平面夹角为θ ，那么磁场对线圈的力矩为)21sin(θ-π=⨯=B p B p M m m θcos B p m =重力矩：)sin 21(2sin θθa mg mga L +=θρsin 22g S a ==θcos B p m θρsin 22g S a 712.3)/(2ctg ==BI g S ρθ 于是θ = 15°14-3 试证明任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受的合磁力恒等于零．由安培公式，电流元l Id 受磁场作用力为OrR ωIa a I xO2aIa aIxO 2a l 45° vBOOO ′R Rl45°B AC DImg mg mg n B)(21θ-.B l I F⨯=d d 那么闭合电流受总磁力为B l I B l I F F ⨯=⨯==⎰⎰⎰)d (d d 其中，因为B 为恒矢量，可提出积分号外而保持叉乘顺序不变．由于0d =⎰l (∵多边形矢量叠加法那么) ∴0=F(证毕)14-4一通有电流I 1 (方向如图)的长直导线，旁边有一个与它共面通有电流I 2 (方向如图)每边长为a 的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，)，在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的距离从2/3a 变为2/5a 形线圈所做的功．如图示位置，线圈所受安培力的合力为])(22[10102a x I xI aI F +π-π=μμ 方向向右 从x = a 到x = 2a 磁场所作的功为⎰+-π=aax ax x IaI A 2210d )11(2μ)3ln 2ln 2(2210-π=I aI μ例16-2 如下图，一电荷线密度为λ的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v =v (t )沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R ，求t 时刻方形线圈中感应电流i (t )的大小(不计线圈自身的自感)长直带电线运动相当于电流λ⋅=)(t I v ．正方形线圈内的磁通量可如下求出x a x a I d 2d 0+⋅π=μΦ2ln 2d 2000⋅π=+π=⎰Ia x a x Ia a μμΦ2ln t d I d 2a t d d 0i πμ=-=εΦ2ln t d )t (d a 20v λπμ=2ln td )t (d a R 2R )t (i 0i v λπμ=ε=例16-3电荷Q 均匀分布在半径为a 、长为L ( L >>a )的绝缘薄壁长圆筒外表上，圆筒以角速度ω 心轴线旋转．一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上(如下图))/1(00t t -=ωω的规律(ω 0和t 0是常数)筒以ω旋转时，相当于外表单位长度上有环形电流π⋅2ωL Q ，它和通电流螺线管的nI 等效． 按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为：LQ B π=20ωμ (方向沿筒的轴向)筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为：La Q B a 2202ωμΦ=π=在单匝线圈中产生感生电动势为=Φ-=εt d d )d d (220t L Qa ωμ-00202Lt Qa ωμ=感应电流i 为0020RLt 2Qa R i ωμ=ε=i 的流向与圆筒转向一致． 例16-5 一内外半径分别为R 1, R 2的均匀带电平面圆环，电荷面密度为σ，其中心有一半径为r 的导体小环(R 1 >>r )，二者同心共面如图．设带电圆环以变角速度ω =ω(t )绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应电流i 等于多少？方向如何(小环的电阻为R ＇)？带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流I ．在R 1与R 2之间取半径为R 、宽度为d R 的环带 带内有电流R t R I d )(d ωσ=d I 在圆心O 点处产生的磁场R t R I B d )(21/.d 21d 00σωμμ== 在中心产生的磁感应强度的大小为 ))((21120R R t B -=σωμI 2I 2a选逆时针方向为小环回路的正方向，那么小环中2120))((21r R R t π-≈σωμΦ t t R R r t i d )(d )(2d d 1220ωσμΦε-π-=-=tt R R R r R i i d )(d 2)(π1220ωσμε⋅'--='=例16-6 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势．杆相对于均匀磁场B的方位角为θ，杆的角速度为ω，转向如下图．在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为 d ε l Bd )(⋅⨯=v θωsin l =v∴⎰⎰⋅απ=⨯=εLv vd cos )21sin(B d )B (L⎰⎰θω=θω=ΛθL2d sin B sin d sin lB θω22sin 21BL =ε 的方向沿着杆指向上端．例16-9 两根平行无限长直导线相距为d ，载有大小相等方向相反的电流I ，电流变化率d I /d t =α >0．一个边长为d 的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d ，如下图．求线圈中的感应电动势ε，并说明线圈中的感应电动势的方向．无限长载流直导线在与其相距为r 处产生的磁感强度为：)2/(0r I B π=μ以顺时针为线圈回路的正方向，与线圈相距较远和较近的导线在线圈中产生的磁通量为：23ln 2d 203201π=π⋅=⎰Idr r I d dd μμΦ2ln 2d 20202π-=π⋅-=⎰Id r r I d ddμμΦ总磁通量34ln 2021π-=+=Id μΦΦΦ感应电动势为：34ln 2d d )34(ln 2d d 00αμμεπ=π=-=d t I d t Φ由ε >0，所以ε 的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电流亦是顺时针方向．16-2半径为R 的长直螺线管单位长度上密绕有n 匝线圈．在管外有一包围着螺线管、面积为S 的圆线圈，其平面垂直于螺线管轴线．螺线管中电流i 随时间作周期为T 的变化，如下图．求圆线圈中的感生电动势ε．画出ε─t 曲线，注明时间坐标． 螺线管中的磁感强度ni B 0μ=，通过圆线圈的磁通量i R n 20π=μΦ． 取圆线圈中感生电动势的正向与螺线管中电流正向一样，有td id R n t d d 20i πμ-=Φ-=ε． 在0 < t < T / 4内，TI T I t im m 44/d d ==，20i R n πμ-=εT I m 4=T I nR m /420μπ-=在T / 4 < t < 3T / 4内，T I T I t im m 42/2d d -=-=，=εi T /I nR 4m 20μπ． 在3T / 4 < t < T 内，TI T I t im m 44/d d ==，=εi T I nR m /420μπ-．ε ─t 曲线如图． 16-4 如下图，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求：(1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ．(2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势ε． 建立坐标系，x 处磁感应强度x2IB 0πμ=；方向向里在x 处取微元，高l 宽dx ，微元中的磁通量：OωBθLdI I εi tT /4 3T /4T /2 TOiI m -I T /4 T /23T /4Tta bvlxdx x 2I Bydx S d B d 0 πμ==⋅=Φ 磁通量：⎰⎰⋅πμ==S0x d r 2I S d B )t ( Φ⎰++πμ=tb t a 0x x d 2I v v t a t b ln 2I 0v v ++μ=π 感应电动势ab2)a b (I t d d 00t π-μ=-=ε=v Φ方向：顺时针 16-5在一长直密绕的螺线管中间放一正方形小线圈，假设螺线管长1 m ，绕了1000匝，通以电流I =10cos100πt (SI )，正方形小线圈每边长5 cm ，共 100匝，电阻为1 Ω，求线圈中感应电流的最大值(正方形线圈的法线方向与螺线管的轴线方向一致，μ0 =4π×10-7 T ·m/A ．) n =1000 (匝/m) nI B 0μ=nI a B a 022μΦ=⋅=tI n Na t Nd d d d 02με-=Φ-==π2×10-1 sin 100 πt (SI) ==R I m m /επ2×10-1 A= 0.987 A16-8 两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD 杆以速度v平行直线电流运动，求CD 杆中的感应电动势，并判断C 、D 两端哪端电势较高？建立坐标(如图)那么：21B B B +=x I B π=201μ，)(202a x I B -π=μxIa x I B π--π=2)(200μμ，B 方向⊙ d εx x a x I x B d )11(2d 0--π==v v μ ⎰⎰--πμ=ε=ε+x d )x1a x 1(2I d ba 202av b a b a I ++π=2)(2ln20v μ感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高．16-11两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心线相距d ，属于同一回路．设两导线内部的磁通都略去不计，证明：这样一对导线单位长的自感系数为 aa d L -π=ln 0μ取长直导线之一的轴线上一点作坐标原点，设电流为I ，那么在两长直导线的平面上两线之间的区域中B 的分布为 rIB π=20μ)(20r d I-π+μ 穿过单位长的一对导线所围面积〔如图中阴影所示〕的磁通为==⎰⋅SS B d Φr rd r Iad ad )11(20⎰--+πμa a d I -π=ln0μa a d I L -π==ln 0μΦ例18-1在双缝干预实验中，波长λ＝5.50×10-7m 的单色平行光垂直入射到缝间距a ＝2×10-4 m 的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m ．求：(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e ＝6.6×10-5 m 、折射率为n ＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1)∆x ＝20D λ / a ＝0.11 m(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足 (n －1)e ＋r 1＝r 2设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，那么应有r 2－r 1＝k λ所以(n －1)e = k λk ＝(n －1) e / λ＝6.96≈7零级明纹移到原第7级明纹处例18-6 图示一牛顿环装置，设平凸透镜中心恰好和平玻璃接触，透镜凸外表的曲率半 径是R ＝400 cm ．用某单色平行光垂直入射，观察反射光形成的牛顿环，测得第5个明环的半径是0.30cm ．(1) 求入射光的波长．(2) 设图中OA ＝1.00 cm ，求在半径为OA 的X 围内可观察到的明环数目． a2a x +d x 2a +bII C Dv xOx2a drIIOr(1) 明环半径()2/12λ⋅-=R k r ()Rk r 1222-=λ＝5×10-5 cm (或500 nm) (2) (2k －1)＝2 r 2 / (R λ) 对于r ＝1.00 cm ，k ＝r 2 / (R λ)＋0.5＝50.5 故在OA X 围内可观察到的明环数目为50个． 18-3 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长λ＝546.1 nm (1 nm=10-9 m)的平面光波正入射到钢片上．屏幕距双缝的距离为D ＝2.00 m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为∆x ＝12.0 mm ．(1) 求两缝间的距离． (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (1) x ＝ 2kD λ / dd = 2kD λ /∆x 此处k ＝５∴d ＝10 D λ / ∆x ＝0.910 mm (2) 共经过20个条纹间距，即经过的距离l ＝20 D λ / d ＝24 mm18-6 用波长为500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈形膜上．在观察反射光的干预现象中，距劈形膜棱边l = 1.56cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心．(1) 求此空气劈形膜的劈尖角θ；(2) 改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干预条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？(1) 棱边处是第一条暗纹中心，在膜厚度为e 2＝λ/2处是第二条暗纹中心，依此可知第四条暗纹中心处，即A 处膜厚度e 4=2/3λ∴()l l e 2/3/4λθ==＝4.8×10-5 rad (2) 由上问可知A 处膜厚为e 4＝3×500 / 2 nm ＝750 nm 对于λ＇＝600 nm 的光，连同附加光程差，在A 处两反射光的光程差为2/24λ'+e ，它与波长λ'之比为0.32/1/24=+'λe ．所以A 处是明纹 18-8 曲率半径为R 的平凸透镜和平板玻璃之间形成空气薄层，如下图．波长为λ的平行单色光垂直入射，观察反射光形成的牛顿环．设平凸透镜与平板玻璃在中心O 点恰好接触．求: (1) 从中心向外数第k 个明环所对应的空气薄膜的厚度e k ．(2) 第k 个明环的半径用r k ，(用R ,波长λ和正整数k 表示，R 远大于上一问的e k ．) (1)第k 个明环，λλk e k =+2124/)12(λ-=k e k(2)(2)∵λλk e k ==212222)(k k e R r R -+=2222k k k e Re R r +-+=式中k e 为第k 级明纹所对应的空气膜厚度∵k e 很小，R e k <<，∴2k e 可略去，得)2/(2R r e k k =∴λλk R r k =+21)2/(222/)12(λR k r k -=(k =1, 2, 3 …)例19-3一双缝，缝距d =0.40 mm ，两缝宽度都是a =0.08 mm ，用波长为λ=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m 的透镜，求：〔1〕在透镜焦平面处的屏上，双缝干预条纹的间距；〔2〕在单缝衍射中央亮纹X 围内的双缝干预亮纹数目N 和相应的级数。