高中数学 三维设计 立体几何初步 简单几何体的表面积与体积

8．3 简单几何体的表面积与体积新课程标准新学法解读知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.1.求表面积问题，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状和数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．2.求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面和面上高的是否易求．3.关于球的体积和表面积问题，抓住球心，确定球的半径是解题关键.8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[思考发现]1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54 D．36解析：选C根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.故选C.2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48 6 B．64C．16 D．96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4. ∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.3．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为()A．4 B.3 4C．2 3 D.3解析：选D三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为34，所以此三棱锥的表面积为4×34＝ 3.故选D.4．已知棱台的上、下底面积分别为4, 16，高为3，则棱台的体积为________．解析：由棱台的体积公式可求得其体积为V＝13(4＋4×16＋16)×3＝28.答案：28[系统归纳]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V ＝13Sh . (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积． (2)求出其底面的面积． (3)求和得到表面积．注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．[变式训练]已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．解析：如图，在四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，过B 1作B 1F ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，故B 1F ＝82－22＝215，所以S 梯形BB 1C 1C ＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S 侧＝4×1215＝4815， 所以S 表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815. 答案：80＋4815棱柱、棱锥、棱台的体积[例2] (1)如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A ­DED 1的体积为________．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′， 上面部分为正四棱锥S ­ABCD ，若几何体的高为5，棱AB ＝2，则该几何体的体积为________．(3)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ­EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[解析] (1)VA ­DED 1＝VE ­DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.(2)V 正方体＝23＝8，V S ­ABCD ＝13×22×(5－2)＝4.V ＝V 正方体＋V S ­ABCD ＝12.(3)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形， 对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12 ＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． [答案] (1)16(2)12 (3)118.8求几何体体积的常用方法[变式训练]1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以V ＝V ABC ­A ′B ′C ′－V M ­ABC ＝S △ABC ·5－13S △ABC ·3＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24. 答案：242.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C ­A 1DD 1，求棱锥C ­A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．解：设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ， ∴VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝VADD 1A 1­BCC 1B 1＝Sh . 而棱锥C ­A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C ­A 1DD 1的体积为： VC ­A 1DD 1＝13×12S ×h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C ­A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.A 级——学考合格性考试达标练1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 (cm)3.故选B.2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( )A ．12B ．48C ．64D ．72解析：选D 该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S 侧＝6×(3×4)＝72.故选D. 3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈解析：选B 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.故选D.5.如图，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：选C ∵V C ­A ′B ′C ′＝13V ABC ­A ′B ′C ′＝13，∴V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.故选C.6．若五棱台ABCDE ­A 1B 1C 1D 1E 1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．解析： S 表＝S 侧＋S 两底，则S 两底＝S 表－S 侧＝30－25＝5. 答案：57．已知高为3的直棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1­ABC 的体积为________．解析：由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以VB 1­ABC ＝13Sh ＝13×34×3＝34. 答案：348．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________cm 2.解析：侧面等腰梯形的高为52－1＝26(cm)，所以侧面积S ＝5×(4＋6)×262＝506(cm 2)．答案：5069．如图所示，三棱锥的顶点为P ，P A ，PB ，PC 为三条侧棱，且P A ，PB ，PC 两两互相垂直，又P A ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P ­ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△P AC 作为底面求解．故V P ­ABC ＝13S △P AC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.10．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为V ，P 是DD 1的中点，Q 是AB 上的动点，求四面体P ­CDQ 的体积．解：设长方体的长、宽、高分别为AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则有V ＝abc . 由题意知PD ＝12c ，S △CDQ ＝12CD ·AD ＝12ab ，所以V P ­CDQ ＝13S △CDQ ·PD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝112V .B 级——面向全国卷高考高分练1．一个长方体的三个面的面积分别为2，3，6，则这个长方体的体积为( ) A ．6 B.6 C ．3D ．23解析：选B 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，∴(xyz )2＝6.∴V ＝xyz ＝ 6.故选B.2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a a ，∴S 表＝34a a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2.故选A.3.如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1­AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18解析：选A 设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得VA 1­AEF ＝VF ­A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝⎛⎭⎫12AA 1·AB ·h ＝16 (AA 1·AB )·h ＝16 ·S 四边形ABB 1A 1·h ＝16a V ABCD ­A 1B 1C 1D 1，所以VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝6VA 1­AEF ＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1­AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 由题图可知，三棱锥D 1­AB 1C 的各面均是正三角形. 其边长为正方体侧面对角线. 设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝2 3a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.故选C.5．棱台的体积为76 cm 3，高为6 cm ，一个底面面积为18 cm 2，则另一个底面面积为__________．解析：设另一个底面面积为x cm 2，则由V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)，得76＝13×6×(18＋x ＋18x )，解得x ＝8，即另一个底面的面积为8 cm 2.答案：8 cm 26．三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ­ABE 的体积为V 1，P ­ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，三角形P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ­ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：147.三棱台ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1­ABC ，三棱锥B ­A 1B 1C ，三棱锥C ­A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1­ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC ­A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB ­A 1B 1C ＝V 台－VA 1­ABC －SC ­A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.C 级——拓展探索性题目应用练用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．解：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积[思考发现]1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于( ) A ．15 B ．15π C ．24πD ．30π解析：选B S 侧＝πrl ＝15π.故选B.2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72π 解析：选C S 表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C.3．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( ) A.C 24π B.C 22π C.C 2πD ．2πC 2解析：选C 由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，所以S 球面＝4πR 2＝C 2π.故选C.4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π. 该圆柱的表面积为__________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.答案：6π5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.答案：12π[系统归纳]1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式. 但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl .2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0 V ＝13Sh . (4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积. 根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积．3．与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有惟一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径R ，球的表面积S ，球的体积V 三个量“知一求二”．②转化思想：空间问题平面化．(3)球体的截面的特点①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆．②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．圆柱、圆锥、圆台的表面积[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A．122πB．12πC．82π D．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为__________．(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋(R－r)2＝(4r)2＋(3r)2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.[答案](1)B(2)2π(3)168π求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．[变式训练]1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________.解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，∴r＝2，∴圆锥的表面积为S＝πr2＋πr×4＝4π＋8π＝12π.答案：12π2.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)S 圆柱侧＝2πrx ＝2π⎝⎛⎭⎫2－x 3x ＝4πx －2π3x 2，x ∈(0,6)． (2)由(1)知当x ＝－4π2⎝⎛⎭⎫－2π3＝3时，这个二次函数有最大值6π， ∴当圆柱的高为3 cm 时，它的侧面积最大为6π cm 2.圆柱、圆锥、圆台的体积[例2] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3B.128π3 C ．64π D ．1282π (2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r ＝ l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πr ·l ＝2πr 2＝162π，∴r ＝4. ∴l ＝42，高h ＝ l 2－r 2＝4.∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13π×42×4＝643π，故选A. (2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[答案] (1)A (2)D (3)733π圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．[变式训练]如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2)，圆柱的侧面积为2π·1×1＝2π(cm 2)，圆柱的底面积为π·12＝π(cm 2)，则挖洞后几何体的表面积为96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm 2).球的体积与表面积[例3] (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12πB ．16π C.16π3 D.64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示． 在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝ 22＋(5)2＝3(cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)． (3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为43π. [答案] (1)B (2)B (3)43π1．求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．[变式训练]1．[变条件]将本例(3)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A ．12πB ．18πC ．36πD ．6π解析：选A 由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为12π.故选A.2.[变条件]将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．解析：如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.答案：100πA 级——学考合格性考试达标练1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π解析：选D 半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π. 故选D. 2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.3．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.故选A.4．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD.233πS 解析：选A 底面半径是S π，所以正方形的边长是2πS π＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .故选A.5．表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.13Q B ．QC.43Q D ．2Q 解析：选C 4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝13QR ＝43Q .故选C. 6．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.解析：设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，所以R ＝32. 答案：327．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3. 答案：38．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S 的正方形，则该圆柱的表面积为____________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，∵l ＝2r ，∴S ＝2r ·l ＝4r 2.∴r 2＝S 4. ∴S 表＝2πr 2＋2πrl ＝6πr 2＝3π2S . 答案：3π2S 9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，设球半径为R ，因为O ′A ＝23×32×2＝233. 在Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以R ＝43， 所以S 球＝4πR 2＝649π. B 级——面向全国卷高考高分练1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.故选A. 2．一飞行昆虫被长为12 cm 的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为( )A ．144π cm 3B ．288π cm 3C ．576π cm 3D ．864π cm 3解析：选B 飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的18，∴飞虫活动范围的体积为18×43×π×123＝288π (cm 3)．故选B. 3．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝ 33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝ 3216V 2，S 球＝4πR 2＝ 336πV 2<3216V 2.故选A. 4．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( )A ．8B.169C.64 39 D ．16解析：选C 设表面积为16π的球的半径为r ，则4πr 2＝16π，解得r ＝2.设内接正方体的棱长为a ，则3a ＝2r ，所以a ＝43 .所以内接正方体的体积V ＝a 3＝⎝⎛⎭⎫433＝64 39.故选C. 5．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53.∴r ＝5.∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π (cm 2)．答案：100π6．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．解析：设该圆锥的底面圆的半径为r ，高为h .∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，∴侧面展开图的弧长为5×8π5＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr ，∴r ＝4，∴圆锥的高h ＝ 52－42＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×42×3＝16π. 答案：4 16π7.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积．解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V 长方体＝10×8×15＝1 200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×⎝⎛⎭⎫523＝12512π(cm 3)， 所以所求几何体体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1 200＋12512π(cm 3)． 因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，故所求几何体的表面积S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋254π(cm 2)． C 级——拓展探索性题目应用练有位油漆工用一把滚筒长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且滚筒刷以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到1 s)解：滚筒刷滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积．因为圆柱的侧面积S侧＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，且滚筒刷以每秒5周的速度匀速滚动，所以滚筒刷每秒滚过的面积为0.5π m2.所以油漆工完成任务所需的时间t＝100.5π＝20π≈6.366(s)．故油漆工完成任务所需的时间约是7 s.。