自平衡独轮车动力学模型的建立

2 自平衡独轮车动力学模型的建立2.1 自平衡的原理动态平衡原理即为自平衡独轮车的工作原理。

通过运动补偿算法，运用加速度传感器和陀螺仪对车体姿态测试，同时借助精密的伺服控制系统高敏地对电机进行驱动，并作适度的调节，从而使整个车体的平衡性以及稳定性得到确保。

由图 2.1能够得出，自平衡独轮车的车体摆动和它的转动是存在一定分离性的，驾驶人员的两腿将车身的两端夹紧，进而和车体产生了一个整体。

一旦其身体倾向后方，那么驱动车轮就会朝后转，从而防止车体倒向后方；反之，若是朝前，那么车轮就会朝钱转；若其身体处于竖直状态，那么则独轮车也就表现为动态平衡。

独轮车控制系统的重中之重就是平衡控制。

就自平衡独轮车加以建模并做深度分析，便能够对系统的特性产生更多的了解，这对于相应控制算法的设计规划甚为有益。

图2.12.2动力学建模2.2.1 物理模型化简自平衡独轮车不是平面机构，需要采用空间坐标的方式对其进行分析，坐标定义可详见图2.2，能够看出其自由度共有6个，其中平移、旋转各为3个。

俯仰角Ψ、横滚角γ、偏航角Φ均为其旋转姿态角。

因为独轮车的左右方向以驾驶者自身的调节为主，只能够控制前方和后方，故而把模型简单化至x o z平面，仅对这两个方向上的平衡控制进行探讨。

图2.2运动学是力学的一个分支，主要是站在几何的视角上来对物体位置伴随时间的波动规律进行阐述及探究的，刚体的运动学以对其自身的运动特性的研究为主，譬如转动经过、位移、角速度及其加速度等。

由于有部分难以测得的因素存在于独轮车的机械零件以及运动经过当中，因而必须对其做简化建模，因此作如下假设：1驾驶者和独轮车运动相同，可将二者看成一个整体，假定是刚体；2行走轮为质心在圆心的空心圆环；3在独轮车行驶期间，车轮和地面从始至终都处于彼此接触的状态，且一直是纯滚动；4忽略其他摩擦和外界干扰。

基于以上条件，我们进行独轮车物理模型化简如图 2.3，Φ为车轮转过的角度，θ为车体的倾角。

图2.3为了方便建模，我们做出了参数定义如表2.1表2.1测出电机和轮胎质量 m 、 车身和骑行者质量 M 、车身等效质心至电机转轴的间距 L 、车轮半径r 分别为10kg 、80kg 、0.8m 、0.2m 。

按照运算转动惯量的公式，即可把车轮、车身二者分别对电机转轴的转动惯量I 、p I 算出，即222.05.0m kg mr I ⋅==（ 2.1 ）22683)2(m kg L M I p ⋅== （ 2.2 ）2.2.2 动力学建模本文采用牛顿力学分析方法，主要对自平衡独轮车车轮的受力情况进行研究，将动力学方程全面得出。

该研究法见图 2.4能够体现出来 。

图 2.4经过分析，得到车轮的受力表示图，由图知道车轮受力情况可分为两种，一种是水平方向，另一种是竖直方向，同时车轮本身存在转矩，分析后可建立下列方程：水平方向：F f x m -= ( 2.3 ) 竖直方向： 0=--=mg N P y m ( 2.4 ) 车轮转矩方程 ： rf T I -=φ （2.5）车轮位移加速度和转动角加速度存在如下关系 ：rx φ =(2.6)将式(2.6)代入式(2.5)，可得 ：r rf T Ix )(-= （2.7）我们按照对车轮受力状况的解析途径，来分解剖析车身的受力状况，可见图 2.5。

图 2.5解析车身受力分析图，我们知道车身受力情况分两种，即水平、竖直两个方向，同时车身本身具有转矩，所以可以列写以下方程：水平方向 ：F xM p = (2.8)竖直方向 ： Mg P yM p -= （2.9） 车身转矩方程 ：T FL PL I p --=θθθcos sin (2.10) 由图可知 ：θs i n L x x p += (2.11)θcos L y y p +=(2.12)则： θθθθsin cos 2 L L xx p -+= (2.13)θθθθcos sin 2 L L yy p -+= (2.14)由式 （2.3）和式（2.5）得：F rr x m -=..xI -T (2.15) 由式（2.8）和 （2.11） 可得：F L L x M =-+)s i n c o s (2θθθθ （2.16）将式（2.16） 代到式（2.15） 可得：)sin cos (xI -T 2..θθθθL L x M rr x m -+-= （2.17） 将（2.17）化简为：0)(sin cos 22=-+++-rT x r I m M ML ML θθθθ (2.18) 将式（ 2.9）式（ 2.14）式（ 2.16）代入（ 2.10） 得 ：T L L xML g L L y ML I p --+-+--=)sin cos (cos cos sin (sin 22θθθθθθθθθθθ ） (2.19)因为0=y式（2.19） 化简为： 0sin cos )(2=+-++T MLg x ML ML I p θθ(2.20) 在控制原理中，可以用下面的形式表示系统的状态方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)()()()()()(t t t t t t DU CX Y BU AX X(2.21)式子里， )(t X 、)(t X 、A 、B 、U 、)(t Y 分别是系统状态变量、此变量的一阶导数、系统的状态矩阵、输入变量矩阵、输入向量、输出变量，而C 、D 均为输出矩阵。

按照式子（2.21），可得出独轮车状态方程，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡DTx x C xx BT x x A x x Tθθθθθθθθ （2.22） 式子里x 及x 是车轮的水平位移及速度， θ及θ 是车身的俯仰角度及角速度； Y （t) 、X （t)分别是输出变量、系统的状态变量，且前者恰好是后者，输入向量U=T式子 (2.18)及(2.20)综合成式(2.22)的形式 得：[]⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθθθθθθ x x xx T g g f f x xxT1111)()(00)()(2121 （2.23） 其中：)sin sin (1221θθθaMLg cML a bc f --=)(121a r ca bc g +-=)sin sin (1222θθθ aML bML a bc f --=g 2=2a -bc 1- ( ra+ b) θcos ML a =2r Im M b ++= 2ML I c p +=从式子(2.21)能够获悉，自平衡独轮车系统具有高阶次和非线性的特点。

借助 Mat lab软件里面的 Simulink 工具箱来仿真式子(2.23)所表示的独轮车动力学模型，从而对模型的无误性进行检验及证实。

在此工具箱里面，把仿真框图画出，可见图 2.6 ，同时在仿真模型里面代入详细的参数值。

其中，约束倾斜角度θ的角度，使其不超过(−π/2，π/2)，故而，若θ超出此范围则表明独轮车完全倒地，角度值是固定的。

图 2.6 独轮车仿真示意图在没有对外部控制实施加设期间，即也系统输入T = 0的时候，令车体之前倾角在0.1rad 时，该独轮车的运行时间v和倾斜角度θ的波动曲线见图2.7能够体现出来。

由零输入响应的模拟波形可以清楚的知道够，在没有对电动独轮车外部控制实施加设时，如果车体具有少量的倾斜，那么车体终究会倒地，在其倒下的同时独轮车的运行方向与倾倒方向恰恰相反。

图2.7系统零输入响应图如果系统的起初状态为0，则其输入 T 在 0.5s 的时候从 0 逐渐变成了 2，那么即在0.5s，而独轮车电机的转矩输出是2N ∙ m，可将其v与θ的波动曲线得出，详见图 2.8。

从零状态响应的仿真波形能够获悉，此电机对转矩输出的时候，其倾倒的方向与它自身的行进方向相反。

图 2.8系统零状态响应图从以上的仿真结果不难发现，这和现实的车体运行状况大致无异，可以说建模的无误性得到了检验及证实。

3.2 平衡算法借助设立及分析自平衡独轮车动力学模型，可以获知独轮车系统具有非线性、非稳定性、高阶次的特点。

此类独轮车是基于自平衡独轮机器人发展而来的，故而其平衡控制算法极多。

譬如，线性控制算法、智能控制算法当中分别有多种控制。

以下就这两种算法里面的PID 控制、模糊控制展开详细的探讨及分析，并对其在自平衡独轮车系统当中所展现出来的控制成效进行对比。

3.2.1 PID算法此算法极具代表性，它是工业控制领域当中有效性最高的一种控制手段，优势是复杂度低、易于整定参数、鲁棒性佳等，运用于多个领域之中。

借助对给定值和现实输出值的偏差的比例（Proportion ）、微分（Differential ）、积分（Integral ）进行线性组合来达成对被控对象的有效控制，这样的经过即为所谓的 PID 控制。

图 3.3是模拟 PID 的原理框图，其中，r(t)、y(t)分别是系统的给定量、输出量，e (t)是此二者相减之后得出的偏差，也就是)()()(t y t r t e -= ( 3.11 ）图3.3模拟 PID 的输入、输出量分别是 e(t)、u(t),且后者对被控对象产生影响，从而得到模拟 PID 的控制算法：dtr de T dt t e T t e K t u dip )()(1)([)(t++=⎰（ 3.12） 1、比例部分比例部分的数学式表示是：)(t e K p ⋅在模拟PID 控制器里，比例环节主要用以对偏差瞬间做出反应。

若有偏差出现，那么马上就会有控制作用出现在控制器中，使得控制量朝着降低偏差的方向波动。

比例系数K p 决定了控制作用的大小，前者愈大则后者愈强，同时过渡过程愈快，控制过程的静态偏差也愈小；反之，出现振荡的几率就会比较高，从而使系统处于非稳状态。

因而，必须挑出适宜的 K p ，唯有如此，才会收获较小的静差及过渡时间的效果，并且非常平稳。

2、 积分部分积分部分的数学式表示是： ⎰tip t e T K 0)( 由上式能够看出，但凡有偏差e(t)出现，那么它的控制作用就持续上涨；唯有在e(t)=0的时候，它的积分才可以是一个常数，而控制作用才会是一个不会上涨的常数。

因而，积分部分能够把系统的偏差清除掉。

尽管积分部分的调节效用能够把静态误差除去，然而也会造成系统响应速度的减缓以及超调量的上涨。

积分常数Ti 愈大，则积分的累积作用就愈加微弱，这个时候系统在过渡之时无振荡出现；然而若将Ti 提高，那么清除该误差的经过就会变长，但是却能够使超调量有所下降，同时系统的平稳性也会上涨。