基于小波变换的图像增强研究
基于小波多分辨率分析的图像模糊增强算法的研究与实现
翟改霞 王春光
（ 内蒙古农业大学机电工程学 院 内蒙古 呼和浩特 ００ １ ） １０ ８ 到各种 噪声的干扰和污染。基 于小波变换的 多分辨率分析能够有效抑制噪声 的特性 ， 出利 会 提
用小波多分辨率分析对 图像进行平滑滤 波实现 图像 的去噪， 并定 义新的模 糊隶属度 函数对 图像进行增 强， 在保 证模 糊增 强效果 的同
ａ ａ ｙ ｉ ｓ ａ ｌ ｏ ｒ ｓｒ ｉ ｈ ｒ ｐ ｒｙ ｏ ｉｅｅ ｆｃｉ ｅｙ Ｉ ｈｉ ａ ｅ ｔｐｒ ｐ ｓ ｄ ｔ ａ ｒ ｕｔｓ ｏｈ ｉ ａ ｅ ｆｌｅ ｎｇａｓｗｅ ｌａ ｍａ ｅ ｄ — ｎ ｌｓｓ ｉ ｂｅ ｔ ｅ ｔａ ｎ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｆｎｏｓ ｆｅ ｔｖ ｌ． ｎ ｔ ｓ ｐ ｐ ｒｉ ｏ ｏ ｅ ｏ ｃ ｒｙ ｏ ｍｏ ｔ ｍ ｇ ｔｒ ｌ ｓｉ ｇ ｅ ｉ ｉ
： 主 』
： 主 １
其 步骤如 下 ： 将图像 映射 为一个模 糊矩 阵 ，记 图像 的大 小
０ 引 言
图像增强是指突 出图像 中的有 用信息 ， 减少 噪声对 图像 的 影 响， 使其 比原 图像更 适合 于特定应 用。图像增 强 的方法有空
间域 方 法 和 频 率 域 方 法 两 大类 ， 年 来 得 到 了充 分 的应 用 ， 得 近 取 了一 些 成 就 ， 但是 还 存 在 很 大 的 局 限 性 。近 年 来 随 着 模 糊 理 论 的 出现 和 发 展 ， 经应 用 到 图像 分析 领域 中 ， 图像 增 强 处 理 中 已 在 对 改 善 图像 的视 觉 效 果 起 到 了较 好 的作 用 。 模 糊 集 的概 念 是 在 １６ ９５年 由 美 国加 利 福 尼 亚 大 学 Ｌ Ａ ．．
基于小波变换的图像处理方法研究
基于小波变换的图像处理方法研究近年来，小波变换技术在图像处理领域得到了广泛的应用。
它能够提取图像中的特征信息，减少图像噪声，较好地保留图像的细节等。
基于小波变换的图像处理方法，可以应用于医学影像诊断、卫星遥感图像处理等多个领域。
本文将介绍小波变换技术的一些基础知识，分析小波变换在图像处理中的应用，并探讨基于小波变换的图像处理方法研究。
一、小波变换的基础知识小波变换（Wavelet Transform）是一种能将时间序列信号或图像信号分解成不同尺度的子信号的数学变换技术。
在小波变换中，小波函数是用作基函数的，通过对小波基函数的线性组合，得到原始信号的一个系数序列，这个系数序列记录了不同尺度下信号的信息。
小波变换的优点之一是信号的时频局部性，它能够对信号的低频和高频部分进行分离。
二、小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理中有着广泛的应用。
主要应用在图像压缩、噪声去除和边缘检测等方面。
在图像压缩中，小波变换可将图像分为不同频率的子带，其位于较低频段的子带较为平滑，可以用较少的信息来表示；其位于较高频段的子带包含了图像的细节信息，通过对子带系数进行量化和编码，可以实现图像压缩。
在噪声去除方面，小波变换可以通过阈值去除图像中的高频噪声，从而获得更好的图像质量。
在边缘检测方面，小波变换的多尺度分析特性可以用于提取图像中的边缘信息。
三、基于小波变换的图像处理方法研究基于小波变换的图像处理方法研究，是利用小波变换技术进行图像处理的一种方法。
在此方法中，首先对图像进行小波变换，然后根据具体的应用需求对小波系数进行处理，最后通过逆小波变换将处理后的小波系数重构成图像。
目前，该方法已经应用于图像增强、图像恢复和图像分割等多个领域。
在图像增强领域，基于小波变换的增强方法主要是通过增大图像中的高频分量，从而达到增强图像细节信息的目的。
该方法可以应用于医学影像诊断、高清视频制作等多个领域。
在图像恢复方面，基于小波变换的方法可以减少噪声干扰，恢复损坏的图像部分信息。
基于小波变换的炮弹射线图像增强技术研究
率） 分析 方法 ， 具有 多分 辨 率分 析 和在 时 、 域 它 频
Ｏ 引 言
射线 图像 的细 节 经常 是分 析 问题 的关 键 ， 其 细节信 号 与 噪声信 号 都位 于高 频 部分 ， 因此 射线 图像 降 噪必须 做 到 既 降低 图 像 噪 声 又保 留 图像
细节。
第２ ９卷பைடு நூலகம்
第 ６期
弹
箭
与
制
导
学
报
ＶｏＩ ２ Ｎｏ． ．９ ６
Ｄｅ ０ ｃ ２ ０９
２０ 年 ｌ ０９ ２月
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＰ ｏｅｔｌｓ ｏ ｒ ａ ｒｊｃｉ ，Ｒｏ ｋ ｔ ．Ｍ ｉｓｌｓａ ｄＧｕｄ ｎ ｅ ｏ ｅ ｃ ｅｓ ｓ ｉ ｎ ｉａ ｃ ｅ
基 于 小 波 变 换 的 炮 弹 射 线 图 像 增 强 技 术研 究
表征信 号局 部特 征 的特点 ， 一 种 时间 窗和 频率 是 窗都 可 以改变 的时 、 局 部 化分 析 方法 ， 频 即在 低 频部 分具 有较 高 的频 率 分 辨 率 和 较 低 的时 间分 辨率 ， 高频部 分具 有 较高 的 时间 分辨 率 和较低 在
基于小波变换的低对比度图像增强方法
ｔａ ｓｏ ｍ ｆ ｒ ｌ ｗ－ ｏ ｔａ ｔ ｍ ａ ｅ ｔ ｅ ｏ ｓ ｓ ｎ ｅ ｈ ｎ ｅ ｔ ｅ ｉ ｈ ｆ ｅ ｕ ｎ ｙ ｏ ｆ ｃ ｅ ｔ ｏ ｔ ｉ ｅ ｔ ｒ ｕ ｈ ｒ ｎ ｆｒ ｏ ｏ ｃ ｎ ｒ ｓ ｉ ｇ ，ｉ ｄ ｎ ｉｅ ａ ｄ ｎ ａ ｃ ｓ ｈ ｈ ｇ —ｒ ｑ ｅ ｃ ｃ ｅ ｉ ｉｎ ｓ ｂ ａ ｎ ｄ ｈ ｏ ｇ ｗａ ｅ ｅ ｔａ ｓｏ ， ａ ｄ ｖ ｌｔ ｒ ｎ ｆ ｒ ｍ ｎ
ｅ ｕ ｅ ｃ ｌ ｒ ｏｎ ｉｔｎ ｙ ｗｅ ｌ Ｔ ｅ ｘ ｅ ｉ ｎ ｒ ｓ ｌ ｓ ｏ ｎｓ ｒ ｓ ｏ ｏ ｃ ｓｓｅ ｃ ｌ ｈ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｔ ａ ｔ ｅ ｌ ｏ ｉｈ ｓ ｈ ｔ ｈ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｈ ｓ ｏｏ ｅ ｅ ｔ ｃ ｎ ｆｅ ｔ ｅ ｙ ｎ ａ ｃ ｔ ｅ ｅ ａ ｌ ａ ｇ ｄ ｆ ｃ ， ａ ｅ ｃ ｉ ｌ ｅ ｈ ｎ ｅ ｈ ｄ ｔ ｉ ｖ ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｏ ｍａ ｅ ｅ ｕ ｅ ｍａ ｎ ｉｅ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｉｕ ｌ ｅ ｅ ｔ ｏ ｍａ ｅ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｆ ｉ ｇ ，ｒ ｄ ｃ ｉ ｇｅ ｏ ｓ ａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｈ ｖ ｓ ａ ｆ ｃ ｆ ｉ ｇ ｏ
关 键 词 ： 图像 增 强 ；小 渡 变换 ；去 噪 ； 多尺 度 Ｒ ｔ ｅ 增 强 ｅ ｎｘ ｉ
基于二进小波变换的磁共振图像增强算法应用研究
０ 引言
医学 图像增 强 的 目的是 采用 一系列 技术 去改 善 图像 的视 觉效果 或将 图像转 换成更 适合人 或机 器进
二进小 波 变换 的增 强算 法 进行 研 究 和 改进 ， 提 高 在
磁共振 图像 对 比度 的 同时 ， 有效 地 抑 制 图像 噪声 能
的产生 。
行 分析处理 的形 式 。常用 的图像增 强方法 主要 是基 于 像素灰度 变换 的空 间域增强 和基 于滤波操 作 的频
医学 图像 的处理 要 求 。而 在频 率 域 增 强方 法 中 ， 由 于小波变换 的多分 辨率 分析具 有 良好 的时间域 和频
若 小波 函数 （ 满足稳 定性 条件 ）
＋ ∞
Ａ≤ ∑ Ｉ ０ Ｉ≤Ｂ０ｅ∞∈Ｒ ３ ） ， ． ．
（） １
率域 局部化 特性 ， 以有 效地表 征信 号 的局 部特 征 ， 可
ｃ ｍｐａ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒｇｎ ｌ ｌｏ ｔ ｍ ． Ｔｈ ａｇ ｒｔｍ ｃ ｎ ｃ ｉｖ ａ ｅ ｃ Ｈ ｎ ｂａａ ｃ ｂ ｔ ｅ ｔ ｅ ｏ ｒ ｄ ｗｉ ｈ ｈ ｏ ｉ ａ ａ ｇ ｒ ｈ ｉ ｉ ｅｌ ｏ ｈ ｉ ａ ａ ｈ ｅ ｅ ｎ ｘ ｅ ｅ ｔ ｌ ｎ ｅ ｅ ｗｅ ｎ ｈ
率域增 强 ， 如利用直 方 图 、 小波 变换 等增强 方法 。 由 于空 间域增 强方法 一 般 是针 对 整 幅 图像 进 行 处理 ， 在处理 的过程 中往往 会不 同程度地 掩 盖图像 的局 部
１ 二进 小波变换和 多尺度边缘表示
１ １ 二进 小 波和二 进小波 变换 ．
关 键词 ：二进小 波 ； 共振 图像 ；图像 增 强 磁
Ｍ ＲＩ ｅ ｈ ｎ ｅ ｅ ｔ ａ ｇ ｒｔ ｍ ａ ｅ ｎ ｄ ａ ｉ ｖ ｌ ｔｔ ａ ｓ ￣ ｍ ｎ ａ ｃ ｍ ｎ ｌ ｏ ｉｈ ｂ ｓ ｄ ｏ ｙ ｄ ｃ ｗａ ｅｅ ｒ ｎ ｆＩ ｒ
基于小波变换的红外图像序列增强的开题报告
基于小波变换的红外图像序列增强的开题报告一、研究背景与意义红外图像在军事、医学、机器视觉等领域具有广泛的应用，但是由于其在采集过程中存在的各种噪声和姿态干扰等，常常会出现图像质量低下的情况，从而影响到后续处理的准确性和有效性。
因此，在红外图像处理技术研究中，如何有效地提高图像的质量，成为了一个重要的研究课题。
小波变换作为一种有效的信号分析处理方法，可以将图像分解成不同尺度和频率的小波系数，从而使得图像中的信号和噪声能够分离。
因此，基于小波变换的方法在图像处理中得到了广泛的应用。
同时，小波变换还具有多分辨率分析的特点，可以根据不同的应用需求选择不同的小波分析方法和分辨率级别，从而对图像进行更加精细的分析和处理。
因此，基于小波变换的方法在红外图像增强研究中也具有很大的潜力和优势。
二、研究内容本文主要研究基于小波变换的红外图像增强方法，通过对红外图像序列进行小波变换，并结合阈值处理和调整系数等方法，提升图像的质量和清晰度，使得红外图像更加适合后续的分析和处理。
本文主要的研究内容包括：1. 红外图像序列的预处理：对于红外图像，需要进行预处理，包括去除噪声、平滑处理和对比度增强等操作，以提高后续的处理质量。
2. 小波变换及其和红外图像的应用：对于红外图像序列，采用小波变换进行分解，并对小波系数进行阈值处理和调整系数操作，得到更加清晰的图像序列。
3. 实验模拟和数据分析：对于不同的红外图像序列样本，进行实验模拟和数据分析，比较不同方法在图像增强方面的效果和差异，并分析影响结果的因素和机理。
三、研究方法基于小波变换的红外图像增强方法，本文的研究主要采用以下几个步骤：1. 对红外图像序列进行预处理：包括去噪、平滑处理和对比度增强等。
2. 小波变换：利用小波变换对红外图像进行分解，将不同尺度和频率的小波系数得到。
3. 阈值处理和调整系数：对小波系数进行阈值处理，根据不同的阈值判别条件对系数进行选择和调整。
4. 重构图像序列：根据处理后的小波系数，进行反变换，将图像序列重构回原始图像。
毕业设计---基于小波变换的图像处理方法研究
基于小波变换的图像处理方法研究摘要图像增强是图像处理的一个重要分支，它对提高图像的质量起着重要的作用。
它通过有选择地强调图像中某些信息而抑制另一些信息，以改善图像的视觉效果，将图像转换成一种更适合于人眼观察和计算机进行分析处理的形式。
传统的方法在增强图像对比度的同时也会增强图像噪声，而小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。
本文首先对传统图像增强理论进行概述，并给出直方图均衡化与灰度变换算法，通过matlab来观察其处理效果的特点，然后提出四种基于小波变换的图像增强方法，并分析它们与传统图像增强方法相比的优缺点，最后基于传统小波变换只能增强图像边缘部分而无法增强细节部分的缺点，引出了基于分数阶微分和小波分解的图像增强方法，并通过matlab观察了这种算法的处理效果。
关键词：图像增强；直方图均衡化；小波变换；分数阶微分Image enhancement based on wavelet transformationAbstractImage enhancement is an important branch in image processing.It plays an important role in improving the quality of the images.It will improve the image visual effect through emphasizing the image information and inhibitting some other information selectively.It will converse images into a form more suitable for the human eye observation and computer analysis processing.The traditional method of image enhancement will enhance image contrast,image noise as well,while wavelet transform is a decompositon method of multi-scale and multi-resolution,it can separet noise from signal in different scale so that it can arrive the purpose of image enhancement according to the distribution of the noise.In the paper,firstly, I will summarize the image enhancement theory and give the Histogram equalization algorithm,at the same time,I will analyze the disadvantages of the treatment effect through the Matlab.Then,I will give an image enhancement method based on the wavelet transform and analyze its advantages and disadvantages compared with traditional methods.Finally,because traditional wavelet transformation can only strengthen the edge of images instead of the details,we will introduce the image enhancement based on wavelet decomposition and fractional differentials.At the same time,we will observe the treatment effect of this algorithm by the matlab..Keywords: Image enhancement; Histogram equalization; Wavelet transform; Fractional differenti目录第一章绪论 (1)1.1 论文研究的背景和意义 (1)1.2 国内的研究状况 (1)1.3 论文的主要内容 (2)第二章图像增强的传统方法 (3)2.1 灰度变换法 (3)2.1.1 图像反转 (3)2.1.2 对数变换 (3)2.1.3 分段线性变换 (4)2.2 直方图调整法 (5)第三章小波变换的理论基础 (8)3.1 小波变换与傅里叶变换 (8)3.1.1 小波变换的理论基础 (8)3.1.2 小波变换和傅里叶变换的比较 (8)3.2 小波变换基本理论 (9)3.2.1 一维连续小波变换(CWT) (9)3.2.2 一维离散小波变换（DWT） (10)3.2.4 二维离散小波变换 (11)3.3 小波变换的多尺度分析 (11)第四章基于小波变换的图像增强 (13)4.1 小波变换图像增强原理 (13)4.2 小波变换图像增强算法 (14)4.2.1 非线性增强 (14)4.2.2 图像钝化 (14)4.2.3图像锐化 (15)4.2.4 基于小波变换的图像阈值去噪 (16)4.3 改进的基于小波变换的图像增强算法 (17)4.3.1 分数阶微分用于图像增强理论 (17)4.2.2 分数阶微分滤波器的构造 (19)4.2.3 基于分数阶微分和小波分解的图像增强 (20)4.2.4 小波分解层次与分数阶微分阶次对图像处理结果的影响 (23)第五章结论 (26)致谢 (27)参考文献 (28)第一章绪论1.1 论文研究的背景和意义在我们所处的信息社会，人们对于信息获取和交流的要求越来越高，从而促进了信息处理和应用技术的飞速发展。
基于小波变换的磁共振图像增强
ＭＲＩ 有 如 下 特 点 ： 参 数成 像 ，可 以提 供 丰 富 的诊 增 强过 程 是 对 每 个 像 素 点 或者 对 较 小 的子 图像 进 行处 具 多
断 信 息 ，所 获 得 的 图像 对 比度 高 ，尤 其 是 可 获得 高 对 理 ， 比如 线 性 对 比度 拉 伸 、反 锐 化 掩 模 、 直 方 图均 衡 比度 的软 组 织 的 图像 ； 实现 任 意 方 位 的断 层 ； 电 以及 各 种 改 进 算 法 等 。变 换 域 方 法 对 图像 的处 理 是 在 可 无
Ｈ８ ４ 文章 编 号 ： １０ —５ ６２ １）００ １－３ 中图分类号 ：Ｔ ３ 文献标识 码 ：Ａ ０ ６６ ８（０ ０ １－０ ５０
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基于小波变换的图像增强研究摘要随着社会的不断进步，网络和计算机在人们日常生活中的迅速普及，人们对图像、视频、音频等多媒体文件的要求也愈来愈高。
而图像在获取或传输过程中，由于各种原因，可能对图像造成破坏，使图像失真，为了满足人们的视觉效果，必须对这些降质的图像进行处理，满足实际需要，使用不同的方法进行图像增强处理，尽可能对图像进行还原。
图像增强技术是数字图像处理的一个重要分支，其方法有很多，主要可以分为两大类：空间域增强和频率域增强.但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。
小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。
本文针对图像对比度低、成像质量差的问题，提出一种基于小波变换的直方图均衡算法，用于图像对比度增强。
关键词：图像增强直方图均衡小波变换AbstractWith the development of the society the internet and computers are used widely in people’s everyday life.The transmit of images visions videos and so on have brought so many pleasures,at the same time the demand of such documents become more and more strongly.But the quality of images many decrease because during the course of gaining and transmitting images they are interfered with all kinds of causes .The paper is about how to deal with the enhancement of images.The image enhancement is an important part of digital image processing.There are many methods of image enhancement,image enhancement techniques can be divided into tow broad categories:Spatial domain methods and frequency domain methods.But the traditional methods will enhancement the image with block effect;this is not satisfied human viewer.The technology of wavelet analysis has special advantages to deal with images it can withdraw characters of signals in many directions and in freely scale.The technology can separated noises from signals in different scales.In this paper we discussed how the property of the wavelet basis affect the process of image noising.In view of image problems of low in contrast gradient and poor imaging quality,in this articalproposed a histogram equalization algorithm based on wavelet Transformation for enhancing the contrast gradient of image. Key words：Image enhancement Histogram equalization Wavelet transformation第一章绪论1.1研究意义图像增强作为基本的图像处理技术，就是增强图象中的有用信息，其目的是要改善图像的视觉效果，针对给定图像的应用场合，有目的地强调图像的整体或局部特性，将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些感兴趣的特征，扩大图像中不同物体特征之间的差别，抑制不感兴趣的特征，使之改善图像质量、丰富信息量，加强图像判读和识别效果，满足某些特殊分析的需要。
数字图像处理中可以用很多不同的方法对图像进行增强，但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。
对于其性质随实践是稳定不变的信号，傅立叶变换是理想的工具。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。
小波变换是傅立叶变换的发展与延拓，它克服了短时傅立叶变换在单分析率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信的具体形态动态调整。
小波变换解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，运用到图像增强方面有很重要的现实意义。
1.2图像增强简介图像增强可分成两大类：频率域法和空间域法。
前者把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维傅里叶变换的信号增强。
采用低通滤波（即只让低频信号通过）法，可去掉图中的噪声；采用高通滤波法，则可增强边缘等高频信号，使模糊的图片变得清晰。
后者空间域法中具有代表性的算法有局部求平均值法和中值滤波（取局部邻域中的中间像素值）法等，它们可用于去除或减弱噪声。
图像增强的方法是通过一定手段对原图像附加一些信息或变换数据，有选择地突出图像中感兴趣的特征或者抑制(掩盖)图像中某些不需要的特征，使图像与视觉响应特性相匹配。
在图像增强过程中，不分析图像降质的原因，处理后的图像不一定逼近原始图像。
图像增强技术根据增强处理过程所在的空间不同，可分为基于空域的算法和基于频域的算法两大类。
基于空域的算法处理时直接对图像灰度级做运算，基于频域的算法是在图像的某种变换域内对图像的变换系数值进行某种修正，是一种间接增强的算法。
基于空域的算法分为点运算算法和邻域去噪算法。
点运算算法即灰度级校正、灰度变换和直方图修正等，目的或使图像成像均匀，或扩大图像动态范围，扩展对比度。
邻域增强算法分为图像平滑和锐化两种。
平滑一般用于消除图像噪声，但是也容易引起边缘的模糊。
常用算法有均值滤波、中值滤波。
锐化的目的在于突出物体的边缘轮廓，便于目标识别。
常用算法有梯度法、算子、高通滤波、掩模匹配法、统计差值法等。
第二章 小波分析的基础知识小波分析是20 世纪80 年代中期发展起来的一门数学理论和方 法，由法国科学家Grossman 和Morlet 在进行地震信号分析时提出 的，随后迅速发展。
1985 年Meyer 在一维情形下证明了小波函数的 存在性, 并在理论上作了深入研究。
Mallat 基于多分辨分析思想， 提出了对小波应用起重要作用的Mallat 算法，它在小波分析中的地 位相当于FFT 在经典Fourier 变换中的地位。
小波分析理论的重要 性及应用的广泛性引起了科技界的高度重视。
如今，小波分析已经广 泛地应用于数学理论、信号分析、图像处理和分析、模式识别和通信系统等领域。
2.1 傅里叶变换傅里叶变换在实际信号领域广泛应用，可以将一个非周期的函数 f(t)进行傅里叶变换。
傅里叶积分变换公式：dt e t f F iwt -⎰∞-∞+=)()(ω (2-1)ωωπd e F t f iwt ⎰+∞∞-=)(21)( （2-2）从上述公式中可以看出，傅里叶变换可以将信号从时间域变换到域，逆变换可以将信号从频域变换到时间域。
傅里叶变换通过将信号变换到频域，可以方便地对信号进行滤波等操作。
但是，对于平稳信号中突然出现即使一个很小的突变点，在傅里叶变换后也会出现各个系数频段的变化，这样对于用傅里叶变换来研究信号在具体时间段的信息变得异常困难。
2.2 连续小波变换设函数 f (t ),)()(2R L t ∈ψ是平方可积函数，其中)(t ψ是母小波，则f (t )的小波变换为：dt t t f b a W Rab f )()(),(⎰=ψ （2-4）其中)()(21b at a t ab -=ψψ （2-5））（t ab ψ表示）（t ab ψ的复共轭函数。
）（t ab ψ相当于时-频局部窗函数，）（t ab ψ是母小波)(t ψ经过伸缩和 平移得到的小波函数，其中a 为尺度因子，b 为平移因子，它们分别代表时频局部窗中的频率参数和时间参数。
小波变换是用来进行时间-尺度分析的积分变换,需要在处理后利用其逆变换来恢复原信号,也就是说这样的小波变换一定要存在相应的逆变换。
要使小波变换存在逆变换需要满足的条件为：+∞<⎰∞+∞-ωωψ2)(该条件称为容许性条件。
满足容许性条件的小波变换一定存在着相应的逆变换。
对应的小波逆变换公式为：[]da a db t b a W C t f R R ab f 1)(),(1)(⎰⎰=ψψ（2-6） 上式中把）（ωψ称为)(t ψ的傅里叶变换。
把满足+∞<ψC 条件的函数)()(2R L t ∈ψ称为允许小波。
2.3 离散小波变换在实际应用中,为了计算的简便,小波窗函数中的连续的）（t abψ的a 、b 值通常取为一系列离散的整数值,这样）（t ab ψ可表示为:)2(22)(,t t j t j k j -=ψψ （2-7）相应的小波变换表示为离散小波变换:dt t t f t t f k j W Rk j k j f )()()(),(),(,,⎰==ψψ (2-8) 对应的离散小波逆变换为:∑∑∈∈=)(),()(,t k j W t f k j f Z k Z j ψ (2-9) 实际使用中,信号)(t f 通常是离散的信号,比如:数字图像信号都是由离散的像素点组成,还有很多模拟信号大多通过离散采样后再做进一步分析处理。
即,此处的t 通常是离散的序列。
式(2-7),j 2体现时频局部窗口的频率参数,k 本现时频局部窗口的时间参数。
指数j 只要有一个很小的增量,尺度j 2将会有非常大的增加。
采用j 2这种幂级数的形式对尺度进行离散化既方便了计算同时又有非常快速的离散化效果。
大量的实践证明采用这种离散方式不仅能够保证重构信号的精度,而且便于计算。