晶体结构的衍射理论-固体物理学
固体物理第六章晶体X射线衍射
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Vectors in the direct lattice have the dimensions of [length]; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of [1/length]. • The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.
n=3, =67.52o no reflection for n4
Combining Bragg and d-spacing equation
X-rays with wavelength 1.54 Å are “reflected” from the (1 1 0) planes of a cubic crystal with unit cell a = 6 Å. Calculate the Bragg angle, , for all orders of reflection, n.
• a1,a2,a3又称为正点阵
a3 b3
a2 b2 a1
b1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 此时， b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵 （reciprocal lattice） • If a1,a2,a3 are primitive vectors of the crystal lattice, then b1,b2,b3 are primitive vectors of the reciprocal lattice.
2d sin = n
晶体结构与晶体衍射
晶体结构与晶体衍射晶体是由原子、离子或分子按照一定的几何规律排列形成的固态物质。
晶体结构和晶体衍射是研究物质性质的重要手段，也是科学家们探索物质世界的关键之一。
本文将从晶体结构的描述和晶体衍射的原理两个方面进行论述。
一、晶体结构的描述晶体结构的描述是对晶体中原子、离子或分子排列规律的描绘。
科学家们通过一系列的实验和分析方法，逐步揭示了晶体结构的内在规律。
最早的晶体结构研究方法之一是X射线衍射。
1895年，康普顿发现了X射线的散射现象，为后来的晶体衍射实验奠定了基础。
著名的物理学家布拉格父子在1912年提出了布拉格衍射定律，建立了X射线衍射的理论基础。
布拉格衍射定律表明，当X射线照射到晶体上时，由于晶体中原子、离子或分子的周期性排列，X 射线会发生衍射现象，通过测量衍射角度可以得到晶体中原子、离子或分子的间距和排列方式。
现代的晶体结构研究主要依赖于X射线衍射和中子衍射两种方法。
这两种方法在实验原理和数据分析方法上有所不同，但本质上都是利用入射射线与晶体中原子、离子或分子的相互作用，通过测量衍射角度和强度来揭示晶体的结构。
现代晶体结构学发展至今，我们已经揭示了大量的晶体结构。
晶体结构包括元胞和晶格两个层次。
元胞是晶体中最小重复单元，它可以完全描述晶体的结构信息。
晶格是对元胞排列规律的描述，通过晶格可以了解晶体中原子、离子或分子的间距和排列方式。
二、晶体衍射的原理晶体衍射是指入射射线与晶体中原子、离子或分子相互作用后发生的衍射现象。
晶体衍射的实验结果反映了晶格中的周期性排列信息，通过对衍射图样的分析可以获得晶体结构的重要参数。
当入射射线照射到晶体上时，会有一部分射线被晶体吸收，一部分射线被晶体原子、离子或分子散射。
这些散射波相互干涉形成衍射图样。
根据布拉格衍射定律，我们可以计算出晶格中原子、离子或分子的间距和排列方式。
晶体衍射的强度分布与晶体中原子、离子或分子的位置、类型和排列方式有关。
由于晶体中原子、离子或分子的种类和排列方式多种多样，导致晶体衍射图样的形态各异，从而揭示了晶体的结构信息。
衍射花样与晶体结构的关系
衍射花样与晶体结构的关系衍射花样与晶体结构的关系1. 引言晶体结构与衍射花样是固体物理学中两个重要的概念。
晶体结构描述了固体内部的原子或离子排列方式，而衍射花样则展示了光或其他波在晶体上的散射过程。
衍射花样与晶体结构之间存在着密切的关系，理解这种关系对于深入理解物质的性质及其应用具有重要意义。
本文将从简单到复杂的方式逐步探讨衍射花样与晶体结构之间的联系，并分享我的个人观点和理解。
2. 衍射与晶体2.1 衍射的基本原理衍射是波穿过物体或通过物体缝隙后的偏折现象。
当波遇到晶体时，由于晶体内部原子或离子的排列方式，波的传播路径会发生改变，形成特定的衍射花样。
衍射花样可以通过衍射公式和晶体结构参数来计算和解释。
2.2 晶体结构的基本概念晶体是由周期性排列的原子或离子组成的结构。
晶体结构可由晶体学家通过实验和理论分析得到。
晶体结构通过晶胞和晶格来描述，其中晶胞是晶体中的最小重复单元，晶格是由晶胞在空间中平行堆叠形成的周期性结构。
3. 衍射花样与晶体结构之间的关系3.1 衍射花样的观察与分析通过使用衍射技术，可以观察和分析晶体的衍射花样。
通过X射线衍射实验可以解析出晶体的衍射花样，并推导出晶体的结构信息。
3.2 晶体结构参数与衍射花样的联系晶体结构参数直接影响着衍射花样的形状和强度分布。
晶格常数决定了衍射花样的缩放比例，晶胞的对称性决定了衍射花样的对称性等。
4. 我对衍射花样与晶体结构关系的理解在我的理解中，衍射花样与晶体结构之间的关系是一种相互依存的关系。
衍射花样可以提供晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
通过分析衍射花样，可以了解晶体内部的原子或离子排列方式，从而深入理解物质的性质和行为。
总结与回顾通过本文的探讨，我们可以得出以下结论：晶体结构与衍射花样密切相关，理解这种关系对于深入研究物质的性质及其应用具有重要意义。
衍射花样提供了晶体结构的信息，而晶体结构则决定了衍射花样的形状和特征。
晶体学基础知识讲义导论X衍射
晶体结构 = 点阵 * 结构基元
点阵点或结点总和称为点阵(lattice)，具有平移对称性。
沿着一定方向按某种规则把 结点联结起来，则可以得到 描述各种晶体结构的几何图 象----晶体的空间格子(简 称为晶格)
二 晶 体点 阵
晶体结构最突出的特点是其结构基元(原 子、离子、分子或络合离子）在晶体所占有的 空间中作周期性的排列，构成了晶体点阵结构 图案。点阵总是由为数无限和周围相同点组成。
CsCl的晶胞图
Cs+ Cl-
CsCl晶体结构示意图
CsCl的晶体结构示意图
CsCl的晶胞图 Cl–
Cs+
Cl–
1.1.1 经典晶体学
1669年丹麦学者斯蒂诺，发现了晶面角守恒定律。
1801年法国结晶学家赫羽依，发表了有理指数定律。
1805–1809年间德国学者外斯总结出晶体对称定律。 随后又提出了晶带定律。
1809年乌拉斯顿设计了第一台反射测角仪。 1818–1839年间外斯和英国学者密勒先后创立了用
以表示晶面空间方位的晶面符号。
经典晶体学还包括了对天然矿物物理性质的研究。
1.2.2 近代晶体学
1912年德国科学家劳埃成功发现了X射线对晶体的衍 射现象，具体地证实了晶体结构点阵理论的正确性。
1913年英国晶体学家布拉格父子和俄国晶体学家吴 里弗分别独立地推导出X射线衍射基本公式。 20世纪20年代，完成了收集X射线衍射图谱和推引 空间群方法等工作。
◆ 晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律 ◆ 晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质
晶体产生衍射的充要条件
晶体产生衍射的充要条件晶体是由原子或分子有序排列而形成的固体物质。
当入射的电子、中子或X射线等波长较小的粒子照射到晶体上时，晶体会发生衍射现象。
晶体产生衍射的充要条件如下：1. 晶体的结构具有周期性：晶体的原子或分子排列呈现出周期性的结构，即具有重复的空间排列方式。
这种周期性结构使得晶体能够形成衍射图样。
2. 入射波长小于晶格常数：入射粒子的波长需要小于晶体的晶格常数，才能够与晶格相互作用并发生衍射。
衍射是一种波动现象，只有波长与晶格常数相当或更小的入射波才能够与晶格相互作用。
3. 入射波与晶体的结构有相互作用：入射波与晶体的结构发生相互作用，入射波的波动性使得它们在晶体中散射，并与晶体中的原子或分子相互干涉。
这种干涉会导致入射波的衍射。
4. 入射波与晶体的方向关系：入射波的方向与晶体的晶轴方向、晶面方向之间存在特定的关系。
只有满足特定的方向关系，入射波才能够在晶体中衍射出清晰的衍射图样。
5. 衍射图样的观察：衍射图样需要通过适当的探测器进行观察和记录。
常用的探测器包括底片、荧光屏、探测器阵列等。
通过观察衍射图样，可以了解晶体的结构信息。
晶体的衍射现象是研究晶体结构和物性的重要手段之一。
通过晶体衍射实验，可以确定晶胞参数、晶格类型、晶面指数等晶体结构信息，进而了解晶体中原子或分子的排列方式和相互作用。
衍射图样的特征和衍射角度的测量结果可以通过数学方法进行分析和计算，得到晶体的结构模型。
晶体衍射的充要条件是晶体具有周期性的结构，并且入射波的波长小于晶格常数。
入射波与晶体的结构相互作用并满足特定的方向关系后，会在晶体中发生衍射现象。
通过观察和分析衍射图样，可以得到晶体的结构信息。
晶体衍射的研究对于理解晶体的性质和应用具有重要意义，广泛应用于材料科学、固体物理、化学等领域。
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律晶体衍射是固体物理学中的重要概念，它通过分析光线或粒子在晶体结构上的散射和干涉现象，揭示了晶体的微观结构信息。
而布拉格定律则是晶体衍射的基础，它描述了入射光线或粒子在晶体上的散射条件。
本文将从晶体衍射的原理和特点出发，详细介绍晶体衍射与布拉格定律的相关内容。
一、晶体衍射的原理和特点晶体衍射是由于晶体的周期性结构导致的光线或粒子的散射和干涉现象。
当入射光线或粒子遇到晶体的原子或离子时，会受到晶体中的电场或电荷分布的相互作用，并发生散射。
与非晶体相比，晶体具有明显的周期结构，晶格中的原子或离子排列有序，因此晶体衍射呈现出一系列特点。
首先，晶体衍射具有干涉性质。
当入射光线或粒子的波长与晶体的晶格常数相当时，晶体中的每个原子或离子都可以看作是一种点源，它们发出的散射光线或粒子会相互干涉，形成一系列明暗相间的衍射斑图。
其次，晶体衍射具有角度选择性。
根据晶体的布拉格定律，只有满足一定散射角度的入射光线或粒子才能在晶体中发生衍射。
这意味着不同入射角度和不同衍射角度对应着不同的衍射条件，从而使得衍射斑图的位置和形状随着入射角度的变化而改变。
最后，晶体衍射具有信息衍射的特点。
根据衍射斑图的位置、形状和强度分布，可以反推出晶体的结构信息。
通过分析衍射斑图的间距和角度，可以确定晶体的晶格常数和晶体面的取向。
这为研究晶体结构和材料性质提供了重要的手段和依据。
二、布拉格定律的推导和应用布拉格定律是描述晶体衍射的基本规律，它通过分析散射光线或粒子在晶体中的干涉现象，给出了入射角度和衍射角度之间的定量关系。
布拉格定律的推导基于几何光学和干涉光学的原理，下面将对其进行简要介绍。
设晶体中的两个晶面之间的距离为d，入射光线或粒子与晶面的夹角为θ，入射光线或粒子在晶体上发生衍射后的干涉光线或粒子与晶面的夹角为φ。
根据布拉格干涉的条件，晶面散射的光线或粒子应满足相位差为整数倍的关系。
根据光的传播定律和几何关系，可以得到入射光线或粒子与晶面的夹角θ与衍射角度φ之间的关系：2dsinθ = nλ其中，d为晶面间的距离，θ为入射角度，φ为衍射角度，n为整数，λ为入射光线或粒子的波长。
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
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3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
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晶体结构衍射理论
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• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
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讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
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固体物理第5讲晶体衍射
第五讲：晶体衍射X 射线晶体衍射 散射波振幅衍射条件 布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。
考虑每个原胞中电子密度空间分布所给出的散射强度。
因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因此可以将电子密度函数作傅里叶展开：()()∑⋅⋅=321 h h h i hhe n n rKKr (5.1)由相距为r 的体积元散射的射线束之间的位相差因子是()r k' k •−i e ，入射束和出射束的波矢分别是k 和k’。
从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。
在k’方向上散射波的总振幅F 为：()()()()()()∑∫∑∫∫⋅∆−⋅+−⋅−−===321321 h h h i hh h h i hi h edVn e dVn e dVn F rk K rk' k Kr k' k KKr h(5.2)式中k' k k −=∆ 为散射矢量。
当散射矢量等于一个倒格矢K h 时，指数的幅角为零，F = Vn (K h )。
可以证明当散射矢量同任一倒格矢相差足够大时，F 小到可以忽略。
在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。
22'k k =。
因此衍射条件为：022=+•hh K K k (5.3) 这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。
稍加变换可得：()321/2sin /22h h h d πθλπ= (5.4) 定义K h 的诸整数可能含有一个公因子n ，然而在晶面密勒指数中的公因子n 已被消去。
这样就得布喇格的结果：λθn d =sin 2 (5.5) 单胞的结构因子在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，常常采用结晶学中的原胞即单胞。
当衍射条件h K k =∆ 被满足时，对于一个由含有N 个单胞的晶体，散射振幅为：()s i s Nf e dVn N F h ==∫•−r K r (5.6)f s 称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。
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* 原理：Ewald球 * 方法：von Laue方法、转动晶体法
2. 晶体结构其他实验方法
* 倒空间：电子衍射，中子衍射 * 实空间：FIM，STM * 计算机（模拟）实验
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1、晶体衍射实验方法
• 原理
* Ewald球构造法
• 实验
* von Laue方法 * 转动单晶法
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Ewald construction 反射球
• 衍射斑点与衍射条件
* 可根据观察到的斑点与 结构推断晶体结构
* 理解衍射方法原理
• CO= 2π/λ，入射方
energy electron diffraction, RHEED）
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清洁Ni(111)表面和吸附H 后的LEED图样
• 左图清洁Ni(111)表面。金属Ni是fcc结构
• 右图是吸附H以后呈2x2再构。表面二维原胞在 两个基矢方向扩大一倍，所以是2x2，但在倒 空间在两个方向缩小一倍
* 在电子受原子作用时(因而有晶格也因而存在B区边
界)，电子受边界的散射，连续能级会形成一个能隙 在某些能量区域内，电子不允许存在
* 物理原因：电子波函数受Brillioun区边界反射，反 射波与行进波迭加，形成驻波！在边界上，原来自 由电子在空间均匀分布的平面波（|exp(ikx)|2=常 数），形成驻波(sinkx, coskx)，能量分裂，受原子 核吸引而驻其周围的能量低，受原子核排斥而驻原 子核之间的能量高，中间留下一段能量空白，电子 不允许具有这种能量！
• X射线散射截面较小，电子较大 • 能量约为100eV数量级的电子波长为A数量级
* 低能电子衍射（low energy electron diffraction, LEED)
* 电子与原子有强相互作用，易受散射，穿透深度 小——适合作表面结构研究
• 高能电子（105eV），波长更短，分辨率高
* 高能易损伤材料 * 掠射入表面，反射高能电子衍射（Reflect high
向，在C以CO为半径
作圆，球面上的倒格
o
点P满足衍射条件，将
产生衍射，在PC方向
可得衍射极大
* K的两端都是倒格点
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c
p
6
von Laue方法
• 晶体固定， 相当于倒格 点固定
• 改变波长， Ewald球增 大，球面扫 过的倒格 点，其延长
eikx eikx 2 cos kx, eikx eikx 2i sin kx
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2
本讲目的
• 实验上如何观测晶体结构？
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3
第11讲、晶体结构的实验观测
• 偏转磁场使电离物成象，放大
• 场电离容易产生在突起的表面 原子上，这样便反映表面结构 （球壳模型）
• 分辨率可达原子量级
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bcc结构W针尖
• 结构可由球壳模型模 拟，与图象对照
• 不同材料同样晶体结构 的图象是不是相同？
上讲回顾：晶体结构的衍射理论
• 衍射极大条件，仅是必要条件
* Bragg定律 * von Laue方程
• 能否观察到衍射极大
* 与几何结构因子有关 * 消光条件，两类消光
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视野拓展由von Lauer条件看B区边界
• Brillioun区边界面上的任何矢量都满足衍射极 大这个条件重要性质
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中子衍射 0.28 / E(eV),若E 0.0784 eV则 1A
• 特点
* 质量为电子的1800倍，采用低能量：0.1eV量级~1A 波长
* 不带电，主要被原子核散射，常被用来测定原子在 晶体中的位置
O 线方向都会 出现衍射极 大
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转动单晶法
固定k，绕 晶轴转动 晶体，相 当于改变 入射角。 倒格点扫 过Ewald 球，发生 衍射极大
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2、其他晶体结构实验方法
• 倒空间
* 电子衍射 * 中子衍射
• 实空间观察原子的位置
* 显微镜？ 晶格典型间隔10-10米
* FIM（场离子显微镜） * STM（扫描隧道显微镜）
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电子衍射 12 / E(eV),若E 144 eV则 1A
• 亮度装饰线不同，反映 不同材料的不同面的功 函数不相同
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扫描隧道显微镜，STM
• 1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM)
* G. Binnig与H. Rohrer * 人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面
的排列情况. 这是电子显微技术的一个重要里程碑 * 1986获诺贝尔物理奖
* 中子有磁矩，尤其适合于研究测定磁性物质的结构
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实空间：场离子显微镜，FIM
• 样品表面电场强度~1010伏/米
• 样品针尖曲率半径~500A
• 容器中低压惰性气体
• 气体原子被强电场极化，吸附 在样品表面顶端突起部位，其 电子隧穿产生电离
• STM利用量子力学的隧道效应
* 将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极， 当针尖与样品距离非常接近时, 在外加电场作用 下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度 扫描模式
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