2018深圳二模理科数学Word版 广东省深圳市2018届高三第二次(4月)调研考试数学(理)试题
深圳市2018年高三年级第二次调研考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}|10A x x =-<，集合{}2|4B x x =<，则A
B =（ ） A ．(2,1)- B ．(,2)-∞
C ．(,2)-∞-
D ．(,1)(2,)-∞+∞
2.已知i 为虚数单位，则复数|3|1i z i -=
+的共轭复数z 为（ ） A ．22i + B ．22i -
C ．1i +
D ．1i - 3.某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（ ）
A ．35
B ．12
C ．25
D ．310
4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知133a S ==，则4S 的值为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．3
D ．6
5.已知点(1,)P m 在椭圆2
214
x y +=的外部，则直线23y mx =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．相交或相切
6.如图，格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．2
3
B．1C．
4
3
D．
5
3
7.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：
要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）
A ．170
B ．256
C ．341
D ．682 8.已知椭圆222214x y m m +=+与双曲线22
221x y a b
-=有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为23 ）
A ．2
B ．3
C 23
D 39.已知定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数x 都有(4)(4)f x f x -=+，当04x ≤≤时，2()2f x x x =-，则()f x 在区间[]12,16上（ ）
A ．有最小值(16)f
B ．有最小值(15)f
C ．有最小值(13)f
D ．有最小值(12)f
10.已知点1P ，2P 为曲线2cos y x x ωω=-（x R ∈）（常数0ω>）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点1P ，2P 处的切线互相垂直，则ω的值为（ ）
A ．33
B ．22
C ．2
D ．3
11.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且2AB =，设点M 、N 分别为线段PD 、PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．92π
B ．163π
C ．254π
D ．649
π 12.已知对*n N ∀∈，关于x 的函数()(1)ln n n f x x a x =+-（1n x n <<+）都不单调，其中n a （1,2,,,n k =……）为常数，定义[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]0.80=，[]3π=，设3n n b a ⎡=⎣，记常数{}n b 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A ．310 B ．309 C ．308
D ．307
第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(3,4)a =-，(1,)b t =-，若||a b a ⋅=，则实数t = ．
14.已知0a <，实数x ，y 满足10,0,20,x x y a x y +≥⎧⎪++≤⎨⎪--≤⎩
若2z x y =+的最大值为5，
则a = ． 15.若4()n x x -的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为 ．
16.已知A 、B 、C 为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A 、B 相距600公里，且B 在A 的正东方向；A 、C 相距3且C 在A 的东偏北30︒方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T ，若在T 站发射信号时，A 站总比B 站要迟200秒才能接收到
信号，则C 站比A 站最多迟 秒可接收到该信号．（A 、B 、C 、T 站均可视为同一平面上的点）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知角B 为锐角，且
cos sin a B b B c +=．
（1）求角C 的大小；
（2）若3B π=
，延长线段AB 至点D ，使得3CD =，且ACD ∆的面积为334
，求线段BD 的长度．
18.如图，在三棱锥A BCD -中，ABD ∆和BDC ∆均为等腰直角三角形，且90BAD BDC ∠=∠=︒，已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且4BC BG =，点M 是AG 上的动点．
（1）证明：BC MF ⊥；
（2）当//MF 平面ACD 时，求二面角G MF E --的余弦值．
19.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：
（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2
s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2
s 估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y bx a =+，其中1
221n i i
i n i i x y nx y b x
nx ==-=-∑∑，a y bx =-；
②52155i i t
==∑，51
18.8i i i t y ==∑ 1.7 1.3≈； ③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．
20.已知实数0p >，且过点2(0,)M p -的直线l 与曲线C ：22x py =交于A 、B 两点．
（1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ，若121k k =，求p 的值； （2）设直线1MT 、2MT 与曲线C 分别相切于点1T 、2T ，点N 为直线12T T 与弦AB 的交点，且MA MN λ=，MB MN μ=，证明：1
1
λμ+为定值．
21.已知函数()ax
f x xe =．（其中常数 2.71828e =…，是自然对数的底数）
（1）求函数()f x 的极值；
（2）当1a =时，若()ln 1f x x bx --≥恒成立，求实数b 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=1(,)2A πρ，2(,)2B πρ-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．
（1）在直角坐标系中，求曲线C 的参数方程；
（2）若点A 、B 在曲线C 上，且点M （异于A 、B 两点）为曲线C 上的动点．在直角坐标系中，设直线MA ，MB 在x 轴上的截距分别为a ，b ，求||a b +的最小值．
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a a
=-+++
（0a ≠）．
（1）证明：()f x ≥
（2）若(2)3f ≤，求实数a 的取值范围．。
2018年广东省高考数学二模试卷(理科)
2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出． 【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)， 化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】 双曲线的特性 【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直， 可得a =b ，解方程可得a =b =2√2， 则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可． 【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论． 【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影） 变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知 当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4， 故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列， 由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1， 故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值． 【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5． 可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积． 【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角， 过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2， 解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点． 【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3， 易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数， 又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)， 则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值． 【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度， 得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ； 又φ<0，∴ φ的最大值是−π6． 【答案】 2【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值． 【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2． 【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用单调性求解即可． 【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数， 当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ， 解得：0<x <1． 【答案】 3【考点】 抛物线的求解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一： 画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)， 则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立， 可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离， 则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)， 则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0， 故m =4， 则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】 解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4， 所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增． 令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ， 根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)， 所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0， 故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0， 即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0． 综上，a 的取值范围是[−1, 0]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． 在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)． 联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)． 把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|， 不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0． 所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2， 解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2， 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。
广东省深圳市2018届高三第二次调研考试数学(理)试题
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）2018.4考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.第I 卷一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}01＜-=x x A ，{}42<=x x B ，则B A ⋂=（）A.()1,2- B.()2-，∞ C.()2--，∞ D.()()∞+∞，，21- 2.已知i 为虚数单位，则复数i z +-=3的共轭复数z 为（）A.i22+ B.i2-2 C.i+1 D.i-13.某学校拟从甲乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙两人均被选中的概率为（）A.53B.21 C.52 D.1034.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知331==S a ，则4S 的值（）A.-3B.0C.3D.65.已知点()m P ,1在椭圆1422=+y x 的外部，则直线32+=mx y 与圆122=+y x 的位置关系为A.相离B.相交C.相切D.相交或相切6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.1C.34 D.357.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如下图：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论哪种情形，都要遵循一定的规则，解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A.170 B.256C.341 D.6828.已知椭圆142222=++m y m x 与双曲线12222=-b y a x 有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为32，则双曲线的离心率是（）A.2 B.3C.332 D.39.定义在R 上的偶函数()x f 对任意的实数x 都有()()44+=-x f x f ，当40≤≤x 时，()x x x f 22-=，则()x f 在区间[]1612，上有A.有最小值()16f B.有最小值()15f C.有最小值()13f D.有最小值()12f 10.已知1P ，2P 为曲线()R x wx wx y ∈-=cos sin 2（常数0>w ）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点1P ，2P 处的切线互相垂直，则w 的值为A.33B.22 C.2 D.311.如图，在四棱锥ABCD P -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且2=AB ，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当MN AN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为A.29π B.316πB.425π D.964π12.已知对*N n ∈∀，关于x 的函数()()()1ln 1+<<-+=n x n x a x x f n n 都不单调，其中()∙∙∙∙∙∙=,,,2,1k n a n 为常数，定义[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]08.0=，[]3=π，设[]3n n a b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S 的值为A.310B.309C.308D.307第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13.已知向量()4,3-=a ，()t b ,1-=若a b a =∙，则实数=t ______.14.已知0<a ，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤++≥+02001y x a y x x ，则y x z 2+=的最大值为5，则=a ________15.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中常数项为_____.16.已知A 、B 、C 为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A 、B 相距600公里，且B 在A 的正东方向；A 、C 相距3600公里，且C 在A 的东偏北030方向。
广东省深圳市2018届高三年级第二次调研考试 数学(理科)答案 打印版
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案1．解析：2{|10}{|1},{|4}{|22}A x x x x B x x x x =-<=<=<=-<<，所以(2,1)A B =-2i 2==，所以22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z -==-∴=+++-． 3．解析：甲、乙均被选中的概率为1335310C P C ==．4．解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1313333a S a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =-，所以41434436(2)02S a d ⨯=+=⨯+⨯-= 5．解析：因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，所以22131,44m m +>∴>，圆心(0,0)到直线20mx y -=的距离1d r =<=<=6其体积11152122112323V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．解析：执行程序框图，1,122i S i S i==→=→→=→→=是否4251052101216i S i S i →=→→=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→是否否否是2214272421858285170S i S i S →=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→→=⨯=否否否是 921701341i S →→=→→=⨯+=→否否输出341S =．8．解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，根据题意，222242m m a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2c ==，离心率2c e a==．9． 解析：由(4)(4)f x f x -=+，可知函数()f x 是一个周期函数，周期为8，因为()f x 是偶函数，所以当40x -≤≤时，22()()()2()2f x f x x x x x =-=--⋅-=+，当1x =-时，()f x 有最小值，区间[4,0]-与区PADM N间[12,16]刚好相差2个周期，11615-+=，所以在区间[12,16]上，()f x 有最小值(15)f ．10．解析：()()cos f x x x x x x ωωωωωϕ⎫=-==-⎪⎪⎭，其中sin ϕ=，cos ϕ=()cos()f x x ωϕ'=-，设1122(,0),(,0)P x P x ，不妨设 120,x x ωϕωϕπ-=-=，则11()cos(f x x ωϕ'=-，22()cos()=f x x ωϕ'=--，因为该曲线在点12,P P 处的切线互相垂直，所以212()()31f x f x ω''⋅=-=-，又因0ω>，所以ω=． 11． 解析：将二面角A PO D --展开成一个平面，则当AN MN +取得最小值时，A N M 、、三点共线，且AM PD ⊥，由题可知，此时M 为PD 的中点，所以2PA AD ==，PO =，不妨设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，球心为O '．显然O '在线段PO 上，注意到BOO '△中，有222O B O O BO ''++，即22)1R R =+，解得R =P ABCD -的 外接球的表面积为21643R ππ=． 12．解析：对n N *∀∈，函数()n f x 都不单调，即函数()n f x 存 在极值点，故必存在0(,1)x n n ∈+，使得0001()10,1nn n a f x x a x -'=+=∴=-， 经检验，已知当11n n a n <-<+时，01n x a =-为函数()n f x 的极值点．即12,n n a n +<<+<<，,n b = 所以数列{}n b 的前100项依次为：33336383-21943371,1,,1,2,2,,2,3,3,,3,4,4,,4=-=个个个个，10016219337438307S ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．13．解析：345a b t a ⋅=+==，解得12t =．14．解析：作可行域如图所示，由2z x y =+可得1122y x z =-+表示斜率为12-，纵截距为12z 的直线，作直线12y x =-并平移，当直线过点(1,1)A a --时，直线在y 轴上的截距最大，此时 max 12(1)125z a a =-+⨯-=-=，解得2a =-．15．解析：当1x =时，得各项系数和为(3)81n-=，所以4n =，则展开式中的常数项为2224496C x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭．2x y --O10+=x y a ++16易知(A 下求TC 设线段TC TB -17又因为B ⎛∈ ⎝ (A ∈ （2且AC S ∴△即(2n n 在△可得223m n mn ++=，…② ………………………………10分 联立①②可解得1m n ==，即1BD =．……………………………12分18. 解：（1）ABD △为等腰直角三角形，且90,BAD AB AD ∠=︒∴=，连接AF ，因为点F 是BD 的中点，AF BD ∴⊥，因为侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，AF ∴⊥平面BDC ，…………………………………………………………………………………………1分 BC ⊂ 平面,BDC BC AF ∴⊥，…………………………………………………………………………2分设BC 中点为N ，连接DN ，由4BC BG =可知点G 是BN 的中点，又点F 是BD 的中点， 于是//FG DN ，……………………………………………………………………………………………3分,,CD BD BC DN BC FG =∴⊥∴⊥ ，………………………………………………………………4分 ,,,BC AF BC FG AF FG F BC ⊥⊥=∴⊥ 平面AFG ，又MF ⊂平面AFG ，BC MF ∴⊥．……………………………………………………………………5分 （2）连接MN ，FN 是BDC △的中位线，//FN CD ∴，CD ⊂ 平面,ACD FN ⊄平面,//ACD FN ∴平面ACD ，…………………………………………6分 //MF 平面,//ACD FN 平面,ACD MF FN F = ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴平面//MNF 平面ACD ，又平面MNF 平面AGC MN =，平面ACD 平面AGC AC =，//MN AC ∴，且13GM GN GA GC ==，…………………………………………………………7分 BDC △为等腰直角三角形，且CD BD =，CD BD ∴⊥，//FN CD ，FN BD ∴⊥， 又AF ⊥平面BDC ，FN FD FA ∴、、两两垂直，以F 为坐标原点，以FN FD FA 、、所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1FD =，从而(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)F D C A B N -，G 是BN 的中点，111111111,,0,,,1,,,,222233663GM G GA GM GA GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-∴=-=∴==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，易知111,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵E 是AC 的中点，111,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11111,,,1,,33322FM FE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………8分设平面EMF 的法向量为(,,)n a b c = ，则111033311022n FM a b c n FE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，……………………9分解得21,33a cbc =-=，令3c =，(2,1,3)n ∴=- ，…………………………………………10分由（1）可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFG 的一个法向量为(2,2,0)BC =，………………11分Bcos ,n BC n BC n BC⋅∴==⋅，易知二面角G MF E --所以二面角G MF E --的余弦值为．19．解：（1）易知123450.50.613, 1.0455t y +++++++====，……………………1分 5152221518.853 1.04ˆ0.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，…………………………………………………2分 ˆˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=，…………………………………………………………3分 则y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.320.08yt =+，………………………………………………4分 当6t =时，ˆ 2.00y=，即2018年4月份参与竞拍的人数估计为2万人．………………5分 （2）（i ）依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………6分222222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15(5.5 3.5)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=，…………………………………………………………………………8分（ii ）2018年4月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为3174100%15.87%20000⨯=，………………………………………………………………………………9分根据假设，报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且23.5, 1.7μσ==， 1.3σ∴=≈， 又1()()0.1587,( 4.8)0.15872P x P x P x μσμσμσ--<<++==∴=≥≥，………………11分所以可预测2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万．………………………………………………12分 20．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线l 的方程为2y kx p =-（易知l 的斜率必存在），由222x py y kx p ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2331212220,2,2x kpx p x x kp x x p -+=∴+==，…① …………………2分 1212121,1y y k k x x =∴= ，即1212x x y y =，………………………………………………………………3分 又221212()()y y kx p kx p =--，即2241212(1)()0k x x kp x x p --++=，…②将①代入②，整理得4320p p -=，又0p >，解得2p =．…………………………5分亦可由2212121222x x x x y y p p==⋅，得2124x x p =，2342,2p p p ∴=∴=． （2）设切点2111,2x T x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22x py =，得22x y p =，得x y p '=，所以切线斜率11x k p =，切线方程为 2111()2x x y x x p p -=-，将2(0,)M p -代入，得2312x p =，所以22112x y p p==，由对称性易知直线12TT 的方程为2y p =，…………………………………………………………………7分设直线l 的方程为2y kx p =-，设33(,)N x y ，因为点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，由22y p y kx p⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得232p x k =，… ③ …………………………………8分 因为,MA MN MB MN λμ==，显然0,0λμ>>，331211MN MNx x x x MA MB λμ∴+=+=+，……………………………………………………………………10分 又123,,x x x 显然同号，33123121211x x x xx x x x x λμ+∴+=+=⋅，…………………………………………11分 由①、③可知，21233122222x x p kpx x x k p+⋅=⋅=，11+2λμ∴=，即11+λμ为定值2．………………………………………………………………12分21．解：（1）由()ax f x xe =，求导得()(1)ax f x ax e '=+，……………………………………1分①当0a =时，()0ax f x e '=>，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因此函数()f x 无极值；…2分 ②若0a >，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '<，当1x a>-时，()0f x '>， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减；函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以函数()f x 存在极小值，极小值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值．…………………………3分③若0a <，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '>，当1x a>-时，()0f x '<， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x '在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 存在极大值，极大值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极小值．…………………………4分 （2）由题意有ln 1xxe x bx --≥恒成立，即ln 1xx b e x x--≤恒成立，……………………5分 设ln 1()(0)xx g x e x x x =-->，则22221ln 1ln ()x xx x e x g x e x x x-+'=-+=，………………6分 设2()ln x h x x e x =+，下面证明()0h x =有唯一解．易知()h x 单调递增，且(1)0h e =>，所以若()h x 有零点x ，则01x <<， 令()0h x =，可得ln xxxe x=-，(01)x << （※） 注意到ln ln ln (ln ),(01)x xxe f x x x--=-=-<<， 所以方程（※）等价于()(ln )f x f x =-，(01)x <<……………………………………………………8分 又由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又当01x <<时，ln (0,)x -∈+∞， 所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<，………………………………9分 设函数()ln (01)m x x x x =+<<，则()m x 单调递增，又1110,(1)10m m e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0m x =， 即方程ln x x =-有唯一解0x ，即00ln x x =-，或01x ex =，……………………………………10分 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x ，代入得：200ln 0x x +=，所以()0h x =有唯一解0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；……………………………………11分 所以()g x 的最小值为000000000ln ()111()1xx x g x e x x x x x -=--=--=， 所以1b ≤．………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=，2222sin 3ρρθ∴+=， 又22222cos ,sin ,,33x y x y x y ρθρθρ===+∴+=，即2213x y +=，………………2分所以曲线C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．……………………………………4分（2）不妨设,sin )M ϕϕ，易知121ρρ==，即(0,1),(0,1)A B -，……………………5分010a -=-，解得a =，同理可得b =，……………7分a b ∴+9分显然当0ϕ=或π，即M 或(M 时，a b +=，即a b +的最小值为．23．解：（1）证明：111()()2f x x a x a x a x a a a a a ⎛⎫=-+++++--=+ ⎪⎝⎭≥，…………2分又1122()a a f x x a +=+∴≥≥．……………………………………4分 （2）若(2)3f ≤，即1223a a a-+++≤，又21(1)2a a a a +++=．……………………6分故可如下分类：①若0a <，则1223a a a ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭≤，即1230a a ++≥，即22310a a ++≤， 即1(21)(1)0,12a a a ++∴--≤≤≤，…………………………………………………………7分 ②若02a <<，则1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即11a -≤，所以此时a 无解，………………8分 ③若2a ≥，即1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即123a a +≤，即22310a a -+≤， 即(21)(1)0a a --≤，112a ∴≤≤，所以此时a 亦无解，………………………………9分 综上，112a --≤≤，即11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………10分。
广东省深圳市普通高中学校2018届高考高三数学4月月考
2018高考高三数学4月月考模拟试题03第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数243(2)ii +-＝（A ）1 （B ）－1 （C ）i （D ）－i （2）向量(3,4),(,2)x ==a b ，若||⋅=a b a ，则实数x 的值为 （A ）1- （B ）12-（C ）13- （D ）1 （3）已知随机变量X 服从正态分布N 2(1,)σ，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝（A ）0.22（B ）0.28（C ）0.36 （D ）0.64（4）在等差数列{}n a 中，135792()3()48a a a a a ++++=则此数列的前10项的和10S ＝（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80（5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （6）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<且其图象关于直线0x =对称，则 （A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π（B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（7）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）6 （B ）5.5 （C ）5 （D ）4.5（8）下列叙述正确的个数是①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α②若命题2000,10p x x x ∃∈-+R ：≤，则2,10p x x x ⌝∀∈-+>R ：③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件④若向量a ，b 满足a ·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4正视图 侧视图俯视图 11 1 23（第7题）（9）双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个焦点为12,F F ，若双曲线上存在一点P ，满足122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（A ）(]1,3 （B ）()13， （C ）()3+∞， （D ）[)3,+∞（10）已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为 （A ）3 3 （B ）2 3 （C ） 3 （D ）1（11）已知长方形ABCD ，抛物线以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B 两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M ．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为p ．则下列结论正确的是（A ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最大 （B ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最小（C ）若ABAD的值越大，则p 的值越大 （D ）不论边长AB ，AD 如何变化，p 的值为定值 （12）定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有(2)()(1)f x f x f +=-成立，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-．若函数()log (1)a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科)
2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（）A．B．0 C．1 D．32．若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i3．已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（）A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．84．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．5．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（）A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．816．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A．=1 B．C．=1 D．=1或=17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+128．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足（2n﹣5）a n+1=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则S n﹣S m的最小值为（）A．B．C．﹣14 D．﹣2811．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π12．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．14．已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为．15．已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为．16．设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q ，则=三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC ，=2，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求X的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|．（1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．2018年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（）A．B．0 C．1 D．3【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．故选：C．【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．2．若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（）A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则﹣1×（m﹣4）﹣3×m=0；解得m=1；∴=（1，﹣3）=（2，3）；=1×2+（﹣3）×3=﹣7．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P=，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．5．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（）A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81【分析】等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），可得=3（a2q+a2），化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a 1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），∴=3（a2q+a2），化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9则==q4=9．故选：B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A．=1 B．C．=1 D．=1或=1【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），可得c=4，即有a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y=x和直线y=﹣x垂直，可得a=b，解方程可得a=b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x 可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知当直线经过点A（﹣2，0）时，目标函数取最小值﹣4当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，故z=﹣2x+y的取值范围为[﹣4，4]．故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n=2n﹣1得：S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，故循环体内S=1+2S，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．已知数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足（2n﹣5）a n+1=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则S n﹣S m的最小值为（）A．B．C．﹣14 D．﹣28【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n，讨论n 的变化，S n的变化，僵尸可得最小值．【解答】解：∵（2n﹣5）a n=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，+1∴﹣=1，=﹣5．可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，∴a n=（2n﹣5）（n﹣6）=2n2﹣17n+30．∴S n=2（12+22+……+n2）﹣17（1+2+……+n）+30n=2×﹣17×+30n=．可得n=2，3，4，5，S n递减；n＞5，S n递增，∵n，m∈N+，n＞m，S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，S n﹣S m的最小值为5﹣19=﹣14，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，∴AE=2，EF=1，设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=（1+1）2+（2﹣x）2，解得x=，∴R2=6，即R=，∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．故选：B．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）【分析】本题首先要对函数f（x）=e x﹣ln（x+3）进行求导，确定f′（x）在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈（a，b）时，利用f′（a）f′（b）＜0确定导函数的极值点x0∈（﹣1，﹣）从而．得到x=x0时是函数f（x）的最小值点．【解答】解：因为函数f（x）=e x﹣ln（x+3），定义域为（﹣3，+∞），所以f′（x）=e x﹣，易知导函数f′（x）在定义域（﹣3，+∞）上是单调递增函数，又f′（﹣1）＜0，f′（﹣）＞0，所以f′（x）=0在（﹣3，+∞）上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈（﹣1，﹣），则x=x0为f（x）的最小值点，且f′（x0）=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln（x0+3）故f（x）≥f（x0）=e﹣ln（x0+3）=﹣ln（x0+3）=+x0，因为x0∈（﹣1，﹣），所以2＜x0+3，故f（x）≥f（x0）=＞2+=﹣，即对∀x∈（﹣3，+∞），都有f（x）＞﹣．故选：B．【点评】本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．【分析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x+φ+）的图象，∴g（x）=2sin（2x++φ）；又g（x）是偶函数，∴+φ=+kπ，k∈Z；∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14．已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为2．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由基本不等式求a+2b的最小值．【解答】解：（ax+）6展开式的通项为x6﹣2r，由6﹣2r=0，得r=3．∴，即．∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=”．∴a+2b的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．15．已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为（0，1）．【分析】利用单调性求解即可．【解答】解：函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，可知f（x）时单调递增函数，当x=0时，可得f（0）=1，那么不等式f（log3x）＜f（0）的解集，即，解得：0＜x＜1．故答案为（0，1）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于基础题．16．设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=3【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．【解答】解：设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立方程组，解得P（，），联立方程组，解得Q（，），∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．【分析】（1）设BM=x，则AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，∴设BM=x，则AN=2x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM==4．（2）在△ABC中，由正弦定理得=，∴sinC===，又b=12＞c，∴B＞C，则C为锐角，∴cosC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×=，∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．【分析】（1）推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．（2）以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．解：（2）由已知DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．所以四边形ABCD为等腰梯形．又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，令AD=1，如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），F（﹣，，1），B（0，，0），∴=（，﹣，﹣1），=（0，，0），=（﹣，，1）．设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，1），cos＜，＞===．设直线与平面BDF所成的角为θ，则sinθ=．所以直线AF与平面BDF 所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求X的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..【分析】（1）由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．【解答】解：（1）由题可知：X的平均估计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P（Y=5000）=，P（Y=10000）==，P（Y=15000）==，P（Y=20000）==．∴Y的分布列为：E（Y）=+20000×=9375（元）．【点评】本题考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【分析】（1）根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN的斜率；（2）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．【解答】解：（1）抛物线C2：y2=8x的焦点（2，0），则c=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得：=﹣•，由MN的中点为（1，1），则x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线MN的斜率k==﹣，∴直线MN的斜率为﹣；（2）由椭圆的右焦点F2（2，0），当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y化简整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，△=（﹣8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣8）=32（k2+1）＞0，∴x1+x2=，x1x2=，则m==，同理可得：，∴=（+）=，综上可知：是定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），求出f′（0）的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=af（x）﹣e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由f（0）=1+2f（0），得f（0）=﹣1．因为f′（x）=2e2x﹣2e x﹣f′（0），所以f′（0）=2﹣2﹣f′（0），解得f′（0）=0．所以f（x）=e2x﹣2e x，f′（x）=2e x（e x﹣1），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）令g（x）=af（x）﹣e x+x=ae2x﹣（2a+1）e x+x，根据题意，当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0恒成立．g′（x）=（2ae x﹣1）（e x﹣1）．①当0＜a＜，x∈（﹣ln2a，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在（﹣ln2a，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（﹣ln2a），+∞），所以不符合题意；②当a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（0），+∞），所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈（0，+∞），所有恒有g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，于是“g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立”的充要条件是g（0）≤0，即a﹣（2a+1）≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．综上，a的取值范围是[﹣1，0]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．【分析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．（2）设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M（，）．把M（，）代入，能求出a的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣=0．∵圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14=0．（2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，∴ρ2+ρ3=3+3．∵点M恰好为AB的中点，∴，即M（，）．把M（，）代入，得×﹣=0，解得a=．【点评】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|．（1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．【分析】（1）代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：（1）当m=2，n=﹣1时，f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|，不等式f（x）＜2等价于或或，解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．所以不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，0）．（2）由题设可得，f（x）=|x+3|﹣|2x+n|=，所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：A（﹣，0），B（3﹣n，0），C（﹣，3﹣），所以三角形ABC的面积为（3﹣n+）（3﹣）=，由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科)
2018 年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知 x，y∈ R，会合 A={ 2，log3x} ，会合 B={ x，y} ，若 A∩ B={ 0} ，则 x+y=（）A．B．0C．1D．32．若复数 z1=1+i， z2=1﹣i，则以下结论错误的选项是（）A．z1?z2是实数 B．是纯虚数C．| z | =2| z2| 2D．z=4i3．已知=（﹣ 1，3）， =（m ，m﹣4）， =（2m，3），若，则（）A．﹣ 7 B．﹣2 C．5D．84．如图，是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在暗影地区内的概率为（）A．B．C．D．5．已知等比数列{ a n} 的首项为1，公比q≠﹣ 1，且a5 +a4=3（ a3+a2），则=（）A．﹣ 9 B．9C．﹣ 81D．816．已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线相互垂直，则该双曲线的方程为（）A．=1B．C．=1 D．=1或=17．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．8π+6B．6π+6C．8π+12D．6π+128．设 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[ ﹣2，2]B．[ ﹣4，4]C．[ 0，4] D．[ 0，2]9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖励国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨 ?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第 1 个小格里，赐给我 1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上全部的64 格的麦粒，都赐给您的佣人吧！”国王感觉这要求太简单知足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全球的麦粒全拿来，也知足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求获取的麦粒究竟有多少粒？下边是四位同学为了计算上边这个问题而设计的程序框图，此中正确的是（）A．B．C．D．10．已知数列 { a n} 前 n 项和为 S n，a1=15，且知足（2n﹣5）a n+1=（ 2n﹣3）a n+4n2﹣ 16n+15，已知 n，m∈N+， n＞ m，则 S n﹣S m的最小值为（）A．B．C．﹣ 14D．﹣ 2811．已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C 的余弦值为，则该四周体ABCD 外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π12．已知函数 f（x）=e x﹣ln（x+3），则下边对函数 f（x）的描绘正确的选项是（）A．? x∈（﹣ 3，+∞），f （x）≥B．? x∈（﹣ 3， +∞）， f（x）C．? x0∈（﹣ 3， +∞），f （x0） =﹣1D．f（x）min∈（ 0，1）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．将函数 f（ x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，获取偶函数 g（x）的图象，则φ的最大值是．14．已知＞，＞（，ax+6 睁开式的常数项为，则 a+2b 的最小值为．a 0 b0）2x+1）+mx，当 m＞ 0 时，对于 x 的不等式 f（log3）15．已知函数 f（x） =log （ 4x ＜ 1 的解集为．16．设过抛物线y2=2px（ p＞ 0）上随意一点 P（异于原点 O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于 A，B 两点，直线 OP 与抛物线 y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c，已知 B=60°，c=8．（ 1）若点 M ，N 是线段 BC的两个三平分点， BM= BC， =2 ，求 AM 的值；（ 2）若 b=12，求△ ABC的面积．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 EDCF是正方形， AD=DE，∠ ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．（1）证明：平面 ABCD⊥平面 EDCF；（2）求直线 AF 与平面 BDF所成角的最正弦值．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，获取的优惠力度越大，详细状况如表：上一年[ 0，100）[ 100，[ 200，[ 300，[ 400，[ 500， +度销售200）300）400）500）∞）额/万元商品单a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a价 / 元为了研究该商品购置单价的状况，为此检查并整理了50 个经销商一年的销售额，获取下边的柱状图．已知某经销商下一年购置该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频次作为概率．（1）求 X 的均匀预计值．（2）该工厂针对此次的检查拟订了以下奖励方案：经销商购置单价不高于均匀预计单价的获取两次抽奖活动，高于均匀预计单价的获取一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额 / 元500010000概率记 Y（单位：元）表示某经销商参加此次活动获取的奖金，求 Y 的散布列及数学希望 ..20．已知椭圆 C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点 F2也为抛物线 C2： y2=8x 的焦点．（1）若 M ，N 为椭圆 C1上两点，且线段 MN 的中点为（ 1，1），求直线 MN 的斜率；（ 2）若过椭圆 C1的右焦点2作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，和，，F A B C D设线段 AB，CD的长分别为 m，n，证明是定值．21．已知 f ′（x）为函数 f（ x）的导函数， f （x） =e2x+2f（0）e x﹣f ′（0）x．（1）求 f （x）的单一区间；（2）当 x＞0 时， af（x）＜ e x﹣ x 恒成立，求 a 的取值范围．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（ x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．（1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；（2）若射线θ=与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A， B，且点 M 恰巧为线段AB 的中点，求 a 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知 f（ x） =| mx+3| ﹣ | 2x+n| ．（ 1）当 m=2，n=﹣ 1 时，求不等式 f（x）＜ 2 的解集；（ 2）当 m=1，n＜0 时，f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于24，求 n 的取值范围．2018 年广东省高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知 x，y∈ R，会合 A={ 2，log3x} ，会合 B={ x，y} ，若 A∩ B={ 0} ，则 x+y=（）A．B．0C．1D．3【剖析】依据 A∩ B={ 0} 即可得出 0∈ A， 0∈ B，这样即可求出 x，y 的值，从而求出 x+y 的值．【解答】解： A∩B={ 0} ；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1， y=0；∴x+y=1．应选： C．【评论】考察列举法表示会合的观点，交集的观点及运算，以及元素与会合的关系．2．若复数 z1=1+i， z2=1﹣i，则以下结论错误的选项是（）A．z1?z2是实数 B．是纯虚数22C．| z | =2| z |D．z=4i【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐个判断得答案．【解答】解：∵ z1=1+i，z2=1﹣ i，∴z1?z2=1﹣ i2=2，故 A 正确；，故 B 正确；，，故 C 正确；，故 D 错误．应选： D．【评论】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数模的求法，是基础题．3．已知=（﹣ 1，3）， =（m ，m﹣4）， =（2m，3），若，则（）A．﹣ 7 B．﹣2 C．5D．8【剖析】依据平面向量的坐标运算与共线定理、数目积运算法例，计算即可．【解答】解：=（﹣ 1，3），=（ m，m﹣4）， =（2m， 3），若，则﹣ 1×（ m﹣4）﹣ 3× m=0；解得 m=1；∴ =（1，﹣ 3）=（2，3）；=1×2+（﹣ 3）× 3=﹣7．应选： A．【评论】此题考察了平面向量的坐标运算与共线定理、数目积运算问题，是基础题．4．如图，是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在暗影地区内的概率为（）A．B．C．D．【剖析】依据象的关系，求出暗影部分的面，合几何概型的概率公式行求解即可．【解答】解： AE，合象可知弓形①与弓形②面相等，将弓形①移到②的地点，暗影部分将组成一个直角三角形，暗影部分的面正方形面的，向正方形内随机投入一点，点落在暗影地区内的概率P= ，故： D．【点】本主要考几何概型的概率公式的用，求出暗影部分的面是解决本的关．5．已知等比数列{ a n} 的首1，公比q≠ 1，且 a5 +a4=3（ a3+a2），=（）A． 9 B．9C． 81D．81【剖析】等比数列 { a n的首，公比q ≠ ，且 5 4（ 3 2），可得}11 a +a =3 a +a =3 （ a2q+a2），化： q2=3 ．由等比数列的性可得：+++×=q4．即可得出．12912⋯⋯8 4 9，代入a a ⋯⋯a=q=q【解答】解：等比数列 { a n的首，公比≠ ，且 5 4（3 2），}1q1 a +a =3 a +a ∴=3（a22），q+a化： q2．=3由等比数列的性可得： a1+ ++4×92⋯⋯a9 1 2⋯⋯8=a=q=q==q4．=9故： B．【评论】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式与乞降公式及其性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线相互垂直，则该双曲线的方程为（）A．=1B．C．=1 D．=1或=1【剖析】由题意可得 c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ 1，可得 a=b，解方程可得 a，b 的值，即可获取所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线 C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），可得 c=4，即有 a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线相互垂直，即直线 y= x 和直线 y=﹣x 垂直，可得 a=b，解方程可得 a=b=2，则双曲线的方程为﹣=1．应选： A．【评论】此题考察双曲线的方程和性质，主假如渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ 1，考察方程思想和运算能力，属于基础题．7．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．8π+6B．6π+6C．8π+12D．6π+12【剖析】由题意判断几何体的形状，而后求解几何体的表面积即可．【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径同样为 1，圆柱的高为 3，几何体的表面积为： 2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．应选： B．【评论】此题考察的知识点是由三视图求体积和表面积，解决此题的重点是获取该几何体的形状．8．设 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[ ﹣2，2]B．[ ﹣4，4]C．[ 0，4] D．[ 0，2]【剖析】作出拘束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x 可得结论．【解答】解：作出拘束条件所对应的可行域（如图暗影）变形目标函数可得 y=﹣ 2x+z，平移直线 y=﹣ 2x 可知当直线经过点 A（﹣ 2，0）时，目标函数取最小值﹣ 4 当直线经过点 B（ 2，0）时，目标函数取最大值 4，故 z=﹣2x+y 的取值范围为 [ ﹣4，4] ．应选： B．【评论】此题考察简单线性规划，正确作图是解决问题的重点，属中档题．9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖励国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨 ?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第 1 个小格里，赐给我 1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上全部的64 格的麦粒，都赐给您的佣人吧！”国王感觉这要求太简单知足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全球的麦粒全拿来，也知足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求获取的麦粒究竟有多少粒？下边是四位同学为了计算上边这个问题而设计的程序框图，此中正确的是（）A．B．C．D．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为 64，因为四个答案均为直到条件不知足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量结构一个以 1 为首项，以 2 为公式的等比数列，由 S n=2n﹣1 得： S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，故循环体内 S=1+2S，应选： C．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．10．已知数列 { a n} 前 n 项和为 S n，a1=15，且知足（2n﹣5）a n+1=（ 2n﹣3）a n+4n2﹣ 16n+15，已知 n，m∈N+， n＞ m，则 S n﹣m的最小值为（）SA．B．C．﹣ 14D．﹣ 28【剖析】由等式变形，可得 {} 为等差数列，公差为 1，首项为﹣ 5，运用等差数列的通项公式可得 a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得n，议论 nS的变化， S n的变化，僵尸可得最小值．【解答】解：∵（ 2n﹣5）a n+1=（2n﹣3）a n +4n2﹣ 16n+15，∴﹣=1，=﹣5．可得数列 {} 等差数列，公差1，首 5．∴= 5+n 1=n 6，∴a n=（ 2n 5）（n 6）=2n2 17n+30．∴S n=2（12+22+⋯⋯+n2） 17（ 1+2+⋯⋯+n） +30n=2×17×+30n=．可得 n=2， 3， 4， 5，S n减；＞，n 增，n 5 S∵n， m∈N+，n＞m，S1=15， S2=19，S5=S6 =5，S7=14， S8=36，S n S m的最小 5 19= 14，故： C．【点】本考了数列推关系、等差数列的通公式、分乞降方法，考了推理能力与算能力，属于中档．11．已知菱形 ABCD的 2，∠ BAD=60°，沿角BD将菱形ABCD折起，使得二面角 A BD C 的余弦，四周体ABCD 外接球的体（）A．B．8πC．D．36π【剖析】正确作出形，利用勾股定理成立方程，求出四周体的外接球的半径，即可求出四周体的外接球的体．【解答】解：如所示，取BD 中点 F， AF、 CF，AF⊥ BD，CF⊥BD，∴∠ AFC是二面角 A BD C 的平面角， A作 AE⊥平面 BCD，交 CF延于 E，∴ cos∠ AFC=，cos，AF=CF==3，∴AE=2 ，EF=1，O 球， O 作 OO′⊥CF，交 F 于 O′，作 OG⊥ AE，交 AE 于 G，OO′=x，∵ O′B= CF=2，O′F= =1，∴由勾股定理得22'2 2 22 （22 ，R′B +OO=4+x =OG +AG） +（2 ﹣ x ）=O= 1+1解得 x=，∴ R 2=6，即 R= ，∴四周体的外接球的体积为3π．V= πR=8=应选： B ．【评论】 此题考察四周体的外接球的体积的求法，考察四周体、球等基础知识，考察运用求解能力、空间想象能力、探究能力、转变与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12． 已知函数 f （x ）=e x ﹣ln （x+3），则下边对函数 f （x ）的描绘正确的选项是 （）A ．? x ∈（﹣ 3，+∞），f （x ）≥B ．? x ∈（﹣ 3， +∞）， f （x ）C ．? x 0∈（﹣ 3， +∞），f （x 0） =﹣1D ．f （x ）min ∈（ 0，1）【剖析】此题第一要对函数 f （x ）=e x﹣ln （x+3）进行求导，确立 f ′（x ）在定义域上的单一性为单一递加函数，而后再利用当 x ∈（a ，b ）时，利用 f （′a ）f （′b ）＜ 0 确立导函数的极值点 x 0∈（﹣ 1，﹣ ）从而．获取 x=x 0 时是函数 f （x ）的最小值点．【解答】解：因为函数 f （x ）=e x ﹣ln （x+3），定义域为（﹣ 3，+∞），因此 f ′（x ）=e x ﹣，易知导函数 f ′（x ）在定义域（﹣ 3，+∞）上是单一递加函数，又 f ′（﹣ 1）＜ 0， f ′（﹣ ）＞ 0，因此 f ′（x ）=0 在（﹣ 3，+∞）上有独一的实根，不如将其设为 x 0，且 x 0∈（﹣1， ﹣），第15页（共 28页）则 x=x0为（）的最小值点，且f （′ 0），即e=，两边取以e为底的f x x=0对数，得 x0=﹣ln（x0+3）故 f（x）≥f（x0）﹣（ 0）﹣（ 0）0，因为0∈（﹣=e ln x +3=ln x +3 =+x x1，﹣），因此 2＜ x0+3，故 f（ x）≥ f（ x0）=＞2+﹣，即对? x∈（﹣，∞），=3+都有 f （x）＞﹣．应选： B．【评论】此题表面考察命题的真假判断，其实是考察函数的求导，求最值问题，正确计算是基础，娴熟运用知识点解决问题是重点．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．将函数 f（ x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，获取偶函数 g（x）的图象，则φ的最大值是．【剖析】依据三角函数图象平移法例，联合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数 f（ x）=2sin（ 2x+φ）（φ＜ 0）的图象向左平移个单位长度，得 f（ x+）=2sin[ 2（x+ ） +φ] =2sin（2x+φ+）的图象，∴ g（ x）=2sin（ 2x++φ）；又 g（x）是偶函数，∴+φ= +kπ，k∈Z；∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．故答案为：﹣．【评论】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6睁开式的常数项为，则 a+2b 的最小值为 2 ．14．已知 a＞0，b＞ 0，（ ax+ ）【剖析】写出二项睁开式的通项，由x 的指数为 0 求得 r 值，可得 ab=，再由基本不等式求 a+2b 的最小值．【解答】解：（ax+）6睁开式的通项为x6﹣2r，由 6﹣2r=0，得 r=3．∴，即．∴ a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=．”∴a+2b 的最小值为2．故答案为： 2．【评论】此题考察二项式定理的应用，考察二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．15．已知函数 f（x） =log2（ 4x+1）+mx，当 m＞ 0 时，对于 x 的不等式 f（log3x）＜1 的解集为（0，1）．【剖析】利用单一性求解即可．【解答】解：函数 f （x） =log2（ 4x+1）+mx，当 m＞0 时，可知 f（ x）时单一递加函数，当x=0 时，可得 f（0）=1，那么不等式 f （log3x）＜f （0）的解集，即，解得： 0＜x＜1．故答案为（ 0，1）【评论】此题考察的知识点是对数函数的图象和性质，切合函数的单一性判断，3难度不大，属于基础题．第17页（共 28页）y2=8px（p＞0）交于 A，B 两点，直线 OP 与抛物线 y2=8px（p＞0）的另一个交点为 Q，则= 3【剖析】联立方程组求出 P，Q 的坐标，计算 OP，PQ 的比值得出结论．【解答】解：设直线 OP 方程为 y=kx（k≠0），联立方程组，解得 P（，），联立方程组，解得 Q（，），∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为： 3．【评论】此题考察了抛物线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c，已知 B=60°，c=8．（ 1）若点 M ，N 是线段 BC的两个三平分点， BM= BC， =2 ，求 AM 的值；（ 2）若 b=12，求△ ABC的面积．【剖析】（1）设 BM=x，则 AM=2 x，由余弦定理求出 BM=4，由此利用余弦定理能求出 b．（ 2）由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ ABC的面积．【解答】解：（ 1）∵在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8点 M ，N 是线段 BC的两个三平分点， BM= BC，=2 ，∴设 BM=x，则 AN=2x，在△ABN 中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，解得 x=4（负值舍去），则 BM=4，∴AM==4．（ 2）在△ ABC中，由正弦定理得=，∴ sinC===，又 b=12＞c，∴ B＞C，则 C 为锐角，∴ cosC= ，则 sinA=sin（ B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×=，∴△ ABC的面积 S= bcsinA=48×=24．【评论】此题考察三角形的边长的求法，考察三角形面积的求法，考察三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考察运用求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 EDCF是正方形， AD=DE，∠ ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．（1）证明：平面 ABCD⊥平面 EDCF；（2）求直线 AF 与平面 BDF所成角的最正弦值．【剖析】（1）推导出 AD⊥DE，DC⊥DE，从而 DE⊥平面 ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面 EDCF．（2）以 D 为原点，以 DA 为 x 轴，成立空间直角坐标系 D﹣xyz，利用向量法能求出直线 AF 与平面 BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（ 1）因为 AD⊥DE，DC⊥ DE，AD、CD? 平面 ABCD，且 AD∩CD=D，因此 DE⊥平面 ABCD．又 DE? 平面 EDCF，故平面 ABCD⊥平面 EDCF．解：（ 2）由已知 DC∥ EF，因此 DC∥平面 ABFE．又平面 ABCD∩平面 ABFE=AB，故 AB∥CD．因此四边形 ABCD为等腰梯形．又AD=DE，因此AD=CD，由题意得AD⊥BD，令 AD=1，如图，以 D 为原点，以 DA 为 x 轴，成立空间直角坐标系 D﹣ xyz，则 D（0，0，0），A（1，0，0），F（﹣，，1），B（0，，0），∴=（，﹣，﹣1），=（0，，0），=（﹣，，1）．设平面 BDF的法向量为=（x，y，z），则，取 x=2，得=（2，0，1），cos＜，＞===．设直线与平面 BDF所成的角为θ，则 sin θ= ．因此直线 AF 与平面 BDF所成角的正弦值为．【评论】此题考察面面垂直的证明，考察线面角的正弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为 a（单位：元），在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，获取的优惠力度越大，详细状况如表：上一年[ 0，100）[ 100，[ 200，[ 300，[ 400，[ 500， +度销售200）300）400）500）∞）额/万元商品单a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a 价 / 元为了研究该商品购置单价的状况，为此检查并整理了50 个经销商一年的销售额，获取下边的柱状图．已知某经销商下一年购置该商品的单价为 X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频次作为概率．（1）求 X 的均匀预计值．（2）该工厂针对此次的检查拟订了以下奖励方案：经销商购置单价不高于均匀预计单价的获取两次抽奖活动，高于均匀预计单价的获取一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额 / 元500010000概率记 Y（单位：元）表示某经销商参加此次活动获取的奖金，求 Y 的散布列及数学希望 ..【剖析】（1）由统计表和柱状图能获取X 的均匀预计值．（ 2）购置单价不高于均匀预计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5= ．Y 的取值为5000，10000，15000， 20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y 的散布列和E（Y）．【解答】解：（1）由题可知：商品单a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a 价 / 元频次0.20.30.240.120.10.04 X的均匀预计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（ 2）购置单价不高于均匀预计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5= ．Y 的取值为 5000，10000，15000，20000．P（Y=5000） =，P（Y=10000）==，P（Y=15000）==，P（Y=20000）== ．∴ Y 的散布列为：Y5000100001500020000PE（Y）=+20000×=9375（元）．【评论】此题考察学生对频次散布直方图的理解以及散布列的有关知识，考察运算求解能力、数据办理能力、应意图识，考察分类与整合思想、必定与或然思想、化归与转变思想．20．已知椭圆 C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点 F2也为抛物线 C2： y2=8x 的焦点．（1）若 M ，N 为椭圆 C1上两点，且线段 MN 的中点为（ 1，1），求直线 MN 的斜率；（ 2）若过椭圆 C1的右焦点2作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，和，，F A B C D设线段 AB，CD的长分别为 m，n，证明是定值．【剖析】（1）依据抛物线的性质，求得c，即可求得 b 的值，利用“点差法”即可求得直线 MN 的斜率；（2）分类议论，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得 m 的值，同理即可求得 n 的值，即可求得是定值．【解答】解：（1）抛物线 C2： y2=8x 的焦点（ 2，0），则 c=2，b2=a2﹣ c2=4，∴椭圆的标准方程：，设 M（x1，1），（2，2），yN x y则，两式相减得：=﹣?，由 MN 的中点为（ 1， 1），则 x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线 MN 的斜率 k==﹣，∴直线 MN 的斜率为﹣；（ 2 ）由椭圆的右焦点F2（ 2， 0），当直线AB 的斜率不存在或为0 时，+ =+=，当直线 AB 的斜率存在且不为0，设直线 AB 的方程为 y=k（x﹣ 2），设 A（x1，1），（2，2），联立，消去2）x2 y B x y y 化简整理得：（1+2k﹣8k2x+8k2﹣ 8=0，△=（﹣ 8k2）2﹣ 4（ 1+2k2）（ 8k2﹣ 8） =32（k2+1）＞ 0，∴ x1+x2=，x1x2=，则 m==，同理可得：，∴=（+）=，综上可知：是定值．【评论】此题考察椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的地点关系，考察韦达定理，弦长公式的应用，考察转变思想，属于中档题．21．已知 f ′（x）为函数 f（ x）的导函数， f （x） =e2x+2f（0）e x﹣f ′（0）x．（ 1）求 f （x）的单一区间；（ 2）当 x＞0 时， af（x）＜ e x﹣ x 恒成立，求 a 的取值范围．【剖析】（1）求出函数的导数，计算 f（0），求出 f ′（ 0）的值，求出函数的单一区间即可；（2）令 g（x）=af（ x）﹣ e x+x，求出函数的导数，经过议论 a 的范围，求出函数的最值，从而确立 a 的范围即可．【解答】解：（1）由 f （0）=1+2f（0），得 f（0）=﹣1．因为 f ′（x）=2e2x﹣2e x﹣f ′（0），因此 f ′（0）=2﹣2﹣f （′ 0），解得 f ′（0）=0．因此 f （x） =e2x﹣2e x，f ′（x）=2e x（ e x﹣1），当 x∈（﹣∞， 0）时， f ′（ x）＜ 0，则函数 f （x）在（﹣∞， 0）上单一递减；当 x∈（ 0，+∞）时， f ′（x）＞ 0，则函数 f （x）在（ 0， +∞）上单一递加．（ 2）令 g（x）=af（x）﹣ e x+x=ae2x﹣（ 2a+1） e x+x，依据题意，当 x∈（ 0， +∞）时， g（x）＜ 0 恒成立．g′（ x）=（2ae x﹣1）（ e x﹣1）．①当 0＜a＜，x∈（﹣ln2a，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，因此 g（x）在（﹣ ln2a， +∞）上是增函数，且 g（x）∈（ g（﹣ ln2a），+∞），因此不切合题意；②当 a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，因此 g（x）在（ 0，+∞）上是增函数，且 g（x）∈（ g（ 0），+∞），因此不切合题意；③当 a≤0 时，因为 x∈（ 0，+∞），全部恒有 g′（ x）＜ 0，故 g（x）在（ 0，+∞）上是减函数，于是“g（x）＜ 0 对随意 x∈（ 0，+∞）都成立”的充要条件是 g（ 0）≤ 0，即 a﹣（ 2a+1）≤ 0，解得： a≥﹣ 1，故﹣1≤a≤0．综上， a 的取值范围是 [ ﹣1，0] ．【评论】此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（ x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．（1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；（2）若射线θ=与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A， B，且点 M 恰巧为线段AB 的中点，求 a 的值．【剖析】（ 1）直线 l 的参数方程消去t 可得直线 l 的一般方程，将 x=ρcos，θy=ρsin θ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆 C 的极坐标方程．（ 2 ）设M （），A（），B（ρ3，）．联立，得，从而ρ2 3+ρ=3+3，从而 M（，）．把 M（，）代入，能求出 a 的值．【解答】解：（1）∵直线 l 的参数方程为（t 为参数），∴在直线 l 的参数方程中消去 t 可得直线 l 的一般方程为 x﹣y﹣=0，将 x=ρcos，θy=ρsin 代θ入以上方程中，获取直线 l 的极坐标方程为ρcos﹣θρsin﹣θ=0．∵圆 C 的标准方程为（ x﹣3）2+（ y﹣ 3）2，=42∴圆 C 的极坐标方程为ρ﹣6ρcos﹣θ6ρsin+14=0θ．（ 2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，∴ρ2 3+ρ=3+3．∵点 M 恰巧为 AB 的中点，∴，即M（，）．把M（，）代入，得×﹣=0，解得 a=．【评论】此题考察直线和圆的极坐标方程的求法，考察实数值的求法，考察极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知 f（ x） =| mx+3| ﹣ | 2x+n| ．（ 1）当 m=2，n=﹣ 1 时，求不等式 f（x）＜ 2 的解集；（ 2）当 m=1，n＜0 时，f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于24，求 n 的取值范围．【剖析】（1）代入 m， n 的值，获取对于 x 的不等式组，解出即可；（ 2）求出 A， B， C 的坐标，表示出三角形的面积，获取对于n 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）当 m=2，n=﹣ 1 时， f（x）=| 2x+3| ﹣ | 2x﹣1| ，不等式 f （ x ）＜ 2等价于或或，解得： x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．因此不等式 f （x）＜ 2 的解集是（﹣∞， 0）．（ 2）由题设可得， f（x）=| x+3| ﹣| 2x+n| =，因此函数 f（ x）的图象与 x 轴围成的三角形的三个极点分别为：A（﹣，0），B（3﹣n，0），C（﹣，3﹣），因此三角形 ABC的面积为（3﹣n+）（3﹣）=，由＞24，解得： n＞18 或 n＜﹣ 6．【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察分类议论思想，转变思想，是一道综合题．。
广东省2018届高考模拟考试数学理科试题(二)-有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B =，则x y +=（ ）A ．13B ．0C ．1D ．3 2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数 C ．24122z z = D ．22124z z i += 3.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，()2,3c m =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．7- B ．2- C ．5 D ．84.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 5.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+=（ ）A ．9-B ．9 C.81- D ．816.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+ 8.设x ，y 满足约束条件0,2,xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]4,4- C.[]0,4 D ．[]0,29.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（ ）A ．494-B ．498- C.14- D ．28-11.已知菱形ABCD 的边长为60BAD ∠=，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A BD C --的余弦值为13-，则该四面体ABCD 外接球的体积为（ ）AB．D ．36π 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．()3,x ∀∈-+∞，()13f x ≥B ．()3,x ∀∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ∃∈-+∞，()01f x =- D ．()()min 0,1f x ∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.将函数()()()2sin 20f x x ϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则ϕ的最大值是 ．14.已知0a >，0b >，6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为52，则2a b +的最小值为 ．15.已知函数()()2log 41x f x mx =++，当0m >时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为 ． 16.设过抛物线()220y px p =>上任意一点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，AN BM=，求AM 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18. 如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD DE =，90ADE ∠=，120ADC DCB ∠=∠=.（1）证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； （2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值.19. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为Y 的分布及数学期望.20. 已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. 21. 已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: ABBCC 11、12：BB 二、填空题 13.6π-14. 2 15. ()0,1 16.3 三、解答题17.解：（1）由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点， 设BM x =，则2BN x =，AN =，又60B =，8AB =， 在ABN ∆中，由余弦定理得2212644282cos60x x x =+-⨯⨯， 解得2x =（负值舍去），则2BM =. 在ABN ∆中，AM ===（2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 123c BC b===. 又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以6cos 3C =. 则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=+=， 所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A ===18.（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D ⊃=， 所以DE ⊥平面ABCD .又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平面ABFE . 又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .所以四边形ABCD 为等腰梯形.又AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()B ，所以3,,122FA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =，1,22DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,10,22x y z =⎨-++=⎪⎩取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，cos ,2FA n FA n FA n⋅<>===. 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=. 所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为5.19.解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==⨯=，()1113313100002424432P Y ==⨯+⨯⨯=，()2111331500024416P Y C ==⨯⨯⨯=， ()11112000024432P Y ==⨯⨯=. 所以Y 的分布列为()1500010000150002000093758321632E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y 联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k km n k k⎫+++=+=⎪++⎭为定值.21.解：（1）由()()0120f f=+，得()01f=-.因为()()'2'220x xf x e e f=--，所以()()''0220f f=--，解得()'00f=.所以()22x xf x e e=-，()()'22221x x x xf x e e e e=-=-，当(),0x∈-∞时，()'0f x<，则函数()f x在(),0-∞上单调递减；当()0,x∈+∞时，()'0f x>，则函数()f x在()0,+∞上单调递增.（2）令()()()221x x xg x af x e x ae a e x=-+=-++，根据题意，当()0,x∈+∞时，()0g x<恒成立. ()()()()'222211211x x x xg x ae a e ae e=-++=--.①当12a<<，()ln2,x a∈-+∞时，()'0g x>恒成立，所以()g x在()ln2,a-+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a∈-+∞，所以不符合题意；②当12a≥，()0,x∈+∞时，()'0g x>恒成立，所以()g x在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g∈+∞，所以不符合题意；③当0a≤时，因为()0,x∈+∞，所有恒有()'0g x<，故()g x在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x<对任意()0,x∈+∞都成立”的充要条件是()00g≤，即()210a a-+≤，解得1a≥-，故10a-≤≤.综上，a的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）在直线l的参数方程中消去t可得，34x y a--+=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为3cos sin04aρθρθ--+=.同理，圆C的极坐标方程为26cos6sin140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3Mπρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3Aπρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭.联立2,36cos6sin140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3,23M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=，所以94a =. 23.解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <. 所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞.（2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。
【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科)
2018年省高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．32．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．84．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．816．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=17．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+128．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣2811．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．2018年省高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．3【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．应选：C．【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念与运算，以与元素与集合的关系．2．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算与复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．应选：D．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是根底题．3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法那么，计算即可．【解答】解：=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么﹣1×〔m﹣4〕﹣3×m=0；解得m=1；∴=〔1，﹣3〕=〔2，3〕；=1×2+〔﹣3〕×3=﹣7．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是根底题．4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】根据图象的关系，求出阴影局部的面积，结合几何概型的概率公式进展求解即可．【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，那么阴影局部将构成一个直角三角形，那么阴影局部的面积为正方形面积的，那么向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率P=，应选：D．【点评】此题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影局部的面积是解决此题的关键．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81【分析】等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，可得=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，∴=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9那么==q4=9．应选：B．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式与其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=1【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，可得c=4，即有a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y=x和直线y=﹣x垂直，可得a=b，解方程可得a=b=2，那么双曲线的方程为﹣=1．应选：A．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以与两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于根底题．7．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的外表积即可．【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径一样为1，圆柱的高为3，几何体的外表积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．应选：B．【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和外表积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．8．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x 可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知当直线经过点A〔﹣2，0〕时，目标函数取最小值﹣4当直线经过点B〔2，0〕时，目标函数取最大值4，故z=﹣2x+y的取值围为[﹣4，4]．应选：B．【点评】此题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n=2n﹣1得：S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，故循环体S=1+2S，应选：C．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣28【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n，讨论n 的变化，S n的变化，僵尸可得最小值．【解答】解：∵〔2n﹣5〕a n=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，+1∴﹣=1，=﹣5．可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，∴a n=〔2n﹣5〕〔n﹣6〕=2n2﹣17n+30．∴S n=2〔12+22+……+n2〕﹣17〔1+2+……+n〕+30n=2×﹣17×+30n=．可得n=2，3，4，5，S n递减；n＞5，S n递增，∵n，m∈N+，n＞m，S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，S n﹣S m的最小值为5﹣19=﹣14，应选：C．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如下图，取BD中点F，连结AF、CF，那么AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，∴AE=2，EF=1，设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=〔1+1〕2+〔2﹣x〕2，解得x=，∴R2=6，即R=，∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．应选：B．【点评】此题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等根底知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕【分析】此题首先要对函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕进展求导，确定f′〔x〕在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈〔a，b〕时，利用f′〔a〕f′〔b〕＜0确定导函数的极值点x0∈〔﹣1，﹣〕从而．得到x=x0时是函数f〔x〕的最小值点．【解答】解：因为函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，定义域为〔﹣3，+∞〕，所以f′〔x〕=e x﹣，易知导函数f′〔x〕在定义域〔﹣3，+∞〕上是单调递增函数，又f′〔﹣1〕＜0，f′〔﹣〕＞0，所以f′〔x〕=0在〔﹣3，+∞〕上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈〔﹣1，﹣〕，那么x=x0为f〔x〕的最小值点，且f′〔x0〕=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln〔x0+3〕故f〔x〕≥f〔x0〕=e﹣ln〔x0+3〕=﹣ln〔x0+3〕=+x0，因为x0∈〔﹣1，﹣〕，所以2＜x0+3，故f〔x〕≥f〔x0〕=＞2+=﹣，即对∀x∈〔﹣3，+∞〕，都有f〔x〕＞﹣．应选：B．【点评】此题外表考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是根底，熟练运用知识点解决问题是关键．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．【分析】根据三角函数图象平移法那么，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得f〔x+〕=2sin[2〔x+〕+φ]=2sin〔2x+φ+〕的图象，∴g〔x〕=2sin〔2x++φ〕；又g〔x〕是偶函数，∴+φ=+kπ，k∈Z；∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是根底题．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为2．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由根本不等式求a+2b的最小值．【解答】解：〔ax+〕6展开式的通项为x6﹣2r，由6﹣2r=0，得r=3．∴，即．∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=〞．∴a+2b的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用根本不等式求最值，是根底题．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为〔0，1〕．【分析】利用单调性求解即可．【解答】解：函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，可知f〔x〕时单调递增函数，当x=0时，可得f〔0〕=1，那么不等式f〔log3x〕＜f〔0〕的解集，即，解得：0＜x＜1．故答案为〔0，1〕【点评】此题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于根底题．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=3【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．【解答】解：设直线OP方程为y=kx〔k≠0〕，联立方程组，解得P〔，〕，联立方程组，解得Q〔，〕，∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为：3．【点评】此题考查了抛物线的性质，属于中档题．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．【分析】〔1〕设BM=x，那么AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．〔2〕由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，∴设BM=x，那么AN=2x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，解得x=4〔负值舍去〕，那么BM=4，∴AM==4．〔2〕在△ABC中，由正弦定理得=，∴sinC===，又b=12＞c，∴B＞C，那么C为锐角，∴cosC=，那么sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=×=，∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．【点评】此题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等根底知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．【分析】〔1〕推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．〔2〕以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．解：〔2〕由DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．所以四边形ABCD为等腰梯形．又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，令AD=1，如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，F〔﹣，，1〕，B〔0，，0〕，∴=〔，﹣，﹣1〕，=〔0，，0〕，=〔﹣，，1〕．设平面BDF的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取x=2，得=〔2，0，1〕，cos＜，＞===．设直线与平面BDF所成的角为θ，那么sinθ=．所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】此题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..【分析】〔1〕由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E〔Y〕．【解答】解：〔1〕由题可知：a 0.9a0.85a0.8a 0.75a0.7a商品单价/元频率0.20.30.240.120.10.04X的平均估计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P〔Y=5000〕=，P〔Y=10000〕==，P〔Y=15000〕==，P〔Y=20000〕==．∴Y的分布列为：Y5000100001500020000PE〔Y〕=+20000×=9375〔元〕．【点评】此题考查学生对频率分布直方图的理解以与分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【分析】〔1〕根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法〞即可求得直线MN的斜率；〔2〕分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．【解答】解：〔1〕抛物线C2：y2=8x的焦点〔2，0〕，那么c=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，两式相减得：=﹣•，由MN的中点为〔1，1〕，那么x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线MN的斜率k==﹣，∴直线MN的斜率为﹣；〔2〕由椭圆的右焦点F2〔2，0〕，当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k〔x﹣2〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，消去y化简整理得：〔1+2k2〕x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，△=〔﹣8k2〕2﹣4〔1+2k2〕〔8k2﹣8〕=32〔k2+1〕＞0，∴x1+x2=，x1x2=，那么m==，同理可得：，∴=〔+〕=，综上可知：是定值．【点评】此题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f〔0〕，求出f′〔0〕的值，求出函数的单调区间即可；〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的围，求出函数的最值，从而确定a的围即可．【解答】解：〔1〕由f〔0〕=1+2f〔0〕，得f〔0〕=﹣1．因为f′〔x〕=2e2x﹣2e x﹣f′〔0〕，所以f′〔0〕=2﹣2﹣f′〔0〕，解得f′〔0〕=0．所以f〔x〕=e2x﹣2e x，f′〔x〕=2e x〔e x﹣1〕，当x∈〔﹣∞，0〕时，f′〔x〕＜0，那么函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减；当x∈〔0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，那么函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增．〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x=ae2x﹣〔2a+1〕e x+x，根据题意，当x∈〔0，+∞〕时，g〔x〕＜0恒成立．g′〔x〕=〔2ae x﹣1〕〔e x﹣1〕．①当0＜a＜，x∈〔﹣ln2a，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔﹣ln2a，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔﹣ln2a〕，+∞〕，所以不符合题意；②当a≥，x∈〔0，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔0〕，+∞〕，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈〔0，+∞〕，所有恒有g′〔x〕＜0，故g〔x〕在〔0，+∞〕上是减函数，于是“g〔x〕＜0对任意x∈〔0，+∞〕都成立〞的充要条件是g〔0〕≤0，即a﹣〔2a+1〕≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．综上，a的取值围是[﹣1，0]．【点评】此题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以与函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．【分析】〔1〕直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．〔2〕设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M〔，〕．把M〔，〕代入，能求出a的值．【解答】解：〔1〕∵直线l的参数方程为〔t为参数〕，∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣=0．∵圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14=0．〔2〕在极坐标系中，由可设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，∴ρ2+ρ3=3+3．∵点M恰好为AB的中点，∴，即M〔，〕．把M〔，〕代入，得×﹣=0，解得a=．【点评】此题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．【分析】〔1〕代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；〔2〕求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：〔1〕当m=2，n=﹣1时，f〔x〕=|2x+3|﹣|2x﹣1|，不等式f〔x〕＜2等价于或或，解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．所以不等式f〔x〕＜2的解集是〔﹣∞，0〕．〔2〕由题设可得，f〔x〕=|x+3|﹣|2x+n|=，所以函数f〔x〕的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：A〔﹣，0〕，B〔3﹣n，0〕，C〔﹣，3﹣〕，所以三角形ABC的面积为〔3﹣n+〕〔3﹣〕=，由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．【点评】此题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
广东省深圳市2017-2018学年高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
10．（ 5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 1，σ2），若 P（0＜ X ≤1）=0.3 ，则 P（ X ≥2）=．
11．（ 5 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐近线与抛物线 成的三角形面积为 1，则此双曲线的离心率等于．
2
y =4x 的准线围
12．（ 5 分）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=15， S9=153，则 S6=．
（ s 为参数）与曲线 C：
（ t 为参
四、（几何证明选讲选做题） 15．如图， AB 、AC 是⊙ O 的两条切线，切点分别为 半径为．
B 、C．若∠ BAC=60 °，BC=6 ，则⊙ O 的
三、解答题பைடு நூலகம்本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（ 12 分）设函数 f（ x） =cos（2x+? ）（其中 0＜ ? ＜ π，x∈R）．已知
（ 2）证明：平面 PAB ⊥平面 POC；
（ 3）若
，
，求二面角 P﹣OA ﹣ B 的余弦值．
19．（ 14 分）设数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=an+1﹣ n?2n+3﹣ 4，n∈N * ，且 a1，S2，2a3+4 成等比数列． （ 1）求 a1、 a2、 a3 的值． （ 2）设 bn= ， n∈N*，求数列 {b n} 的通项公式
2
13．（ 5 分）已知 △ABC 的内角∠ A 、∠ B、∠ C 所对的边为 a、b、c，则 “ab＞c ”是 “∠ C＜ ” 的条件．（填 “充分非必要 ”、 “必要非充分 ”、“充要 ”、 “既不充分又不必要 ”中的一种）．
深圳市2018年高三年级第二次调研数学考试
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3.某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A．B．C．D．4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．B．C．D．5.已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A． B．C． D．8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9.已知定义在上的偶函数对任意实数都有，当时，，则在区间上（）A．有最小值B．有最小值C．有最小值D．有最小值10.已知点，为曲线（）（常数）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点，处的切线互相垂直，则的值为（）A． B． C．D．11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12.已知对，关于的函数（）都不单调，其中（）为常数，定义为不超过实数的最大整数，如，，设，记常数的前项和为，则的值为（）A．310 B．309 C．308 D．307第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则实数．14.已知，实数，满足若的最大值为5，则．15.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为．16.已知、、为某信号（该信号的传播速度为公里/秒）的三个接收站，其中、相距600公里，且在的正东方向；、相距公里，且在的东偏北方向．现欲选址兴建该信号的发射塔，若在站发射信号时，站总比站要迟秒才能接收到信号，则站比站最多迟秒可接收到该信号．（、、、站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角，，所对的边分别为，，，已知角为锐角，且．（1）求角的大小；（2）若，延长线段至点，使得，且的面积为，求线段的长度．18.如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，且，已知侧面与底面垂直，点是的中点，点是的中点，点在棱上，且，点是上的动点．（1）证明：；（2）当平面时，求二面角的余弦值．19.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i）求这200位竞拍人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值．若年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，．20.已知实数，且过点的直线与曲线：交于、两点．（1）设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；（2）设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．21.已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线的参数方程；（2）若点、在曲线上，且点（异于、两点）为曲线上的动点．在直角坐标系中，设直线，在轴上的截距分别为，，求的最小值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．。