北师大版初三数学上册一元二次方程根与系数关系复习课
北师大版九年级上册数学《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程说课教学课件复习
小颖是这样解的 :
小明是这样解的 :
解 : x2 3x 0. x 3 9. 2
这个数是0或3.
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
树状图
第一枚硬币 第二枚硬币
所有可能出 现的结果
正
正
(正，正)
开始
反
(正，反)
先分组进行试验，然后累计各组的试验数据，分别 计算这三个事件发生的频数与频率，并由此估计这 三个事件发生的概率.
课时1 用树状图或表格求概率
思考
你认为这个游戏公平吗？ 连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”，“两枚 “一枚正面朝上、一枚反面朝上”，这三个事件发生的概
通过大量重复试验我们发现， 在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的 两个事件发生的概率. 所以，这个游戏不公平. 它对小凡比较有利.
课时1 用树状图或表格求概率 新课引入 问题 2. 如何计算等可能概型的概率？
一般的，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 种结果，那么事件 A 发生的概率为：
P A =m. n
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
北师大版九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系课件(共25张PPT)
x m2 n n 0
一、复习回顾
练习：解下列方程：
(3)2x2 3x 1 0.
公式法 x b b2 4ac 2a
解：a 2,b 3, c 1. b2 4ac 3 2 4 2 1 1 0，
x3 1 22
即 x1 1, x2
3 1， 4
1. 2
=b2 4ac
0
有两个不相等实数根
0
有两个相等实数根
0
没有实数根
一、复习回顾
配方法
x m2 n n 0
解一元二次方程： ax2 bx c 0 a 0
公式法 x
因式分解法
一元二次方程的根 与系数之间还有什 么形式的关系呢？
b b2 4ac 2a
提公因式法 公式法
十字相乘法
=b2 4ac
二、探究新知
x2 2x 1 0; x1 x2 1.
x2 2 3x 1 0; x1 3 2, x2 3 2.
,
x1x2
c. a
23
1
3
1
2
2
二、探究新知
猜想 对于任何一个一元一次方程，这种关系都成立吗？
验证 一元二次方程：ax2 bx c 0 a 0 ，b2 4ac≥0.
x1
b
b2 2a
4ac ，x2
b b2 4ac . 2a
x1 x2
b b2 4ac 2a
b b2 4ac 2b
2a
2a
b. a
二、探究新知
配方，得： x2 4x 22 8 22
即：
x 2 2 12
开方，得：
x 2 23
所以， x1 2 2 3, x2 2 2 3.
四、随堂练习
九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系学习要点素材(新版)北师大版
九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系学习要点素材（新版）北师大版一、 知识要点1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x ，则ab x x -=+21， ac x x =•21；补充公式ax x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=•+++x x x x x x3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++ 二、 例题 1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2、 已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
3、 已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
4、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-212111xy y x5、 分解因式：（1）=--2532x x（2）=-+1842x x三、 练习1、 在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值。
2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
3、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+23xy y x4、 分解因式5、 （1）6542--x x= （2）=--2222y xy x四、 聪明题1、 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。
（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。
北师大版九年级数学上册_基础知识精练课件：5_一元二次方程的根与系数的关系
【解析】
由根与系数的关系得x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,
所以(x1+x2)2-x1x2=(-2m)2-(m2+3m-2)=3m2-3m+2=3(m- )2+ .
2
2
因为方程有实数根,所以Δ=4m -4(m +3m-2)≥0,解得m≤ ,
所以当m= 时,x1(x2+x1)+ 取得最小值,且最小值为 .
−
由根与系数的关系,得x1+x2=- =- =3.
故选A.
)
2.[2021福建厦门月考]已知一元二次方程的两根分别是3和-2,则这个一元二次方程
可能是 ( C )
A.x2-x+6=0
B.x2+5x-6=0
C.x2-x-6=0
D.x2+x-6=0
3.[2021山东枣庄二十八中月考]若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值
∴以x1,x2为根的一元二次方程可能为x2-3x+2=0.故选A.
11.定义新运算:a★b=a(1-b).若a,b是方程x2-x+ m=0(m<1)的两根,则b★b-a★a的值为
(
)
A.0
B.1
C.2
D.与m有关
【解析】
由一元二次方程的根与系数的关系,得a+b=1,
所以b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=-(a-b)+(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b-1)=(a-b)(1-1)=0.
2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
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∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
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北师大版数学九年级上册第二章第五节《一元二次方程的根与系数之间的关系》课时练习
北师大版数学九年级上册第二章第五节《一元二次方程的根与系数之间的关系》课时练习选择题若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（）A. 3B. -3C. 2D. -2【答案】A【解析】试题分析：根据题意得x1＋x2＝1，x1x2＝－m＋2，∵(x1－1)(x2－1)＝－1，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1，∴－m＋2－1＋1＝－1，∴m＝3．故选A．选择题若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A. -2B. 2C. 4D. -3【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得?1+x1=?3，解得：x1=?2．选择题设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】∵、x2是一元二次方程的两根,∴x1+x2=2,x1x2=-3∴=(x1+x2)2-2x1x2=4+6=10.故选C.选择题已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=（）A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】B【解析】试题分析：∵一元二次方程x2?4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选：B．选择题已知x=2是方程x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】试题解析：由韦达定理可得，有一个根是另一个根是故选C.选择题判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】C【解析】试题分析：A、当a＝12时，△＝64＋4×12＝112，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对；B、当a＝16时，△＝64＋4×16＝128，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对；C、当a＝20时，△＝64＋4×20＝144，所以方程的解为：x＝＝，x1＝10，x2＝－2，两个解都为整数，此选项正确；D、当a＝24时，△＝64＋4×24＝160，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对．故选：C．选择题如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（）A. -3B. 3C. -1D. 1【答案】B【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数关系可知x1＋x2＝＝3．故选：B．选择题若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是()A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜1【答案】A【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，∴△=（-4）2-4（5-a）≥0，∴a≥1．故选A．选择题已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（）A. -3B. 0C. 3D. 5【答案】A【解析】试题分析：根据题意得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴x1x2－x1－x2＝x1x2－(x1＋x2)＝1－4＝－3．故选A．选择题一元二次方程x2+4x-3=0的两根为、，则?的值是（）A. 4B. -4C. 3D. -3【答案】D【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数关系可知x1x2＝＝－3．故选D．选择题若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A. -2B. 2C. 4D. -3【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得?1+x1=?3，解得：x1=?2．选择题设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】∵、x2是一元二次方程的两根,∴x1+x2=2,x1x2=-3∴=(x1+x2)2-2x1x2=4+6=10.故选C.选择题已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=（）A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】B【解析】试题分析：∵一元二次方程x2?4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选：B．选择题已知x=2是方程x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】试题解析：由韦达定理可得，有一个根是另一个根是故选C.选择题如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（）A. -3B. 3C. -1D. 1【答案】B【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数关系可知x1＋x2＝＝3．故选：B．填空题已知一元二次方程x2?6x+c=0有一个根为2，则c=__，另一根为_____.【答案】? 8? 4【解析】设方程另一根为t，根据题意得2+t=6，解得t=4.故答案为4.填空题已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是________。
九年级数学上册第二章一元二次方程复习新版北师大版
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
行途中侦察船能否侦察到这艘
军舰 ?如果能,最早何时能侦察
●B
到?如果不能,请说明理由.
解: 设电子侦察船最早需要 x小时能侦察到军舰 ,根据题意,得
(90 30 x)2 202 502. 北
整理得:
A
东
13x2 54x 56 0.
●B
解得:
●B
28
x1
2;
x2
. 13
答 :电子侦察船最早能在2h时能侦察到军舰.
第二章 一元二次方程 复习
定义及一般形式:
1.定义 只含有一个未知数,未知数的最高次数二是次___整___
的___式a方x2+程bx,+叫c=做o 一(a≠元o二) 次方程。 一般形式:________________
• [注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为
解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1 =0（用配方法）
3、3x2 4x 7 （用公式法）
4、(2 x 1)2 x2 0
(用因式分解法）
步骤归纳
① 二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
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一元二次方程的根与系数的关系（复习课）
一机四中续景润
2017年3月21日
一、教学目标：
1. 能说出根与系数的关系；
2. 会利用根与系数的关系解有关的问题•
二、教学重点和难点：
重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系;
难点：对根与系数这一性质进行应用•
三、教学过程：
1、知识回顾（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式
ax+bx+c=0 （a 工0）
b』b4ac
X= 2 a^0 b2-4ac>0
(2)如果方程ax2+bx+c=0(a工0)的
两个根是、x?, x1+x2=-b\a,x1.x2=c\a
判断对错，如果错了，说明理由
2
1）2x -11x+4=0两根之和11,两根之积4.
2
2）x +2=0两根之和0,两根之积2.
2
3）x2+2=0两根之和0,两根之积2.
2
4）x +x+1=0两根之和-1,两根之积1.
运用根与系数关系的几种常见的求值运用根与系数关系的几种常见的求值
1、二根的倒数和。
2、以二根商的互为倒数和
3、二根的平方和
典型例题讲解例、已知关于x的方程2x2+ kx —4= 0的一个根是一4,求它的另一个根及k的值. 接下来做给学生印的练习题。
四、板书设计
五、课后小结
通过本节课的复习，使学生进一步理解并熟练掌握跟与系数的关系，并能解决一类问题。
六、布置作业：
把印的卷子其余题留为课后作业。
七、课后反思
本节复习课完成了既定的教学目标，整节课，学生练得多，以学生为主题，体现了新课标的教学理念。