4 利率期限结构：静态模型

在估计出影响利率期限结构变动的主成份（通常为 个）之后，人们更关心的是这些主 成份的经济含义。这主要通过对利率变动 ΔR t , ti 进行因子分析来实现：
*
R* t , ti l jt Fj* ti
j 1
k
其中 Fj
*
Fj λj
， Fj j 1,..., k 就是主成份分析得到的前 个因子， ti 涵盖了前 个主
i 1
n
其中，计算第一成份 F1 的目标函数为方差最大化，计算第 成份 Fk 的目标函数为考虑与前 面 个成份 Fj ( j 1,
, k 1) 不相关条件后的方差最大化。
第 步，计算不同成份的方差贡献率和累计方差贡献率，并确定主成份。第 成份 F j 的 方差就是相应的特征值 λ j ， F j 的方差贡献率为
__________
样本均值和样本标准差。 第 步，计算不同期限 R t , ti 之间的方差－协方差阵 Ω ，在数据标准化的情况下，
*
Ω 实际上就是相关系数矩阵。 第 步，计算 Ω 的特征值及其对应的特征向量，把特征向量进行正交化并单位化，计
算出互不相关的成份因子，并按特征值大小排序。例如，假设与最大特征值 λ1 对应的特征 向量为 α11 , α12 ,...α1n ，则第一成份 F1 就等于
根据纯预期理论， 当前的利率期限结构仅代表了市场对未来即期利率变化的预期。 在这 个理论下，上升（下降）的收益率曲线意味着市场认为未来的即期利率会上升（下降） ，水 平的收益率曲线则意味着未来的即期利率保持不变。 纯预期理论有三种不同版本： 版本 ：远期利率代表着市场对未来即期利率的预期，即
R t , ti , t j Et R ti , t j
*
n
*
i 1
jt
i
i
研究发现，如果将不同剩余期限的利率变动 ΔR t , ti 进行因子分析后的系数 l j 画在横
*
坐标为剩余期限、纵坐标为系数的图上，前三个因子的系数通常呈现如图 这三个因子具有很强的经济含义。
本章附录中给出了因子分析的基本原理。
的特征，说明
首先，l1 多呈水平状，意味着当第一个因子变动时，不同期限的利率将发生同样幅度的 变动。因此第一个主成份通常被称为利率变动的“水平因子” 。人们发现它常常可以解释利 率曲线变化的 － 。 其次， l2 通常会在 － 年之间穿过横轴，有时象图 一样向下穿越，有时则反过来
变（意味着信息没有丢失） ，新的变量按方差依次递减的顺序排列，依次称为第一成份、第 二成份和第三成份等，解释了主要方差的前几个成份被称为“主成份” 。这样，在不丢失信 息的前提下， 主成份分析可以帮助我们找出对利率变动影响最大的前几个主要因素， 而且这 些因素彼此之间是不相关的， 从而可以较容易地实现对这些影响因素的分析， 解释利率期限 结构的变动。 这里只给出了利率期限结构变动的主成份分析的基本过程， 对主成份分析原理 的介绍放在本章附录中。 利率期限结构变动的主成份分析主要包括以下 步： 第 步，采集不同期限即期利率变动 ΔR t , ti 的历史数据并将其标准化为
R t , ti
*
R t , ti R t , ti
__________
Rt ,t
i
其中，ti 表示不同的到期时刻，i 1, 2,...n ，R t , ti 和 Rt ,t 分别是利率变动 R t , ti 的
i
由于每时每刻利率都可能发生变化， 利率期限结构实际上一直处在动态变化当中， 利率 期限结构的形状也会受各种因素影响而不断变化。从图 中可以看到，从 年 月 日至 年 月 日，美元 利率不仅在整体上有一个水平的变化，其期限结构的形 状也一直处于变迁当中：在 年 月次贷危机最严重的时候，整体利率水平很高，而且 短期利率高于 年期利率，说明当时金融机构短期流动性严重不足； 年 月，在危机 逐渐平息且美联储采取降息和量化宽松政策的背景下，美元短期 利率明显低于 年 期利率。
数据来源：中国债券信息网。
数据来源：英格兰银行。
数据来源：欧洲央行。
数据来源：美国财政部。
值得注意的是，由于即期利率、平价到期收益率和远期利率之间存在确定的关系，这三 种期限结构的形状之间存在着一定的联系。例如，当平价到期收益率曲线上升（下降）时， 相应的即期利率曲线一定位于其上方（下方） ，相应的瞬时远期利率曲线又位于即期利率曲 线的上方（下方） ，如图 所示。本章的习题 是关于此结论的一个证明。
α11 ΔR* t , t1 α12 ΔR* t , t2 ... α1n ΔR* t , tn
以此类推，第 个成份就表达为第 大的特征值对应的特征向量中的标量对 R t , ti 加权
*
的结果，即
Fj α ji ΔR* t , ti
在给定时点上， 其他条件相同但到期期限不同的利率通常是不相等的。 不同期限的利率 水平之间的关系就构成了“利率期限结构” ，也称为“收益率曲线” （ ） 。在一个以 期限为横坐标、 利率水平为纵坐标的图上， 一个利率期限结构就表现为一条曲线， 如图 。 利率的种类决定了利率期限结构的种类。 根据利率的不同， 常见的利率期限结构包括到 期收益率曲线、互换利率期限结构、即期利率期限结构、平价到期收益率曲线、远期利率期 限结构和瞬时远期利率期限结构等。 其中到期收益率曲线直接由市场上不同到期期限债券成 交的到期收益率组成； 互换利率期限结构是利率互换市场上不同期限的互换利率所形成的曲 线；即期利率期限结构实际上就是零息票债券的到期收益率曲线 ；平价到期收益率曲线由 从即期利率期限结构中进一步推出的平价到期收益率构成； 远期利率期限结构是在给定时刻、 从未来 年后开始的给定期限的远期利率所形成的曲线，例如 年后的 年期远期利率，当 不断变化时就形成了 年期远期利率曲线；瞬时远期利率期限结构则是在当前时刻、从未 来不同时刻开始的瞬时远期利率形成的曲线。 信用级别不同，利率期限结构也不同。由于利率互换是在金融机构之间进行的，互换利 率曲线仅反映了金融同业信用级别的利率期限结构。而到期收益率曲线、即期利率曲线、远 期利率曲线和瞬时远期利率期限结构则都可进一步分为国债收益率曲线、 不同信用级别的金 融债收益率曲线和企业债收益率曲线等。图 中给出了 年 月 日中央国债登记结 算有限责任公司从我国银行间市场上固定利率的国债、 政策性金融债以及不同信用级别的企 业债交易价格中估计得到的即期利率期限结构。可以看到，利率水平由低到高，利率期限结 构的信用级别依次降低。
主成份和因子分析虽然通过数学和统计手段提炼出了驱动利率期限结构变动的几个主 要因素， 但并未从经济意义上解释为何利率期限结构会呈现不同的形状和变化。 学者们提出 了不同的利率期限结构理论， 试图解释利率与期限的关系。 本节介绍四个传统的利率期限结 构理论，第七章将介绍现代的动态利率期限结构模型。 传统的利率期限结构理论主要包括：纯预期理论（ ） 、流动性偏好 理论（ ） 、市场分割理论（ ）和期限偏好理 论（ ） 。
向上穿越。这意味着第二个因子变动时，长短期利率的变动是不同的。因此第二个主成份通 常被称为利率变动的“斜率因子” ，可用来衡量长短期利率的期限差异（ 。它 通常可以解释利率曲线变化的 － 。 最后， l3 通常呈现蝶形，可能是象图 中的反向蝶形，也可能是两边低中间高的正向
蝶形。这说明第三个因子对利率期限结构上的短、中和长期利率具有不同的影响，从而影响 了利率期限结构的曲度。因此第三个主成份常被称为利率变动的“曲度因子” 。它一般解释 了收益率曲线变化的 － 。
由于即期利率在定价和风险管理中的重要性，有时人们说到“利率期限结构”时，仅指即期利率期限结 构。
数据来源：中国债券信息网
通常来说，利率具有以下 个典型特征： 名义利率的非负性。虽然在通胀高企的时候，实际利率有可能为负，但名义利率是 不可能小于零的。这意味着我们不可以用正态分布来描述名义利率。 均值回归。观察市场可以发现，利率达到一个很高（低）水平之后，通常会趋于下 降（上升） ，历史上的名义利率平均值通常在 到 之间。正是出于这个原因，人们通常 用均值回归过程来描述利率的变化规律。 利率变动非完全相关。统计分析发现不同到期期限利率的变动高度相关却非完全相 关，期限差异越大，相关性越低。 短期利率比长期利率更具波动性。一般来说，利率波动率可能随期限增加而递减， 也可能以 年左右为拐点， 先随期限递增而后随期限递减。 但总体而言短期利率的波动大于 长期利率。 利率的后两个特征说明存在一些影响所有利率变动的共同因素， 但不同期限的利率受影 响程度可能各不相同；除此之外，不同利率还会受到特有因素的影响。
在市场中，我们可以观察到不同形状的利率期限结构，上升的（ ）利率期限结 构最为常见，如图 ，这意味着剩余期限越长，利率水平越高；如果利率期限结构接近水 平（ ） ，说明短期和长期利率水平差异不大，如图 ；下降的（ ）利率 期限结构则意味着剩余期限越长，利率水平越低，如图 ；驼峰状的（ ）利率期 限结构又可分为短端下降长端上升（如图 ）和短端上升长端下降（如图 ）两种。 除此之外，有时市场中还会出现更为复杂多变的不规则的利率曲线形状。

在学习完本章之后，你应该能够理解和掌握 利率期限结构的不同种类和基本特征 如何对利率期限结构进行主成份分析和因子分析 纯预期理论、流动性偏好理论、市场分割理论和期限偏好理论的优缺点 如何运用不同的方法拟合静态利率期限结构
本章是固定收益证券分析的重点和难点之一。在本章中，你将对利率期限结构的含义、 种类、特征、理论和拟合方法有深入的了解。其中，第一节是对利率期限结构基本知识的介 绍； 第二节则深入讨论了如何应用主成份分析和因子分析法对利率期限结构的变动因素进行 分析， 是本章的重点之一； 第三节介绍了一些试图从经济意义上对利率期限结构的变动加以 解释的传统理论； 最后一节是本章的另一个重点， 详细介绍了拟合利率期限结构的主流方法。
其中 t ti t j 。 Et 表示 时刻的预期。


由于长期的即期利率是短期的即期利率和远期利率的加权平均：
R t , tn
j

j 1
n
（在标准化的情况下
j

j 1
n
j
，前 n）
个成份 Fk 的累计方差贡献率则为

j 1 j 1 n
Leabharlann Baidu
k
j
。一般来说，将特征值大于 或者累计方差贡献率
j
达到 以上的前几个成份认定为主成份。 许多学者对不同国家的利率期限结构进行了主成份分析。 尽管样本不同导致结果有所差 异， 但人们发现， 只需要三个主成份就可以解释全球许多市场利率期限结构 左右的变动。 例如 发现， 年美国市场上前三个主成份对利率期限结构 的解释能力达到 ， 发现在德国市场、意大利市场和 英国市场上， 至 年期间前三个主成份的解释能力分别为 、 和 。唐革 榕和朱峰 的研究表明 年 月 日至 年 月 日上海交易所国债利率变 动的 也可用前三个主成份来解释。
数据来源：英国银行家协会
不同到期期限的利率变动之间高度相关， 说明受到一些共同因子的影响。 那么究竟是哪 些共同变量驱动了利率期限结构的整体变化呢？利率期限结构变动的主成份分析（ ， 与因子分析（ ）从数学和统计上提供了答案。
主成份分析是一种将给定的一组高度相关的变量（如不同剩余期限的利率的变动
ΔR t , ti ）通过线性变换转化为另一组不相关变量的数学方法。在变换中，保持总方差不
成份未反映的影响因素， 系数 l jt j 1,..., k 则反映了利率变动对这 个主要因子的敏感性。 根据因子分析的基本原理 ，当因子 F j 由主成份分析得到时，系数 l jt 为
l jt λ j α jt
这里 α jt 就是 Fj
α ΔR t , t 中 ΔR t , t 项的系数。