2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
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a1和d是等差数列的两个基本量，求出a1和d进而解决 问题，是常用的方法之一．
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1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若
3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12
B．－10 C．10
D．12
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B [法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，
a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n －2＝28，解得n＝10.]
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⊙考点2 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法
方法
解读
定义法 对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2， n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
_差__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示
为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)．
a＋b
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝__2__，
其中A叫做a，b的 等差中项 ．
5
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d . (2)前n项和公式：Sn＝ na1＋nn－2 1d
＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20. 故选B. (2)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝ 14×a21＋a14＝7(a6＋a9)＝42. 故选D.]
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一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加， 当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.
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一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，
则这个数列是等差数列．
()
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．
()
(3)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为－
2.
()
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． ( )
＝na12＋an.
6
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an 是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为 递增 数列；当d＜0时，数 列为 递减 数列．数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)． (2)Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2＋a1－d2n， 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数(缺少常数项)， 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
∴3
3a1＋3×2 2d
＝2a1＋d＋4a1＋
4×3 2
d，解得d＝－
3 2
a1，∵a1＝2，
∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－
a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋
3×2 2
A．600
B．603.5
C．604.5
D．602.5
C [由an＝a1＋(n－1)d得32＝14.5＋0.7(n－1)， 解得n＝26，所以S26＝26a12＋a26＝13(14.5＋32)＝604.5.]
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3．小于20的所有正奇数的和为________． 100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共 有10项，因此它们的和S10＝1012＋19＝100.]
等差数列项的性质
(1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)
＝( )
A．10
B．20
C．40
D．2＋log25
(2)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝( )
A．84
B．70
C．49
D．42
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(1)B (2)D [(1)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋ log22a10
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求数列的最大项和最小项，实际就是求函数的最值问 题，可借助函数的图像及函数的单调性求解．
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1.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
an 2an＋1
，则数列的通项公
式an＝________.
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1 2n－1
[由an＋1＝2aan＋n 1得an1＋1＝2aan＋n 1，
即an1＋1－a1n＝2.
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝________.
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(1)A (2)4 [(1)设数列{an}的公差为d，由题意得 aS54＝＝a41a＋1＋4d6＝d＝5，0， 解得ad1＝＝2－，3， 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋nn－ 2 1×2＝n2－4n，故选A.
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⊙考点3 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现 项的合并与拆分，在Sn＝na1＋ 2 an中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.
40
d＝d.……∵a1＝2，∴d＝－
3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]
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2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝ 28，则n＝( )
A．3
B．7
C．9
D．10
D [因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝22－24a2＝3，
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4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ ________.
180 [由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450得 a5＝90. 所以a2＋a8＝2a5＝180.]
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课堂考点探究
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⊙考点1 等差数列的基本运算 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，
适合题型
解答题中 证明问题
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通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
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已知数列{an}中，a1＝
3 5
，an＝2－
1 an－1
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
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二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
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2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，
d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决 问题．
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(1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知
S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项
之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有
an bn
＝
TS22nn－－11.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Snn也是等差数列．
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等差数列前n项和的性质
(1)(2019·莆田模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5
＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35
B．42
C．49
D．63
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2
018，
S2 019 2 019
－
2S2001133 ＝6，则S2 020＝________.
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[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
＝2－a11n－1－an－1 1＝ana－n 1－an－1 1＝1.又b1＝a1－1 1＝－52. 所以数列{bn}是以－52为首由(1)知bn＝n－72， 则an＝1＋b1n＝1＋2n2－7. 设f(x)＝1＋2x－2 7， 则f(x)在区间－∞，72和72，＋∞上为减函数． 所以当n＝3时，an取得最小值－1， 当n＝4时，an取得最大值3.
(n≥2，n∈N*)，
数列{bn}满足bn＝an－1 1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
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[解](1)证明：因为an＝2－
1 an－1
(n≥2，n∈N*)，bn＝
1 an－1
(n∈N*)，
2021高考数学一轮复习统考第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课时作业含解析北师大版
等差数列及其前n 项和课时作业1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3答案 B解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，选B.2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48答案 D解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A.4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝45.5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54答案 D解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( )A ．S 9＝0B ．S 5最小C ．S 3＝S 6D ．a 5＝0 答案 B解析 由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.8．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝( )A.10724 B.724C.14912D.1493答案 A 解析 由题知，a 2＋a 20b 7＋b 15＝S 21T 21＝10724. 9．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 11．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值答案 C解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.13．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________. 答案19解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676. 15．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若abn ＝3n －1，则b 2019＝________.答案 2020解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n ＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差大于0，知数列{a n }为递增数列，所以结合abn ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.16．(2020·武汉模拟)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4 －13解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13<0，b 2＝23>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378. 20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)， 当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋(n －1)(6＋4n －2)2＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， ∴S n ＝2n 2－1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文
n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
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(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
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考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
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当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
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5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．
2021年高中数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案
§6.2 等差数列及其前n 项和考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 或S n ＝n a 1＋a n2.答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二．等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式 前n 项和公式[典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[答案] A[解析] 解法一(常规解法)：设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3， 所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10[答案] A[解析] 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且公差为d ＝1，故S 1010＝a 11＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.[答案] 30[解析] 解法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 6＝6a 1＋15d ＝30.解法二：∵等差数列{a n }，故可设S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1， 即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项公式为a n ＝__________. 答案：2n －1解析：由a n ＋1＝a n ＋2，知{a n }为等差数列，其公差为2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__________. 答案：1＋n n －12解析：由a n ＋1－a n ＝n ，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，各式相加，得a n－a 1＝1＋2＋…＋n －1＝n －11＋n －12＝nn －12，故a n ＝1＋n n －12.[典题2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)[证明] 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)[解] 由(1)，可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n .求证：{a n}为等差数列．证明：∵2S n－na n＝n，①∴当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②①－②，得(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，则(1－n)a n＋1＋na n＝1，∴2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴数列{a n}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，设b n＝1a n－1(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法n n34 117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解， 所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4， 故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c，b 3＝153＋c(c ≠0)． 由2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．解法二：由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则____________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 答案：(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 5－2a 1＝27，则a 5＝________. 答案：13解析：设等差数列的公差为d ，则有2a 1＋3d ＝1,4d －a 1＝27，解得d ＝5，a 1＝－7，所以a 5＝a 1＋4d ＝13.(2)等差数列{a n }的首项为1，公差为4，前n 项和为120，则n ＝________. 答案：8解析：a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3，所以S n ＝n 1＋4n －32＝120，解得n ＝8或n ＝－152(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 10＝12，则该数列前13项和S 13＝__________. 答案：78解析：由等差数列的性质与前n 项和公式，得S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝78.(2)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n }的通项公式是__________．答案：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7解析：设等差数列{a n }的前三项为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝－3，a 2－d a 2a 2＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝－3 或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝3，所以a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27[答案] B[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.[点石成金] 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝( )A ．8B ．12C ．6D ．4答案：A解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得 (a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，即4a 8＝32， ∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案：60解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.考点4 等差数列前n 项和的最值问题[典题4] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 [答案] A[解析]∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 1>0，S 5＝S 12”，如何求解？ 解：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12，得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， 解得d ＝－18a 1<0.所以S n ＝na 1＋n n －12d＝na 1＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1.因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n＝a 1＋n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法三：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[题点发散2] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 3＝12，S 12>0，S 13<0”，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12， 所以a 1＝12－2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d >0，156＋52d <0，解得－247<d <－3.故公差d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. 解法一：由d <0可知，{a n }为递减数列，因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6a 6＋a 7>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0，因此S 6最大．解法二：由d <0可知{a n }是递减数列，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋n －3d ≥0，a n ＋1＝a 3＋n －2d <0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤3－12d ，n >2－12d.由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n ≤3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5，所以5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．[题点发散3] 若将“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 5>0，a 4＋a 7<0”，如何求解？解：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：依题意，得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0.又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11 答案：C解析：由题意，得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．2．数列{a n }为等差数列．(1)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1.3．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. 4．若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠0)，则a m ＋n ＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案：C解析：由等差数列性质知，S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27， 解得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n ＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m n －m(n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________.[思路分析][解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上．不妨设p <q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示， 由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0.[答案] 0[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000.[思路分析][解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线，所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300， 解得a 1 000＝3 004.2．等差数列前n 项和的求解在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有S n n －S m m n －m ＝d 2(常数)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n .[解] 由题意知，⎝⎛⎭⎪⎫n ，33n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上， 从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33. 所以该数列的前3n 项的和为33.。
高考数学一轮总复习 第六章 6.2 等差数列及其前n项和
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 018，2S20011
S2 020＝ 2 020. 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d，则2S2001199 －2S2001133 ＝6d＝6，∴d＝1. 故2S2002200 ＝S11＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
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5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 8 和最大. 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0， 所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0， 所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
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6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以 多降落9.80 m，那么经过 20 秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公 数列. 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈ ＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
知识梳理
ZHISHISHULI
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 的 等差中项 .
北师大版高考数学一轮复习统考第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件
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(10)由公式 Sn＝na1＋nn－2 1d得Snn＝a1＋n－2 1d
＝d2n＋a1－d2，因此数列Snn是等差数列，首项为 a1，公差为等差数列{an} 公差的一半．
(11)等差数列与函数的关系
①an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an 是关 于 n 的一次函数．当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数
(2)前
n
项和公式：Sn＝
07
nn－1 ___n_a_1_＋____2____d_____＝
08
na1＋an ______2_______.
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3
等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am ＋an.若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*) 是公差为 md 的等差数列．
解析 10答案
5．(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a3＝5，a7＝13， 则 S10＝___1_0_0___.
解析 ∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差 d＝a77－－a33＝134－5＝ 2，首项 a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，
∴S10＝10a1＋102×9d＝100.
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
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2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
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2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
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通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
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课前自主回顾
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1．等差数列的有关概念
最新-2021届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第六章第二节 等差数列及其前n项和 精品
＝a1＋(n－1)－631a1≥0，可得 n≤634＝2113，所以数列
{an}的前 21 项都是正数，以后各项都是负数，故 Sn 取
最大值时，n 的值为 21.
答案：21
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－6n，则{|an|}的 前 6 项和 T6＝________. 解析：由 Sn＝n2－6n 得{an}是等差数列，且首项为－5， 公差为 2.所以 an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，当 n≤3 时， an<0；当 n>3 时，an>0；所以 T6＝－a1＋(－a2)＋(－a3) ＋a4＋a5＋a6＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案：18
2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的 2 种方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝ an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：
nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴数列{an}为等差数列．
[变式 3] 若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－an1－1 (n≥2，n∈N*)，设 bn＝an－1 1(n∈N*)．求证：数列{bn}是 等差数列．
证明：∵an＝2－an1－1，∴an＋1＝2－a1n. ∴bn＋1－bn＝an＋11－1－an－1 1 ＝2－a11n－1－an－1 1＝aann－－11＝1， ∴{bn}是首项为 b1＝2－1 1＝1， 公差为 1 的等差数列．
考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是公差为 1 的等差数列， Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝________.
2023届高考数学全程一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，
Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，
而a1 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常
用方法．
第二节 等差数列及其前n项和
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等差数列的判断与证明，等差数列的基本运算，等差数
d＜ − 4，
14
所以ቐ
d≥− ，
3
14
即－ ≤d＜－4.
3
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2
25
＋a6＝2，则S10＝______．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
同一个常数
___________，那么这个数列就叫做等差数列；数学语言表达式：a
n＋
1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
[提醒] (1)d＞0⇒{an}为递增数列；
(2)d＝0⇒{an}为常数列；
(3)d＜0⇒{an}为递减数列．
最新-2021版一轮文数课件：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 精品
(2)因为 S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a21＋9da1＋10d2＋1＝0， 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
规律方法
1.等差数列的通项公式 an＝a1＋n－1d 及前 n 项和公式
(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当 n≥3 时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 当 n≥4 时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 将③④代入②，得 an－1＋an＋1＝2an， 其中 n≥4，
1．已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前 5 项和 S5＝5，则其公 差为___2_____．
解析：由 a4＋a6＝10，得 2a5＝10， 所以 a5＝5.由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1， 所以 d＝a5－2 a3＝5－2 1＝2.
2．在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前 19 项之和 为___9_5____． 解析：由等差数列求和公式得 S19＝19a12＋a19＝19a92＋a11＝19×2 10＝95.
＝4.
5．已知数列{an}是等差数列，若它的前 n 项和 Sn 有最小值， 且aa1110<－1，则使 Sn>0 成立的最小自然数 n 的值为___2_0____．
解析：由已知得，a1<0，d>0，a10<0，a11>0，a1＋a19<0，a10＋ a11>0，∴a1＋a20>0，∴S19<0，S20>0，故 n＝20.
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第二节 等差数列
.
-1
Sn,Tn,则
=
2 -1
2 -1
.
常用结论
1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是
Sn=an2+bn(a,b∈R).
3.在等差数列{an}中,若Sm=Sn,则Sm+n=0.
a1+(n-1)d
(2)等差数列前 n 项和公式:Sn=
( 1 + )
2
(n∈N*).
=
(-1)
na1+
d
2
.
微思考 在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关
于n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,
an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数;同理
等差中项法
2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 证明问题
通项公式法
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立
⇔{an}是等差数列
前n项和
Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立
公式法
⇔{an}是等差数列
适合题型
选择、填
空题中的
判定问题
对点训练(2023·广东惠州高三期中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=nann2+n.
S16=16a1+ 2 d=16(a1+ 2 d)=16×(-2d)=-8d=a1,故