江苏省扬州中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

当 x=0 时，有 f′（0）=ln2+3f′（0），即可得 f′（0）=- ，则 f′（x）=2xln2- ，
则 f′（1）= ，故答案为：．【点睛】本题考查导数的计算，关键是求出 f′（0）的值，属于基础题．
12.已知椭圆 + =1 的左焦点为 F，直线 x-y-2=0，x-y+2=0 与椭圆分别相交于 A，B，C，D，则 |AF|+|BF|+|CF|+|DF|=______．【答案】12 【解析】【分析】设椭圆的右焦点为 F′，由题分析得到|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：
13.设函数 f（x）在 R 上存在导数 f′（x），对任意的 x∈R，有 f（x）+f（-x）=x2，且 x∈（0，+∞）时， f′（x）＜x．若 f（1-a）-f（a）≥ -a，则实数 a 的取值范围是______．【答案】[ ，+∞）【解析】
【分析】
根据条件构造函数 g（x）=f（x）- x2，判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．【详解】解：∵f（x）+f（-x）=x2，
11.已知 f（x）=2x+3xf′（0），则 f′（1）=______．
【答案】【解析】【分析】
根据题意，求出函数的导数，令 x=0 可得 f′（0）=ln2+3f′（0），计算可得 f′（0）=- ，即可得 f′（x） =2xln2- ，将 x=1 代入计算可得答案．【详解】解：根据题意得 f′（x）=2xln2+3f′（0），
∴f（-x）- x2= x2-f（x）=-[f（x）- x2]，设 g（x）=f（x）- x2，则 g（x）是奇函数，且 g′（x）=f′（x）-x． ∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x． ∴当 x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．即此时 g（x）为减函数， ∵g（x）是奇函数， ∴当 x≤0 时，g（x）也是减函数，即 g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
所以
所以直线经过定点（，-1），故答案为：（，-1）．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．
6.若某物体运动规律是 S=t3-6t2+5（t＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．【答案】4 【解析】【分析】
由题得 S′=3t2-12t=0，解方程即得解.
【详解】解：∵质点按规律 S=t3-6t2+5 运动， ∴S′=3t2-12t，令 S′=3t2-12t=0，解得 t=4， (t=0 舍去) ∴质点在 4s 时的瞬时速度为 0．
故答案为：4 【点睛】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系式求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．
7.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______．【答案】x2+y2-2x=0 【解析】【分析】由抛物线 y2=4x 可求出圆心为（1，0）又过坐标原点则半径为 R=1 再代入圆的标准方程即可求解．【详解】解：∵抛物线 y2=4x ∴焦点（1，0） ∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点 ∴所求圆的半径 R=1 ∴所求圆的方程为（x-1）2+y2=1 即 x2-2x+y2=0 故答案为：x2-2x+y2=0．【点睛】本题以抛物线的有关知识为载体求圆的方程有较强的综合性，关键是会求抛物线的焦点和利用题中条件求圆的半径.
江苏省扬州中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试
数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）
1.直线
的倾斜角为__________．
【答案】【解析】
试题分析：由直线方程可知斜率考点：直线倾斜角与斜率
2.已知函数 y=x2+1 在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．【答案】2+△x 【解析】【分析】利用平均变化率的公式即可得解．
14.在直角坐标中 xOy，圆 C1：x2+y2=8，圆 C2：x2+y2=18，点 M（1，0），动点 A、B 分别在圆 C1 和圆 C2
上，满足
，则
的取值范围是______．
【答案】（，）【解析】【分析】设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由条件可得|AB|2 =26-2（x1+x2）．设 AB 中点为 N（x0，y0），则|AB|2=26-4x0
，利用线段的中点公式求得（x0- ）2+y02= ，再由 x0 的范围，求得|AB 的范围即可求出【详解】解：
的范围.
∵
，
∴
，
∴A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=26-2（x1x2+y1y2）．
∵-2 ≤x1≤2 ，
，
∴（x1-1，y1）．（x2-1，y2）=0，即（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，即 x1x2+y1y2=x1+x2-1，
∵圆 C：（x-1）2+（y-1）2=2 的圆心为 C（1，1），半径为，
点 C 到直线 l：x-y+4=0 的距离为
，
∴AD=CD-AC=2 - = ，
故 C 上各点到 l 的距离的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点 C 到直线 l 的
于是
，解得
故 f(x)＝x－． (2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f′(x)＝1＋知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋
)·(x－x0)，即 y－(x0－ )＝(1＋ )(x－x0)．
令 x＝0 得，y＝－，从而得切线与直线 x＝0，交点坐标为(0，－ )．令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．
点 M（3，t）在双曲线 C1 上，可得 t2=12（ -1）=15，
则 M 点到双曲线 C1 右焦点的距离为
=4；
（2）与双曲线 C1 有共同渐近线，可设双曲线 C2 的方程为 - =m（m≠0，m≠1），代入点（-3，2 ），可得 m= - = ，
则双曲线 C2 的标准方程为 x2- =1．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查共渐近线的双曲线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
能力.
10.设
分别是双曲线
的左、右焦点.若双曲线上存在 A，使
,且
，
则双曲线的离心率为__.
【答案】【解析】【分析】设
，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解.
【详解】设
分别是双曲线
若双曲线上存在点 A, 使
设
的左、右焦点.
,且
，
双曲线中
，
∴离心率
，
故答案为： . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得 a 和 c 的比值，属于中档题.
距离距离公式．
9.函数 f（x）=x+2cosx 在（0，2π）上的单调递减区间为______．
【答案】【解析】
【分析】
先求导得再解不等式
即得函数的单调递减区间.
【详解】解：∵函数 y=x+2cosx，
∴y′=1-2sinx＜0，
∴sinx＞，又∵x∈（0，2π），
∴x∈
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
4.若椭圆
的焦点在轴上，则的取值范围为
．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得：考点：椭圆几何性质
5.若 a+b=1，则直线 2ax-by=1 恒过定点______．
【答案】（，-1）【解析】【分析】由题得 a=1-b,所以直线方程为 2x-1-(2x+y)b=0,再解方程组得直线的定点坐标. 【详解】解：若 a+b=1，所以 a=1-b, 所以直线方程为 2(1-b)x-by=1, 所以 2x-1-(2x+y)b=0,
则
的取值范围为（
）
故答案为：（
）
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系、两点间的距离公式和圆的标准方程，考查圆中的轨迹问题，
考查函数的思想处理最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）
15.已知双曲线 C1： - =1．（1）若点 M（3，t）在双曲线 C1 上，求 M 点到双曲线 C1 右焦点的距离；（2）求与双曲线 C1 有共同渐近线，且过点（-3，2 ）的双曲线 C2 的标准方程．
所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为 |－ ||2x0|＝6．曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6．
17.如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为 8m，镜深 1m．（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．
∴|AB|2=26-2（x1+x2-1）=28-2（x1+x2）．设 AB 中点为 N（x0，y0），则|AB|2=26-4x0 ，

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2018-2019江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题

2018-2019学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．直线30x y -+=的倾斜角为__________．【答案】4π 【解析】试题分析：由直线方程可知斜率1tan 14k παα=∴=∴=【考点】直线倾斜角与斜率2．已知函数y =x 2+1在区间[1，1+△x ]上的平均变化率是______．【答案】2+△x【解析】利用平均变化率的公式即可得解．【详解】解：函数y=x 2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：=2+△x ．故答案为：2+△x ．【点睛】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．3．过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是【答案】210x y --=【解析】试题分析：直线x －2y －2＝0的斜率为12k =，所以所求直线为()112102y x x y =-∴--= 【考点】直线方程4．若椭圆22131x y k k+=-+的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为．【答案】()1,1-【解析】试题分析：由题意得： 31011k k k ->+>⇒-<< 【考点】椭圆几何性质5．若a +b =1，则直线2ax -by =1恒过定点______．【答案】（，-1）【解析】由题得a=1-b,所以直线方程为2x-1-(2x+y)b=0,再解方程组得直线的定点坐标. 【详解】解：若a+b=1，所以a=1-b,所以直线方程为2(1-b)x-by=1,所以2x-1-(2x+y)b=0,所以所以直线经过定点（，-1），故答案为：（，-1）．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．6．若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=______时的瞬时速度为0．【答案】4【解析】由题得S′=3t2-12t=0，解方程即得解.【详解】解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，∴S′=3t2-12t，令S′=3t2-12t=0，解得t=4，(t=0舍去)∴质点在4s时的瞬时速度为0．故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系式求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．7．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______．【答案】x2+y2-2x=0【解析】由抛物线y2=4x可求出圆心为（1，0）又过坐标原点则半径为R=1再代入圆的标准方程即可求解．【详解】解：∵抛物线y2=4x∴焦点（1，0）∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点∴所求圆的半径R=1∴所求圆的方程为（x-1）2+y2=1即x2-2x+y2=0故答案为：x2-2x+y2=0．【点睛】本题以抛物线的有关知识为载体求圆的方程有较强的综合性，关键是会求抛物线的焦点和利用题中条件求圆的半径.8．已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为______．【答案】【解析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，再利用点到直线的距离公式求CD, 即得C上各点到l的距离的最小值为CD-r.【详解】解：如图可知：过圆心作直线l：x-y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x-1）2+（y-1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x-y+4=0的距离为，∴AD=CD-AC=2-=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：【点睛】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C 到直线l的距离距离公式．9．函数f（x）=x+2cos x在（0，2π）上的单调递减区间为______．【答案】【解析】先求导得再解不等式即得函数的单调递减区间.【详解】解：∵函数y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx＜0，∴sinx＞，又∵x∈（0，2π），∴x∈，故答案为：．【点睛】本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在A，使,且，则双曲线的离心率为__.【答案】【解析】设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解.【详解】设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A, 使,且，设双曲线中，∴离心率，故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得a和c 的比值，属于中档题.11．已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=______．【答案】【解析】根据题意，求出函数的导数，令x=0可得f′（0）=ln2+3f′（0），计算可得f′（0）=-，即可得f′（x）=2x ln2-，将x=1代入计算可得答案．【详解】解：根据题意得f′（x）=2x ln2+3f′（0），当x=0时，有f′（0）=ln2+3f′（0），即可得f′（0）=-，则f′（x）=2x ln2-，则f′（1）=，故答案为：．【点睛】本题考查导数的计算，关键是求出f′（0）的值，属于基础题．12．已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x-y-2=0，x-y+2=0与椭圆分别相交于A，B，C，D，则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=______．【答案】12【解析】设椭圆的右焦点为F′，由题分析得到|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|，再利用椭圆的定义求解.【详解】解：设椭圆的右焦点为F′，由椭圆定义可知|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a=6．∵直线x-y-2=0和直线x-y+2=0关于原点对称，且椭圆是中心对称图形，对称中心为原点，∴|DF|=|AF′|，|CF|=|BF′|，∴|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|=4a=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了椭圆的定义及对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______．【答案】[，+∞）【解析】根据条件构造函数g（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．【详解】解：∵f（x）+f（-x）=x2，∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，设g（x）=f（x）-x2，则g（x）是奇函数，且g′（x）=f′（x）-x．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．∴当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．即此时g（x）为减函数，∵g（x）是奇函数，∴当x≤0时，g（x）也是减函数，即g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则若f（1-a）-f（a）≥-a，等价为g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，即g（1-a）≥g（a），即1-a≤a，得2a≥1，即a≥，即实数a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性性质将不等式进行转化是解决本题的关键．14．在直角坐标中xOy，圆C1：x2+y2=8，圆C2：x2+y2=18，点M（1，0），动点A、B 分别在圆C1和圆C2上，满足，则的取值范围是______．【答案】（，）【解析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），由条件可得|AB|2 =28-2（x1+x2）．设AB中点为N （x0，y0），则|AB|2=28-4x0 ，利用线段的中点公式求得（x0-）2+y02=，再由x0 的范围，求得|AB的范围即可求出的范围.【详解】解：∵，∴，∴A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=26-2（x1x2+y1y2）．∵-2≤x1≤2，，∴（x1-1，y1）．（x2-1，y2）=0，即（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，即x1x2+y1y2=x1+x2-1，∴|AB|2=26-2（x1+x2-1）=28-2（x1+x2）．设AB中点为N（x0，y0），则|AB|2=28-4x0 ，∵，∴4（x02+y02）=26+2（x1x2+y1y2）=26+2（x1+x2-1）=24+4x0，即（x0-）2+y02=，∴点N（x0，y0）的轨迹是以（，0）为圆心、半径等于的圆，∴x0的取值范围是（-2，3），∴|AB|2=28-4x0 的范围为（16，36），则的取值范围为（）故答案为：（）【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系、两点间的距离公式和圆的标准方程，考查圆中的轨迹问题，考查函数的思想处理最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题15．已知双曲线C1：-=1．（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C2的标准方程．【答案】（1）4（2）x2-=1【解析】（1）由题得t2=12（-1）=15，再利用两点间的距离公式求得M点到双曲线C1右焦点的距离；（2）设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），代入点（-3，2），即得m的值和双曲线的标准方程.【详解】解：（1）双曲线C1：-=1的右焦点为（4，0），点M（3，t）在双曲线C1上，可得t2=12（-1）=15，则M点到双曲线C1右焦点的距离为=4；（2）与双曲线C1有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），代入点（-3，2），可得m=-=，则双曲线C2的标准方程为x2-=1．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查共渐近线的双曲线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．17．如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为8m，镜深1m．（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．【答案】（1）标准方程是y2=16x，焦点坐标是F（4，0）（2）5【解析】（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径，根据点A（1,4）可以求出抛物线的标准方程；（2）由题得A、F两点间的距离即为每根铁筋长，求|AF|的长度即可得解.【详解】解：（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，如图所示；使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径；由已知，得A点坐标是（1，4），设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则16=2p×1，求得p=8；所以所求抛物线的标准方程是y2=16x，所以焦点坐标是F（4，0）.（2）盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长.计算|AF|=x1+=1+4=5，即每根铁筋的长度是5m．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法和简单几何性质，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a（a＞4），求a的取值范围．【答案】（1）x-y=0或x-y-4=0；（2）（22-8，22+8）【解析】(1)由题得直线AB方程为x-y+1=0，设直线l的方程为x-y+m=0，由r2=（）2+（）2，解得m=0或-4，即得直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；（2）设P（x，y），由题得x2+（y-1）2=-2，即得P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆，由两圆相交可得-2＜＜+2，解不等式即得a的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），直线AB的方程为x-y+1=0，且|AB|==2，设直线l的方程为x-y+m=0，又由MN=AB=2，圆心C到直线l的距离d=则有r2=（）2+（）2，即（）2=2，解可得m=0或-4，故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；（2）根据题意，设P（x，y），若P A2+PB2=a，则P A2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=a，变形可得：x2+y2-2y+3=，即x2+（y-1）2=-2，则P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆；若圆C上存在两个点P，使得P A2+PB2=a，则圆C与圆x2+（y-1）2=4相交，两圆的圆心距d′==，则有-2＜＜+2，解可得：22-8＜a＜22+8，故a的取值范围为（22-8，22+8）.【点睛】本题主要考查平行直线方程的求法，考查圆中的轨迹问题，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．圆C2：x2+y2=b2．A、B为椭圆上不同的两点，AB中点为M．（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线AB过F点，直线OM交l于N点，求证：NF⊥AB；（3）若直线AB与圆C2相切，求原点O到AB中垂线的最大距离．【答案】（1）=1（2）见解析（3）【解析】（1）由椭圆的右焦点和右准线得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设AB：x=my+1，联立直线AB方程和椭圆方程求出点M的坐标和点N 的坐标，再计算得k NF•k AB=-1，即得NF⊥AB；（3）设AB：x=my+n，求出AB中垂线方程为mx+y-=0，再求出O到AB中垂线的距离，再利用基本不等式求最大距离. 【详解】解：（1）椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．∴，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为=1．（2）由题意，AB的斜率不为0，故设AB：x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0，由题意得△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=-，∴M（），所以OM方程为y=-，∴N（4，-3m），又F（1，0），∴k NF=-m，∵k NF•k AB=-m•=-1，∴NF⊥AB，当m=0时，NF⊥AB，综上，NF⊥AB．（3）C2：x2+y2=3，设AB：x=my+n，与圆C2相切，得=，与=1联立，得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0，M（），所以AB中垂线方程为：y+=-m（x-），即mx+y-=0，所以O到其距离d==≤=，当3|m|=，即m=时，取等号．综上，点O到AB的中垂线的最大距离为．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法和椭圆的简单几何性质，考查两条直线垂直的斜率表示，考查点到直线的距离的求法和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知函数f（x）=|ax-2|+ln x（其中a为常数）（1）若a=0，求函数g（x）=的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）令F（x）=f（x）-，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．【答案】（1）极大值为e，无极小值．（2）见解析（3）见解析【解析】（1）直接利用导数求函数的极值；（2）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（3）由题得|ax-2|=-ln x，先求出函数y=-ln x在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，再对a分类讨论，结合数形结合分析得到函数F（x）在（0，1]上零点的个数.【详解】解：（1）当a=0时，f（x）=2+ln x，g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，当0＜x＜时，g′（x）＞0 g（x）单调递增：当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，即当x=，时函数g（x）取得极大值，极大值为g（）=e，无极小值．（2）若a≤0．则f（x）=-ax+2+ln x，f′（x）=-a+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则f（x）=，当x≥时，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，当0＜x＜时，f′（x）=-a+，由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得＜x＜，此时函数单调递减，综上当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），[，+∞），单调递减区间为（，）．（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+ln x-，由F（x）=0得|ax-2|=-ln x，则k(x)=-ln x，则函数在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，当时，y=|ax-2|的零点为∈（0，1],当x时，F（x）=f（x）-=|ax-2|+ln x，由F（x）=0，得，即.令，，所以在单调递增，，又，所以时，因为，所以时F（x）无零点.当x≥时，y=ax-2，设h（x）=ax-2，当h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3时，两个函数有1个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，当h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3时，两个函数有0个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，综合得2≤a＜3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，a≥3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

【全国百强校】江苏省扬州中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省扬州中学2018-2019学年高二（上）期中考试数学试卷（本卷满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、直线03=+-y x 的倾斜角为 .2、函数12+=x y 在区间]1,1[x ∆+上的平均变化率是 .3、过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是 .4、若椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，则实数k 的取值范围是 . 5、若1=+b a ，则直线12=-by ax 恒过定点 .6、若某物体运动规律是)0(5623>+-=t t t S ，则在=t 时的瞬时速度为0.7、以抛物线x y 42=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 .8、已知直线04:=+-y x l 与圆2)1()1(:22=-+-y x C ，则C 上各点到l 的距离的最小值为 .9、函数x x y cos 2+=在)2,0(π内的单调减区间为 .10、设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点. 若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且212AF AF =，则双曲线的离心率为 .11、已知)0(32)('xf x f x +=，则=)1('f . 12、已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，直线02,02=+-=--y x y x 与椭圆分别相交于A ，B ，C ，D ，则=+++DF CF BF AF .13、设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ，对任意的R x ∈，有2)()(x x f x f =-+，且),0(+∞∈x 时，x x f <)('. 若a a f a f -≥--21)()1(，则实数a 的取值范围是 . 14、在直角坐标系xOy 中，圆8:221=+y x C ，圆18:222=+y x C ，点M （1，0），动点A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足MB MA ⊥+的取值范围是 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）已知双曲线1124:221=-y x C . （1）若点),3(t M 在双曲线C 1上，求M 点到双曲线C 1右焦点的距离；（2）求与双曲线C 1有共同渐近线，且过点)62,3(-的双曲线C 2的标准方程.16、（14分）设函数xb ax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x . （1）求)(x f 的解析式；（2）证明: 曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.17、（14分）如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑. 已知镜口圆的直径为8m ，镜深1m.（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.18、（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆04:22=-+x y x C 及点A （-1，0），B （1，2）.（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN =AB ，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在两个点P ，使得)4(22>=+a a PB PA ，求a 的取值范围.19、（16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的右焦点F （1，0），右准线4:=x l . 圆2222:b y x C =+. A 、B 为椭圆上不同的两点，AB 中点为M.（1）求椭圆C 1的方程；（2）若直线AB 过F 点，直线OM 交l 于N 点，求证: NF ⊥AB ；（3）若直线AB 与圆C 2相切，求原点O 到AB 中垂线的最大距离.20、（16分）已知函数x ax x f ln 2)(+-=（其中a 为常数）（1）若0=a ，求函数xx f x g )()(=的极值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）令x x f x F 1)()(-=，当2≥a 时，判断函数)(x F 在]1,0(上零点的个数，并说明理由.。

江苏省扬州中学2018学年高二上学期期中数学试卷含解析

2018-2018学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．直线y=x+1的倾斜角是．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=．10．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l 的方程．17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P 作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．2018-2018学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．直线y=x+1的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【考点】椭圆的标准方程．【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为：“若a2＞b2，则a＞b”5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0），离心率为，由此能求出椭圆方程．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4，∴c2=a2﹣b2=5，∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为：．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：因为p：x＞2，得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离，再用第二定义求出点M到右准线的距离d即可．【解答】解：由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线，再由双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a 的值．【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，故答案为210．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b，cos∠POF2==，在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为（3﹣2）π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案为：（3﹣2）π．14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（，6）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围，结合=，可得a的范围，再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解：设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4，且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b）∴0＜a＜，或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6），故答案为：（0，）∪（，6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，解得实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，整理得到a2﹣5a+4＜0，解得1＜a＜4；（2）若命题q为真，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，即a2﹣2a﹣3＜0解得：﹣1＜a＜3若p∧q为真，则1＜a＜3．16．已知直线l过点P（2，1）（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l 的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案；（2）由题可设l的截距式方程为：，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案．【解答】解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，由题意得：=解之得：k=﹣或k=﹣1，故所求直线方程为x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，∴，解得，故l方程为，即x+2y﹣4=0．17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：△AF1B为等边三角形，因此a=2c，e===，即可求得椭圆C的离心率；（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨y B丨，代入即可求得△AF1B的面积．【解答】解：（1）由题意可知，△AF1B为等边三角形，∴a=2c，∴e===，椭圆C的离心率；（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2，b=，∴椭圆方程为：，∴A（0，），F2（1，0），∴直线AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，∴直线AC的方程为y﹣0=﹣（x﹣1）=﹣x+，∴，解得：或（舍）∴点B的坐标为（，﹣），所以=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨y B丨=•2•+•2•=，∴△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2）若路宽为10米，求灯柱的高．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出A的坐标，设点A处的切线方程，代入抛物线方程，求出斜率，即可得出灯罩轴线所在的直线方程；（2）求出FD，利用CF，可求灯柱的高．【解答】解：（1）由题意知，BF=，则x A=1.5+=2，代入y2=2x得y A=2，故A（2，2）．设点A处的切线方程为y﹣2=k（x﹣2），代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．则△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k=．故灯罩轴线的斜率为﹣2，其方程为y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6．（2）由于路宽为10，则当x=时，y=﹣5，从而FD=5．又CF=1，则CD=6．答：灯柱的高为6米．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P 作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出k OT，k PT，直线l和PT，求出P的坐标．（2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，列出不等式求解即可．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x1，y1），C（x2，y2），利用k OB k OC===k2，求解即可．【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T（，﹣1），所以k OT=﹣，∴k PT=，故直线PT的方程为y+1=（x﹣），即．联立直线l和PT，解得即P（2）．（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=，所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，所以d=，解得．（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=，故k OB k OC===k2，即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：=，求得A点坐标，由e==，将A代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据=m，求得．代入椭圆方程+=1，由直线OA，OB的斜率之积﹣，利用斜率公式求得，代入整理得：，解得：m=，；（3）假设存在否存在定圆M，求得直线的切线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0，则椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解，由韦达定理求得k1k2====﹣1，因此椭圆的两条切线垂直，则当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线，即可求得圆的方程．【解答】解：（1）由P（2，），设A（x，y），则=（2，），=（﹣x，﹣y），由题意可知：=，∴，则，A（﹣1，﹣），代入椭圆方程，得，又椭圆的离心率e==，则=，②由①②，得a2=2，b2=1，故椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=，∴P（﹣2x1，﹣2y1），．∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），即，于是．代入椭圆方程，得+=1，（+）+（+）﹣（+）=1，∵A，B在椭圆上，，，由直线OA，OB的斜率之积﹣，即•=﹣∴，∴，解得：m=，（3）存在定圆M，x2+y2=3，在定圆M上任取一点T（x0，y0），其中x0≠±，设过点T（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣y0），即y=kx﹣kx0+y0，∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（﹣kx0+y0）x+2（﹣kx0+y0）2﹣2=0，由△=16k2（﹣kx0+y0）2﹣8（1+2k2）[（﹣kx0+y0）2﹣1]=0，整理得：（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0故过点T（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解．故k1k2====﹣1，∴椭圆的两条切线垂直．当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线．2018年1月4日。

【精品】2018年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二上学期期中数学试卷带解析答案

2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则A∩（∁U B）=．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．4．（5分）函数f（x）=x+sinx的导函数f′（x）=．5．（5分）曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是．7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=．8．（5分）函数y=x3﹣ax+4在（1，+∞）上为增函数，则a的取值范围是．9．（5分）函数y=2x﹣4的值域为．10．（5分）若方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知条件，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q充分不必要条件，则a的取值范围是．12．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），当x∈（﹣3，0）时，f（x）=3x，则f（2014）=．13．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣lnx﹣a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”都是真命题，则实数a的取值范围．二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}，其中a＞0．（1）求集合A；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上是单调减函数；命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0有实根，（1）若p为真，求a的范围（2）若q为真，求b的范围（3）若p或q为真，p且q为假，求实数a的范围．17．（15分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a，b的值，（2）判断f（x）在R上的单调性（3）若对任意的t，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0，求k的取值范围．18．（15分）某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格p（元/吨）与月产量x（吨））之间的关系式为：，且生产x吨产品的总成本为R=500+2x （元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）19．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（1）若a=﹣1．b=1，求函数在区间[0，3]上的值域．（2）若a＞0，且函数在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，求实数a，b 的值；（3）在（2）的条件下，记f（x）=g（|x|）．若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则A∩（∁U B）={1} ．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，∴∁U B={1，2}，则A∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．3．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=0．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案为0．4．（5分）函数f（x）=x+sinx的导函数f′（x）=1+cosx．【解答】解：f′（x）=（x+sinx）′=（x）′+（sinx）′=1+cosx，即f′（x）=1+cosx，故答案为：1+cosx．5．（5分）曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是4x﹣y﹣1=0．【解答】解：y′=3x2+1令x=1得切线斜率4所以切线方程为y﹣3=4（x﹣1）即4x﹣y﹣1=0故答案为4x﹣y﹣1=06．（5分）已知定义在R上的函数f（x）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是x＜．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）单调递增，则由f（2x﹣1）＜f（），可得2x﹣1＜，解得x＜，故答案为：x＜．7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=﹣3．【解答】解：∵f（﹣1）=2+1=3∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴f（1）=﹣3故答案为：﹣3．8．（5分）函数y=x3﹣ax+4在（1，+∞）上为增函数，则a的取值范围是a≤3．【解答】解：y′=3x2﹣a∵y=x3﹣ax+4在（1，+∞）上为增函数∴y′=3x2﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立∴a≤3x2在（1，+∞）上恒成立∵3x2＞3∴a≤3故答案为：a≤3．9．（5分）函数y=2x﹣4的值域为（﹣∞，2] ．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，函数定义域为（﹣∞，1]，由于y 1=2x在（﹣∞，1]上单调递增，y2=﹣4（﹣∞，1]上也是单调递增，所以函数y=2x﹣4是（﹣∞，1]上的增函数，所以y≤f（1）=2值域为（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]10．（5分）若方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，则实数a的取值范围是a＜．【解答】解：因为方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，所以对应函数f（x）=2x2+（a+1）x+2a﹣3的图象如图，由图得f（﹣1）＜0且f（0）＜0，⇒a＜即a＜故答案为：a＜．11．（5分）已知条件，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p 是q充分不必要条件，则a的取值范围是0≤a≤．【解答】解：∵q：实数x满足x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．∴q：a≤x≤1+a．又，由p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，且q推不出p，∴所以0≤a≤，实数a的取值范围是：0≤a≤；故答案为：0≤a≤．12．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），当x∈（﹣3，0）时，f（x）=3x，则f（2014）=．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期T=3，f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2），∵当x∈（﹣3，0）时，f（x）=3x，∴f（﹣2）=3﹣2=，∴f（2014）=．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣lnx﹣a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”都是真命题，则实数a的取值范围．【解答】解：∵∀x∈[1，2]，x2﹣lnx﹣a≥0∴a≤令：f（x）=则f′（x）=∵f′（x）＞0∴f（x）在[1，2]上增函数∴f（x）的最小值为∴a≤又命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”是真命题∴△=4a2+32+24a≥0∴a≥﹣2或a≤﹣4又∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣lnx﹣a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2+2ax﹣8﹣6a=0”都是真命题∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，]二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}，其中a＞0．（1）求集合A；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}={x|x＞4或x＜﹣3}；（2）B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}={x|﹣a≤x≤2a}，其中a＞0，A∩B=∅，可得﹣a≥﹣3，且2a≤4，解得0＜a≤2，即a的取值范围是（0，2]．16．（14分）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上是单调减函数；命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0有实根，（1）若p为真，求a的范围（2）若q为真，求b的范围（3）若p或q为真，p且q为假，求实数a的范围．【解答】解：（1）命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上是单调减函数；若p为真，则0＜2a﹣6＜1，解得3＜a＜，∴a的取值范围是3＜a＜；（2）命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0有实根，若q为真，则△=9a2﹣4（2a2+1）≥0，解得，a≤﹣2或a≥2，∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥2；（3）若p或q为真，p且q为假，则p、q一真一假；当p真q假时，，解得a∈∅；当p假q真时，，解得a≤﹣2或a≥；综上，实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥．17．（15分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a，b的值，（2）判断f（x）在R上的单调性（3）若对任意的t，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵定义域为R的函数是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）==0，即1﹣b=0，解得b=1，则f（x）=，同时f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=，即1+a•2x=a+2x，∴a=1；（2）∵a=b=1，∴f（x）===1﹣，∵2x为R上的增函数，为R上的减函数，∴f（x）是R上的增函数；（3）∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0等价于f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），∵f（x）为增函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0，可得k＜﹣．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）．18．（15分）某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格p（元/吨）与月产量x（吨））之间的关系式为：，且生产x吨产品的总成本为R=500+2x （元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）【解答】解：设生产x吨产品，利润为y元，则y=px﹣R=（242﹣x2）x﹣（500+2x）=﹣x3+240x﹣500（x＞0）y′=﹣x2+240，由y'=0，得x=20，∵0＜x＜20时y'＞0，当x≥20时y'＜0∴当x=20时，y max=31500（元）答：该厂每月生产20吨产品才能使利润达到最大，最大利润是31500（元）19．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（1）若a=﹣1．b=1，求函数在区间[0，3]上的值域．（2）若a＞0，且函数在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，求实数a，b 的值；（3）在（2）的条件下，记f（x）=g（|x|）．若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意a=﹣1．b=1，知g（x）=﹣x2+2x+2，g（x）的对称轴为：x=1，开口向下；g（x）在[0，3]上先单调递增然后单调减，故有函数的最大值为：g（1）=3，最小值为：g（3）=﹣1．函数在区间[0，3]上的值域[﹣1，3]．（2）由题意g（x）=ax2﹣2ax+1+b，a＞0知，g（x）的对称轴为：x=1，开口向上；g（x）在[2，3]上单调递增，故有⇒，解得：．（3）由（2）知g（x）=x2﹣2x+1；f（x）=g（|x|）=|x|2﹣2|x|+1，f（2）=1当f（x）＞1时，解得x＞2或x＜﹣2要使得f（log2k）＞3，即：log2k＞2或log2k＜﹣2解得：k＞4或k＜20．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f （x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2018-2019学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学参考答案

(−3) 2 (2 6) 2 x2 y2 − =，（2）设 C1 : − = ( 0) ，将点 (−2, 6) 代入，得 4 12 4 12
得 =
y2 1 2 = 1. ，故双曲线 C2 的标准方程为 x − 3 4
……………………………14 分
7 16．[解答] (1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝ x－3. 4 1 b 当 x＝2 时，y＝ .又 f′(x)＝a＋ 2， 2 x b 1 2a－＝， 2 2 a＝1， 3 于是解得故 f(x)＝x－ . x b 7 b＝3， a＋＝， 4 4

3

3
3
x0

x0
令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 1 6 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为－ |2x0|＝6. 2 x0 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6. ……………………………14 分
|n| 1 + m2 = 3.
（3） C2 : x 2 + y 2 = 3 ，设 AB : x = my + n ，与圆 C2 相切，得
与
x2 y 2 4n 3mn + = 1 联立，得 (3m2 + 4) y 2 + 6mny + 3n2 − 12 = 0 ， M ( 2 ,− 2 )， 4 3 3m + 4 3m + 4
2−0 =1 ， 1 − (−1)
2−0+m 2
=
2+m 2
．
因为 MN = AB = 22 + 22 = 2 2 ，而 CM 2 = d 2 + (

江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

江苏省扬州大学附属中学2018-2019学年高二(上)期中考试数学试卷(无答案)

江苏省扬州大学附属中学2018-2019学年高二（上）期中考试数学试卷（本卷满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、抛物线y x 42=的焦点坐标是 .2、命题“02,2>-∈∃x x R x ”的否定是 .3、过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是 .4、双曲线1422=-y x 的渐近线方程为 . 5、若x x x f sin )(+=，则=)0('f .6、“5>x ”是“0542>--x x ”的条件.（选“充分必要”“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填空）7、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是 .8、已知直线01)21(:=-+-+a y a ax l . 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a 的值为 .9、已知命题11:>-x p ，命题Z x q ∈:，则满足“q p ∨”与“p ⌝”同时为真命题的x 的取值集合为 . 10、已知双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若AB=5，则△ABF 1的周长为 .11、曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 . 12、已知直线3+=ax y 与圆9)1(22=++y x 相交于A ，B 两点，点),(00y x P 在直线x y 2=上，且PA=PB ，则0x 的取值范围是 .13、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点，右焦点分别为A ，F ，右准线为m . 若直线m 上不存在点Q ，使△AFQ 为等腰三角形，则椭圆离心率的取值范围是 .14、已知双曲线1422=-y x 的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为23，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，且NM AN =，则k 的值为 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）已知命题:p 实数x 满足0562≤+-x x ，命题:q 实数x 满足11+≤≤-m x m .（1）当5=m 时，若“q p 且”为真，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分条件，求实数m 的取值范围.16、（14分）已知P 点在曲线)(ln R m x mx y ∈+=上，α为曲线在P 点处的切线的倾斜角.（1）若P 点坐标为（1，-2），求α；（2）若0=m 且曲线在P 点处的切线过原点，求曲线在P 点处的切线方程.17、（15分）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上.（1）若圆C 过点（2，3），求圆C 的方程；（2）若直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线方程.18、（15分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点),(b a P 满足212F F PF =. （1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，且53321=ABF S △，求椭圆的方程.19、（16分）如图，S ，P 是海岸线OA ，OB 的两个码头，其中S 在O 的正西方向，Q 为海中一小岛，在水上旅游线SP 上，测得240,43==∠OP AOB π千米，Q 到海岸线OA ，OB 的距离分别为10千米和215千米.（1）求水上旅游线SP 的长；（2）海中C （在P 的正西方向，且CP =60千米）处的某试验产生的强水波以C 为中心向四周扩散，生成t 小时的半径at r 10=（a 是大于0的实常数）千米. 若与此同时，一游轮以510=v 千米/时的速度自码头S 沿水上旅游线开往码头P ，若强水波波及了游轮的航行，试求实数a 的最小值.20、（16分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上任意一点到两焦点距离之和为22，离心率为22. 点A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为21,k k ，且2121-=k k . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明:22OQ OP +是定值；（3）若EQ AE DP AD μλ==,（μλ,为非零实数），求22μλ+的值.。

江苏省扬州中学2018-2019学年高二上学期10月月考试题数学Word版含答案

江苏省扬州中学2018-20佃学年度第一学期10月份测试高二数学试卷2018年10月6日(本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. 与直线x+^3y—1 = 0垂直的直线的倾斜角为___________ .2 22. 焦点在X轴上的椭圆—+ + = 1的焦距是2，则m的值是 ___________ .m 43. 圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为________________________ .4. 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有________________ 条.2 25•平行于直线2x y ^0且与圆x - y -5相切的直线的方程________________________ .6•已知圆x2+ y2+ 2x —4y + a = 0关于直线y = 2x • b成轴对称，则a-b的取值范围是57. P为椭圆C上一点，FE为两焦点，PF1 =13, PF2 =15,cosNPF1F2 =—,则椭圆C13的离心率e =__________ .8. 若过点A(a,a)可作圆x2y^2ax a22 a -3 =0的两条切线，则实数a的取值范围是 _______________ .9. 过点3,1作圆x-1 2 y2 =1的两条切线，切点分别为A,B ,则直线AB的方程为 ____________ .10. 已知AC,BD为圆O:/ = 4的两条互相垂直的弦，垂足为M (1 - 2),则AC2BD2二_________________ .11. 在平面直角坐标xOy中，已知A(1,0), B(4,0)，直线x-y上存在唯一的点P满PA 1足，则实数m的取值集合是________ .PB 22 212 .在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C: ^2= 1(a>b> 0)上一点，F为椭圆C的右22 2b焦点，直线FP与圆O: x2+ y2= 4相切于点Q,若Q恰为线段FP的中点，则椭圆C的离心率为 __________ .13.已知圆G ：(x -2)2 (y-3)2 =1 ,圆C2 : (x-3)2 (y-4)2 =9, M、N 分别是圆G、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则 PM I PN 的最小值为 __________ •aX n + bV n +c14 •定义：点M (X o ,y °)到直线l : ax + by+c = 0的有向距离为律2兀2 .已知点Va^b 2… 2 2A(-1,0),B(1,0),直线m 过点P(3,0)，若圆x (y-18) = 81上存在一点C ,使得A,B,C 三点到直线 m 的有向距离之和为 0,则直线 m 的斜率的取值范围为 ____________________ • •二、解答题(本大题共 6小题，共90分)15.(本小题满分 14 分)已知直线 : ( m -.-2) x -.-(m -.-3) y 「5 =0 和 l 2 ：6x -.-(2 m 「1) y =5 • 问：m 为何值时，有：(1) |1 〃|2 ; (2) n 」2 •2 216.(本小题满分14分)已知圆C 的方程为x + y = 4.(1)求过点P(1,2)且与圆C 相切的直线I 的方程；⑵直线I 过点P(1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB| = 2 3，求直线I 的方程.(1)求x 0的值；2 2⑵求过点M 且与椭圆+ 4 = 1共焦点的椭圆的方程. 17.(本小题满分 14分)已知椭圆 2卷=1上一点M (心y °)，且怡：：0 ,。

江苏省扬州中学2018-2019学年高二上学期10月月考试题数学(含答案)

江苏省扬州中学2018-2019学年度第一学期10月份测试高二数学试卷 2018年10月6日（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2. 焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．3. 圆心在y 轴上，半径为1,且过点)2,1(的圆的方程为．4. 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有__________条. 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程．6. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线b x y +=2成轴对称，则b a -的取值范围是________．7. P 为椭圆C 上一点，12,F F 为两焦点，135cos ,15,132121=∠==F PF PF PF，则椭圆C 的离心率=e .8. 若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围是． 9. 过点()1,3作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为．10. 已知BD AC ,为圆4:22=+y x O 的两条互相垂直的弦，垂足为)21( M ,则=+22BD AC ． 11. 在平面直角坐标xOy 中，已知)0,4(),0,1(B A ，直线0=+-m y x 上存在唯一的点P 满足21=PB PA ，则实数m 的取值集合是．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为．13.已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为____．14．定义:点),(00y x M 到直线0:=++c by ax l 的有向距离为2200ba c by ax +++.已知点)0,1(),0,1(B A -,直线m 过点)0,3(P ,若圆81)18(22=-+y x 上存在一点C ,使得C B A ,,三点到直线m 的有向距离之和为0,则直线m 的斜率的取值范围为．．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5lx m y +-=．问：m 为何值时，有：（1）21//l l ；（2）12ll ⊥．16.（本小题满分14分）已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程.17.（本小题满分14分）已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点00(,)M x y ，且00x <，02y =．（1）求0x 的值；（2）求过点M 且与椭圆x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点分别为)0,2(,)0,2-(),3,1( C B A ,圆1C 为ABC ∆的外接圆．（1）求圆1C 的方程；（2）设圆:2C 1)]5([)(22=--+-m y m x 上存在点P ，满足过点P 向圆1C 作两条切线PB PA ,,切点为B A ,，四边形B PAC 1的面积为10，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分16分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F,B,三点的圆的圆心为C . (1)若C 的坐标为)1,1(-，求椭圆方程和圆C 的方程； (2)若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率.20．(本题满分16分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ．且322=F F １，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2) 若P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+ 交椭圆E ：221164x y +=于A ，B 两点，射线OP 交椭圆E 于点Q ．(i)若OP OQ λ=，求λ的值； (ii)求四边形AOBQ 面积的最大值．2018.10.6参考答案：1.π3 2.5 3. 22(2)1x y +-= 4. 3 5. 052=±+y x 6.)1,(-∞ 7. 12 8. 3312a a <-<<或 9.032=-+y x 10. 20 11．{- 12.53．13. 425- 14.]43,(--∞15.解：（1）∵21//l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即21//l l∴当25-=m 时，21//l l ．（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．16.解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2) 当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.17.解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.故M 的横坐标03x =-.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.22(1)(1)5(2)[0,6]x y m +-=∈19.（1）因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=，圆半径2==CO r ，所以椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x （6分，每个方程3分）（2）由AD 与圆C 相切，得 CO AD ⊥ BF 方程为b x cby +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222b y a x b x c b y 得),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+-。