高中数学必修四课件1.2.2同角三角函数的基本关系

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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件

一同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25

人教版高一数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系(课件)

知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形思考1：对于平方关系可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
，的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知求
，的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系

故 tan ��
1 sin2��
-1
=
tan
��
1-sin2�� sin2��
=
tan
��
cos�� sin��
=
sin�� cos��
·-scions��
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin�� 1 + cos�� ∴ 1-cos�� = sin�� .
题型一题型二题型三题型四题型五
题型四已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin��+cos�� 2sin��-cos��
则 sin α=−
1-cos2 ��
=
−
15 17
,
tan
��
=
sin�� cos��
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.

高中数学必修四同角三角函数的基本关系式课件

cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页习题1-2 A组zxxk
8、9 选作习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为（ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。

1.2.2同角的三角函数基本关系式

能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
sin 10 cos 10 1. (sin 10 cos 10 ) (sin 10 cos 10 ) 2 sin 10 cos 10
补充题 : 已知cot m(m 0), 求cos .
同角三角函数基本关系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
第二课时
学习本节的目的要求:
5.已知tan m(m 0), 求的其他三角函数值 .
同角三角函数基本关系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
能力训练(化简)
例1.化简 : 1 sin 2 440
2.三角函数的定义域
三角函数定义域
R R

sin cos tan
{ | R且
cot sec
2 { | R且 k , k Z }
k , k Z } k , k Z }
{ | R且
csc
2 { | R且 k , k Z }
1 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1
0
cos

人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件

cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ，满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
cos

4 ，tan
5

3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)

1.2.3同角三角函数的基本关系式课件高中数学人教B版必修4

5
A. 4 3
B. 3 4
C. 4 3
D. 3 4
达标测试：
4、已知tan 4, 求(1) sin 2cos
2sin 5cos
1
(2) sin2 2sin cos
解：(1)原式分子分母同除以cos得 tan 2 4 2 2 2 tan 5 2 4 5 13
(2)原式可变形为
a2 a
a(a 0)
a(a 0)
达标测试：
1、sin2 2011 cos2 2011 A
A、1 B、2 C、2011 D、不能确定
2、已知tan 5 , 且是第四象限角,则sin等于D
12
A. 1 5
B. 1 5
C. 5 13
D. 5 13
3、已知cos 4 , (0, ),则tan的值为 B
2.两种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.
基本变形
思考1：对于平方关系 sin2 cos2 1
可作哪些变形？
sin2 1 cos2 , cos2 1 sin2 ,
sin 1 cos2 cos 1sin2
思考2：对于商数关系 sin tan 可作
哪些变形？
1 1（
3)2
16 cos
25
4 5
4
当为第二象限角时，sin 3 , cos 4
5
5
当为第四象限角时，sin 3 , cos 4
5
5
小结
同角三角函数的基本关系式
1、掌握同角三角函数基本关系式并牢记.
sin2 cos2 1, sin tan,
2、应用（1）求值
cos
①应用公式（重点） ②列方程组
sin 2 cos2 sin2 2sin • cos

高中数学第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt

5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ，所以cosα=-2sinα 5 ，又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1，整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11

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cos α 1 + sin α = 例6．求证： 1 sin α cos α
练习：练习：课本P20练习1--5 作业：作业：课本P21习题A组10，11，12，13， B组 1，2，3 作业本相关内容
1.2.2 同角三角函数的基本关系
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
sin α + cos α = 1
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin α = tan α cos α
上述公式是否对任意的角α都成立? 你能证明吗?
注意：1、“同角”是指公式与角的表达 2 2 形式无关， sin 3α + cos 3α = 1 如： 2、上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。 3、根据公式，由一个角的任一个三角函数值就可求出这个角的另两个三角函数值，但若利用“平方关系” ，则最终需要求平方根，因而会出现两解，此时要根据角的象限进行选择。
应用 1．利用同角三角函数的基本关系求某个角的三角函数值例1．已知sinα＝－3/5，且 1 sinα 3/5 α在第三象限，求cosα和 α cosα tanα的值.
例2．已知 cosα = m (m ≠ 0, m ≠ ±1), 求α的其他三角函数值。
4sinα 2 cosα 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5cosα + 3sinα
（2） sin 2
2
α + sinα cosα 3 cos α
2
2．利用同角三角函数的基本关系化简三角函数式例4．化简： 1 sin 2 440 例5．已知
1 + sin α 1 sin α α是第三象限角，化简 1 sin α 1 + sin α
3．利用同角三角函数的基本关系证明三角等式