八年级数学平方差公式
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八年级数学《平方差公式》课件图文详解
知2－导
利用这个公式， 可以直接计算 两数和乘以这 两数的差.
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁:
(a + b) (a－b)=a2 －b2.
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称 为平方差公式.
知2－讲
平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差． 用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
-2 0192 =2 0192-1-2 0192=-1.
总结
知3－讲
本题运用转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘 积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个 数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数 的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
知3－练
1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
项的平方 减去相反项的平方 . 3. 理解字母a,b的意义，平 方差公式中的a,b既
可代 表一个单项式，也可代表 一个多项式 .
知1－讲
知1－练
1 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
2 3
m2
3 4
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
n3
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
八年级数学平方差公式1
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
=(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a² - b²= (a + b)( a - b )
解：2）
9a²-
1 4
b²Βιβλιοθήκη =(3a)²- ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)9解(：m +n)²- (m -n)²=2 x ( 2 y + 2 z) 34解2解.))原：2(1：x式.x原³=+式[-3=y=(8(m[x(x++x+y+nz+z)]))2²+²z-(()y-m(x+-(-znyx)))]²[–(x+yz)=–-(4yzx+z())²y] + z ) 53).原—12式==a[(²=34(m2-mx+2+(2xnn²))-+(42(m)m=-+2n4x)n]([x)3+(m2)+(nx)--2()m-n)]
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
=(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a² - b²= (a + b)( a - b )
解：2）
9a²-
1 4
b²Βιβλιοθήκη =(3a)²- ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)9解(：m +n)²- (m -n)²=2 x ( 2 y + 2 z) 34解2解.))原：2(1：x式.x原³=+式[-3=y=(8(m[x(x++x+y+nz+z)]))2²+²z-(()y-m(x+-(-znyx)))]²[–(x+yz)=–-(4yzx+z())²y] + z ) 53).原—12式==a[(²=34(m2-mx+2+(2xnn²))-+(42(m)m=-+2n4x)n]([x)3+(m2)+(nx)--2()m-n)]
初二数学平方差公式
初二数学平方差公式
在初中数学中，平方差公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速地求出两个数的平方差。
平方差公式的表达式为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
平方差公式的应用非常广泛，它可以用于解决各种数学问题。
下面我们来看一些具体的例子。
例1：求两个数的平方差
假设有两个数，分别为3和5，求它们的平方差。
根据平方差公式，我们可以得到：
$3^2-5^2=(3+5)(3-5)=-16$
因此，3和5的平方差为-16。
例2：求一个数的平方与另一个数的平方差
假设有两个数，分别为4和6，求它们的平方差。
根据平方差公式，我们可以得到：
$4^2-6^2=(4+6)(4-6)=-20$
因此，4的平方与6的平方差为-20。
例3：求一个数的平方与另一个数的平方和
假设有两个数，分别为2和7，求它们的平方和。
根据平方差公式，我们可以得到：
$2^2+7^2=(2+7)(2-7)=-45$
因此，2的平方与7的平方和为45。
通过以上三个例子，我们可以看到平方差公式的应用非常广泛，它可以用于解决各种数学问题。
在学习数学的过程中，我们需要掌握平方差公式的使用方法，这样才能更好地解决数学问题。
平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，它可以帮助我们快速地求出两个数的平方差。
在学习数学的过程中，我们需要多加练习，掌握平方差公式的使用方法，这样才能更好地解决数学问题。
八年级数学上册教学课件《平方差公式》
1. 掌握平方差公式的推导及应用.
探究新知
知识点 平方差公式
14.2 乘法公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积变了吗？
a米
a米 5米
相等吗？
14.2 乘法公式
数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
14.2 乘法公式
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
14.2 乘法公式
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法.
14.2 乘法公式
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
14.2 乘法公式
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
14.2 乘法公式
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式计算
14.2 乘法公式
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y). 解： (1)原式=(3x)2–22
探究新知
知识点 平方差公式
14.2 乘法公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积变了吗？
a米
a米 5米
相等吗？
14.2 乘法公式
数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
14.2 乘法公式
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
14.2 乘法公式
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法.
14.2 乘法公式
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
14.2 乘法公式
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
14.2 乘法公式
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式计算
14.2 乘法公式
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ；
(2)(–x+2y)(–x–2y). 解： (1)原式=(3x)2–22
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
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②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
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2021
2023
= × × × × ⋯×
×
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2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
《平方差公式》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
针对训练 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
例2 计算: (1) 102×98;
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16， ∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出 算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
当堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点？借助数轴填一填：
1.数轴上与原点距离是2的点有_两___个，这些点表示的
数是_2_和__-_2___； 2.与原点的距离是5的点有_两___个，这些点表示的数是
__5_和__-_5__.
-5
-2 0 2
5
要点归纳
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
八年级数学平方差公式
66影视
66影视 很多人都买不起各个影视的VIP下面我就给大家来介绍一个免费观看电影和电视的，再也不用大家花很多钱去买VIP了（一个月看不了多少，然而一个月的VIP就要好几十）。 66影视 浏览器、 66影视 1、打开浏览器，我在这里用的是360浏览器。2、找到上面的网站填写处，在里面输入免VIP的网站。网站如下图3、这就打开了免VIP网站的。4、你如果是想要找电影或电视剧的话（主页要是没看到就点击搜索框输入你想看的电影或电视剧的名字）。5、点击搜索键就可以搜到了（如果没 66影视 你是否经常因为网络不通畅，追剧时卡顿，今天我来分享一下如何下载电视剧到U盘里，希望可以帮助到大家。 66影视 电脑：Windows10腾讯：V10.31 66影视 1、需要自行在官网上下载腾讯客户端，在桌面上点击腾讯，在页面中点击下载按钮，在下方点击下载设置按钮。2、在弹出对话框中点击更改目录，在弹出页面中选择U盘，选择完成后点击确定按钮。3、完成后点击应用按钮即可，在页面中点击需要下载的电视剧，部分电视剧无法下载。 66影视 对我而言，一部好的电视剧，真正能够抓住人心的，还是触动到观众最感动的那部分情感。好的电视剧要求演员服饰好看，演员漂亮，有名的演员更能吸引人的眼球，不同的电视剧情，也有着不同的剧情内容。下面和小编一起来学习，好看的电视剧有哪些呢，希望大家喜欢。 66影视 好看的电视剧有哪些呢情感剧情 66影视 1、【三国演义】讲述三国时代的政治故事，塑造了不同形象的风云人物。作为一部真正的历史剧，魏蜀吴三国争霸故事。经过计谋，权术之间的互相较量，刘备识人的本事，诸葛亮足智多谋的智慧。青年朋友多看三国演义，会更加善于利用计策谋虑，与人和谐相处，为今后的职场生涯奠 66影视 最新最火的电视剧当然人人都想及时的看到，那么如何才能查找到这些最新的电视剧呢，我来说说。 66影视 1、有线电视一般情况下有线电视最
66影视 很多人都买不起各个影视的VIP下面我就给大家来介绍一个免费观看电影和电视的，再也不用大家花很多钱去买VIP了（一个月看不了多少，然而一个月的VIP就要好几十）。 66影视 浏览器、 66影视 1、打开浏览器，我在这里用的是360浏览器。2、找到上面的网站填写处，在里面输入免VIP的网站。网站如下图3、这就打开了免VIP网站的。4、你如果是想要找电影或电视剧的话（主页要是没看到就点击搜索框输入你想看的电影或电视剧的名字）。5、点击搜索键就可以搜到了（如果没 66影视 你是否经常因为网络不通畅，追剧时卡顿，今天我来分享一下如何下载电视剧到U盘里，希望可以帮助到大家。 66影视 电脑：Windows10腾讯：V10.31 66影视 1、需要自行在官网上下载腾讯客户端，在桌面上点击腾讯，在页面中点击下载按钮，在下方点击下载设置按钮。2、在弹出对话框中点击更改目录，在弹出页面中选择U盘，选择完成后点击确定按钮。3、完成后点击应用按钮即可，在页面中点击需要下载的电视剧，部分电视剧无法下载。 66影视 对我而言，一部好的电视剧，真正能够抓住人心的，还是触动到观众最感动的那部分情感。好的电视剧要求演员服饰好看，演员漂亮，有名的演员更能吸引人的眼球，不同的电视剧情，也有着不同的剧情内容。下面和小编一起来学习，好看的电视剧有哪些呢，希望大家喜欢。 66影视 好看的电视剧有哪些呢情感剧情 66影视 1、【三国演义】讲述三国时代的政治故事，塑造了不同形象的风云人物。作为一部真正的历史剧，魏蜀吴三国争霸故事。经过计谋，权术之间的互相较量，刘备识人的本事，诸葛亮足智多谋的智慧。青年朋友多看三国演义，会更加善于利用计策谋虑，与人和谐相处，为今后的职场生涯奠 66影视 最新最火的电视剧当然人人都想及时的看到，那么如何才能查找到这些最新的电视剧呢，我来说说。 66影视 1、有线电视一般情况下有线电视最
八年级数学平方差公式1
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x²
1 9a² -4
9 — 25
解：1） 25- 16x² =5² - (4x)²
(2)
(3)
b²
1 — 16
=(5+ 4x)(5-4x)
x²-
y²
1 解：2） 9a² - b² 4 1 =(3a)² - ( b)² 1 2 1 =（3a+ b)(3a- b) 2 2
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
解：1） 38² -37² 91 × 89 =（ 38+37 ）（ 38-37）=75 解： 3 ） -171² 2) 229² 213² -87²
注意点：
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数 的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 2.公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是 单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。