平方差公式的八个变化
人教版数学八年级上册知识训练学案：第十四章：05乘法公式
乘法公式（★★★★）平方差公式及其变形公式直接使用：22))((b a b a b a -=-+ 位置变化：22))((b a a b a b -=+-+符号变化：2222)())((a b a b b a b a -=--=--- 系数变化：22)3()2()32)(32(b a b a b a -=-+曾因式变化：))(())()()((2222b a b a b a b a b a b a --=+---+- 曾项变化：2)())((c b a c b a c b a --=+--- 公式连用变化：222222)()())()((b a b a b a b a -=++-公式逆用变化：))(()()(22d c b a d c b a d c b a --++++=+-+完全平方公式及其变形：2222)(b ab a b a +±=± ab b a b a 2)(222-+=+ )(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)(-)(22=-+bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【经典例题】题型一：平方差公式（★★★）1、(23)(23)x x +-2、()1(12)(12)a a -+--3、()2(41)(41)a a ---+4、()()n n n n a b a b +-5、()()()2422y y y ++- 6、2(21)(21)(41)a a a -++7、()()x y z x y z +-++ 8、(2)(2)a b a b ++-+9、(23)(32)(32)(32)y x x y x y x y ---++-+题型二：完全平方公式（★★★）首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
简单递进训练：（1）=+2)(y x （2） =2)-(y x（3）=+2)2(y x （4）=2)-2(y x（5）=+2)32(y x （6）=2)3-2(y x（7）=+-2)21(y x （8）=2)32-21(y x计算题型：中等偏难：（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；（3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；（5）若k x x ++22是完全平方式，则k =（6）若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（8）如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =（9）公式逆用：49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2（10）配方：0136422=+-++y x y x ，求y x =_____________.（11）已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.2.1 平方差公式
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.(2)平方差公式的几何意义.【教学难点】从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.五、课前准备教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程（一）导入新课某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？（出示课件2）这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.（二）探索新知1.创设情境，探究平方差公式教师问1：对于下面的算式，你想怎样计算呢？(1)2001 ×1999；(2)998×1002；(3)403×397.学生回答：直接计算或者利用乘法分配律进行计算.教师问2：有没有其他巧妙地方法呢？观察这三个式子有什么共同特征？学生讨论后回答：都在某个整百整千的附近.教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.教师问3：哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的？学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）教师问4：二项式乘以二项式结果一定是四项吗？学生回答：结果不一定是四项.教师问5：想一想(a＋b)(m＋n)该怎么计算？学生回答：(a＋b)(m＋n)=am+an+bm+bn教师问6：如何计算(x ＋3)( x＋5)？学生回答：(x＋3)( x＋5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.教师问7：观察图形，思考两个正方形的面积差变了吗？（出示课件5）学生讨论后回答：变化之前面积表示为：a2-52=a2-25；变化之后面积表示为（a+5）×（a-5）= a2 -5a+5a-52= a2-25.变化前后图形面积相等。
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
整式乘法公式
整式乘法公式第五课时：完全平方公式和平方差公式一、公式及其变形1.完全平方公式：a+b)² = a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b²2.平方差公式：a+b)(a-b) = a² - b²3.立方和公式和立方差公式：a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)a-b)³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)4.归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化：(x+y)(-y+x) = x-y②符号变化：(-x+y)(-x-y) = x-y③指数变化：(x+y)(x-y) = x² - y²④系数变化：(2a+b)(2a-b) = 4a² - b²⑤换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)] = xy - (z+m)² = xy - z²- 2zm - m²⑥增项变化：(x-y+z)(x-y-z) = (x-y)² - z² = x² - 2xy + y² - z⑦连用公式变化：(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)² = x² - y²⑧逆用公式变化：(x-y+z)-(x+y-z) = [(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] = 2x(-2y+2z) = -4xy+4xz二、公式的灵活运用的经典例题1.已知ab=1，a+b=2，求a²+b²的值。
解：根据完全平方公式，(a+b)² = a² + 2ab + b²，代入已知条件得到a²+b²=2²-2×1=2.2.已知ab=2，a+b=3，求a-b的值。
1232 两数和(差)的平方-2021-2022学年八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.3.2两数和（差）的平方基础知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：（1）左边是一个二项式的完全平方；（2）右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项积的两倍；（3）公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++3223333)(b ab b a a b a +++=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭． 【答案】224439y x xy -+． 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=． 【点睛】本题主要考查有理数及整式的运算，属于基础题型.例2．阅读材料：若2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．（2）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．（1）18；（2）3 【分析】（1）将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；（2）由a -b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：（1）∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=（2m -n ）2+（n +4）2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴（m -n ）-3=18； （2）∵a -b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2-6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2-6c +9）=（b +2）2+（c -3）2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，则a +b +c =2-2+3=3．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+- 2．下列各式中，与2(1)x -相等的是( )A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x3．已知9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．下列各式中，是完全平方式的是（ ）A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，（m +n ）2＝2，则mn 的值是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，则k 的值是________ ．8．已知22,()1xy x y =-=，则22x y +=_________．9．已知x ，y 244y y -=-，若3axy x y -=，则实数a 的值为_____________．10．若()292116x k x --+是完全平方式，则k 的值为______．11．计算：（1）()225a b -+；（2）(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．已知()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值．14．化简：22()()a b a b -+15．（1）先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-． （2）己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]若x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值．解：设80x a -=，60x b -=，则(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]若x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影部分的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．故选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，故选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12， 解得：k =±12， 故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2分析各个式子． 【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式， 故选A ．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将（m +n ）2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴（m +n ）2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】本题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=（x+6y ）2或者2236x kxy y ++=（x-6y ）2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12． 【点睛】本题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=， 解得：76a =， 故答案为：76． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】本题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．（1）2242025a ab b -+；（2）41x【分析】（1）根据完全平方公式直接计算即可；（2）根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．【详解】（1）解：()225a b -+()()()2222255a a b b =-+-⨯+ 2242025a ab b =-+（2）原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规则．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 222221x x x x x =-+--+-3x =-， 当12x =-时，原式=17322--=-． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将已知条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()222222224444xy xy xy xy x x y y xy xy ----+-+-=== ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====． 【点睛】本题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+； 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．（1）95x -，8-；（2）-2【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．（2）将已知等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：（1）2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入， 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-；（2）∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，则22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案． 【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，则=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，(30)(20)x x ab ∴--=2221()2a b a b ⎡⎤=+-+⎣⎦ 1(120100)2=⨯- 10=【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。
学习平方差公式应注意的八个变化
学习平方差公式应注意的八个变化
1.喜：平方差是指两个数的平方之差，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、这是
平方差公式的基本形式，我们需要理解这一概念。
2. 子：平方差公式还可以写成(a+b)^2-a^2=2ab+b^2、这是平方差公
式的展开形式，我们可以通过对(a+b)^2进行展开和简化，得到平方差的
另一种形式。
3. 商：平方差公式还可以写成(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、这是平方差公
式的另一种展开形式，和上述形式相比，这里的b替换为了-b。
4.铺：在应用平方差公式时，我们需要注意平方差公式的适用范围。
平方差公式适用于任意实数a和b，但是要注意避免除数为零的情况。
5.喜子：在实际问题中，平方差公式常常用于解决两个数的乘积的问题，比如计算面积或者长度。
我们需要将问题转化为平方差公式的形式，
再进行计算。
6.子喜：平方差公式还可以用于因式分解的过程中。
当我们需要将一
个多项式进行因式分解时，可以考虑是否可以利用平方差公式的特性。
7.商铺：平方差公式还可以扩展到三个数的平方差的情况。
比如，对
于(a+b+c)(a+b-c)，我们可以利用平方差公式进行展开和计算。
8.喜子的商铺：除了上述变化外，还有很多其他的应用变化可以利用
平方差公式解决。
当我们遇到问题时，可以将其转化为平方差公式的形式，并进行相应的计算。
以上是学习平方差公式应注意的八个变化。
掌握了这些变化，我们就
可以更灵活地应用平方差公式解决问题，提高数学求解能力。
平方差公式与完全平方公式的应用技巧
（D）1 xn ．
分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果
的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问
题就顺利破解．
解：(1+x)(1-x)=1- x 2 ， (1 x)(1 x x2 ) =1- x3 ，…，规律为结果的第一项是数字 1，
（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并验证其正确性． 分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从 3 开始连续奇数的平方，减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可． 解：
（1）因为 32 - 4? 12 =5 ①， 52 - 4? 22 =9 ②， 72 - 4? 32 =13 ③…
解：设大正方形的边长为 x1 ，小正方形的边长为 x2 ，由图①和②列出方程组得，
ìïïíïïî
x1 x1
+ -
2x2 2x2
= =
a b
，解得，x1
=
a
+ 2
b
，x2
=
a
4
b
，所以大正方形中未被小正方形覆盖部分
的面积=( a + b )2 - ( a - b )2 ×4=ab．所以应该填 ab．
2
所以 92 ﹣4×- 2 = = 92 ﹣4× 42 =17；
（2）第 n 个等式为：(2n + 1)2 - 4n2 =2（2n+1）﹣1；
证明：因为左边
=(2n + 1)2 - 4n2 =(2n + 1)2 - (2n)2 = (2n + 1+ 2n)(2n + 1- 2n) = 4n + 1
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入