初中数学平方差公式(一)
平方差公式的基本概念与原理
平方差公式的基本概念与原理平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，用于快速计算两个数的平方差。
在实际问题中经常会用到平方差公式，因此了解其基本概念与原理对于学生来说至关重要。
本文将介绍平方差公式的基本概念与原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。
1. 平方差公式的定义平方差公式是用来计算两个数的平方差的一个数学公式，通常表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，a、b为任意实数。
这个公式的推导和证明可以通过“二次根式的乘法”来实现，具体推导过程可参考中学数学教材或相关学习资料。
2. 平方差公式的应用平方差公式在数学计算中具有广泛的应用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。
通过利用平方差公式，我们可以将一个二次根式分解成两个一次根式的乘积，从而更方便地进行计算和化简。
例如，如果要计算$(3+5)(3-5)$，通过平方差公式我们可以直接得到结果$3^2-5^2=9-25=-16$。
这种方法不仅简单高效，还可以避免繁琐的计算过程，提高计算的速度和准确性。
3. 平方差公式的原理平方差公式的原理其实比较简单，可以通过展开式来理解。
我们以$(a+b)(a-b)$为例进行展开：$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$通过上面的展开式，我们可以看到平方差公式实际上是一个特殊的乘法公式，利用了两个一次根式相乘的特殊性质。
这个公式的应用不仅仅局限于计算平方差，还可以在各种代数计算中发挥作用，是初中阶段数学学习中的基础知识之一。
4. 总结平方差公式是初中数学中一个重要且实用的公式，通过掌握其基本概念与原理，可以更好地应用于实际问题的解决中。
在学习数学的过程中，建议同学们多加练习和思考，加深对平方差公式的理解和掌握，为将来的数学学习打下坚实的基础。
通过以上对平方差公式的基本概念与原理的介绍，相信读者对这一数学知识有了更清晰的认识。
希望本文能够帮助大家更好地理解和运用平方差公式，在数学学习中取得更好的成绩。
平方差公式课件
公式应用场景
平方差公式在数学、物理 和工程等领域有广泛应用 ，用于简化计算和解决实 际问题。
公式形式
公式结构
平方差公式由两个因子组 成，即 (a+b) 和 (a-b)， 它们相乘得到 (a^2 b^2)。
代数证明通常采用数学归纳法或反证法，通过逐步推导和化简，最终得出结论。
代数证明是数学中最常用的证明方法之一，它能够严谨地证明数学定理和公式的正 确性。
几何证明
几何证明是通过几何图形和图 形性质来证明平方差公式的正 确性。
几何证明通常采用图形变换和 相似三角形等几何知识，通过 图形分析和推理，得出结论。
详细描述
让学生解决一些稍微复杂的平方差公式 问题，例如计算$(a+2b)^2 - (a2b)^2$。
综合练习
详细描述
总结词：综合运用平方差公式和 其他数学知识解决问题
让学生解决一些涉及到平方差公 式和其他数学知识的复杂问题， 例如计算一个多项式的平方差。
让学生解决一些涉及到平方差公 式的几何问题，例如计算两个相 似三角形的面积差。
平方和公式
平方和公式
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ldots + n^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
推导过程
利用归纳法，结合等差数列求和公 式和平方差公式进行推导。
应用场景
在数学、物理和工程领域中，平方 和公式常用于计算一系列数字的平 方和。
平方差公式的推广
平方差公式推广
2023 WORK SUMMARY
人教版数学八年级上册 14.2.1平方差公式 (共24张PPT)
拓学
运用平方差公式计算：
1、(an+b)(an-b) 指数变化
2、(4a+4b)(a-b) 因式变化 3、(a+1)(a-1)(a2+1) 连用公式变化
4、 (2+1)(22+1)
添项变化
学海冲浪、激情比拼
以小组为单位，在一分钟内构建具有 平方差公式结构特征的多项式乘法．比比 哪组创新意识强？哪组合作意识强？哪组 反应快，数量多……
规律： 1）左边是 两数和与这两数差的积；
2）右边是 这两数的平方差。 .
语言表述： 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差
数学模型（数）： (a+b)(a-b) = a2-b2
直观模型（形）： (□+△)(□-△)= □2-△2
平方差公式的代数验证：
解：(a+b)(a-b)
a(a b) b(a b) （单×多）
与平 方差 公式 中b对 应的 项
写成 “a2-b2 ” 的形式
x 2 x2 - 22
计算 结果
x2 - 4
(1+3a)(1-3a) 1 3a 12 – (3a)2 1– 9a2 (2x+4y)(2x-4y) 2x 4y (2x)2 – (4y)2 4x2 – 16y2
互学
位置变化： (x+y)(-y+x) 符号变化： (-x-y)(x-y) 系数变化： (2x+3y)(2x-3y) 项数变化: (x+y+z)(x+y-z)
用 a式结构的不变性，字母的可变性。 2、公式中的a，b可以表示具体的数，
也可以表示单项式或多项式。
练学
抢答题
1、下面各式的计算对不对? 为什么？
初中数学78个公式
初中数学78个公式以下是初中数学常见的78个公式（按照相关的知识点进行分类）：1. 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$2. 比例相等：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$3. 二次根式：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$4. 平方根的开平方：$(\sqrt{a})^2 = a$5. 次方公式：$a^n \cdot a^m = a^{n + m}$6. 分指数：$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$7. 平方和分解：$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$8. 平方差分解：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$9. 平方差和分解：$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$10. 一元一次方程：$ax + b = 0$11. 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$12. 一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$13. 直线方程：$y = kx + b$14. 平行线的性质：$k_1 = k_2$15. 垂直线的性质：$k_1 \cdot k_2 = -1$16. 直线的截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$17. 圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$18. 圆心坐标公式：$(a, b)$19. 圆的半径：$r$20. 弧长：$L = 2\pi r$21. 扇形面积公式：$S = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$22. 正方形的周长：$P = 4a$23. 正方形的面积：$S = a^2$24. 长方形的周长：$P = 2(a + b)$25. 长方形的面积：$S = ab$26. 三角形的周长：$P = a + b + c$27. 三角形的面积：$S = \frac{1}{2}bh$28. 直角三角形的勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$29. 等腰三角形的斜边：$2l = b$30. 锐角三角形的高：$h = b\sin A$31. 五边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$32. 正多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$33. 两角之和的三角函数：$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm\cos A \sin B$34. 两角之差的三角函数：$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \pm\sin A \sin B$35. 两角之和的正切函数：$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm\tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$36. 同角三角函数之商：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$37. 逆三角函数关系：$\sin^{-1} (\sin A) = A$，$\cos^{-1}(\cos A) = A$，$\tan^{-1} (\tan A) = A$38. 二项式定理：$(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n - 1}b + \binom{n}{2} a^{n - 2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1} ab^{n - 1} + \binom{n}{n} b^n$39. 等比数列通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$40. 等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$41. 等差数列求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$42. 任意项数列求和公式：$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$43. 数列首项：$a_1$44. 数列公差：$d$45. 直角坐标系中两点之间的距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$46. 连续整数的和：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$47. 无穷等差数列的和：$S = \frac{a_1}{1 - q}$48. 平行四边形的周长：$P = 2(a + b)$49. 平行四边形的面积：$S = bh$50. 梯形的面积：$S = \frac{1}{2}(a + b)h$51. 梯形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$52. 三角形内角和定理：$A + B + C = 180^\circ$53. 三角形外角和定理：$A' + B' + C' = 360^\circ$54. 三角形的内心：$(x, y)$55. 三角形的外心：$(x, y)$56. 三角形的重心：$(x, y)$57. 三角形的垂心：$(x, y)$58. 反比例函数：$y = \frac{k}{x}$59. 弧度与角度的转换：$360^\circ = 2\pi \ rad$60. 锐角三角函数的定义：$\sin x = \frac{y}{r}$，$\cos x =\frac{x}{r}$，$\tan x = \frac{y}{x}$61. 负数的平方：$(-a)^2 = a^2$62. 模的性质：$|x| = \begin{cases} x, &x \geq 0\\ -x, &x < 0 \end{cases}$63. 绝对值基本不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$64. 定义域：$x$65. 值域：$y$66. 最大值：$y_\text{max}$67. 最小值：$y_\text{min}$68. 直角三角形的面积：$S = \frac{1}{2}ab$69. 多边形的外角和：$360^\circ$70. 多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$71. 渐进线：$y = ax + b$72. 正数的倒数：$\frac{1}{a}$73. 反函数的定义：$f(f^{-1}(x)) = x$，$f^{-1}(f(x)) = x$74. 递增函数：$x_1 < x_2, f(x_1) < f(x_2)$75. 递减函数：$x_1 < x_2, f(x_1) > f(x_2)$76. 弧长的比例：$\frac{S}{L} = \frac{\theta}{360^\circ}$77. 圆周角的比例：$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{L}{2\pi r}$78. 英寸与厘米的换算：$1 \text{ inch} = 2.54 \text{ cm}$这些公式在初中数学中是最常见和最基础的公式，希望对你的学习有所帮助。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
初中数学教学课例《平方差公式(第1课时)》教学设计及总结反思
中的 a 和 b.巩固练习在深刻理解公式的基础上，借助
例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算
中的作用。
通过本次教学，使学生能够通过自己的努力达到：
1、自我发现规律，从而培养学生的探索精神；
课例研究综
2、让学生分析公式的结构特征，用自己的语文表
述
达，感悟数学的精准性与严密性；
3、通过公式应用，让学生了解数学公式的强大性
公式的结构特征，不是简单记忆（a+b）(a-b)的问题，
而是让学生找到是两数和与这两数差的乘积问题，只有
这样学生在今后的应用中才会深“纠”出公式的灵魂，
更好地应用公式。
教学过程
一、回顾与反思： 回顾整式乘法中多项式与多项式相乘，利用多项式
乘以多项式法则，为本节课的学习做好知识准备.
二、探索与发现
1、形成规律
观察复习中算式及其运算结果的特征，使学生在计
算过程中发现规律，初步得到猜想，总结规律.
2.验证猜想
安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推
导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差
公式：
三、典例分析、巩固提高
学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，
重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式
和主要是学生在多项式乘以多项式的基础上，
经历探索、归纳、总结得出平方差公式，实现认识规律
的从一般到特殊的认识过程，从而突破本节课的重点、
难点。此公式学生易记、并能应用，但不从公式的结构
教学策略选 特征上很好的掌握此公式，学生在今后的应用中很容易
择与设计 出错，因此，本节课主要以学生为主，让学生自行探究
的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境
1.7平方差公式(一)
大姚教学范式“标杆教学”教案设计 教学内容 1.5平方差公式（一） 科目 数学 年级 七年级 课标要求 会推导乘法公式（a+b）(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。 学习目标 1.通过计算、观察、探索，小组交流，归纳出平方差公式，并掌握公式； 2.通过例题学习，会用平方差公式进行简单的计算 教学重点 会用平方差公式进行简单的计算 教学难点 探索，归纳出平方差公式
预习提纲 1、回顾多项式乘多项式 2、看课本20页的内容，完成： 1、引例4个小题的计算 2、观察平方差公式的结构，了解其特征
教 学 过 程 一、检查预习、导入新课 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba 二、明确学习目标（口述） 三、指导学生自主学习，完成标杆题，训练、反思小结。 自学指导（一） 结合预习，交流课本20页四个小题的计算结果，观察思考下列问题： 1.等式左边的两个二项式有什么特点？ 两个二项式是两数的和乘以这两个数的差。 2.等式的右边有什么特点？ 左边的两个数的平方差。 3、依据上的计算结果，猜想(a+b)(a-b)等于什么？ 4、请用一句话叙述平方差公式。 步骤：1、生自学，师巡视指导 2、小组交流 3、抽生回答问题，归纳总结平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2—两数和与这两数差的积等于这两数的平方的差。 巩固练习 （1） （5+6x）（5－6x）=( )2－( )2 （2） （－m+n）（－m－n）=( )2－( )2 （3） （x－2y）（x+2y）=( )2－( )2 自学指导（二） 自学课本20页例1，指出各题中的a,b分别是什么？弄清利用平方差公式计算的步骤 标杆题：例1 利用平方差公式计算： （1） （5+6x）（5－6x）； （2）（－m+n）（－m－n） 步骤：1、生自学，师巡视 2、抽生回答问题 3、反思：利用平方差公式计算的关键是什么？ 平方差公式中的a、b可以表示些什么？ 利用平方差公式计算应注意的问题：符号和括号。 巩固练习：21页“随堂练习”（1）（2） （1） （a+2）（a－2）； （2）（3a+2b）（3a－2b）
平方差公式(一)
思考
算一算：看谁做的又快又准确！ (1) (2) (3) (4)
x 1x 1 x 2 12 x 2 1 2 2 2 m 2m 2 m 2 m 4 2x 12x 1 2 x 2 12 4 x 2 1 x 5 y x 5 y x 2 5 y 2 x2 25y 2
新课 思考： 1、观察算式结构，你发现了什么规律？ 2、计算结果后，你又发现了什么规律？
新课 平方差公式 两数和与这两数差的积等于它们的平方差. 互为相反数 (a+b)(a-b) ＝ a2-b2 相同 左边 请注意： 右边
公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数
或多项式。
例题 例1 利用平方差公式计算： （1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)； （3）(- m+n) (-m-n)
例题 例2 利用平方差公式计算： 1 1 （ 1） ( x y )( x y ) ； 4 4 （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
例题 解：
1 1 1 2 1 2 2 2 ( x y )( x y ) ( x ) y x y （ 1） 4 4 4 16 （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
x 2x 2 x 2 4 2 3a 2 3a 2 4 9a
小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用 公式；
1.7.1平方差公式(1)[1]
(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a 1 = −(4a+1) (4a−1) −(4a (4a ) = −[(4a)2 −1 ] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x )(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) −m )(− = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (能) (2b − a)(2b+a) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (能) (−2x − y)(−2x +y).
2 2 2
4) (1 + 3 x )( − 1 − 3 x ) = 1 − (3 x ) 2 = 1 − 9 x 2 错
(1+ 3x)(−1−3x) = −1−3x −3x −3x ⋅ 3x = −9x − 6x −1
平方差公式 —初中数学课件PPT
-3
a
(1+a)(-1+a)
a
1
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1
a2-b2 12-1x22-x2
(-3)2-a2
a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2_-a_2__； (2)(a-b)(b+a)= ___a_2_-b_2____； (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2 __； (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2_-_a_2 __.
（4）（5y ＋ z)(5y－z）.
(5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a−b)= a2−b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积 ，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的 ）平方差公式.
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
例计1 算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4. (2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
应用平方差公式计算时，应注意以下几 点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式 中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相 同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可 以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
D.(a-b-c)(-a+b+c)
解析：(-3a+4b)(-4b-3a)=(-3a+4b)(-3a-4b) =9a2-16b2
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平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律 ［师］出示投影片(§1.7.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x2－2x+2x－4=x2－4； (2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a2=1－9a2； (3)(x+5y)(x－5y) =x2－5xy+5xy－25y2 =x2－25y2； (4)(y+3z)(y－3z) =y2－3yz+3zy－9z2 =y2－9z2 (如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现： 即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果. 即
［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？ ［生］可以.例如： (1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999； (2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2. 即
上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差. ［师］为什么会有这样的特点呢？ ［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差. ［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］可以.上述规律用符号表示为： (a+b)(a－b)=a2－b2① 其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2 ［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的. ［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？ ［生］同意. ［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？ ［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差. ［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算. Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式. 出示投影片(§1.7.1 B) ［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b－a) C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2) E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2) (2)利用平方差公式计算： (5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y); (－m+n)(－m－n). ［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(a+b)(b－a)利用加法
交换律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a),表示b与a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点. ［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？ ［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式. ［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式. ［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2; (x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2; (－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2. ［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.7.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－x－y)(－x+y); (2)(ab+8)(ab－8); (3)(m+n)(m－n)+3n2. ［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评. ［生］解：(1)(－x－y)(－x+y)——(－x)与y的和与差的积
=(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)与y的平方差
=x2－y2——运算至最后结果
(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差
=a2b2－64——运算至最后结果 (3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积
=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式
=m2－n2+3n2——去括号
=m2+2n2——合并同类项至最简结果
［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点： (1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式. (2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. (3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式. ［生］还需注意最后的结果必须最简. ［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. 投影片(§1.7.1 D) 1.计算： (1)(a+2)(a－2); (2)(3a+2b)(3a－2b); (3)(－x+1)(－x－1); (4)(－4k+3)(－4k－3). 2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.
解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4; (2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2; (3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1; (4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9. 2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a－b)(a+b)=a2－b2; (－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2; (－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b) =－a2－ab－ab－b2 =－a2－2ab－b2 (教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导) Ⅳ.课时小结 ［师］同学们有何体会和收获呢？ ［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］应用这个公式要明白公式的特征： (1)左边为两个数的和与差的积； (2)右边为两个数的平方差. ［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式. ［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式. ［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现