华科激光原理第4讲 光线稳定条件、类透镜介质中的光线方程与波动方程

rs 2 2brs 1 rs 0 1 d d d2 b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 2 2brs 1 rs 0 1 d d d2 b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
r z cosh r ' z k2 k2 z r0 k0 k0 sinh k2 k2 z r '0 k0 k2 z r '0 k0
1 x2 y 2 x2 y 2 f (1 ) f 2 f2 2f
r C f O
– 离轴距离为r的相位提前量为 2 x2 y 2 x2 y 2 r2 k k 0 2f 2f 2f – 经过透镜后的光场
Eout
x2 y 2 Ein exp(ik ) 2f
从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为 F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个 焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透 镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反 射镜系统的稳定条件： R1 R2 L L 0 1 1 1 2 f 1 2 f 2 L L L
2 2
2
d dr ds ds
– （1）均匀介质 0
•
• 上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着 a 的方向并 通过 r b 点，因此，在均匀通行介质中，光线是直
线传播的
解方程得： r sa b
Y
a
r
b
X
4.3 光线的传播：光线方程
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
– 程函(eikonal)方程：
– 光线的传播方向，就是程函 r 变化最快的方向 – 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方 程），其中 s 为光线上某点到另外一点的长度，而 r 是该点的位置矢量 ：
2 r x y z
激光原理与技术·原理部分
第4讲
光线稳定条件 类透镜介质中的光线方程与波动方程
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周 期性排列而成，称为双周期透镜波导。
S M N f1 S+1
d
f1 f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
从S面到N面的光线传播情况
rM ' rM 1 d rs d r 0 1 rs' rN 1 d s ' 1 1 0 1 r ' r rN N f2 f 2 s rM ' 1 ' rN f 1 rM 2 同理，从N面到S面的光线传播情况
2 2 2


x y k2 i 2 j 0 xi yj 0 z 2 z k0 k – x,y都是独立变量，因此有： d 2x 2 0 2 x 0 为了简化讨论，取y-z平面上的光线 dz k0 2 讨论，并以r代替y，得到近轴光线的 d y 0 k 2 y 0 微分方程 dz2 k0
T (r ) T 0
折射率随温度发生变化：
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的
D 2 ( x y 2) 4K
n D 2 ( x, y ) 0(T 0) ( x y 2) T 4 K
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
4.3 光线的传播：Βιβλιοθήκη Baidu线方程
k2 r z r max sin z k0
如右图的曲线可以代表在类透镜 介质中传播的光线，只是在幅度 上作了夸大。从该方程可以得出 结论：当k2>0时，类透镜介质对 光线起汇聚作用，相当于正透镜。
4.3 光线的传播：光线方程
– (2)k2<0 当k2<0时，光线微分方程的解可以表示为：
L
r 5 A B r1 r1 T 1 5 C D 1
B d (2 2d ) R2 C [ 2 2 (1 2d )] R1 R 2 R2 2d 2d 2d D [ (1 )(1 )] R1 R1 R2
•该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程， 等价于微分方程：
r"Ar 0
r ( z ) r (0) exp( i A z ) 的解，用 rs r 0eis •该方程具有
作为试探解对差分方程进行试探，可得到：
rs r max sin( s ) cos b 1 ( A D) 2
d A 1 f2 d ) f2 1 1 d C [ (1 )] f1 f 2 f2 d d d D [ (1 )(1 )] f1 f1 f2 B d (2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 1 Ars Brs' ' rs 1 ' Crs Drs
r 4, 4 r 5, 5
M1
r 2 , 2 M2
r 3, 3
r1, 1
0 1 L 1 0 1 L r1 r5 1 2 2 1 0 1 1 0 1 1 A 1 2d 5 R1 R 2 R2
d d 0 (1 )(1 ) 1 2 f1 2 f2
• 由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透 镜波导，即f1=f2=f； • 相同周期透镜波导的稳定条件为：
0d 4f
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 光线在球面反射镜之间的传播 • 根据光线传播矩阵可以写出第2次 反射后的光线状态为：
L L 0 1 1 1 R1 R 2
F2
F1=R1/2
F2=R2/2
F1
4.2 类透镜介质
• 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的 相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同 滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相 当于一个平面的相位变换器。 x2 y 2 2 2 2 A AB AO BO f x y f f 1 f 2 B f
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
k2 k2 k0 r z r 0 cos z r ' 0 sin k0 k0 z k2 k2 k2 k2 r ' z k r 0 sin k z r '0 cos k z 0 0 0
• 将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式
1 rs ' (rs 1 Ars ) B
• 可得到递推关系
1 rs ' B (rs 1 Ars ) 1 rs 1 ' (rs 2 ArS 1) B r ' Cr Dr ' S S S 1
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 在腔内经过N次往返之后的光线参数为：
rn n r0 T n 0
其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：
n A B 1 A sin sin(n 1) n T C sin C D sin 其中： arccos A D / 2 n n B sin A B n D sin sin(n 1) C Dn
k2 cos k0 z rz k2 rz ' k 2 sin k0 z k0 k2 k0 sin k0 z r k2 0 k 2 r0 ' cos k0 z
4.2 类透镜介质
• 2.类透镜介质
– – 其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作 状态以及外界泵浦能量有关的常数。
k2 2 2) ( x y 的介质称为类透镜介质。 折射率满足 ( x, y ) 0 1 2k 0
– 在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工 作物质内部沿径向产生温度分布：
d r rS 1 1 d N ' 1 1 r ' r S 1 f1 f1 N
4.1 透镜波导光线稳定条件
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
rS 1 1 0 1 d 1 0 1 d rS A B rS ' 1 1 1 0 1 r ' C D r ' 1 0 1 r f 2 S S S 1 f1
• （2）类透镜介质
– 当考虑近轴光线近似 ds dx dy dz dz 光线方程可以写成： d dr d dr d 2r 2 dz dz dz dz dz – 在二次折射率介质中，由于η(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因 此 d 0 ，而由类透镜介质的折射率表达式可得到： dz k 2 0
2
x
i
2 y
j
z
k
k0
xi yj
d 2r k 2 r0 2 dz k0
4.3 光线的传播：光线方程
– （1）k2>0
k2 k2 r ( z ) c1 cos z c 2 sin k0 k 0 z 若考虑光线入射初始条件 微分方程的解为 r0 k 为 ，则可以求出 c1 r 0; c 2 2 r 0 ' ，因此微分方程的解可以写成： r0 ' k0