代数基本定理的几种证明
代数基本定理的几种证明
代数基本定理的几种证明作者：李志国邵泽玲李志新来源：《科技风》2020年第13期摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。
本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。
关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。
最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。
据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。
迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。
大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。
复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。
大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。
本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。
1 代数学基本定理任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。
证法一：（代数拓扑方法）视S2=C∪{SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{SymboleB@}→S2=C∪{SymboleB@};F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。
由此可知，只要证明0∈ImF即可。
定义H：S2×I→S2如下：H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，SymboleB@，z=SymboleB@。
令F1（z）=anzn，z∈CSymboleB@，z=SymboleB@，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。
代数学基本定理的几种证明方法
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA84数学学习与研究2019.10代数学基本定理的几种证明方法◎柴凤娟（河南大学数学与统计学院，河南开封475002）【摘要】代数学基本定理是数学各学科经常用到的一个基本定理．它的证明有很多版本．根据抽象代数中代数闭域的5个等价命题，给出了代数学基本定理的5个等价定理，从而可以通过证明等价定理来证明代数学基本定理．本文总结了它在复变函数和抽象代数中的三种证明方法．【关键词】代数学基本定理；复变函数；代数MＲ（2000）主题分类号11C08，12E05，12E12，12F10，13B25代数学基本定理就是下面这个定理．代数学基本定理：在复数域C 上的n 次多项式方程p （z ）=a 0z n +a 1z n －1+…+a n =0（a 0≠0）．在C 中有且只有n 个根（几重根就算作几个根）．因为方程的根也是相应多项式的零点．我们也可以证明n 次多项式有且仅有n 个零点．因为n =0时，定理显然成立，因此，下面始终假定n ≥1．证明代数学基本定理与证明复数域C 上的任意n 次多项式p （z ）=a 0z n +a 1zn －1+…+a n （a 0≠0）在C 中至少有一个零点是等价的．这是因为找到这样的一个零点z 1后，根据［1］中定理Ⅲ．6．1与定理Ⅲ．6．6知p （z ）可以写成p （z ）=（z －z 1）p'（z ）的形式，其中p'（z ）为n －1次多项式，如果p'（z ）不为常数，对p'（z ）执行相同的步骤，递归下去，直到p'（z ）为一常数a 0．这时p （z ）=a 0（z －z 1）·…·（z －z n ），这样的过程能且仅能执行n 次，即n 次多项式p （z ）有且仅有n 个零点．在抽象代数中，设F 是一个域，用F ［x ］表示域F 上的多项式环（下面都用这种形式表示一个域上的多项式环），f 是F ［x ］中一个n 次多项式．如果f 能写成F ［x ］中线性因子的积，即f =u 0（x －u 1）（x －u 2）·…·（x －u n ）（u i F ），则称f 在F ［x ］中分裂．可见此时f 有且仅有n 个根．因此，证明代数学基本定理也与证明复数域C 上的每个多项式都在C ［x ］中分裂等价．令域F 是域E 的扩域，如果域F 中元素u 是K ［x ］中非零多项式f 1的零点，就称u 是K 上代数的．如果F 中每个元素都是K 上代数的，就称F 是K 的代数扩域．关于域有如下5个等价命题（它的证明参见［1］中定理V.3．3）：（1）F ［x ］中每个正次数多项式f （x ）都在F 中有一个根．（2）F ［x ］中每个正次数多项式f （x ）都在F ［x ］中分裂．（3）F ［x ］中每个不可约多项式次数都是1．（4）域F 有子域K ，F 于其上是代数的且K ［x ］中每个多项式在F ［x ］中分裂．（5）域F 没有除了它自己以外的代数扩域．如果域F 满足上面5个等价条件之一，则称F 为代数闭域．因为证明代数学基本定理与证明复数域C 满足上述命题（1）与（2）等价，因此，要证明代数学基本定理只要证明复数域C 满足上述5个等价命题之一即可，即证C 是代数闭域即可．下面分别给出它在复变函数和抽象代数中的证明方法．一、复变函数中的证明复变函数中复数域C 与复平面即z （z =x +iy ，x ，y ∈Ｒ）平面等同．因此，定理中的复数域C 可以用z 平面来代替，即定理中方程的系数和根都在z 平面上．在复变函数中有两种证明方法．一种是应用刘维尔定理证明，一种是应用儒歇定理证明．下面分别给出这两种证明方法．（一）应用刘维尔定理的证明下面给出应用刘维尔定理来证明代数学基本定理的第一种证法（参见［2］124－125页）．这里通过证明复数域C 满足上述第一个等价命题来证明．这需要应用复变函数中如下定义与定理．定义1．1（整函数）在整个复平面上解析的函数称为整函数．定理1．2（刘维尔定理）有界整函数f （z ）必为常数．证明一反证法，显然p （z ）=a 0z n +a 1zn －1+…+a n （a 0≠0）是z 平面上的整函数．设p （z ）在z 平面上无零点．由于p （z ）在z 平面上解析，1p （z ）在z 平面上也必解析．下面我们证明1p （z ）在z 平面上有界．由于lim z →ɕp （z ）=lim z →ɕz n a 0+a 1z +…+a n z()n =ɕ，lim z →ɕ1p （z ）=0，故存在充分大的正数Ｒ，使当|z |＞Ｒ时，1p （z ）＜1．又因为1p （z ）在闭圆|z |≤Ｒ上连续，故可设JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法85数学学习与研究2019.101p （z ）≤M （M 为正常数），从而，在z 平面上1p （z ）＜M +1，于是，1p （z ）在z 平面上是解析且有界的．由刘维尔定理，1p （z ）必为常数，即p （z ）必为常数，这与定理的假设矛盾．故定理得证．（二）应用儒歇定理的证明定理1．3（儒歇定理）设C 是一条围线，函数f （z ）及φ（z ）满足条件．（1）它们在C 的内部均解析，且连续到C ，在C 上，|f （z ）|＞|φ（z ）|，则函数f （z ）与f （z ）+φ（z ）在C 的内部有同样多（几级算作几个）的零点，即N （f +φ，C ）=N （f ，C ）．这里用N （f ，C ）来表示函数f （z ）在C 内部的零点的个数（算重数）．下面给出用上述定理证明代数学基本定理的方法．这里直接证明（参见［2］205－261页）．证明二令f （z ）=a 0z n ，φ（z ）=a 1z n －1+…+a n ，当z 在充分大的圆周C ：|z |=Ｒ上时，例如，取Ｒ＞max|a 1|+…+|a n ||a 0|，{}1，有|φ（z ）|≤|a 1|Ｒn －1+…+|a n －1|Ｒ+|a n |＜（|a 1|+…+|a n |）Ｒn －1＜|a 0|Ｒn =|f （z ）|，由儒歇定理即知在圆|z |＜Ｒ内，方程a 0z n +a 1z n －1+…+a n －1z +a n =0与a 0z n =0有相同个数的根．而a 0z n=0在|z |＜Ｒ内有一个n 重根z =0．因此原n 次方程在|z |＜Ｒ内有n 个根．另外，在圆周|z |=Ｒ上，或者在它的外部，任取一点z 0，则|z 0|=Ｒ0≥Ｒ，于是|a 0z n 0+a 1z n －10+…+a n －1z 0+a n |≥|a 0z n 0|－|a 1z n －10+a 2z n －20+…+a n |≥|a 0|Ｒn 0－（|a 1|Ｒn －10+|a 2|Ｒn －20+…+|a n |）＞|a 0|Ｒn 0－（|a 1|+|a 2|+…+|a n |）Ｒn －10＞|a 0|Ｒn 0－|a 0|Ｒn 0=0，这说明原n 次方程在圆周|z |=Ｒ上及其外部都没有根．所以原n 次方程在z 平面上有且只有n 个根．定理得证．二、抽象代数中的证明下面通过证明C 满足第二个等价命题来证明．因为要用到的抽象代数中的定义、引理和定理比较多，这里不一一列出．直接引用它们在［1］中的编号．证明三首先，我们假定下面的命题是成立的．实数域Ｒ上的每个奇数次多项式在Ｒ中至少有一个根．这是初等微积分中中值定理的一个引理．这里我们直接应用．根据定理V．1．10知要证明复数域C 上多项式环C ［x ］中每个正次数多项式f 都在C ［x ］中分裂，只要证明C 没有除了它自己以外的有限扩域即可，即证C 的任意有限扩域都与C 相等．因为［C ʒＲ］=2，char Ｒ=0，根据定理V．1．2、定义V．3．10及其下面的评论知C 的每个有限扩域E 1都是实数域Ｒ的有限维可分扩张，则根据定理V ．3．16知E 1被包含在Ｒ的有限维伽罗华扩域F 中．要证E 1=C ，只要证F =C．由定理V ．2．5知，F 于Ｒ上的伽罗华群Aut ＲF 是有限群，又由定理Ⅱ．5．7与定理V．2．5知Aut ＲF 有一个奇数（设为m ）阶的秩为2n （n ≥0）的Sylow 2－子群H ，H 的固定域E 是Ｒ上的奇数（m ）维向量空间，即［E ʒＲ］=［Aut ＲF ʒH ］=m （m 为奇数）．因为char Ｒ=0，所以E 是Ｒ的可分扩域，则由引理V ．3．17知E =Ｒ（u ）．再由定理V ．1．6知u 是Ｒ［x ］中m 次不可约多项式的根．因为m 为奇数，则由证明开始给出的命题知这个次数m 一定为1，即uＲ，Aut ＲF =H ，|Aut ＲF |=2n．因为Aut CF 是Aut ＲF 的子群，所以|Aut CF |=2m （0≤m ≤n ），只要证m =0即证得F =C．反证法，假设m ＞0，则由定理Ⅱ．5．7知Aut CF 有一个阶为2的子群J．令E 0是J 的固定域，由定理V ．2．5知E 0是C 的维数为［Aut CF ʒJ ］=2的扩域．这与引理V ．3．18矛盾．因此，m =0，即Aut CF =1，则由定理V ．2．5知［F ʒC ］=|Aut CF |=1，即F =C．定理得证．三、结论与展望本文列出了代数学基本定理的3个证明，并且证明中给出了代数学基本定理的一系列等价命题，显然抽象代数中的证明前给出的代数闭域的4个等价命题都可以转化为代数学基本定理的等价命题．这里给出的证明并不一定是全部的，只是希望对大家有所帮助．如果还有其他证明方法，知道的读者可与笔者联系，不胜感谢！【参考文献】［1］Thomas W．Hungerford ，Algebra （GTM 73），the United ［M ］．America ：Springer －Verlag ，1998．［2］钟玉泉．复变函数论［M ］．北京：高等教育出版社，2000：124－125，205－261．。
代数基本定理的证明方法研究(论文)..
代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。
代数学基本定理有两种等价的陈述方式。
第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n- a n jz°J... a i z a0( n _ 1，a n = 0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n - a nJ z nJ - ... - a1z - a0(n—J a n -0)在复数域内有n个根，重根按重数计算”。
尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。
数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Mil nor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。
在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。
代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。
紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。
严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。
而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。
十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn18】对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。
如果将复数域理解为复平面，将p(z)二a n Z n- a n^z nJ - ... - a1z - a0 ( n-1，a^= 0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东6】对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。
一些数学证明
一些数学证明
以下是一些数学证明的例子：
1、勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这是几何学中的一个基本定理，可以通过多种方法进行证明，其中最简单的方法是利用相似三角形的性质。
2、三角形的全等定理：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
这个定理可以通过构造两个三角形并证明它们在所有对应点上都相等来证明。
3、代数基本定理：在复数域中，对于任何实数a，至少存在一个复数z，使得z的n次方等于a，其中n是一个正整数。
这个定理可以通过数学归纳法进行证明。
4、微积分基本定理：定积分可以通过微积分基本定理计算，该定理将定积分表示为被积函数的一个原函数在积分上下限处的函数值之差。
这个定理可以通过构造一个原函数并证明它在积分上下限处的函数值相等来证明。
这些是数学中一些重要的定理和公式的证明例子，通过这些证明，我们可以更好地理解数学中的概念和性质，并且能够应用它们来解决各种问题。
代数基本定理
n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。 由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。 设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取 出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+
(完整版)逻辑代数的基本公式和运算规则
逻辑代数的基本公式和运算规则
一、基本公式
表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A
3.
证明：
4.
证明：
推论：
二、运算规则
1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。
利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:
2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。
这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：① 必须保持原函数的运算次序。
② 不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。
例如：
其反函数：
3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。
例如：
其对偶式：
对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。
代数基本定理n次方程有n个根
代数基本定理n次方程有n个根代数基本定理是数学中非常重要的一条定理，它告诉我们一个$n$次多项式方程有$n$个根。
在代数学中，方程的根是指满足方程的解。
这个定理的证明非常精妙，涉及到代数学中的许多重要概念和技巧。
首先，我们来看一个简单的例子。
考虑一个二次方程$x^2-5x+6=0$，它的两个根分别为$x=2$和$x=3$。
这个例子符合代数基本定理，因为这是一个二次方程，有两个根。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
考虑一个三次方程$x^3-6x^2+11x-6=0$，我们可以通过因式分解或者使用其他方法求解出它的三个根分别为$x=1$、$x=2$和$x=3$。
同样地，这个例子也符合代数基本定理，因为这是一个三次方程，有三个根。
对于更高次的多项式方程，代数基本定理也适用。
例如，一个四次方程有四个根，一个五次方程有五个根，依此类推。
这个定理的证明可以通过数学归纳法来完成，通过逐步推导得出结论。
代数基本定理的重要性不仅在于它告诉我们多项式方程的根的个数，还在于它为我们提供了一种解方程的方法。
通过找到多项式方程的根，我们可以进一步分解多项式，得到更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
在实际应用中，代数基本定理经常被用于求解各种类型的方程，包括代数方程、微积分方程等。
它为数学领域的发展提供了重要的理论支持，为我们理解数学世界提供了重要的线索。
总之，代数基本定理是数学中的一个基础定理，它告诉我们$n$次多项式方程有$n$个根。
这个定理的证明涉及到许多数学概念和技巧，对于我们理解多项式方程的性质和求解方法具有重要意义。
希望通过学习和掌握代数基本定理，我们能够更好地理解和运用数学知识，探索数学世界的奥秘。
逻辑代数的公式与基本定理
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
数字电子技术及应用
逻辑代数的公式与基本定理
逻辑代数又称布尔代数，是分析和设计逻辑 电路不可缺少的数学工具。
它的变量取值只能是1和0，而且这里的1和0 并不表示数值的大小，而是代表两种相反的逻 辑状态，如开关的闭合和断开，灯的亮和灭等。
逻辑代数中只有逻辑乘、逻辑加和逻辑非三 种基本运算。
1.1 基本公式和常用公式
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
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2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要. 这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。