加速度及匀变速直线运动典型例题

[例1]下列说法中正确的是[]

a. 物体运动的速度越大，加速度也一定越大

b. 物体的加速度越大，它的速度一定越大

c. 加速度就是“加出来的速度”

d. 加速度反映速度变化的快慢，与速度无关

[ 分析] 物体运动的速度很大，若速度的变化很小或保持不变（匀速运动），其加速度不一定大（匀速运动中的加速度等于零）.

物体的加速度大，表示速度变化得快，即单位时间内速度变化量大，但速度的数值未必大比如婴儿，单位时间（比如 3 个月）身长的变化量大，但绝对身高并不高。

“加出来的速度”是指vt-v0 （或△ v ），其单位还是m/s. 加速度是“加出来的速度”与发生这段变化时间的比值，可以理解为“数值上等于每秒内加出来的速度” .

加速度的表达式中有速度v0、v1，但加速度却与速度完全无关——速度很大时，加速度可以很小甚至为零；速度很小时，加速度也可以很大；速度方向向东，加速度的方向可以向西[答] d.

[ 说明] 要注意分清速度、速度变化的大小、速度变化的快慢三者不同的含义，可以跟小孩的身高、身高的变化量、身高变化的快慢作一类比.

[例2]物体作匀加速直线运动，已知加速度为2m/s2，那么在任意1s内[]

a.物体的末速度一定等于初速度的 2 倍

b. 物体的未速度一定比初速度大2m/s

c. 物体的初速度一定比前1s内的末速度大2m/s

d. 物体的末速度一定比前1s内的初速度大2m/s

[ 分析] 在匀加速直线运动中，加速度为2m/s2，表示每秒内速度变化（增加）2m/s ，即末速度比初速度大2m/s ，并不表示末速度一定是初速度的 2 倍.

在任意1s 内，物体的初速度就是前1s 的末速度，而其末速度相对于前1s 的初速度已经过 2 s，当a=2m/s2 时，应为4m/s.

[答] b.

[ 说明] 研究物体的运动时，必须分清时间、时刻、几秒内、第几秒内、某秒初、某秒末等概念. 如图所示（以物体开始运动时记为t=0 ）。

[例3]计算下列物体的加速度：

（1）一辆汽车从车站出发作匀加速运动，经10s 速度达到108km/h.

（2）高速列车过桥后沿平直铁路匀加速行驶，经3min 速度从54km/h 提高到180km/h.

3）沿光滑水平地面以10m/s 运动的小球，撞墙后以原速大小反弹，与墙壁接触时间为0.

2s.

[ 分析] 由题中已知条件，统一单位、规定正方向后，根据加速度公式，即可算出加速度

[解] 规定以初速方向为正方向，则

对汽车v0=0，vt=108km/h=30m/s ，t=10s ，

对列车v0=54km/h=15m/s ，vt=180km/h=50m/s ，t=3min=180s.

对小球v0=10m/s ，vt=-10m/s ，t=0.2s ，

[ 说明] 由题中可以看出，运动速度大、速度变化量大，其加速度都不一定大，尤需注意，

，必须考虑速度的方向性. 计算结果a3=-100m /s2 ，表示小球在撞墙过程中的加速度方向与初速方向相反，是沿着墙面向外的，所以使小球先

减速至零，然后再加速反弹出去速度和加速度都是矢量，在一维运动中（即沿直线运动），当规定正方向后，可以转化为用正、负表示的代数量应该注意：

物体的运动是客观的，正方向的规定是人为的. 只有相对于规定的正方向，速度与加速度的

正、负才有意义. 。速度与加速度的量值才真正反映了运动的快慢与速度变化的快慢. 所以，va=-5m/s ，vb=-2m/s ，应该是物体a运动得快；同理，aa=-5m/s2 ，ab=-2m/s2 ，也应该是物体a 的速度变化得快（即每经过1s速度减少得多），不能按数学意义认为v a 比vb 小，aa 比ab 小.

［例 4］一个做匀变速直线运动的物体连续通过两段长 s 的位移所用时间分别为 t1 、t2 ，则该物体的加速度为多少 ?

［分析］根据匀变速运动的物体在某段时间内的平均速度等于中点时刻瞬时速度的关系，加速度的定义 . 即可算出加速度 .

［解］物体在这两段位移的平均速度分别为

它们分别等于通过这两段位移所用的时间中点的瞬时速度

可知：

［说明］由计算结果的表达式可知：当 t1 >t2 时， a >0，表示物体作匀加速运动，通过相等位移所用时间越来越短；当 t1

［例5］图 1表示一个质点运动的 v －t 图，试求出该质点在 3s 末、5s 末和 8s 末的速度 .

结合 . 由于两个时间

[ 分析] 利用v-t 图求速度有两种方法：（ 1 ）直接从图上找出所求时刻对应的纵坐标，即得对

应的速度值，再根据速度的正负可知此刻的方向；（2）根据图线求出加速度，利用速度

公式算出所求时刻的速度. 下面用计算法求解.

[解] 质点的运动分为三个阶段：

ab段（0～4s）质点作初速v0=6m/s 的匀加速运动，由4s内的速度变化得加速度：

所以3s 末的速度为：

v3=v0＋at=6m/s ＋（ 1.5 × 3）m/s=10.5m/s

方向与初速相同.

bc 段（4～6s）质点以4s 末的速度（v4=12m/s ）作匀速直线运动，所以5s 末的速度：

v5=12m/s

方向与初速相同

cd段（6～12s）质点以6s末的速度（即匀速运动的速度）为初速作匀减速运动.由6s内的

速度变化得加速度：因所求的8s末是减速运动开始后经时间t'=2s 的时刻，所以8s 末的速度为：

其方向也与初速相同

[ 说明] 匀变速运动速度公式的普遍表达式是：

vt=v0+at

使用中应注意不同运动阶段的初速和对应的时间. 在匀减速运动中，写成vt=v0-at 后，加速度a 只需取绝对值代入.

速度图象的斜率反映了匀变速直线运动的加速度. 如图所示，其斜率

式中夹角α从t 轴起以逆时针转向为正，顺时针转向为负. 如图 3 中与图线1，2 对应的质点作匀加速运动，与图线3对应的质点作匀减速运动.图线越陡，表示加速度越大，故a1>a2.

[例6]一个质点作初速为零的匀加速运动，试求它在1s，2s，3s，?内的位移s1，s2，s3，?之比和在第1s，第2s，第3s，?内的位移sⅰ，sⅱ，sⅲ，?之比各为多少？

[ 分析] 初速为零的匀加速运动的位移公式为：

其位移与时间的平方成正比，因此，经相同时间通过的位移越来越大

[解] 由初速为零的匀加速运动的位移公式得：

∴sⅰ∶sⅱ∶sⅲ=1∶3∶5?

[ 说明] 这两个比例关系，是初速为零的匀加速运动位移的重要特征，更一般的情况可表示为：

在初速为零的匀加速运动中，从t=0 开始，在1段、2段、3段??时间内的位移之比等于12∶22∶32?；在第 1 段、第 2 段、第 3 段??时间内的位移之比等于从1开始的连续奇数比，即等于1∶3∶5?（图1））.

2.利用速度图线很容易找出例6中的位移之比.如图2所示，从t=0 开始，在t 轴上取相等的时间间隔，并从等分点作平行于速度图线的斜线，把图线下方的面积分成许多相同的小三角形.于是，立即可得：从t=0 起，在t、2t 、3t 、?内位移之比为

s1∶s2∶s3?=1∶4∶9?

在第1个t、第2个t、第3个t 、?内位移之比为

sⅰ∶sⅱ∶sⅲ∶?=1∶3∶5∶?

[ 例7] 一辆沿平直路面行驶的汽车，速度为36km/h. 刹车后获得加速度的大小是4m/s2 ，求：（1）刹车后3s 末的速度；

（2）从开始刹车至停止，滑行一半距离时的速度.

[ 分析] 汽车刹车后作匀减速滑行，其初速度v0=36km/h=10m/s ，vt=0 ，加速度a=-4m/s2. 设刹车后滑行ts 停止，滑行距离为s ，其运动示意图如图所示.

[解] （1）由速度公式vt=v0+at 得滑行时间：

即刹车后经 2.5s 即停止，所以3s 末的速度为零

2）由位移公式得滑行距离. 即

设滑行一半距离至 b 点时的速度为vb ，由推论

[ 说明] （1）不能直接把t=3s 代入速度公式计算速度，因为实际滑行时间只有 2.5s. 凡刹车滑行一类问题，必须先确定实际的滑行时间（或位移）；（2）滑行一半距离时的速度不等于滑行过程中的平均速度.

[例8] 一物体作匀变速直线运动，某时刻速度大小为v1=4m/s，1s 后的速度大小变为v2=10 m/s，在这1s 内物体的加速度大小[]

a. 可能小于4m/s2

b. 可能等于6m/s2

c. 一定等于6m/s2

d. 可能大于10m/s2

当v2 与v1 同向时，得加速度

当 v2 与 v1 反向时，得加速度

［答］ b ，d.

[说明 ] 必须注意速度与加速度的矢量性，不能认为 v2一定与 v1 同向 .

对应于题中 a1、a2两情况，其 v －t 图见图所示 .由图可知：当 v2 与 v1同向时，其平均速度和 1s 内的位移分别为

当 v2 与 v1 反向时，其平均速度和 1s 内的位移分别为

[ 例 9] 摩托车的最大车速 vm=25m/s ，要在 t=2min 内沿着一条笔直的公路追上在它前面 s0=1 000m 处正以 v=15m/s 行驶的汽车，必须以多大的加速度起驶？

[ 分析 ] 这里有两个研究对象：汽车和摩托车， . 汽车始终做匀速直线运动，摩托车起动后先作匀加速运动，当车速达到其最大值前若还未追上汽车，以后便改以最大车速

vm 做匀速运

动. 追上时，两车经历的时间相等 . 其运动过程如图 1 所示

[解] 规定车行方向为正方向，则汽车在t=2min 内的位移

s1＝vt ＝15× 120m=1800m，

摩托车追上汽车应有的位移

s2=s0+s1=1000m+1800m=2800m.

设摩托车起动后的加速度为a，加速运动的时间为t' ，改作以最大车速vm 匀速追赶的时间为t-t' ，则

[ 说明] 1. 不能由摩托车应有的位移s2=2800m 直接按匀加速运动公式得出加速度

因为摩托车有一极限车速，在这2min 内并不是始终做加速运动的.

2.本题的v－t 图如图 2 所示.设加速运动的时间为t' ，则由图线所对应的面积很容易列出关系式

所以解题中应注意借助图线的形象思维

[ 例10] 一列货车以v1=28.8km/h 的速度在平直铁路上运行. 由于调度事故，在大雾中后面相距s0=600m处有一列客车以v2=72km/h 的速度在同一铁轨上驶来. 客车司机发现货车后立即紧急制动，为不使两车相撞，客车的制动加速度至少多大？设货车速度不变.

[ 分析] 这里有两个研究对象：货车与客车. 货车始终以v1 做匀速直线运动，客车以v2 为初速作匀减速运动.不致相撞时，客车和货车应同时满足位移条件（s客≤s货）和速度条件（v 客≤v 货）. 如图 1.

[解] 以车行方向为正方向，设客车制动后的加速度大小为a2.由上述不相撞的条件得

当制动加速度取最小值时，两个不等式可改为等式. 由（2）式得客车速度减小到等于货车速度的时间

以 v1=28.8km/h=8m/s ， v2=72km/h=20m/s ， s0=600m 代入得

［说明］本题也可用 v －t 图求解.如图 2所示，画出两车的速度图线 .刚好相遇不相撞时，其中画有斜线的三角形面积数值上应等于 s0 ，即

. 如果改以货车为参照物，即站在货车上看后方的客车，客车制动后相对于它以初速（ v2-v1 ）、加速度 a2 向它驶来，不相撞时，经位移 s0 后恰好

代入（ 1）式，得

整理后得

面的计算都是以地面为参照物的

必须注意，相遇（追及）和相遇不相撞两者的物理条件不同 . 相遇时只需满足一个位移条件（例 2）；相遇不相撞还需同时满足速度条件，即后车的速度应不大于前车的速度，临界情况下两车速度相等 .

[例11]如图所示，一小滑块 m 从静止开始沿光滑斜面由 a 滑到 c ，经历的时间为 t1 ，如果改由光滑曲面滑到 c ，则经历的时间为 t2，关于 t1 和 t2 的大小

[]

a. t1 >t2

b. t1=t2

c. t1

d. 已知条件不足，不能判定

[ 分析 ] 光滑曲面 adc 是任意的曲面，就题目给出的已知条件，是无法利用运动学公式求出 t 1、 t2 比较其大小的，但可利用图象法来分析。

滑块从 a 到 c 沿光滑斜面下滑，做初速为零的匀加速直线运动，沿光滑曲面 adc 下滑时，在即与货车相对

静止）

静止

ad 段加速度大于沿斜面下滑的加速度，在dc 段又小于斜面上的加速度，但从 a 到c，它们的位移大小是相同的，且到 c 点的速率相等。

做出v-t 图来，定性地讨论

[ 解答] 正确答案为a

[ 说明] 本题是一例涉及复杂运动过程的物理量的定性比较，由于物理过程复杂，难以写出其定量表达式，而题目也没有要求一定要写出二者的定量表达式，只要求比较两个物理量的大小，在这种情况下，用几何方法（图象）来定性或半定量分析，往往有奇效。解决物理问题的过程是一种创造性思维过程，如能针对问题特点灵活、巧妙地运用所学知识和技能，创造

性地解决问题，方能称得上学习的高境界。

[例12]如图1所示，在平直公路上一汽车的速度为15m/s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2 的加速度做匀减速直线运动，问刹车后第10s 末车离刹车点多远？

[ 分析] 汽车做匀减速运动的加速度是由于受滑动摩擦力产生的，当汽车刹车，vt=0 时，汽

车静止，不再受摩擦力，因此a=0，汽车不能反向做加速运动，将一直静止下去。

对于这类汽车刹车问题，解题的关键是要知道汽车刹住所需要的实际时间，在这段时间内汽车做匀减速运动，超过这段时间，汽车已处于静止。

方法一：根据vt=0 计算刹车需要的时间t vt=v0-at

0=15-2t,t=7.5s

计算表明t <10s因此 2.5s 车是停着的，所以刹车距离s为

方法

作v-t 图象（图 2 所示），可得刹车时间t=7.5s ，刹车距离

图 2 所示。

［解

］

s 可用图中三角形面积表述，如

[ 说明] 由此可见，要正确地解答物理问题不能乱套公式，必须认真审清题，理解题目中真实物理图景，在此基础上选择合适的物理公式才行。

[ 例13] a、b 两车在一条水平直线上同向匀速行驶， b 车在前，车速v2=10m/s ；a 车在后，

车速72km/h ，当 a 和 b 相距100m时， a 车用恒定的加速度 a 减速，求：a=?a 车与 b 车相遇时不相撞。

[ 分析] a 车追上b 车，相遇而不相撞的条件是a、b 两车速度相等，从这个条件出发，作物理图景表述运动过程。

［解］

方法一：应用运动学公式求解

方法二：利用平均速度公式

∵s1-s2=100m, ∴ t=20s v2=v1-at,a=0.5m/s2

方法三：利用图象求解作v-t 图象

图中画阴影线的面积值表示a车车速由20降到10m/s 时，a比b多走的位移，即s1-s2=100

方法四：选 b 车为参照物，用相对运动解， a 相对于 b 的车速为10m/s，a 以 a 减速，行驶

1 00m“停下”跟 b 相遇而不相撞。

方法五：用相对运动和v-t 图综合求解，即只需研究图 2 中画阴影的三角形，三角形的竖直边

为相对速度100m/s ，由图可看出

[ 说明 ] 通过上述五种解法，比较全面地阐述了求解直线运动的方法和技巧，问题有启迪作用，特别是利用 v-t 图象解题形象直观，方便简捷，是常

采用的一种方法，方法四采用变换参照物的方法求解，方程式简单也是常用方法之一。

[例 14]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为 v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的路程为 s ，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为

[]

a.s

b.2s

c.3s

d.4s

[ 分析 ] 要使两车不相撞，第二辆车也要在同一位置刹住（汽车重作质点）

[解] 正确答案为 b

[ 说明 ] 在理想化的物理过程中，得到了物理概念和规律，但在解决具体问题时，过程往往是复杂的，在处理复杂问题时近似方法，实验方法，图象方法，分段研究方法等等将成为架起由基本的简单规律解决复杂问题的桥梁。

对解其他运动学