Logistic模型参数估计及预测实例

二、L og istic 模型
很多新生事物的发展都遵循规律: 在其发展初期, 数量 (规模) 增长得越来越快, 到了一定 时候增长速度达到最大, 随后便逐步慢下来, 直到数量 (规模) 不再增长, 稳定在增长极限N m 。
记 t 时刻数量为N t, 则 N t 可通过如下微分方程描述:
dN dt
t
=
n
∑ ( (N t- Nδt) 2) t= 0
n
∑ ( (N t- N{ ) 2) 为 t= 0
N t = 24. 86 (1 + 7. 18e- ) 0. 185t
其拐点坐标为 t3 • 10。 说明 87 年底前拥有量是加速增长的, 随后虽仍在增长, 但速度越来越
慢, 最后达到饱和不再增长, 稳定到百人拥有量约为 25 台。
6. 34
9. 02
本文预测值
1. 90
3. 18
4. 85
6. 65
8. 22
相应表二: 文 [ 1 ] 最大拥有量 N m = 110, 相关指数 R 2 = 0. 9783; 本文算法得 N m • 98, R 2 = 0. 9845。 相应表三: 文[ 1 ]N m = 100, R 2= 0. 9546; 而本文得 N m • 11, R 2= 0. 999。
本文提出了对L og istic 模型中的参数进行迭代估计的新算法, 通过比较分析, 说明了本文 算法的有效性。
关键词: L og istic 模型, 参数估计, 预测
一、引言
荷兰生物数学家V erhu lt 为预测和控制人口建立了L og istic 模型, 该模型在经济学中有着 重要应用, 可用于耐用消费品销售量预测等许多类似问题。模型缺点之一是参数增长极限N m 的估计不易确定, 为此, 有时人们只好由经验预先取N m 为某个已知值, 这显然有很大主观性, 难以符合客观实际[ 1 ]; 有时我们可以采用最速下降法、高斯—牛顿法或阻尼最小二乘法求出 参数的非线性最小二乘估计, 但这种算法复杂, 收敛性差。 本文提出参数交替迭代估计的新算 法, 计算简单, 收敛性好, 通过比较分析, 说明了它的有效实用性。
r (1-
N N
t m
)N
t, 初始条件 N
o 已知, 其中 r 为比例常数。 易得其解为
N t= 1+
Nm (N m -
1) e- rt
(1)
No
即 L og istic 模型。 下面给出由观测数据 (t, N t) , t= 0, 1, 2, …, n 求参数 N m 及 r 估计值的算法。
三、迭代算法
N
(k) m
,
b:
=
r(k) , k: =
k+
1, 转“2”。
四、预测实例及比较分析
根据中国统计年鉴提供的数据, 我们得到平均每百人缝纫机社会拥有量实际值, 利用模型 (1) 及本文算法得相应预测值, 列表如下。
表一 缝纫机平均每百人拥有量及预测值
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
年度 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
29. 80 38. 13 47. 18 56. 36 65. 05 72. 74
15
89 76. 21 79. 83 79. 17
表三 农村平均每百户洗衣机拥有量及预测值
年度
85
86
87
88
89
实际值
1. 90
3. 22
4. 78
6. 79
8. 15
[ 1 ]预测值
2. 10
3. 05
4. 41
N t= Nm
(1 +
(N m No
-
1) e- rt) + Εt
(5)
式中 Εt 为独立, 均值为 0, 等方差的随机变量, 记
y
t
≡
(ert- 1)N oN N oert- N t
t, Ρt≡N
oert+ N m N oert- N
N
t
o; 则 (5) 变为 y t=
N
m+
ΡtΕt 由此, 在
r
(H unan T axation Co llege) (N o rthw estern Po lytechn ical U n iversity)
A b stra c t
T h is p ap er p u t s fo rw a rd a new a lgo rithm fo r L og ist ic m odel p a ram eter est im a t ion. B y com p a ring ana lysis, it p roves the effect ivity of the a lgo rithm.
L og istic 模型参数估计及预测实例
13
L og istic 模型参数估计及预测实例Ξ
杨昭军
(湖南税务高专 411100)
师义民
(西北工业大学)
摘 要
杨昭军, 师义民. L og istic 模型参数估计及预测实例. 数理统计与管理, 1997, 16 (3) , 13～ 15.
下面与[ 1 ]比较, 列出两个模型预测结果
年度 实际值 [ 1 ]预测值 本文预测值
L og istic 模型参数估计及预测实例
表二 城镇平均每百户洗衣机拥有量及预测值
83
84
85
86
87
88
29. 80 40. 13 48. 29 59. 70 66. 77 73. 42
32. 03 39. 51 47. 66 56. 15 64. 59 72. 59
代入 (4) 求得 r (o) , 令 k: =
1,
a:
=
N
(o) m
,
b:
=
r 。 (o)
2.
b 代入 (6) 求得N
(k m
)
,
N
(k) m
代入 (4) 求得 r (k)。若
N
- (k )
m
a
+
r (k) -
b
≤Ε则停,
此时有N
3 m
=
N
, (k )
m
r3
=
r (k); 否则转“3”。
3.
a:
=
实际值 3. 04 3. 5 4. 06 4. 7 5. 63 6. 63 7. 5
8. 4
9. 4
预测值 3. 04 3. 57 4. 18 4. 86 5. 62 6. 47 7. 40 8. 40 9. 46
最 优参数估计 N m = 24. 86, r= 0. 185。 相关指数 R 2≡10. 9980。 预测曲线为
lnΩ(N m , t) + rt = 0
(2)
因存在模型误差, 应以下述带误差的方程代替
lnΩ(N m , t) + rt = Εt
(3)
从而在N m 已知条件下, 可得参数 r 最小二乘估计
∑ rδ = -
n
n (n +
6 1) (2n +
1) t= 0 tlnΩ(N m , t)
(4)
同理, 应由下式代替 (4)
参考文献
[ 1 ]何文章等,ห้องสมุดไป่ตู้利用L og istic 模型预测耐用消费品社会拥有量, 数理统计与管理, 1994 (1).
L og istic M odel Param eter E stima tion and Foreca sting Exam ple
Yang Zhao jun Sh i Y im in
已知条件下可
得增长极限N m 的极大似然估计
∑ ∑ Nδm =
n
(
i= 1
1 Ρ2i
y
i)
n
(
i= 1
1 Ρ2i
)
注意, 这里 Ρi 中含有被估参数N m , 在迭代解法中, 我们可用上一次的迭代估计值N m 代替它。
最优估计 N
3 m
,
r3
具体算法步骤:
1.
取初始值 N
, (o)
m
精度
Ε。N
(o) m
由此看出, 本文均具有较高的预测精度。
五、结束语
L O G IS T IC 模型在预测中有广泛的应用, 本文提出的对其参数估计的新算法, 解决了参 数N m 难以估计的问题, 且算法简单, 易于使用, 预测精度较高。 与文[ 1 ]比较具有明显的优越 性。 此外, 在运用 L O G IS T IC 模型作长期预测时, 要注意与之相关的经济系统是否有明显变 化, 如技术进步、消费倾向等因素。 若有, 则预测效果就会受到很大限制。
Key words: L og ist ic m odel, Pa ram eter est im a t ion, Fo reca st ing.
算法基本思想是已知N m , 求得 r 的最优估计, 然后把 r 作为已知, 求出 N m 的最优估计,
Ξ 收稿日期: 1996 年 2 月 9 日
14
数理统计与管理
16 卷 3 期 1997 年 5 月
这样交替循环迭代直到收敛为止。
记
Ω(N
m
,
t)
≡ (N
N
m t
-
1)
(N N
m o
-
1) , 于是由 (1) 有