光学信息技术第三章习题

第三章习题解答

3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（ 3.35 ）式时，对于积分号前的相位因子

相对于它在原点之值正好改变n 弧度?

设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是

多少?

时可以弃去相位因子

由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为 的条件是

式中r

x 2 y 2，而

试问

exp j#(x ； y o )

2d o

2 2 x y i

M 2

(1) 物平面上半径多大时，相位因子

exp

j￡(x 0 y 0)

d o

(2) (3) 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么

a ，入和d o 之间存在什么关系

exp

k 2 2

(x 。

y 。)

2d o (2) y 2)

賦 2d o

,r o ... d o

根据（3.1.5 ） 式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图

样，其中心位于理想像点

(%, %)

h(x °,y °;x, y)

1 2

d °d i

2

P (x,y)exp jp (xi %)2 (yi %)2]dxdy r circ 一

a

J_aJ,2 a ) 2

d o d i

(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h(x ),y 0;0,0) o 按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以

外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献， 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点

附近r 。

0.61 d 。/ a 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子

2

exp[jkr ° /2d °]变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区

域内相位变化不大于几分之一弧度(例如

/16 )就满足以上要求，则 kr ；/2d 0

16

2 r °

d °/16，也即

a 2.44. d 0

(4)

例如 600nm , d ° 600nm ，则光瞳半径a 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。

3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 X 0Z 平

面内，与z 轴夹角为Bo 透镜焦距为 f ,孔径为D O

(1) 求物体透射光场的频谱；

(2) 使像平面出现条纹的最大B 角等于多少？求此时像面强度分布；

(3) 若B 采用上述极大值， 使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与B =0时的截 止频率比较，结论如何?

(% y o )2

(d i

在点扩散函数的第一个零点处,

J ,(2 a ) 0 ,此时应有2 a 3.83，即

0.61

(2)

将(2)式代入(1 )式，并注意观察点在原点

(

X i y 0)

，于是得

r o

0.61 d o

a

(3)

t(X 0,y °)

cos 2 f °X 0

2

解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为

Aexp （jkx 0sin ）,为确定起见设

0,则物平面上的透射光场为

U o (x o , y o ) Aexp( jkx o sin )t(x °, y °)

A

2 exp j2

sin X o

1

2exp j2

sin 1

sin

x o (f o

) 2exp j2 X o (f o

)

其频谱为

A(, )F

U

o (x o ，y o )

A sin

1 sin

1 sin

f

o

f

o

2

2

2

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿

轴整体平移了 sin /距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率

sin

D D ‘ sin

D

f o

4 f

4 f

4 f

由此得

D D

f o

sin

（1）

4f

4f

角的最大值为

D

max

arcsin

4f

（2）

，于是要求

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

D/4

5(x, yJ

Aexp j2 x-D-

2 4 f [1 1 ?exp( j2 x

f 。)]

l i (x, y) A 2 5

cos2 f o x

一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于 1

吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

（1）在（3.4.5 ）式中，令

h(s) Ms)

hXx’yJdxdy i

为归一化强度点扩散函数，因此（

3.4.5 ）式可写成

H (，)

h(X j ,yJexp[ j2 ( x ,

w )]dxdy

而

H (0,0) 1

h(X i ，yJdNdy j

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上， 这便是归一化点扩散函数的意义

（2） 不能大于1

（3） 对于理想成像，归一化点扩散函数是

函数，其频谱为常数 1，即系统对任何频

D 0

4f

D 4f

Omax

0时，系统的截止频率为

D/4

f ，因此光栅的最大频率

Omax

(4)

比较（3）和（4）式可知，当采用

max 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了

率的传递都是无损的。

3.4当非相干成像系统的点扩散函数 h i (X i , yj 成点对称时，则其光学传递函数是实函

数。

解：由于h i (X i ，y i )是实函数并且是中心对称的，即有h i (X i , y ) h *(x ,, yj ，

h , (X i , y i ) h |( X i , y i )，应用光学传递函数的定义式(3.4.5 )易于证明

H (，) H * (,)，即H (,)为实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为 2a ,

出瞳到像面的距离为 d i ,光波长为入，这种系统可用来实现非相干低通滤波。 系统的截止频 率近似为多大？

解：用公式(3.4.15 )来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿 哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。 其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，

而不计及和其它小孔的重叠，

这时

N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截 止频率约为2a/ d i ，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波。

(X i , y i )

d o

图3.6题

设i 是透过率函数为t(X o , y o )的物平面， 2是与i 共轭的像平面，即有

￡ 丄=1

d i f

3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像。 解: 如图

t(x ), y 。)

(x, y)

d i

式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行: (1) 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场 U 1；

(2)

这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后, 在透镜的后表面上形成衍射场 U ］，这个场传到像面上形成物体的像。

为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为 2 2

exp(jk x

y )

2 U i --0— t(x °,y o )exp(jk “ j 入d - 2d 。 2 y

。 )exp( jk xx 0 yyo )dx o dy o d o 这里假定t （x o ，y 。）

只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为 ，此积分可以看成 是函数 t(x 0, y 0)exp(jk 2 2 X 。 y 。 2d o

）的傅立叶变换，记为 F （f x ,f y ），其中 x X d o y d o 在紧靠透镜后表面处 2 , exp( jk- ------ ：

U i' ------------------------------ 2d

j 入d 。 2

厶) !— F(f x , f y )exp(jk 2 X 2f

2 y -) 这个被透镜孔径所限制的场, 在孔径上发生衍射, 在用菲涅耳近似，便可得到像面 2上

的光场 2 x - exp( jk

— 2d - U -(x -,y -) - j 入d i 2 x i exp( jk — 2

宀

2d -

j 入d -

2 乩)

x U | exp(jk - 2 2 y xx i 药 )exp( jk -

严)dxdy d - 2 2 exp( jk- —) 2d 0 F(f x , f y ) ——exp( j 入d 。

2 2 2 y x y )exp( jk

)

2d -

exp( jk^

也)dxdy

d -

2

exp( jk X L _______ 2d i

X 2d o d i

再考虑到X o 和X -之间的关系得到

d.

即得到像平面上倒立的，放大 L

倍的像。

2 2

X - y i exp( jk -

-)

________ 2d -

入2d o d -

2 2

x y 1 11

xx i yy i

F(f x , f y )exp[ jk

(

)]exp( jk -

- 2

d o d i f

d i

)dxdy 1

由题设知，—

d o

1 d i

1 -0

并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径

的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为 U i (X i , y i ) 2 2

x - y -

exp( jk - -) 2d - 入2

d o d - F( f x , f y )exp(

..XX i yy i

比―7-

)dxdy

X i 注意一 d i X o d o

dx

入

d o

,

df y

宝，于是得

入d o

U i (x , y i ) 2

exp(jk ' 2d 1

d - /d o

F (f x , f y )exp(

j2n (xf x yf y ))df x df y

2 X i

2 2d--

)t(Xo ，yo)eXp(jk

2 2

X 。 y 。

2d o

齐xp(jk

2 2 X i

y - 2d -

)exp( jk

2

2

x o

y °

2d o

)t(x o , y o )

y

f x , f y )exp( 入d o

x i

U -

d o d -

t ( xd

d -

y -