1863 数学思想与方法
数学思想数学方法总结
数学思想数学方法总结数学思想与数学方法是数学研究和解决问题的基础，它们相互影响、相互促进。
数学思想是指数学家对数学对象和数学问题的认识、思考和探索所形成的思维方式和观点，而数学方法则是指通过数学思想来解决数学问题的具体方式和步骤。
本文将总结一些常见的数学思想和方法，并阐述它们的重要性和应用。
一、抽象思维是数学的重要思想之一。
数学通过将具体的数学对象抽象成一般的数学结构，从而研究和解决更一般的问题。
抽象思维使得数学理论的适用范围更广，且能够通过类比和推广，从一个具体问题中得到一般结论。
例如，数学中的向量空间概念是从几何空间中的向量概念抽象而来的，它不仅可以应用于几何问题，还可以应用于代数、物理等领域。
二、归纳思维是数学证明的重要方法之一。
通过观察和推理，我们可以从特殊情况出发，逐步推广到一般情况，从而得到一个数学结论。
归纳思维使得数学证明更加简洁和具有普遍性。
例如，数学归纳法是一种常用的证明方法，通过证明当一个命题在某个特定条件下成立时，它在所有符合该条件的情况下也成立，从而得到一般情况的结论。
三、逻辑思维是数学推理的重要方法之一。
逻辑思维能够帮助我们分析问题的结构和关系，从而找到解决问题的合适方法和步骤。
逻辑思维使得数学推理更加准确和严谨。
例如，通过使用和运用各种逻辑规则和定理，我们可以推导出新的数学结论，并证明该结论的正确性。
四、建立模型是解决实际问题的重要数学方法之一。
数学可以将现实世界的问题抽象成数学模型，通过建立数学模型，分析问题的关键因素和规律，进而找到解决问题的有效方法。
模型建立和分析是数学方法的核心内容之一。
例如，经济学中的供求模型、物理学中的力学模型，都可以通过数学的方法进行建模分析，从而得到有关经济或物理问题的解决方案。
五、计算和推测是辅助数学问题解决的重要方法之一。
通过计算和推测，我们可以验证数学问题的正确性，也可以得到一些数学问题的近似解。
计算和推测是数学方法的实践和运用过程。
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案说明：试卷号1863，适用于国开中央电大小学教育本科学员国开平台网上形考；同时资料也是期末机考的重要资料。
形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了( )的方法。
[答案]天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用( )表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用( )表示。
[答案]文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是( )的发现。
[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。
[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
[答案]100亿年根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从( )中演绎出的结论。
[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。
[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。
[答案]六七千年前形考作业第二关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。
[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
算是指( )，术是指( )。
《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
国开考[2015]19号 关于2015年秋季基于网络课程考核安排的通知 0723 v2
![国开考[2015]19号 关于2015年秋季基于网络课程考核安排的通知 0723 v2](https://img.taocdn.com/s3/m/e52e2615de80d4d8d15a4f90.png)
国开考〔2015〕19号关于2015年秋季学期基于网络的课程考核安排的通知国家开放大学各分部，各相关学院：国家开放大学2015年秋季学期继续推进基于网络的课程考核（以下简称“网考”）工作。
现将有关事宜通知如下：一、考核课程本学期共有234门网考课程，本科75门，专科159门。
其中，部分课程形成性考核、终结性考试均基于网络；部分课程形成性考核基于网络、终结性考试基于纸介；部分课程形成性考核基于纸介、终结性考试基于网络。
具体课程见附件1、2。
二、基于网络形成性考核安排1.基于网络形成性考核在国家开放大学(中央广播电视大学)形成性测评系统（，以下简称“形考系统”）进行。
2.形考系统于开学初开放运行，请各分部及时组织学生选课注册，并对学生进行培训，流程同往学期，详情请浏览“国家开放大学(中央广播电视大学)网络考试平台”（，以下简称“考试平台”）网站。
已参加过网考的学生继续使用原帐号，不必重新注册。
八一学院、总参学院、空军学院启用测评系统时间为10月20日。
3.各门课程形成性考核任务及时间安排详见各课程考核方案（见考试平台“形考公告”）。
每门课程考核任务的起止时间由国家开放大学总部控制，期间具体任务的起止时间由分部根据本部课程开出情况自行确定。
4.学生须按每次形成性考核任务的规定期限完成作业，教师须在规定期限内完成每次形成性考核任务评阅及成绩评定。
5.各分部须在2015年12月30日之前（部队学院为2016年2月20日之前）完成课程最后一次形成性考核任务的评阅工作。
三、基于网络终结性考试安排1.终结性考试通过国家开放大学(中央广播电视大学)终结性考试系统（，以下简称“终考系统”）进行。
2.终结性考试安排在2016年1月1日至24日间进行（部队学院终结性考试日期另行通知），每天8:30开始，20:30结束。
具体考试时间和考试单元由各分部根据考生人数和考试机数量等实际情况自行确定。
具体工作流程及要求见附件3。
第一讲 数学思想与方法概述
3. 应用的广泛性
1959年5月，著名数学家华罗庚教授在人民日报上发表了 《大哉数学之为用》的文章，精辟的叙述了数学的各种运用： “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献。”
• 飞机制造、神舟飞船、沙漠风暴、网络通讯、生物工程---
凡是出现“量”的地方就少不了运用数学， 要研究量与量之间的相互变化关系，就离不开数学。 数学之应用已贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的 得力助手与工具，缺少了它就不能准确刻画出客观事物的 变化，更不能由已知数据推出其他数据，从而科学预见的 准确性就不复存在。数学是一切科学之本！
三. 数学进展的大致概况
数学发展的历史非常悠久，大约在一万年以前， 人类从生产实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念， 但真正形成数学理论还是从古希腊人开始的： • 公元300多年以前，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元 前330-前275）写了《几何原本》一书，这是自古以来 所有科学著作中发行量最广、沿用时间最长的巨著． 两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：
近半个多世纪以来，现代自然科学和技术的发展，正在 改变着传统的学科分类与科学研究的方法．“数、理、化、 天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科与日新 月异的技术相结合，使用数值、解析和图形并举的方法， 推出了横跨多种学科门类的新兴领域，在数学科学内也产 生了新的研究领域和方法，如混沌(Chaos)、分形几何 (Fractal geometry)、小波分析(Wavelet transform)等. 可以这样说，数学发展至今，已经形成了 拥有100多个分支的科学体系，尽管如此，
1863_数学思想与方法题库
数学思想与方法1863题库(题量:46/题型:2)1题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》就是用分析的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
★[答案]FT. √F. ×2题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的柏拉图学派。
★[答案]TT. √F. ×3题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：定义、公式、公设、命题。
★[答案]FT. √F. ×4题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》不包括代数、几何内容。
★[答案]FT. √F. ×5题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》成书于商朝，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
★[答案]FT. √F. ×6题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。
★[答案]TT. √F. ×7题●(S01-判断题:4分) 不可公度性的发现引发了第二次数学危机。
★[答案]FT. √F. ×8题●(S01-判断题:4分) 不完全归纳法是根据“对某类事物中的部分对象的分析”作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
★[答案]TT. √F. ×9题●(S01-判断题:4分) 抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。
★[答案]T T. √F. ×10题●(S01-判断题:4分) 抽象和概括是两种完全不同的方法。
★[答案]FT. √F. ×11题●(S01-判断题:4分) 第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
数学方法与思想方法
数学方法与思想方法数学方法与思想方法数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。
以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！初中数学常见的思想方法1初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．（3）分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．（4）函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（1）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（2）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（3）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
数学文化7数学思想与方法 (1)
• 主要体现在代数学、分析学分支以及公理 化体系、数学机械化等领域
当前你正在浏览到的事第九页PPTT，共七十三页。
1.代数学中群论的思想方法。
• 19世纪以来，人们在探求五次和五次以上 代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来 毫无进展的僵局。 • 首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次 方程代数解法的不可能性。 • 其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了 “群”的概念，后发展为一整套群论的思想方 法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解 问题。
当前你正在浏览到的事第十页PPTT，共七十三页。
数学是研究相互关系的学问
• 不仅如此，群论的思想方法，在代数学的 其他分支、拓扑学、函数论乃至数学以外 的许多领域都得到了广泛的应用。由于群 论的诞生，使传统代数学所研究的对象由 具体的“数”扩充为更加抽象的“量”， 由量之间的代数运算关系发展为更为一般 的关系，从而使代数这门学科发生了转折 性的变化。
高个子与矮个子，优秀与良好等。也就是说，这些概 念都没有绝对明确的外延。没有明确外延的概念，叫做 模糊概念。模糊概念不能用康托尔集合论来刻划，于是 产生了刻划模糊概念的模糊集合论，产生了模糊数学。
当前你正在浏览到的事第十四页PPTT，共七十三页。
模糊数学的实质
• 模糊数学的实质是以数学的精确性，研究和处理现 象的模糊性。它和概率论同属不确定数学，但概率 论的研究对象是事物的偶然现象，模糊数学的研究 对象是事物的模糊现象，它们之间有深刻的联系， 又有本质的不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学概念及其教学数学概念的意义反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。
数学概念产生和发展的途径（1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；（5）根据有理论上存在的可能性而提出等¤ 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。
如：自然数集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实数集（加虚数）→复数集¤ 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。
概念和语词之间是一一对应的吗？¤ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。
¤ 概念的内涵和外延概念的内涵亦称内包：就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。
是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。
概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。
例：“△ABC 的顶点”内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；外延是指 A 、B 、C 三点的集合。
注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。
例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。
（2）概念的内涵和外延是发展的（3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同一关系相容关系属种关系交叉关系概念间的关系矛盾关系不相容关系反对关系概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合）（1）同一关系（全同关系或重合关系）：外延完全重合，内涵可以不同。
例如：（一）数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数的差等；（二）等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。
注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。
另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。
从属关系（属种关系）如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。
其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。
这两个概念的外延和的关系可以写成例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。
在属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？）注意：一是种类概念之间具有相对性。
二是要区分从属关系和全体与部分的关系。
有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。
有的却不然。
例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。
3）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。
用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。
例：（1）整数和整数（2）等腰三角形和直角三角形4）不相容关系（全异关系）如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“全异关系”或“排斥关系”。
全异关系又分为反对关系、矛盾关系和并列关系.反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。
矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延。
如有理数和无理数相对于实数来说就是矛盾关系。
并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。
内涵和外延的反变关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。
当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。
内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。
例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。
不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。
概念的定义和原始概念把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。
（揭示概念内涵的逻辑方法） 原始概念：一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等。
定义的结构：被定义项（被定义的概念 ）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。
如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。
下定义的方法：邻近的属加种差的定义邻近的属：在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的，叫这个概念的邻近的属。
如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。
种差：用于区别该概念和邻近的属概念的属性）例：一个角是直角的平行四边形叫做矩形（种差） （邻近的属）（被定义的项）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧公理定义递归定义外延定义关系定义发生定义最常用）邻近的属加种差定义（定义方法（种差）（邻近的属）（被定义项）注：一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。
¤发生定义：用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。
例如：“圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线”。
这种定义一般说来语言叙述比较长，但直观、生动，有时可以用图形直观地表示出来。
¤关系定义：用对象之间的关系作为种差而作出的定义。
例如：“偶数就是能被2整除的整数”¤外延定义：列举概念的全部对象来下定义。
例如：“有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称”¤递归定义：当被定义的对象与自然数性质有关时常采用。
¤公理定义法（约定式定义）规定“”下定义的基本要求定义要下得正确,必须遵守以下规则（1）定义应当相称所谓定义相称指下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大, 也不能缩小,即通常说的不能过宽也不能过窄。
定义过宽：下定义概念的外延大于被定义概念的外延。
例如:A、无理数是无限小数；B、直径是弦。
此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。
例A中的下定义概念“无限小数”外延大于被定义概念“无理数”外延。
因无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。
例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。
定义过窄：下定义概念的外延小于被定义概念的外延。
例如:A、无理数是有理数的不尽方根；B、各角为直角的菱形是矩形。
此两例都犯了定义过窄的错误。
例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。
因为π、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。
例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。
因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。
2）定义不能恶性循环在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。
下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。
如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。
违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。
循环定义常有以下两种情况：恶性循环：在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。
例如用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。
这样定义概念不能揭示概念的内涵。
词语反复：用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己, 这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。
以下几例都犯了词语反复的错误。
1°互质数就是互为质数的数。
2°基础知识就是最基础的知识。
3）定义一般不用否定形式定义应从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示, 一般不用否定形式。
例如“不是有理数的数叫做无理数”。
这样定义无理数,既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。
但是,有些概念的特有属性就是它缺少某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。
例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。
（4）定义应当简明（5）定义一般不用比喻说法在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。
例如“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。
从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。
又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。
再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。
这个定义既不清楚确切,也不简明。
定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。
概念的划分和分类划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。
概念的划分：把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法。
概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。
概念分类的要求：（1）排中律：不能同假，必有一真，即A 和A ’必居其一，且仅居其一，A 或A ’）（2）同一律：保持同一性，A 是A（3）无矛盾律：使用同一标准，逐级分类等划分规则（1）划分后各子项应当互不相容：子项之间必须有全异关系，违反这条规则叫做犯了子项相容的错误。
例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和邻边不等的平行四边形。
（2）各个子项必须穷尽母项：子项的总和应当与母项全同，违反这条规则叫做犯了子项不穷尽错误。
例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形。
（3）每一次划分应当用同一个划分标准：划分的标准可以不同，但每一次划分时不能用两种或两种以上的划分 标准。
（4）不能越级划分：应取最接近的种概念，否则就叫做犯了越级分类的错误。
如：把实数分成整数和分数。
二分法：首先把被划分的概念分为两个互相矛盾的概念，再继续按照此方法进行，最后得到的种概念就一定能够满足前面的三条规则。
如：用二分法表示线性方程组的解122111112212221221122112211221122112121212a 0000x y x y x y c b c b x x b y c a b a b a x b y c a c a c y a b a b D a b a b D c b c b D a c a c D D D a a b b D D D c c c c -⎧=⎪+=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩=-=-=-≠=====解方程组得设，，有唯一确定的解、至少有一不为零，无解则 ，，，至少有一个不为零，解不定，有一不为零，无解系数全为零⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解不定。