初中数学解题技巧-构造法_答题技巧
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
初中数学解题技巧-构造法与待定系数法
初中数学解题技巧:构造法与待定系数法
初中数学解题技巧:构造法与待定系数法
（1 ）构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。
平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。
构造法解题有：直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
p143
例：在证明正三角形内有一点p ，连接pa 、pb 、pc 则pa+pc>pb.
证法是通过旋转三角形bpc 到bp' 在连接pp' 就直接构造出以pa,pb,pc 为边的三角形pp'a 。
下面看一个常见的构造函数解决问题的例子例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 米，距地面均为1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 米和2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5 米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？
（2 ）待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
用待定系数法解题的一般步骤是：确定所求问题含待定系数的解析式；根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
上例也是一个典型的待定系数法的例子。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学竞赛指导-第三讲-构造法
第三讲 构造法一、方法于技巧1、构造法的概念：在解答某些数学题时，通过对条件于结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，式子、方程、函数、不等式、某些特殊类型等，以次进行构造，往往能使问题转化，使问题中原来隐晦部清的关系和性质展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。
2、常用构造的方法：①构造式子（恒等式，不等式）；②构造方差；③构造方程；④构造几何图形；⑤构造函数。
二、题型题型一、构造式子（恒等式，不等式）1、已知, 1=abc ,2=++c b a ,3222=++c b a ,则代数式111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为（ ） A 、1 B 、21- C 、2 D 、32- 2、已知a 、b 、c 均为正实数，满足3=++=++=++c a ac c b bc b a ab ，则()()()111+++c b a 的值为（ ）A 、10B 、9C 、8D 、73、已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数 ，()()1=++d a c a ，()()1=++d b c b ，那么()()c b c a ++的值是（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-24、已知x 、y 、z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，求z 的最大值和最小值分别是（ ）A 、1，-1B 、1,313-C 、1,313 D 、313,1- 题型二 构造方差设n 个数据n x x x x ,,,321的平均数为x ,则其方差为()()()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++=-++-+-+-=2321223222122322212111n n n x x x x n x x x x n x x x x x x x x n s 显然，()取等号当且仅当n x x x x s ====≥ 3212,0应用这一公式，可以简捷、巧妙地解决一写试题中的最值问题、解方程组问题等。
初中数学解题技巧与基本方法
这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律 性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通 过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得 解。
方法四：直接求解法 有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来
的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确 的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。我 们在做解答题时大部分都是采用这种方法
方法七：观察法
观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选 择。
方法八：枚举法 列举所有可能的情况，然后作出正确的判断
例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值 为2元，1元的人民币，换法有( )
A.5种 B.6种 C.8种 D.10种 分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不
难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
方法九：待定系数法
要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据 题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从 而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
方法十：不完全归纳
当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头 绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单 情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。
以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技 巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。 初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好；不 能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择 题做题方法。
二、填空题解法大全
一、填空题特点分析 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，
二、主要题型
初中填空题主要题型一是定量型填空题，主要考查计 算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数 学公式的掌握的熟练程度；二是定性型填空题，考查考 生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理 解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对 于具体知识的理解和熟练程度只不过是考查有所侧重而 已。
用构造法解题
用构造法解题构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋于几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，若在解题时能灵活运用，可收到事半功倍的效果.本文将结合几个典型的例题谈一谈用构造法解题的规律，以此抛砖引玉.一、数形结合，构造几何意义 例１．求函数xx y cos 2sin 1--=的值域. 分析：联想斜率公式为 1212x x y y k --= ，不妨把函数y 理解为过定点Ｐ( 2 , １ )和动点Ｑ(cos x, sin x )的直线Ｌ的斜率k 的取值范围.而点Ｑ又在圆Ｃ：x 2 + y 2 = 1上，设直线Ｌ的方程为：y －１= k (x －2)，直线Ｌ与圆Ｃ有公共点，由 ⎩⎨⎧-=-=+)2(1122x k y y x 消去y 得：0)44()42()1(2222=-+-++k k x k k x k ，再由 △＝ 0)44)(1(4)42(2222≥-+--k k k k k解得: 340≤≤k ，所以函数的值域为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 例２．求函数1365222+-++-=x x x x y 的最小值. 分析：联想两点间距离公式，可将函数变形为：222)20()3()20()1(++-+-+-=x x y ，理解为Ｍ(x ，0)与Ａ(1，2)和Ｂ(3，－2)的距离之和. 又点Ｍ是x 轴上一动点，也即在x 轴上找一点Ｍ使Ｍ与Ａ的距离和Ｍ与Ｂ的距离之和最小值。
点Ａ和Ｂ分别在x 轴的上、下两侧，连ＡＢ与x 轴交点即为Ｍ，ＡＢ间距离就是函数的最小值，为 ()()52223122=++-注1、要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握. 敢于联想，善于联想是构造法的关键.二、构造平均值不等式例3．求函数y=sin2x cosx 的最大值分析：是乘积的形式，不难想到用基本不等式，可变形为y=2sinx cos 2x ＝2(1－sin 2x)sin x ，式中两个x 的余弦项一个是二次，另一个是一次，其和不是定值，再变形y=2934]sin )sin 1([2sin )sin 1(33222222=-=-x x x x 例4．已知a 、b ∈Ｒ＋，且a+b=1，求2121+++b a 的最大值. 分析：可将21+a 理解为 n m ⋅ ，其中m= a + 21 ，n =1，所以有 21+a 2121++≤a ；同理21+b 2121++≤b ，两式相加得 2121+++b a 223=++≤b a (等号成立的条件是a=b=1/2).若有兴趣，不妨再求 3121+++b a 的最大值. 注2：正确使用不等式求最值的关健是构造即凑定值（各项的和或积是定值），所用技巧一般有乘以一个常数、开平方（或开立方）再平方（或再立方），例3便是一典型例子；等号成立，既是正确解题的基础，也是分析问题的突破口（仔细体会例４及其思考题）.三、构造方程与函数例5． 已知(z －x)2－4(x －y)(y －z)=0，求证x ，y ，z 成等差数列.分析：由已知可知，关于t 的方程(x －y)t 2 + (z －x) t +(y －z)=0有两个相等的实根，易验证t １= t 2 =1是方程的根. 由韦达定理 1=t 1 ·t 2 = yx z y -- ，即x －y ＝y －z ，也即x ，y ，z 成等差数列. 例6．已知：(x+2y)5 + x 5 + 2x+2y=0，求x+y 的值。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。