人教版正比例函数
正比例函数(1)课件人教版八年级数学下册
∴ m=-1.
函数解析式可转化为y=kx 函数是正比例函数 （k是常数，k ≠0）的形式.
变式训练
(1)若 y = (m - 2)x |m| 1 是正比例函数，则m= -2 ；
m-2≠0， ∴ m=-2.
|m|-1=1，
(2)若 y
(m -1)x m2 -1 是正比例函数，则m= -1 ；
m-1≠0， ∴ m=-1.
y的值为 -2 .
2、若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k，
解得k=-3， 所以y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x；
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27.
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1=0，
典例讲解
例2. （1）已知y与x成正比例，并且x=4时，y=8，求y 与x之间的函数
关系式.
解答：∵y与x 成正比例， ∴关系是设为：y=kx， ∵x=4时，y=8， ∴8=4k，解得：k=2， ∴y与x的函数关系式为：y=2x．
成正比例关系的并不一 定是正比例函数，正比 例函数一定成正比关系
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
新知讲解
正比例函数的概念 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函 数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
(1)l 2πr
（2）铁的密度为3,铁块的质量m（单位：g） 随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
(2)m 7.8V
（2）已知y-3与x成正比例，并且 x=4时，y=7，求y与x之间的函数 解析式.
人教版《正比例函数》PPT优质课件初中数学ppt
6.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0< y <10,则x的取值范围为__0_<__x_<__5_.
(2)若-6< x <10,则y的取值范围为_-_1_2__<_y_<__2.0
活动七：待定系数法求正比例函数解析式
例1：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与 x的函数解析式
么当x=5时，y=__1__4__. 解：∵ y与x+2 成正比例 ∴y=k(x+2) ∵当x=4时，y=12 ∴12=k(4+2) 解得：k=2 ∴y=2x+4 ∴当x=5时，y=14
活动七： 拓展提高
拓展：已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比 例，当x=1时，y=0，当x=-3时，y=4，求x=3时，y的值。
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
一、设：设所求的正比例函数解析式y=kx。
二、求：把已知的自变量的值和对应的函数值 代入所设的解析式，得到以比例系数k为未知数 的方程，解这个方程求出比例系数k。 三、代：把k的值代入所设的解析式。
活动七： 变式练习
变式：已知y与x+2 成正比例，当x=4时，y=12，那
活动四：辨析概念
1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果
是，请你指出正比例系数k的值．
（1）yx
（2）
y x 2
是正比例函数，
是正比例函数，
（3）y=2x2
不是正比例函数
（4）y2=4x
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
不是正比例函数
（6）y=2(x－x2 )+2x2
人教版数学八年级下册第十九章《19.2.1 正比例函数》课件
探究新知
y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx k＞0
经过的象限 从左向右 y随x的增大而
第一、三象限
上升
增大
k＜0 第二、四象限
下降
减小
探研时空
经过原点与(1，k)的直线是哪个函数的图象? 画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?
当x1＜x2时,试比较y1,y2的大小.
课堂小结
(1)一般地,正比例函数y＝kx(k是常数,k≠0)的图象是一 条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.
(2)当k＞0时,直线y＝kx经过第三、第一象限,从左向右
上升,即随x的增大y也增大;
当k＜0时,直线y＝kx经过第二、第四象限,从左向右
下降,即随着x的kx(k是常
两点法画函数图象:
一般地,经过原点和(1，k)(k是常数,k≠0)的直线,即 是正比例函数y＝kx(k是常数,k≠0)的图象.
小试牛刀
在同一坐标系中,用你认为最简单的方法画出下列函数的 图象,并对它们进行比较.
归纳总结
画正比例函数图象应注意哪些问题？
拓展提高
已知函数y＝(a-3)xa是关于x的正比例函数. (1)求正比例函数的解析式; (2)画出图象,判断A(2,-4),B(-3,-4)是否在该直线上; (3)若它的图象有两点A(x1,y1),B(x2,y2).
第十九章 一次函数
19.2.1 正比例函数
知识回顾
知识回顾
探究新知
例1 画出下列正 比例函数的图象:
观察发现： 这两个图象都是经过 原点的直线,而且都 经过第一、三象限.
探究新知
例1 画出下列正 比例函数的图象
正比例函数正比例函数的概念及应用课件人教版数学八年级下册
巩固新知
求出下列各题中字母的值. （1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k 满足_____k_≠_1_. （2）如果y=kxk-1，是y关于xx+k-4，是y关于x的正比例函数，则 k=_____4___.
合作探究
典例精析2 利用待定系数法求正比例函数的解析式
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=________. 解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，
解（：3）y=一12个x,长是方(正体3比的)例长这函为数2只c.m，燕宽为鸥1. 飞行一个半月的行程，即 ：x=45，
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. 解：y=4x, 是正比例函数.
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的 总收入为y元．
解：y=12x, 是正比例函数. （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积 为ycm3.
解：y=3x, 是正比例函数.
课后练习
1．(齐齐哈尔中考)“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从 营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到 达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上)．到达后因接到紧急任务 ，立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不计)，下列图象能大致反映 战士们离营地的距离S与时间x之间函数关系的是( B )
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
的结构特征 5小时后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
所以y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x；
19.2.1正比例函数(课件)-2023—-2024学年人教版数学八年级下册
ℎ
2
7.9
0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−2
= 7.9
ℎ = 0.5
= −2
这些函数
解析式有
什么共同
点？
常数与自变量的乘积的形式
函数=常数×自变量
=
·
①
②
一般地，形如 = (是常数， ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，
③
其中叫做比例系数.
想一想，为什么 ≠ ?
=0·
=0
≠
正比例函数解析式的一般式：
(是常数， ≠ 0)
=
是自变量且它的指数是1
正比例函数解析式 = ( ≠ 0)的结构特征：
①是常数， ≠ 0
②自变量的指数是1，取值范围是一切实数;
③与是乘积的形式;
④若 = ,则与成正比例；
若与成正比例，则 = .
正比例函数（1）
问题1：下列问题中，变量之间的对应关系可用怎样的函数表示？
(1)圆的周长随半径的变化而变化？
r
l
=
（2）铁的密度是7.9g/3 , 铁块的质量m(单位：g)随它的体
积 (单位： 3 )的变化而变化.
= .
(3)每个练习本的厚度为0.5,一些练习本摞在一起的总厚
1.已知与 − 3成正比例，且当 = 2时， = −5.
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当 = 3时， 的值；
2
(3)当 = 时， 的值.
3
2.自编一道正比例函数的题目与同学们交流.
老
师
赠
言
高斯（数学王子）说：“数学是科学之王”；
人教版八年级数学下册《正比例函数》课件
（4）途经祈福广场时，我发现广场的 二次函数 中心是一个圆形的阴阳鱼图案，如果半 径为x ，那么它的面积s= x2 其中s是x 的正比例函数（ × ）
（5）途经祈福广场时，我发现广场的 中心是一个圆形的阴阳鱼图案，如果半 径为x ，那么它的面积s= x2 其中s是 x2的正比例函数（ √ ）
恭喜你获得最美好的祝福：
快 乐 每 一 天 ， 幸 福 每 一 刻
恭喜你获得最美好的祝福：
成功相伴！ 快乐无边！
巅峰对决 若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函 数，试求k的值.
登临至巅
• 登临至巅
蒙山卧龙松
美景如画
惊叹世人的杰作
更折服于自然的伟大
正比例函数
指数函数 一次函数 对数函数
反比例函数
二次函数
函 数
19.2.1正比例函数
青蛙嘴的总数目y= x ， 眼的总数目z = 2x ， 腿的总数目m= 4x 。
一、认识正比例函数
y=x y=2x y=4x 上面的三个函数具备什么特点呢？
常量与自变量乘积的形式 • 定义：一般地，形如y=kx（k是常数 ，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其 中k叫做比例系数。 温馨提示 1：k是常数，k ≠ 0 2：x的次数是 1 次
二、理解正比例函数
1、在景点入口处,我发现检 票速度一定时，检票时间t 越长，通过的客流量P越大 ，因此，客流量 P是 检票时间 t 的正比例函数。
• 2、刚进入景区，就远远 看到观光缆 车在匀速的运行着，很显然运送时间 t越长，运送游客量w就越多，因此， 运送游客量w是运送时间t 的正比例函 数。
3、移步换景，仰视整个蒙山景区：林海花潮，飞瀑流 水，奇峰耸立，层峦叠翠，看到飞流直下的瀑布，我想 如果瀑布单位时间的流量一定，时间t越长，总流水量m 就越大，因此， 总流水量m 是 时间t 的正比例函数
人教版八年级下册19.2.1《正比例函数》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我觉得效果还不错，学生们能够提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时，有些学生表达不够清晰，可能影响到其他学生的理解。因此，我打算在接下来的课堂中，加强学生的口头表达能力训练，让他们学会如何简洁明了地表达自己的观点。
最后，我觉得在总结回顾环节，学生对正比例函数的理解和应用有了明显提高。但我也意识到，部分学生对难点知识点的掌握还不够牢固。在今后的教学中，我需要关注这部分学生的需求，通过课后辅导或小组互助等方式，帮助他们克服困难，真正理解并掌握正比例函数。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正比例函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个量成比例变化的情况？”比如，自行车的速度与行驶时间的关系。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正比例函数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正比例函数的基本概念。正比例函数是指两个变量之间存在一种关系，其中一个变量的值是另一个变量的2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以速度与时间的关系为例，分析正比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
5.能够根据给定的信息，确定正比例函数的参数k的值。
【人教版】八年级数学下册课件-19.2.1 正比例函数
描点(在直角坐标系中描出
y
表格中数对对应的点)；
y=-1.5x
连表线格(连中的接点直很角多坐，标可系以中选的
3 2
点)，如取图几.个有代表性的作图。
1
用同样的方法，我们可以 得到y=-4x的图象，如图.
-2 -1 O 1 2 x -1 -2
状元成才路
y=-1.5x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
根据题意画图，如下，当k＞0时，A( 6，6)，
此 A得’k时=(S-6k△，A.3因O6B)，=此此12k=×时±6kS△×A.36O=B=12，12 ×解（得-k=6k6
3
k
.当k＜0时，
2
）×6=12，解
2
2
状元成才路
错因分析：解题时忽略了k值的正负 情况，导致漏解.在解答此类型的题目时， 要根据题目条件画出图形，分类讨论.
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画 正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象.一般地， 过 原 点 与 点 (1，k)(k≠0)的 直 线 ， 即 正 比 例 函 数 y=kx(k是常数，k≠0)的图象.
状元成才路
知识点 3 正比例函数解析式的确定
例3 已知正比例函数y=kx经过点(-1，2)， 求这个正比例函数的解析式.
状元成才路
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
R·八年级数学下册
状元成才路
新课导入
两个变量x，y成正比例， 且 比 例 系 数 是 k(k ≠ 0) ， 你 能 写出y与x的关系式吗？
状元成才路
学习目标
(1) 知 道 什 么 样 的 函 数 是 正 比 例 函 数 ， 能 根 据正比例函数的定义确定字母系数的值.
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14.2.1 正比例函数教学设计
一. 教学目标
知识与技能：
（1）理解正比例函数的概念
（2）能够识别正比例函数.
数学思考：
通过现实生活中的具体事例引入体会建立函数模型的思想.
解决问题：
会利用正比例函数解决简单的数学问题.
情感态度：
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流、独立思考的学习习惯．
二、教学重难点
教学重点：正比例函数概念
教学难点：正比例函数概念及其应用
三．教学方法
本节课通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特征，教师的主导作用与学生主体地位达到相互统一.
四、教学设计
【活动1】问题引入
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，
人们在2.56 万千米外的澳大利亚发现了它．
（ 1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
（ 2）这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
（3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？
教师活动：教师用多媒体呈现问题.
学生活动：学生思考并解答.
教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式.注意自变量的取值范围．
设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育. 同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.
【活动2】正比例函数概念的学习
1. 讨论与思考下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．
（1）圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化；
（2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的大小变化而变化.
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm, —些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随这些练习本的本数n 的变化而变化；
(4)冷冻一个0 C物体，使它每分下降2 C,物体的温度T (单位：C)随冷冻时间t (单位：分)的变化而变化.
教师活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题.
学生活动：学生独立解答，再同学之间互相补充
教师要重点关注：(1)题中学生易将；二厂写成1(4)题中每分钟下
降2C应记为“ -2C”，避免学生将「二写为「二.关注学生能否准确找出
■ - ：厂：中的常量.
设计意图：
通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点做铺垫.通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.
2. 归纳与总结：
教师活动：思考：四个函数有什么共同特点？学生活动：观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.
教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共
同点.教师根据学生的表述板书: 共同点：常数X自变量.
教师板书：
概念：一般地，形如y=kx (k是常数，k工0的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
设计意图：
学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.
【典例讲解】
例1判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
x
(1) y=-0・lx (2)2
(4) y=2(x—x2 )+2x2
(3) y=2x2
例2 (1)如果严是j咲于兀的正比例函数,
则衣满足________________ •
(2)如果严m是了关于兀的正比例函数，贝I」
k二 __________________ .
(3)如果是卩关于*的正比例函数，则
k= ________ .
学生活动：独立解答，教师巡视
教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数X自变量”归纳辨别正比例函数的方法.
设计意图：
使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.
五、小结与布置作业
小结: 说一说这节课你有什么收获？
布置作业：
1. 必做题：教科书习题14.2 第1、2、8 题
2. 选做题：练习册能力拓展第3、4题
设计意图：通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化
六、教学反思
通过本节课的教学进行反思，在以后的教学中我应该做到以下几点：1．转变教学观念，树立以学生的发展为本的思想，从学生的需要出发进行课堂教学，才能最大限度的激发学生的学习积极性和求知欲.
2．数学课堂中的教，是为了更好地学，因而“教”应成为点拨、诱导，要
起到诱导学生思维、点拨问题思路的作用；而练，是为了更好的掌握知识，因而“练”应精细，巧妙，应起到提高解决问题能力，开阔学生视野的目的，只有处理好这两者之间的关系，才能有效地掌控课堂主动权，才能够全面提升教育质量.。