三角形相关计算与证明练习题
中考数学专题《相似三角形的证明与计算专项训练》(沪科版)原卷
专题22.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一．解答题（共30小题）1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD.（1）求证：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：△ACD∽△ABC．4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，⊥ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：⊥ABD⊥⊥CBA．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，⊥1=⊥2，ABAE =ACAD，求证：⊥C=⊥D．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，⊥MPN=90°，将⊥MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，⊥MPN 的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：⊥ABP ⊥⊥PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，⊥BPE与⊥PEF相似.9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB= BC，AD=DE，连接BD，CE，求CE的值．BD11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊥ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B．(1)证明：ΔADB∼ΔAED；(2)若AE=3，AD=5，求AB的长．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊥ABC与⊥ADE中，⊥C＝⊥E，⊥1＝⊥2；（1）证明：⊥ABC⊥⊥ADE．（2）请你再添加一个条件，使⊥ABC⊥⊥ADE．你补充的条件为：．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE是△ABC的高．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：1AB +1CD=1EF．15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分⊥PDQ．则DP的长为．16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BC=______．我们把这个模型称为“一线AC三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且⊥ADE＝60°．求证：⊥ADC⊥⊥DEB．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且⊥AFE=⊥B．求证：⊥ADF⊥⊥DEC；19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求证：△DOE∽△COB．20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，⊥DME＝⊥A＝⊥B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点．求证：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在⊥ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，⊥ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是⊥ABD的中线．求证：⊥ACE是“和谐三角形”．23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥BC，点F 在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF⊥△DCF．26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠D=∠DCE．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求FD的长度．27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC 上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB =13时，求S△CEFS△CDF的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12BG．28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C求证：（1）BF⋅CE=AB2（2）AE 2AF2=CEBF．29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB=6,CE=9，求AD的长．30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，⊥ABC＝2⊥C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF⊥⊥ABC．31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在⊥ABC和⊥ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且⊥BAC＝⊥DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：⊥CAE⊥⊥BAD；（2）求证：⊥AMN⊥⊥ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，⊥EAC＝60°，求AN的长．32．（2022·全国·九年级课时练习）在①DP⋅PB=CP⋅PA，②∠BAP=∠CDP，③DP⋅AB=CD⋅PB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若（填序号）求证：△ABP∼△DCP．33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．(2)若GB=3，BC=6，BF=3，求AB的长．235．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．(1)求证：AFBE =ADAE．(2)已知AB=8,BC=12，求AF的长．36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊥ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC 交BD于点N，ON＝1．(1)求证：⊥DMN⊥⊥BCN；(2)求BD的长；(3)若⊥DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G．（1）如图1，连接BD．求证：△DAE≌△BDF；（2）如图2，连接CG．①求证：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）．38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD 为Rt ⊥ABC 中BC 边上的高，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点M 和N ．(1)求证：⊥AMD ⊥⊥CND ；(2)如图2，将Rt ⊥DEF 绕点D 旋转，此时EF ⊥BC ，且E ，A ，F 共线，判断AE AD＝AM AN是否成立，并给出证明．39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分⊥BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD⊥AD ． （1）证明：⊥BDC=⊥PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E ，AB=1，CE ：CP=2：3，求AE 的长．40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点， （1）若BK ＝73KC ，求CDAB 的值；（2）联结BE ，若BE 平分⊥ABC ，则当AE ＝12AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）试探究：当BE 平分⊥ABC ，且AE ＝1n AD （n ＞2）时，线段AB 、BC ，CD 三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在⊥ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:⊥PCD,使点D在AC上，且⊥PCD⊥⊥ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若⊥APC=2⊥ABC，求证:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，⊥EAF=⊥GAC．（1）求证：△ADE⊥⊥ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在⊥ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥AC，EF⊥AB．（1）求证：⊥BDE⊥⊥EFC．（2）设AFFC =12，①若BC＝12，求线段BE的长；②若⊥EFC的面积是20，求⊥ABC的面积．44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．(1)求证：⊥BGC⊥⊥DGF；(2)求证：GD⋅AB=DF⋅BG；的值．(3)若点G是DC中点，求GFCE45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt⊥ABC中，⊥C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C 运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？BC将线46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在⊥ABC中，⊥BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD=13段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE.作BF⊥AE垂足为H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求证：(1)CG=BH；(2)FC2=BF⋅GF．48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．(1)若点E为AB的中点，求OF的值．FB(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN ＝45°，BN＝1，求DM的长．50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与B,C重合)．连接AE,过点E作EF⊥AE,交DC于点F．(1)求证：△ABE∼△ECF；(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．(1)操作发现：如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为______；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；(2)探究证明：如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC=2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．(1)求证：△OCE∽△OFD．(2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长．53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，⊥C＝90°，AC＝BC＝2√2，点D、E分别在边AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．AC、AB上，AD＝DE＝12（1）[问题发现]①当θ＝0°时，BECD ＝；②当θ＝180°时，BECD＝；（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D为锐角⊥ABC内一点，⊥ADB=⊥ACB+90°．（1）求证：⊥CAD+⊥CBD=90°；（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，①求证：⊥ACD⊥⊥BCE；②求AB⋅CDAC⋅BD的值．55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是√5−12．(1)如图①，在△ABC中，⊥A＝36°，AB=AC，⊥ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：(2)如图②，在Rt△ABC中，⊥ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，AD>BD，AB=√5+1，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，56．（2022·山东·淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD，如图（1），证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图（2），求证：AE⋅AB=DE⋅AP．57．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD．（1）求证：ΔABE∽ΔACD；的值．（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全国·九年级专题练习）[教材呈现]下面是华师大九年级上最数学教材第76页的部分内容．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明∠AFD⊥∠DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．结合图①，完成解答过程．[拓展]（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为；（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB=4，AD=3，则EF的长为．59．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）( 定义：长宽比为√n⊥1（n为正整数）的矩形称为√n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个√2矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD 为√2矩形．(1)证明：四边形ABCD为√2矩形；(2)点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当⊥DMN的周长最小时，求NB：CN的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2√2，则DR的最小值＝60．（2022·四川广元·二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角⊥AEF有公共顶点A，⊥EAF＝90°，连＝________；β＝接BE、DF，将⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则BEDF________；（2）如图2，矩形ABCD与Rt⊥AEF有公共顶点A，⊥EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出BE的值及β的度数，并结DF合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与⊥AEF有公共项点A，且⊥BAD＝⊥EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：＝________；①BEDF②请直接写出α和β之间的关系式．。
八年级数学专题2_与全等三角形有关的线段和角的证明及计算 练习测试
必刷题专题2 与全等三角形有关的线段和角的证明及计算刷难关知识点一求角度和线段的长度1. [2019四川成都中考，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.2. [中]正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.3. [2018江苏常州一模，较难]如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数.知识点二角度和线段之间关系的证明4. [2020辽宁鞍山立山区月考，中]如图，在△ABC中，P是∠BAC的平分线上一点，且AC>AB，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？5. [中]在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D.求证：∠2=∠1+∠C.6. [较难]如图（1），△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1）当△DEF旋转至如图（2）位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA的数量关系是（2）当△DEF继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.知识点三线段位置关系7. [2020浙江湖州校级月考，中]如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF，请问EB 与CF有什么样的位置关系？8. [2020甘肃兰州月考，中]如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE= DC；（2）BE⊥DC9. [2020河南漯河校级月考，较难]如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，则AM与CD有什么样的位置关系？参考答案1. 答案：9解析：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.在△BAD和△CAE中，BAD=CAE AB=ACB=C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD=CE=9.2.答案：【解】如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG.在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中，AB=ADABG=ADFBG=DF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG. 又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，AE=AEGE=FEAG=AF⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG =∠EAF.∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°.解析：3.答案：（1）【证明】∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，∵AB=ACBAE=CADAE=AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABD=∠ACD.（2）【解】∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACB=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°.4. 答案：【解】如图，在AC 上取点G ，使AG=AB ，连接PG.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠GAP.在△ABP 和△AGP 中，AB=AG BAP=GAP AP=AP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABP ≌△AGP （SAS ），∴PB=PG.在△PGC 中，由三边关系定理得PC-PG<CG<PC+PG.∵CG=AC-AG=AC-AB ，∴PC-PB<AC-AB<PC+PB.5. 答案：【证明】如图，延长AD 交BC 于E.∵AD ⊥BD ，∴∠BDA=∠BDE=90°.∵∠ABD=∠EBD ，BD=BD ，∴△BDA ≌△BDE （ASA ），∴∠2=∠BEA.∵∠BEA=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.6. 答案：【解】（1）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A=∠D.又∵∠AOD=∠A+∠AFD ，∠AOD=∠D+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.（2）（1）中的结论成立.理由如下：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ，∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，即∠ABF= ∠DEC .在△ABF 与△DEC 中，AB=DE ABF=DEC BF=EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABF ≌△DEC （SAS ），∴∠BAF=∠EDC ，∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC ，即∠FAC=∠CDF. 又∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.7.答案：【解】如图.∵AB∥CD，∴∠3=∠4.在△ABO和△DCO中，2=1AO=DO4=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴OB=OC. 又∵OA=OD，AE=DF，∴EO=FO.在△EBO和△FCO中，EO=FO2=1BO=CO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△EBO≌△FCO（SAS），∴∠EBO=∠FCO，∴EB∥CF.8.答案：【证明】（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中，AD=AEDAC=EABAC=AB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD.（2）设AC与BE交于点M.∵△DAC≌△EAB，∴∠ACD=∠ABE.∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°.∵∠AMB=∠QMC，∴∠QMC+∠ACQ=90°，∴∠MQC=90°，即BE⊥DC.9.答案：【解】如图，延长AM到点F，使MF=AM，交CD于点N，连接BF，EF.在△ABM和△FEM中，AM=FMAMB=FMEBM=EM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABM≌△FEM（SAS）.∴AB=FE=AC，∠ABM=∠FEM，∠BAM=∠EFM，∴AB∥EF，∴∠AEF+∠BAE=180°.∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠AEF=∠CAD，在△FEA和△CAD中，FE=CAAEF=DACAE=DA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△FEA≌△CAD（SAS），∴∠EFA=∠ACD=∠BAF.∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAF=90°，∴∠ACD+∠CAF=90°，即∠ANC=90°，∴AM⊥CD.。
中考数学考点专题(六) 与三角形有关的计算与证明
中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF.又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF.(2)AB ∥DE ，AC ∥DF.理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE.∴AB ∥DE ，AC ∥DF.2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.(1)求证：△AEC ≌△BED ；(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD ＝∠BOE.又∵∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA )．(2)∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°.∴∠BDE ＝∠C ＝69°.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.又∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF.∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC.(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝23，∴AC ＝AD cos 30°＝4.4．(2017·重庆)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 是AC 上一点，连接BE.(1)如图1，若AB ＝42，BE ＝5，求AE 的长；(2)如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD ，CF ，当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC.解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AC ＝BC ＝22AB ＝4. ∵BE ＝5，∴CE ＝BE 2－BC 2＝3.∴AE ＝4－3＝1.(2)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝45°.∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°.∴A ，F ，C ，B 四点共圆．∴∠CFB ＝∠CAB ＝45°，∴∠DFC ＝∠AFC ＝135°.在△ACF 和△DCF 中， ⎩⎨⎧AF ＝DF ，∠AFC ＝∠DFC ，CF ＝CF ，∴△ACF ≌△DCF.∴AC ＝DC.又∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC.5．(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小；(用含α的式子表示)(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α.∵QH ⊥AP ，∴∠AHM ＝90°.∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α.(2)PQ ＝2MB.理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB 于点E ，∵∠PAC ＋∠APC ＝∠MQE ＋∠APC ＝90°，∴∠PAC ＝∠MQE.∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ，∴∠QAC ＝∠PAC ＝α.∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ.∴AP ＝AQ ＝QM.在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠PAC ＝∠MQE ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )．∴PC ＝ME.∵△MEB 是等腰直角三角形，∴MB ＝2ME ＝2PC ＝22PQ ， 即PQ ＝2MB.6．如图，已知∠ABC ＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.(1)如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明；(2)如图2，E 是直线BC 上一点，且CE ＝BD ，直线AE ，CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF 是等腰直角三角形．理由如下：∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC.在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ，∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．(2)∠APD 的度数是固定值．作AF ⊥AB 于A ，使AF ＝BD ，连接DF ，CF. ∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC ，AF ∥CE. 在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ， ∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．∴∠FCD ＝45°.∵AF ∥CE ，且AF ＝BD ＝CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∴AE ∥CF.∴∠APD ＝∠FCD ＝45°.。
专题 等腰三角形的证明及计算大题
专题2.9等腰三角形的证明及计算大题一．解答题（共50小题）1．（2022秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．（1）求证：AC平分∠EAF；（2）求证：∠FAD＝∠E；（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．2．（2022秋•铁西区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝度；（2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝度；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．3．（2022秋•单县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．4．（2022秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD ＝∠CDE，∠ADE＝∠C．（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE 除外）．5．（2022秋•石家庄期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠BAC和∠ACB的度数；（2）求证：△ACF是等腰三角形．6．（2022秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=12（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．7．（2022秋•赛罕区校级期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N．（1）求证：MO＝MB；（2）若AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．8．（2022秋•建阳区期中）如图所示，已知点A，C分别在∠GBE的边BG，BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD．（1）求证：AC＝AD；（2）猜想：∠BAC与∠BDC之间有何数量关系，并对你的猜想加以证明．9．（2022秋•微山县期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于点C．（1）若∠B＝75°，求∠D的度数；（2）求证：AB＝2CD．10．（2022秋•高港区期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数．11．（2022秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．12．（2022春•汉阳区校级期中）如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC 的一个外角，且AE⊥BE于点E．（1）求证：EF∥BC．（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．13．（2022春•桓台县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．14．（2022秋•新兴县期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．15．（2022秋•浦城县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．（1）求证：EM＝FM；（2）求证：AC＝AN．16．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD ∥AB，PE∥AC．（1）求△PDE的周长；（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．17．（2022春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．18．（2022春•未央区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．19．（2022秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．20．（2022秋•庄浪县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．21．（2022秋•兰陵县期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．22．（2022春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．（1）如图1，求∠P的度数；（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．23．（2022秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是；（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．24．（2022秋•香坊区校级月考）已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：BE＝DE．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG＝3，BF＝5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于152的所有三角形．25．（2022春•莱州市期末）已知，如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点F，过点C作CD⊥AD，垂足为D，在AC上取一点E，使DE＝CE，求证：DE∥AB．26．（2022春•莲池区期中）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F．试说明：EO＝BE探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由．探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．27．（2022ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？28．（2022秋•莆田期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．29．（2022秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF ⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE＝ED；（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．30．（2022秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD 关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD＝θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？31．（2022秋•富源县校级期中）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？32．如图1，DB为△ABC的角平分线，CE为∠ACB的外角平分线，过点A作AF⊥BD，交射线BD于点F，作AG⊥CE于G，连接EG．（1）求证：FG∥BC；（2）如图2，射线BD与CE相交于点M，若∠M＝45°，AB＝FG＝6，求AD的长．33．（2022秋•平定县期中）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD＝BE的理由；（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．34．（2022秋•海淀区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD 和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝；（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝（用含α的式子表示）；（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．35．（2022•承德县模拟）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．36．（2022•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1＝BE1＝CF1=12AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=14S，△D1E1F1的面积S1=14S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2＝BE2＝CF2=13AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2＝；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′＝．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n＝BE n＝CF n=1n+1AB时，（n为正整数）△D n E n F n是三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n＝；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n＝．37．（2022春•和平县期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE ∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．38．（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．39．（2022秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD 于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．40．（2022秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE ∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．41．（2022秋•桐城市期末）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B＝60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．42．（2022•阳城县模拟）数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．43．（2022秋•松山区校级月考）如图，点P在等边△ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD，问：△APD是什么形状三角形，试说明理由．44．（2022春•江岸区校级期中）（1）如图1，△ADE为等边三角形，AD∥EB，且EB＝DC，求证：△ABC 为等边三角形．（2）相信你一定能从（1）中得到启示并在图2中作一个等边△ABC，使三角形的三个定点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，（l1∥l2∥l3且这三条平行线两两之间的距离不相等）．请你画出图形，并写出简要作法．（3）①如图3，当所作△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l2、l3、l1上时，如图所示，请结合图形填空：a：先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC＝，连AC、BC，则△ABC即为所求．b：证明△ABC为等边三角形时，可先证明≌从而为证明等边三角形创造条件．②若使等边△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l3、l1、l2上时，请在图4中用类似的方法作出图形，并将构造的全等三角形用阴影标出．（只需画出图形，不要求写作法及证明过程）45．（2022秋•盘龙区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一点，且∠ABD＝60°，BD+DC ＝AB．求证：∠ACD＝60°．46．（2022秋•雨城区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？47．（2022•饶平县校级模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）48．（2022秋•濠江区校级期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．49．（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？50．（2022秋•东海县校级期中）为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC．思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知：△ABD是三角形；（2）同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝，且CE＝CD，可知；（3）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为两条线段相等，即＝；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：。
等腰三角形经典练习题及详细答案
等腰三角形练习题一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数3、AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数CFDA4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数BBDC7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题：8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O求证：AE+CD=ACABCDAD FEABCDE12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=EDECA BDE1 2 ABCD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BDABDFECBD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDHADCEF一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36°3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°CFDAB4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数设∠A为x∠A=71805. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数设∠ADE为x∠EDC=∠AED－∠C=15°BB2xx－15°6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1所以∠F =∠1=30°7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AEDFABCDE由AC=AB+BD,得DE=EC,所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,CBAD EPAD FEBOABC DEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ， 在AC 上取点F ，使CF=CD得△BDE 与△CDF 均为等边三角形， 只需证△ADF ≌△AEDACFACEFABC DEF13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FGECA BDE1 2FF16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD由△AHE ≌△BCE,得BC=AH18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30° 求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E 可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF 得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DCABDFE CBD19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH 延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF, 由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥BCDFABDCEFHG 12 M。
三角形相似证明基础50题
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求 证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上 点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方 向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
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三角形相关计算与证明练习题
姓名：
☆1、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，
四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则
AC的长为（）
A．
B．4cm C
．D．
☆2、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC
上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为．
1题2题3题
☆3、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落
在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．
☆☆4、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；
②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．
4题5题6题
☆5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 900, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以
AC
2
的长为半径作圆, 将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为
cm2（结果保留π）
6、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是 .
7、如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD
=3，则EF的长是
7题8题
8、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，
BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为．
9、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC
的延长线上，且∠CBF=
1
2
∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（
2）若AB=5，sin∠BC和BF的长．
10、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD
于点E，交CB于点F
（1
）求证：CE=CF．
A
D
E
O
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
11、如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM＝AN．12、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
13、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
图7。