《一笔画里的数学秘密》
小学三年级奥数-一笔画问题
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。 欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
画一画，找一找
下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出
根据今天学习知识，先判断下列图形能不能一笔画成？再想一想该从哪里开始画？最后再动手画画看。
练习
一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
菜市场
小广场
园林工人张大伯为花园浇花，怎样走才能不重复地走遍图中的每条小路？
演讲完毕，感谢观看
邮递员叔叔向10个地点送信一次走完，不走重 复路，应该怎样走合适?(看下图)
文具店
超市
电器城
服装城
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
甲
邮局
乙
下面的图能不能一笔画成？如果能，应怎样画？ 2、3、4、5、6六个点都是两条线的交点，是偶点，7是四条线的交点，，也是偶点，没有奇点，能一笔画成。
两条相交的线处都有一个交点。
数一数下列图形各有几个交点？
（ ）个
（ ）个
（ ）个
（ ）个
我们刚才画的图形都有几个交点？几个双数点？几个单数点？
判断下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
连通的图形有可能一笔画
《有趣的小学数学—一笔画》
【知识点】1、七桥问题：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
这个问题在很长一段时间里，都没有解决。
后来大数学家欧拉证明了这个问题的不可能性，把它转化成一个几何问题，即一笔画问题。
2、奇点与偶点：凡是从一个点出发有奇数条线的点，叫做奇点；凡是从一个点出发有偶数条线的点，叫做偶点。
3、欧拉定理：（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完。
画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）奇点的个数一定为偶数，奇点个数超过两个的图形不能一笔画，所需的最少笔数等于奇数点的个数除以2。
例题1：下面这些图形是否能一笔画？能一笔画的打“√”，不能画的打“×”。
（）（）（）（）（）【答案】×，×，√，√，√例题2：用标数法判断下图是否能一笔画，如果哪个图形可以一笔画，就请并标出它的起点和终点。
【答案】前两个图形，以任一偶点为起点，最后以这个点为终点；后两个图形以任意一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
例题3：（1）下面两个图形均不能一笔画成，你能将原图形中的某一线段去掉，使它可以一笔画吗？【解析】（1）去掉AC、AD、AE任意一个即可；（2）去掉AB（答案不唯一）；（3）去掉AG（答案不唯一）（2）下列各图形能不能一笔画成，如果不能，至少添上几笔，就能使整个图形一笔画完？【答案】（1）不能，至少添加1笔；（2）不能，至少添加2笔。
【解析】图（1）共有4个奇点，留下两个奇点，这样只要将其中两个奇点之间连一条线段，就把4个奇点变成2个奇点了，这样就能使整个图形一笔画完，所以至少需要添加1笔，就能使整个图形一笔画完；图（2）共有6个奇点这样只要将其中4个奇点之间连两条线段，就把6个奇点变成2个奇点了，这样就能使整个图形一笔画完了，所以至少只需要添加2笔，就能使整个图形一笔画完。
让学生学会“数学地想”--《好玩的一笔画》教学实录及解析
让学生学会“数学地想”*——《好玩的一笔画》教学实录及解析□李铁安张惠云这节课是以数学家欧拉解决“哥尼斯堡七桥问题”为史料背景展开的。
本节课不仅要让学生探究一笔画图形的规律，还要让学生经历一个发现提出问题和分析解决问题的完满的过程，并在探索的过程中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界”。
【教学过程】环节一：创作及判断图形能否一笔画——明确何为一笔画教师在屏幕上动态展示一笔写出“好玩”两个字的过程（如图1）。
师：同学们请看！这两个字认识吗？生：认识！是“好玩”两个字。
生：我发现“好玩”这两个字是一笔写出来的。
师：一笔连着写出“好玩”两个字，确实挺好玩。
今天让我们一起来学习“好玩的一笔画”。
大家请看，我用一笔创作了一个图形，这是什么？（生答，略）师：是的，老师用一笔画出了一个向上指的箭头。
你们能用一笔画出怎样的图形呢？自己试一试！（学生交流各自的作品，如图2）图2师：哦！这么多图案都能用简单的一笔就画出来，你们的想象和创意都很独特。
下面同学们再认真看看这些图形（出示图3）。
想一想，试一试，能一笔画吗？①②③④⑤⑥图3生：第①个图形能一笔画，我是这样画的（从圆点处起笔）。
生：我还有其他的画法，这样画也是可以的（从圆点处起笔）。
生：我再试试其他两个点，都不行。
师：你们是从每个点开始尝试一笔画的，这个想法挺好。
生：第②个图形和第⑤个图形从哪个点开始画都行，只要绕着所有的线走一圈就可以啦！师：从哪个点画都行！你的发现太美妙了！生：第③个图形也能一笔画，从这两个点开始都是可以的。
师：是啊，这个图形能一笔画，也确实只有这两个点能走通。
生：第④个图形我尝试了所有的点，无论从哪个点开始都不能一笔画，大家看。
（展示图片，如图4）图4图1*本文系中国教育科学研究院2019年基本科研业务费专项资金项目“推进数学文化进课堂的实践研究”（项目批准号：GYI2019041）的阶段成果。
生：第⑥个图形也不能一笔画，怎么画都少一条线。
一笔画
一笔画问题
—— 刘 涛
18世纪，瑞士著名的数学家欧拉找到了一笔画的规律：能一笔画成的图形上的点，除了起点与终点以外，每个点都应该与偶数条线相连，这种点叫偶数点。
与奇数条线相连的点叫奇数点。
能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。
数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。
一笔画的概念是讨论某图形是0否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
二．判断
一．七桥问题
三．生活应用
【题目】：下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、人口应该设在哪里？
【解析】：
要使游客走遍每一条路而又不重复，也就是一笔画出上图，公园的出入口就是一笔画的起点和终点。
观察图形，图中只有I 和E 两个奇点（每个点连接3条线），因此公园的出入口应设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。
四．小试牛刀。
世界数学难题——一笔画
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
有趣的一笔画问题
精心整理有趣的一笔画问题一笔画问题的提出：我们从生活提出一笔画问题。
为了更好的解决这个问题，一笔画是一个大问题，希望在这他为了检查几个城市之间的若干公路，我们先看一个公路检查员的问题：使他能不重复地恰好通过每条公路些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线一次，而经过每个城市的次数不限。
这就是拓扑学中的数学问题一笔画的含这种图形就叫一笔画如果用笔在纸上连续不断又不重复一笔画成某种图形下面的画能一笔画成，你也试着描一描，画一画吧那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？那我们就要一起学习一笔画的规律。
传统意义上的几何学其实一笔画是一个几何问题，一个图形由一笔构成叫一笔画。
通常的几而对于平面图形的一笔画与多笔画问题，是研究图形的形状大小等性质，何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状和线段的长我们可以随而是与图形中线段的数目及连接关系有关，短等几何概念都没有关系，意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。
即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画问题是一个简单的数学游戏，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日'和‘中'字都可以一笔画一笔画成，在日本动画片一休中，是采用对折纸张的方法画的，而‘田'和‘目'则不能。
( 出‘田'和‘目'的一笔画）也是可取之处。
一笔画图形的规律和判别：精心整理欧拉最终证明了这个图著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。
并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的形是不能一笔画成的，判别法则。
连通图就是指一个图形各部分总是欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
小学奥数—奇妙的一笔画
知识点拨
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次， 不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？ 下面，我们就来探求解决这个问题的方法．
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于 任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用 n 笔画成．
【例 17】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
A
E
D
G
H
B
C
F
【例 18】 如图所示，某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为 260 米的菱形和十 字交叉的两条道路组成．一天，王大爷 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果
【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一 次不重复地走遍这七座桥？
【例 21】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
数学人教版六年级下册微课教案：《一笔画里的数学秘密》
微课教案：《一笔画里的数学秘密》一、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级下册，解决七桥问题中的“一笔画”规律。
二、教学目标1．通过“一笔画”问题及其结论的了解，使学生对点、线有进一步的认识，来解决一些实际问题。
2．通过探究“一笔画”规律的活动，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
三、教学流程设计及意图1、导语：同学们，今天老师跟你们分享一个画画里的数学秘密，下面请同学们跟老师一起画一画吧！2、讲述“一笔画”的含义a.下笔后笔尖不能离开纸。
b.每条线都只能画一次而不重复、不遗漏。
3、探究“一笔画”的规律a.不连通的图形不可以一笔画b.连通的图形有可能可以一笔画（1）画一画9个连通的图形能否都一笔画成？发现图2、3、7可以一笔画成，图4、5、8不能一笔画成，但是图1、6、9有的同学可以一笔画成，有的同学不能一笔画成。
（2）“一笔画”与奇、偶点的关系通过以图1为例，继续探究能否一笔画成与出发点的位置有关，引出奇、偶点概念。
a.奇点：有奇数条边相连的点b.偶点：有偶数条边相连的点（3）填表格老师让学生自己完成两个表格的奇、偶个数。
同时，让学生观察“一笔画”与奇偶点个数之间的关系。
（4）总结“一笔画”的规律老师引导学生一起总结出“一笔画”的规律。
如下：规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关，其个数是0或2.规律3：如果有0个奇点，那么每个点都能作为起点；如果有2个奇点，那其中一个必为起点，另一个必为终点。
4、“一笔画”的历史和应用介绍数学家欧拉解决“七桥问题”发现的“一笔画”规律。
同时，介绍了现在生活中“一笔画”的影子。
用“一笔画”规律设计出来的唯美图画。
5、结束语世界是美的，只要有一双发现美的眼睛；数学是美的，只要有一颗发现美的心灵。
同学们，这就是老师今天要告诉大家画画里的数学秘密，你学会了吗？谢谢大家观赏！四、教学设计流程图课题：一笔画里的数学秘密1、导语2、讲述“一笔画“的含义连通图3、探究“一笔画”的规律画一画填一填总结“一笔画”的规律4、“一笔画”的历史和应用5、结束语。
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一笔画图片欣赏
一笔画图片欣赏
世界是美的， 只要有一双发现美的眼睛； 数学是美的， 只要有一颗发现美的心灵。
规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图； 规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关，其个数是0或2.
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一 条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两 岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的 居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不 重复地走过所有七座桥，再回到出图5
让我们先来了解两个新概念
1、奇点：有单数条边相连的点
● ●
●
2、偶点：有双数条边相连的点
● ● ●
图形与点的关系
图形 奇点个数 偶点个数
能一笔画的图形
图形 奇点个数 偶点个数
2个 2个
3个 4个
0个 0个
10个
8个
判断下面图形是不是一笔画的图形？
“一笔画图”的规律
人教版小学数学六年级下册七桥问题
《一笔画里的数学秘密》 一笔画里的数学秘密
北京师范大学厦门海沧附属学校 录制者：苏洪霞
一笔画：
1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不重复、不遗漏。
和老师一起画
1、老师可以一笔画出来， 你们能做到吗？
2、动脑筋！这个图形可 以一笔画出来吗？
不连通的图形不能一笔画