新课标-最新苏科版九年级数学上学期《一元二次方程》复习测试题及答案-精编试题
苏科版九年级上数学期末复习试卷四(一元二次方程)
初三数学期末复习四（一元二次方程）一、基础练习1.方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则____m =. 2.已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 .3．若2x 2－3xy －20y 2=0，且 y ≠0， 则x y= _________. 4．关于x 的方程0)12(2=++-a x a x 的根的情况（ ）（A ）有一个实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个不等的实数根5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝10356．已知αβ，为方程2420x x ++=的两实根，则=-+βαα32 ． 7．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为_________.8.如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为_________。
9．解方程：①22)25(96x x x -=+- ②2410x x +-=（配方法） ③22(1)5(1)20x x ---+=二、例题精讲例1：（1）若关于x 的方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
（2）m 取何值时，关于x 的方程mx 2+2(m －1)x+ m －3=0有两个实数根?例2：已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．例3：学校广场有一段25米长的旧围栏（如图中用线段AB 来表示）。
苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》 综合知识点分类训练 【含答案】
苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》综合知识点分类训练一．一元二次方程的定义1．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．2．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？二．一元二次方程的一般形式3．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．4．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为一般式后为3x2+2x﹣1＝0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．三．一元二次方程的解5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（）A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间7．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（）A．2017B．2018C．2019D．20208．已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝，b ＝．9．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝．10．已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．四．解一元二次方程-直接开平方法11．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n ＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，512．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．五．解一元二次方程-配方法13．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．2x2﹣4x＝5C．x2+4x＝5D．x2+2x＝514．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4＝0的根．六．配方法的应用15．下列各式：①x2+2x+6＝（x+1）2+5；②；③；④；⑤变形中，正确的有（）A．①④B．①C．④D．②④16．对关于x的二次三项式x2﹣4x+9进行配方得（x+m）2+n．（1）填空：m＝，n＝．（2）当x为何值时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+x＝﹣，…第一步x2+x+（）2＝﹣+（）2…第二步（x+）2＝…第三步x+＝（b2﹣4ac＞0）…第四步x＝…第五步（1）嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的求根公式是．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．八．解一元二次方程-因式分解法18．解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法19．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（）A．3B．﹣4C．8D．3或820．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是．21．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是．22．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程2x2﹣5x+3＝0的根，求三角形的周长．23．已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？九．换元法解一元二次方程24．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣5或1B．﹣1或5C．1D．525．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣1十．根的判别式26．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③27．关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜且n≠0 B．n＞C．﹣≤n＜且n≠0 D．﹣＜n≤且n≠0 28．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k 的值为（）A．10B．C．10或D．29．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④30．已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac31．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F 是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为（）A．﹣B．3﹣C．1+D．3十一．根与系数的关系33．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．34．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？十二．一元二次方程的应用35．某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（）A．B．x（x﹣1）＝2256C．（x﹣1）2＝2256D．x（x+1）＝225636．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人37．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？38．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．39．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？40．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？答案一．一元二次方程的定义1．解：由题意，得m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，解得m＝3，m的值是3．2．解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或或，解得k＝﹣1或k＝0．故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1．故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式3．解：方程（2+x）（3x﹣4）＝5整理为一般式可得3x2+2x﹣13＝0，∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，故3、2、﹣13．4．解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c＝0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0，则，解得，∴a2+b2﹣c2＝9+16＝25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．三．一元二次方程的解5．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．6．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a+＝2（a2﹣2a）+＝2×1+＝2+．∵4＜5＜9，∴2＜＜3．∴4＜2+＜5．即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．故选：A．7．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．故选：C．8．解：因为x＝＝﹣1，代入x2+ax+b＝0得（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，则a+（﹣a+b）＝2﹣6，可得方程组，解得．故2，﹣4．9．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，则原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）＝2021﹣2＝2019．故2019．10．解：∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，∴a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，∴＝＝＝＝﹣3．四．解一元二次方程-直接开平方法11．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．12．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故x3＝0，x4＝﹣3．五．解一元二次方程-配方法13．解：A．由x2﹣2x＝5得x2﹣2x+1＝5+1，不符合题意；B．由2x2﹣4x＝5得x2﹣2x＝，所以x2﹣2x+1＝+1，不符合题意；C．由x2+4x＝5得x2+4x+4＝5+4，符合题意；D．由x2+2x＝5得x2+2x+1＝5+1，不符合题意；故选：C．14．解：解不等式x+1＜3x﹣3，得：x＞2，解不等式3（x﹣4）＜2（x﹣4），得：x＜4，则不等式组的解集为2＜x＜4，∵x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，则x﹣1＝±，∴x＝1或x＝1﹣，∵2＜x＜4，∴x＝1．六．配方法的应用15．解：①x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，变形正确；②，变形错误；③原式＝（x+）2+，变形错误；④，变形正确；⑤+，变形错误；故选：A．16．解：（1）x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，∴m＝﹣2，n＝5，故﹣2，5；（2）由题意可得，x2﹣4x+9＝7，解得，x1＝2+，x2＝2﹣，当x为或2﹣时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x＝；故四；x＝；（2）x2﹣2x＝24，配方得：x2﹣2x+1＝24+1，即（x﹣1）2＝25，开方得：x﹣1＝±5，解得：x1＝6，x2＝﹣4．八．解一元二次方程-因式分解法18．解：由于方程中一次项系数时无理数，所以，解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是公式法，故选：C．19．解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合题意，舍去）；∴x＝3．故选：A．20．解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，故6．21．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，故14．22．解：解方程2x2﹣5x+3＝0得：x＝1.5或1，当x＝1.5时，三角形的三边为1，2，1.5，此时三角形的三边符合三角形三边关系定理，即三角形的周长为1+2+1.5＝4.5；当x＝1时，三角形的三边为1，2，1，此时三角形的三边不符合三角形三边关系定理，即三角形不存在；所以三角形的周长为4.5．23．解：x2﹣9＝3﹣x，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣4，x2＝3，即当x为﹣4或3时，y1＝y2．九．换元法解一元二次方程24．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．即x2﹣2x+1的值为1．故选：C．25．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．十．根的判别式26．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4a≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4a＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．27．解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，解得﹣≤n＜且n≠0，故选：C．28．解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，解得：k＝10，∴原方程为x2﹣7x+10＝0，∴x1＝2，x2＝5，长度为2，5，5的三条边能围成三角形，∴k＝10符合题意；当5为底边长时，△＝（﹣7）2﹣4k＝0，解得：k＝，∴原方程为x2﹣7x+＝0，∴x1＝x2＝，长度为，，5的三条边能围成三角形，∴k＝符合题意；综上，k的值为10或，故选：C．29．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：A．30．解：设y＝ax2+bx+c，∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0∴方程ax2+bx+c＝0有实数根，即b2﹣4ac≥0．由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b，∴﹣b＞b，即b＜0，又∵ab＜0，∴a＞0．故选：A．31．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．32．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵C C2∥DE，C C2＝DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D＝C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF＝1﹣，∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．故选：B．十一．根与系数的关系33．解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．34．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．十二．一元二次方程的应用35．解：若这个班有x个学生，则每名同学要送出贺卡（x﹣1）张，又因为是互送相片，所以总共送的张数应该是x（x﹣1）＝2256．故选：B．36．解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则第一轮传染了x人，第二轮传染了（x+1）x人，根据题意得：1+x+（x+1）x＝121，解得：x＝10或x＝﹣12（舍去）．故选：B．37．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．38．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，依题意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值为50．39．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．40．解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．整理，得x2﹣35x+34＝0．解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米。
苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》(难题)单元测试(一)(有答案)
苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》（难题）单元测试（一）一、选择题1.关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k≥9B. k<9C. k≤9且k≠0D. k<9且k≠02.已知正数a，b是关于x的一元二次方程x2−4x−m2+2m+1=0的两个实数根，若a，b为菱形对角线的长，菱形的面积存在最大值，则m的值为()A. 2B. −1C. 1D. 任何实数3.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2+4m−5=0的一个根为0，则m的值为()A. 1B. −5C. 1或−5D. m≠1的任意实数4.已知菱形ABCD的边长为方程x 2−9x+20=0的一个根且一条对角线长为8，则菱形ABCD的周长为()A. 16B. 32C. 20D. 16或205.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中，ac≠0，a≠c，下列四个结论中错误的是()A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数B. 如果4是方程M的一个根，那么1是方程N的另一个根4C. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两符号也相同D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=16.如果关于x的一元二次方程x2−px+q=0的两个根分别x1=−3,x2=2，那么p,q的值分别是()A. 1，−6B. −1，−6C. −1，6D. 1，67.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中错误的是()A. 当a>0，c<0时，方程一定有实数根B. 当c=0时，方程至少有一个根为0C. 当a>0，b=0，c<0时，方程的两根一定互为相反数D. 当ac>0时，方程的两个根同号，当ac<0时，方程的两个根异号8.在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=16m，BD=12m，动点M从点A出发沿AC方向以2m/s的速度匀速直线运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动．若点M，N同时出发，△MON的面积为1m2时，则运动时间不可能为()A. (5+√2)sB. (5−√2)sC. 5sD. (5+√3)s9.已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为()A. 0B. 1C. 3D. 不确定10.ΔABC的三边长都是方程x2−6x+8=0的解，求此三角形的周长()A. 12B. 10或12或8或6C. 10D. 12或10或6二、填空题11.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−4=0的两根，则(x1−1)(x2−1)=．12.已知x1、x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根，且x1+x2=−2，x1⋅x2=1，则b a=_____ ．13.在一块长为35m，宽26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850m2，设小路的宽为Xm，根据题意列方程_____14.关于x的方程(k−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____________．15.某钢铁厂去年1月某种钢发产量为2000吨，3月上升到2420吨，这两个月平均每月增长的百分率为x，列方程为．16.已知方程x2−2x−5=0的两个根是m和n，则2m+4n−n2的值为______ ．三、解答题17.关于x的一元二次方程x2+4x+2m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若x1，x2是一元二次方程x2+4x+2m=0的两个根，且x12+x22=9，求m的值．18.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元，第二周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元．(1)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为________(用x的关系式表示)．(2)求这批旅游纪念品第二周的销售价格．19.阅读题例，解答下题：例：解方程x2−|x|−2=0(1)当x≥0时，x2−x−2=0，解得：x1=−1(不合题意，舍去)，x2=2(2)当x<0时，x2+x−2=0，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=−2综上所述，原方程的解是x=2或x=−2依照上例解法解方程x2−|x−1|−1=0．20.已知关于x的方程x2−2√2(k−1)x+2k2−2k−10=0．(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若以方程x2−2√2(k−1)x+2k2−2k−10=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰的图象上，求满足条件的m的最小值．在反比例函数y=mx21.阅读下面的材料：例题：解方程x4−5x2+4=0。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》练习题-带答案
苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》练习题-带答案基础巩固提优1.用公式法解一元二次方程3x²−4x=8时，化方程为一般式，当中的a、b、c 依次为( ).A. 3、一4、8B. 3、4、8C. 3、4、—8D. 3、—4、—82.以x=b±√b2−4c2为根的一元二次方程可能是( ).A.x²+bx+c=0B.x²+bx−c=0C.x²−bx+c=0D.x²−bx−c=03.把方程53x+13=x2−13化为一般形式是 ,其中 a= ,b= ,c=,b²−4ac=,方程的根是x₁=。
4.定义新运算“*”，规则为a∗b={a(a≥b),b(a<b),如3∗1=3,(−√5)∗√2=√2若x²+x−1=0的两根为x₁、x₂,则.x₁∗x₂= 5.用公式法解下列一元二次方程：(1)5x²+2x−1=0;(2)5x²−10x=−5。
6.解方程：(1)x²+2x−5=0;(2)2x²−3x−6=0;(3)10x²−9x+2=0;(4)6x²−4x+7=0。
7.当x为何值时，代数式5x²−x的值与4x—2的值互为相反数.思维拓展提优8. 下列方程适合用公式法解的是( ).A.(x−3)²=2B.325x²−326x+1=0C.x²−100x+2500=0D.2x²+3x−1=09.方程2x²−6x−1=0的负数根为 .10.已知a²+ab−b²=0且ab≠0,则 ba的值为 .11.用公式法解下列一元二次方程：(1)x2+118=23x;(2)3x²−2=2x。
(3)(x+1)(x—3)=1.12. 解关于x 的方程:(m−1)x²+2mx+m+3=013.对于实数a、b，新定义一种运算“※”:(a※b={ab−b2(a≥b),b2−ab(a<b),例如:∵4>1,∴4※1=4×1--1²=3.(1)计算:2※(--1)= ,(--1)※2= ;(2)若x₁和x₂是方程.x²−5x−6=0的两个根且x₁<x₂,,求x₁※x₂的值;(3)若x※2与3※x 的值相等,求x的值.14.有长为 30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)，围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB)的矩形花圃，设花圃的一边 AB 为x 米，面积为y 平方米. (1)用含x 的代数式表示y ；(2)如果要围成面积为 63 平方米的花圃，AB 的长是多少?(3)能围成面积为 78平方米的花圃吗? 若能，求出AB 的长；若不能，请说明理由.延伸探究提优15.欧几里得的《几何原本》中记载了形如 x²−2bx +4c²=0(b ⟩2c >0)的方程根的图形解法：构造 Rt△BAC ，AD 为斜边中线，且 AD =12BC,作AE⊥AD,与BC 的延长线交于点E.设DE=b,AE=2c,则 x²−2bx +4c²=0较小的根是( ).A. BD 的长度B. CE 的长度C. AC 的长度D. AE 的长度 16.请阅读下列材料：我们规定一种运算： |a c bd |=ad −bc,例如： |2345|=2×5−3×4=10−12=−2,按照这种运算的规定，请解答下列问题. (1)直接写出 |−12−20.5|的计算结果；(2)当x取何值时，|x0.5−x12x|=0;(3)若直接写出x 和y的值.17.如图,在△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC,垂足为D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以 AB、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D 的对称点分别为点E、F,延长EB、FC 相交于点G,求证:四边形 AEGF 是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.中考提分新题18.一元二次方程x²+4x−8=0的解是( ).A.x1=2+2√3,x2=2−2√3B.x1=2+2√2,x2=2−2√2C.x1=−2+2√2,x2=−2−2√2D.x1=−2+2√3,x2=−2−2√3参考答案1. D [解析]3x²−4x=8,化为一般式为3x²−4x−8=0,则a=3,b=—4,c=—8.故选D.2. C [解析]由题意，可知二次项系数为1，一次项系数为--b,常数项为c.故选 C.3.3x²-5x-2=0 3 —5 —2 49-1324−1+√52[解析]x²+x−1=0∵a=1,b=1,c=-1∴△=1-4×(-1)=5>0.∴x=−b±√b2−4ac2a =−1±√52.∴x1=−1+√52,x2=−1−√52.∴−1+√52>−1−√52,∴x1∗x2=−1+√52.5.(1)x1=−1+√65,x2=−1−√65(2)x₁=x₂=16.(1)x1=−1+√6,x2=−1−√6(2)x1=3+√574,x2=3−√574(3)x1=25,x2=12(4)∵△=(−4)²−4×6×7=−152<0;∴原方程无解.7.由题意，得5x²−x+4x−2=0,即5x²+3x−2=0,∴x=−3±√9+4010=−3±710,∴x1=−1,x2=25.故当x=--125₅时，代数5x²−x的值与4x—2的值互为相反数.8. D [解析]根据方程的特点及各方法的优缺点解答即可.A.此方程适合直接开平方法求解；B.此方程不适合用公式法求解；C.此方程适合配方法求解；D.此方程适合公式法求解.9.3−√11210.1±√52 [解析]由题意，得a≠0，等式两边同除a²，得1+ba−(ba)2=0令ba=t,则t²−t−1=0,解得t=1±√52,故ba=1±√52.11.(1)整理,得18x²−12x+1=0,∴△=144-4×18×1=72∘x=12±√722×18=2±√26.∗x1=2+√26,x2=2−√26.(2)整理,得3x²−2x−2=0,∴△=(−2)²−4×3×(−2)=28>0.∴x=2±√282×3=1±√73.∴x1=1+√73,x2=1−√73.(3)x1=1+√5,x2=1−√512.当m-1=0,即m=1时,方程为一元一次方程,解得x=-2;当m—1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程①当Δ>0,即4m²-4(m--1)(m+3)>0时,解得m<32,此时x1=−m+√3−2mm−1x2=−m−√3−2mm−1;②当△=0,即m=32时此时x₁=x₂=−3;③当Δ<0,即m>32时，方程无解.解后反思本题考查了分类讨论的思想，考虑问题要全面.13.(1)—3 6 [解析]由题意,得2※(—1)=2×(-1)-(-1)²=-2-1=-3;(-1)※2=2²-(-1)×2=4+2=6.(2)解方程x²−5x−6=0,得x₁=−1,x₂=6,所以x₁※a x₂=(−1)×6=6²−(−1)×6=42.(3)当x<2时,2²−2x=3x−x²整理得x²−5x+4=0解得x₁=1,x₂=4(舍去);当2≤x≤3时,2x−2²=3x−x²整理，得x²−x−4=0,解得x1=1+√172,x2=1−√172(舍去);当x>3时,2x−2²=x²−3x整理，得.x²−5x+4=0解得x₁=1(舍去)x₂=4。
2020年苏科版九年级数学上学期第一章《一元二次方程》测试卷(含答案)
第一章《一元二次方程》 一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.1122=+xx B.ax 2+bx+c=0 C 、x(x+2)=(x-1)(x-2) D. （x-1）(x+2)=1 2已知关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根是2，则k 的值是（ ）A.-2B.2C.1D.-13. 若一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-44. 一元二次方程5x 2-7x+5=0的根的情况为（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为（ ）A.（22-x ）(17-x)=300B.(22-x)(17-x)-x 2=300C.(22-x)(17-x)+x 2=300D.22×17-x 2=3006. 若分式3652-+-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A.3 B.2 C.3或2 D.-37.已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长为方程（x-2）(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为（ ）A.11B.11或13C.13D.以上选项都不正确8. 若方程()2519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C.5a -是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根 二、填空题：（每小题3分，共30分）9.若方程kx 2+x=3x 2+1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是 .10. 如果a+b+c=0,则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0,一定有一个根是 .11.若将方程x 2+6x=7化为（x+m ）2=16，则m= .12.已知方程4x 2=（1-x ）2，则x= .13. 已知关于x 的方程x ²－23x －k =0有两个相等的实数根，则k 的值为14.已知一个一元二次方程的根是3和-4，那么这个方程是 （写出一个符合要求的方程即可）.15.若（a 2+b 2+1）2=9,则a 2+b 2= .16.若关于x 的一元二次方程（2a+6）x 2+4x+2a 2-18=0的一个根是0，则a= .17. 已知x m =时，多项式2x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为 ．18.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．三、解答题：（共96分）19.（共20分）用适当方法解下列方程：（1）x²-2x-624=0 （2）4x 2-5x+1=0（3）4（2x-1）2-9(x+1)2=0 (4)x-3=4(x-3)220.（8分）已知实数m 是关于x 的方程2x 2-3x-1=0的一根，求代数式4m 2-6m-2017的值.21.（8分）对于二次三项式x 2-10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于10，你同意他的说法吗？说明你的理由.22.（8分）已知：关于x 的方程01222=-++m mx x 。
苏科版数学专题复习《一元二次方程》中考试题精选
苏科版数学专题复习《一元二次方程》中考试题精选一．选择题（共11小题）1．若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（）A．±2 B．±4 C．2 D．42．若x2﹣2x﹣5＝0的一个解为a，则a（2a﹣3）+a（1﹣a）的值为（）A．5 B．2√6+4C．√6D．﹣5 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6y+2＝0 B．ax2﹣bx+c＝0 C．1x2+x=2D．x2＝04．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.585．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝827．若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或18．若一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1 且k≠0 C．k≤1 D．k＜﹣19．解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法10．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5 11．某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降．原来每件产品的成本是1600元，两个月后降至900元，若产品成本的月平均降低率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．1600（1﹣x ）2＝900B ．1600（1﹣2x ）＝900C ．1600（1﹣x 2）＝900D ．1600（1﹣x ）＝900 二．填空题（共5小题）12．一元二次方程x 2+3x +1＝0的根的判别式的值为 ．13．已知a ，b 是一元二次方程x 2+5x ﹣3＝0的两个根，则1b +1a 的值为 ． 14．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x 元，则可列方程为 ．15．若实数a 、b 分别满足a 2﹣3a +2＝0，b 2﹣3b +2＝0，且a ≠b ，则1a +1b = ．16．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共4小题）17．据统计，目前某市5G 基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G 基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G 基站数最将达到17.34万座．（1）计划到2023年底，全市5G 基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市5G 基站数量的年平均增长率．18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知12是关于x 的方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．①求k的值；②求△ABC的周长．19．已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．20．按照指定方法解下列方程：（1）3x2﹣4x+1＝0（配方法）；（2）2x2−2√2x+1=0（公式法）；（3）3x（x﹣2）＝2x﹣4．。
2022-2023学年苏科版数学九年级上册《一元二次方程的解法》练习题
1.2 一元二次方程的解法（练习题）-苏科版数学九年级上册一．选择题1．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（）A．2B．C．﹣D．2．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或83．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．D．3或4．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（）A．非负数B．0C．正数D．负数5．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（）A．3，12B．﹣3，12C．3，6D．﹣3，67．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥0且a≠1C．a＞0D．a＞0且a≠1 8．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（）A．6B．8C．10D．129．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；②B﹣A≥2；③若A+B＝2，A•B＝﹣6，则A﹣B＝±8；④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；⑤代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031的最小值为2022．以上结论正确的为（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①④⑤10．欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2﹣2bx+4c2＝0（b＞2c＞0）的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，以B为圆心，BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（）A．CE的长度B．CD的长度C．DE的长度D．AE的长度二．填空题11．若实数x满足2x2+5x+++1＝0，则x2+＝．12．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．已知等腰三角形的腰长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，其底边长为6，则底边上的高长为．14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是．15．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是．三．解答题16．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．17．先化简，再求值：+÷（x+2y+），其中x、y满足x2+2x+10+y2﹣6y＝0．18．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．19．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）当x＝时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为．20．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为．（2）求代数式x2+10x+32的最小值．（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴b2a＝2﹣2＝．故选：D．2．【解答】解：①当m＝n时，∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，解得，a＝8，∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，解得：m＝n＝3，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；②m＝4或n＝4时，∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，∴42﹣6×4+a+1＝0，解得：a＝7，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，解得：m＝2，n＝4，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8．故选：D．3．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，分为两种情况：①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，所以第三边长为3或，故选：D．4．【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．5．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．6．【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，∴x2﹣6x＝﹣3，则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，∴x＝﹣3，b＝6，故选：D．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，解得a≥0，又∵a﹣1≠0，∴a≥0且a≠1，故选：B．8．【解答】解：4x+＝4x﹣4++4＝4（x﹣1）++4，∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，∴4x+的最小值是8．故选：B．9．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，∴n＝±2，故结论正确；②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，而（x+1）2+2n2≥0，∴B﹣A≥2，故结论正确；③∵A+B＝2，A•B＝﹣6，∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，∴A﹣B＝±8，根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；⑤5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A•B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，当A＝3，B＝2时有最小值为2022，但是根据②B﹣A≥2，∴结论错误．故选B．10．【解答】解：∵x2﹣2bx+4c2＝0，∴x2﹣2bx＝﹣4c2，则x2﹣2bx+b2＝b2﹣4c2，∴（x﹣b）2＝b2﹣4c2，∴x﹣b＝±，∴x1＝b+，x2＝b﹣，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，∴BC＝＝，∴方程较大的根为AB+BC＝AB+BE＝AE的长度，故选：D．二．填空题11．【解答】解：∵2x2++5x++1＝0，∴2x2+4++5x+﹣3＝0，∴2（x2+2+）+5（x+）﹣3＝0．∴2（x+）2+5（x+）﹣3＝0．∴[2（x+）﹣1][（x+）+3]＝0．∴x+＝或x+＝﹣3．∴（x+）2＝或（x+）2＝9．∴x2+2+＝或x2+2+＝9．∴x2+＝﹣（不合题意舍去）或x2+＝7．故答案为：7．12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．13．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x﹣3＝0或x﹣4＝0，若腰长为3，此时三边长度为3、3、6，不符合三角形三边关系；若腰长为4，此时三边长度为4、4、6，符合三角形三边关系；底边长的高的长度为＝，故答案为：．14．【解答】解：x2﹣8x﹣5＝0，x2﹣8x＝5，x2﹣8x+42＝5+42，（x﹣4）2＝21，所以a＝﹣4，b＝21，故答案为：﹣4，21．15．【解答】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝或x＝4，当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．三．解答题16．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x﹣＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣．17．【解答】解：原式＝+×，＝+×，＝+，＝，化简x2+2x+10+y2﹣6y＝0得，（x+1）2+（y﹣3）2＝0，∵（x+1）2、（y﹣3）2均大于或等于0，∴（x+1）2、（y﹣3）2均等于0，解得：x＝﹣1，y＝3，代入得：原式＝﹣．18．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m＝，故答案为：．19．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案为：﹣2；4．20．【解答】解：（1）（x﹣1）2+3的最小值为3．故答案为：3；（2）x2+10x+32＝x2+10x+52﹣52+32＝（x+5）2+7，∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7，∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，∴x2+10x+32的最小值为7；（3）﹣+2x+5＝﹣（x2﹣6x+9）+8＝﹣（x﹣3）2+8，∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+8≤8，∴代数式﹣+2x+5有最大值，最大值为8；（4）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，∴y＝x2﹣7x+11，∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+2≥2，当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，∴x+y的最小值为2．。
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九上第一章《一元二次方程》复习
（满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题（16分）
1．若x ＝1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2
＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是 ( ) A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2
2．方程x(x －2)＋x －2＝0的解是 ( ) A ．x ＝2
B ．x ＝－2或1
C ．x ＝－1
D ．x ＝2或－1
3．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是 ( ) A ．x 2
＋2x －4＝0 B ．x 2
－4x ＋4＝0 C ．x 2＋4x ＋10＝0
D ．x 2
＋4x －5＝0
4．已知关于x 的方程kx 2
＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是 ( ) A ．当k －0时，方程无实数解 B ．当k ＝1时，方程有一个实数解 C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解 'D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解
5．若关于x 的一元二次方程（a －1）x 2
－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是 ( ) A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
6．如果三角形的两边长分别是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点所得到的三角形的周长可能是 ( ) A ．5.5
B ．5
C ．4.5
D ．4
7．如果关于x 的一元二次方程kx 2
－21k x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ( )
A ．k<
1
2 B ．k<
1
2且k ≠0 C ．－12≤k<1
2
D ．－12≤k<1
2
且k ≠0
8.由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元连续两次下降a%，售价下调到每斤5元，下列所列方程正确的是( )
A．12(1＋a%)2＝5 B．12(1－a%)2＝5
C．12(1－2a%)2＝5 D．12(1＋a2%)2＝5
二、填空题（20分）
9．若方程x2－x＝0的两个根分别为x1，x2 (x1<x2)，则x2－x1＝_______．
10.若关于x的方程x2－2x－m＝0有两个相等的实数根，则m＝_______．
11.若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝_______．
12.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_______．
13.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．如果设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是_______．
14．已知一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程_______．
15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a＝_______．
16.已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个
结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x2
1＋x2
2
<a2＋b2．其中正确结论的序号是_______．
17．若设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x＋2014x2－2013＝
18.若关于x的一元二次方程x2－mx＋5(m－5)＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1＋x2＝7，则m的值是_______．
三、解答题(64分)
19.（6分）(1)解方程：x2－4x＋1＝0．
(2)解方程：x2＋3x＋1＝0．（配方法）
20.（6分）已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2．
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2<－1，且k为整数，求k的值．
21．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”的赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22.（5分）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532m2，那么小道
进出口的宽度应为多少？
（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
23.（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x(x>40)元，请你分别用含x的代数式来表示销售量y（件）和销售该品牌玩具获得的利润w（元），并把结果填写在下面的表格中．
(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，则该玩具的销售单价x应定为多少元？
24．(6分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，
(1)试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
(2)能使矩形花园的面积为450m2吗？
25.（8分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销
量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降1元，可多售出50个，但售价不得低于进价）．单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果销售这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
26．（8分）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
27.(8分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点
B到墙的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点B将向
外移动多远？
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整．
解：设点B将向外移动xm，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7，A1C＝
AC－AA1＝22
－0.4＝2.
2.50.7
而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B2
1
得方程___________________________________，
解方程得x1＝_______，x2＝_______，所以点B将向外移动_______m.
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
28．(9分)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论解决下列问题：
(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求a b
b a
的值；
(3)已知a，b满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
参考答案
1.B
2.D
3.0
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.1
10.－1
11.－1
12.44%
13.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
14.x2－5x＋6＝0
15.－4
16.①②
17.2014
18.6
19.(1)x1＝2＋3，x2＝2－3(2)x1＝－3
2+5
2
，x2＝－
3
2
－5
2
20．(1)k≤0 (2)k的值为－1和0
21.(1)10% (2)13310元
22.1m
23.(1)－10x2＋1300x－30000 (2)x＝50或80
24．(1)可以围成AB的长为15m，BC的长为20m的矩形(2)不能25．9元
26.(1)a的值是24 (2)12，9，8，7
27.(1)(x＋0.7)2＋4＝2.52－2.2 0.8
(2)①不会是0.9m ②有可能．
28．(1)nx2＋mx＋1＝0（n≠0）(2)47 (3)4。