高考常考的超越函数 双曲函数
x 1 ln x
x (x 1)2
，
再令 v(x)
x 1 ln x
x ，则 v(x)
1 x2
1 x
1 x x2
．
当 x 1时，有 v(x) 0 ， v(x) v(1) 0 ． u(x) 0 ．
所以 u(x) ln x 在 x 1时，为减函数． x 1
当 e e1 a e 时， ln a ln e ，即 ae1 ea1 ；
在 (0,) 上单调增函数；
奇偶性：偶函数； 最小值：1．
3．双曲正切函数 tanh x e x ex 的图象和基本性质 ex ex
定义域： R ； 值域： (1,1) ；
单调性：增函数； 奇偶性：奇函数；
反函数： tanh1 x 1 ln 1 x 2 1 x
三．重要关系
1．商数关系： tanh x sinh x ； cosh x
⑦
x
f (x) bg(x) (1 b) 等价于 f (x) bxg(x) (1 b)x
⑧
x
设函数 h(x) f (x) cxg(x) (1 c)x ，
由⑤⑥，有 h(x) f (x) cxg(x) cg(x) (1 c)
g(x) cxf (x) cg(x) (1 c) (1 c)[g(x) 1] cxf (x) ， 当 x 0时， （1）若 c 0 ，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为增函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑦成立 （2）若 c 1，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为减函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑧成立 ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b)
余弦函数满足 ch(x y) chxchy shxshy ． 请你类比此关系式，写出关于双曲正、余弦
பைடு நூலகம்
函数的一个新关系式
．
【解析】这是一道类比推理题．考生可以有很多新关系式可以填，例如
sh(x y) shx chy chx shy ，
当然要保证符号不错，考生用类比的方法找到关系式后，需要简单的证明．
f (x) g(x) ex
①
得： f (x) g(x) ex
②
联立①②解得 f (x) 1 (e x ex ) ， g(x) 1 (e x ex )
2
2
当 x 0 时， e x 1 ， 0 ex 1，故 f (x) 0
③
又由基本不等式，有 g(x) 1 (e x ex ) e xex 1，即 g(x) 1 ④ 2
2
a 1 e 1
当 a e 时， ae1 ea1 ； 当 a e 时， ln a ln e ，即 ae1 ea1 ．
a 1 e 1
【命题立意】本题所给函数 f (x) e x ex 正是双曲余弦函数的 2 倍．涉及双曲函数的奇
偶性、单调性和导数的应用，也是一道综合性较强的试题．
此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．
查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切
函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．
例 2.【 2015 年新课标Ⅰ第 13 题】若函数 f (x) x ln(x a x2 ) 为偶函数，则 a 【解析】因为函数 f (x) x ln( x a x2 ) 为偶函数，
tanh 2x 2 tanh x 1 tanh2 x
四．导数性质
1． (sinh x) cosh x ；
2． (cosh x) sinh x
3． (tanh x) 1 tanh2 x
五．高考试卷中的双曲函数
例 1.【
2009 年山东理科第 6 题】函数 y
ex ex
ex ex
的图像大致为
t(x) (6x)(ex ex ) (3x2 3)(ex ex )
(3x2 3)(e x ex ) (x3 3x)(e x ex )
(x3 9x)(e x ex ) ．
在 x [1,) 上， (x3 9x)(ex ex ) 存在零点 x 3 ．
当1 x 3 时， t(x) 0，此时 t(x) t(1) 0 ， h(x) 0 ，
x 综合⑦⑧，得 ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b) .
x
【命题立意】本题正是一道较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的试题．涉及双曲函数 的奇偶性、单调性、值域和导数性质，是一道综合性较强的试题．
例 4.【 2014 年江苏第 19 题】已知函数 f (x) e x ex ，其中 e 为自然对数的底数．
高考常考的超越函数—双曲函数
戴又发
双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学 教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生 研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考 数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
（2）因为 x (0,) 时， f (x) ex ex 2 exex 2 ， 原不等式可变为 m[ f (x) 1] ex 1，即 m[ex ex 1] ex 1，
命题转化为：关于
x
的不等式
m
ex
ex 1 ex 1
在
(0,)
上恒成立．
令
g(x)
ex 1 ex ex 1
，
则 g(x) 1 ex
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) 1 (e x ex ) ， g(x) 1 (e x ex )
2
2
f (x) 1 (e x ex ) g(x) ， ⑤ 2
g(x) 1 (e x ex ) f (x) ， ⑥ 2
当 x 0时， f (x) ag(x) (1 a) 等价于 f (x) axg(x) (1 a)x ，
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
1 tanh x tanh y 5．二倍数公式： sinh 2x 2sinh x cosh x
cosh 2x cosh2 x sinh 2 x 2cosh2 x 1 2sinh2 x 1
由 f (x) f (x) x ln(x a x2 ) [x ln(x a x2 )] 0 ， 得 ln(x a x2 ) ln(x a x2 ) 0 ，
ln(a x2 x2） ln a 0 ．所以 a 1 ． 【命题立意】本题已知函数 f (x) x ln( x a x2 ) 为偶函数，能得到函数 g(x) ln(x a x2 ) 应为奇函数，而函数 ln(x 1 x2 ) 正是双曲正弦函数 e x ex
2．平方关系： cosh2 x sinh 2 x 1 3．加法公式： sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
1 tanh x tanh y 4．减法公式： sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
定义域： R ； 值域： R ；
单调性：增函数； 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；
零点： x 0；
反函数： sinh 1 x ln(x 1 x2 ) ．
2．双曲余弦函数 cosh x e x ex 的图象和基本性质 2
定义域： R ； 值域：[1,) ；
单调性：在 (,0) 上单调减函数；
1
ex
，
ex ex 1
(ex 1)2 3
24
当 x ln 2 时， g(x) 取得最小值 1 ， 3
所以实数 m 的取值范围为 m 1 ． 3
（3）要比较 ea1 与 ae1 的大小，需先找到正数 a 的范围．
将
f
(x0 )
a(x03
3x0
)
化为
1 a
x03 3x0 e x0 e x0
h( x) m
a
x
h(1)
e
2 e1
．
当 x 3 时， h(x) 0 ，
所以 1 a
h(x)max
2 e e1
，即 a
e e1 2
．
要比较两正数 ea1 与 ae1 的大小，只需比较 (a 1) ln e 与 (e 1) ln a 的大小．
作函数 u(x)
ln x x 1
，则
u
(
x)
（1）证明： f (x) 是 R 上的偶函数；
（2）若关于 x 的不等式 mf (x) ex m 1在 (0,) 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3）已知正数 a 满足：存在 x0 [1,) ，使得 f (x0 ) a(x03 3x0 ) 成立，试比较 ea1 与
ae1 的大小，并证明你的结论． 【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 R ，又 f (x) ex ex f (x) ， 所以， f (x) 是 R 上的偶函数．
y
y
y
1
O1
x
1 O1 x
1 O1 x
y
1
O1
x
D
A
B
C
【解析】函数有意义，需使 ex ex 0 ，其定义域为x | x 0，排除 C，D，又因为
y
ex ex
ex ex
e2x e2x
1 1 1
e2
2 x
1
，所以当
x
0 时函数为减函数，故选
A．
答案：A．
【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考
高中数学双曲线常用二级结论
高中数学双曲线常用二级结论什么是双曲线？双曲线是一种函数图形，它是代数曲线中的一种，由经验公式y=a/x所定义，其中x和y均为实数，a为正常数，x不等于0。
双曲线有两条渐近线，它们与横轴的夹角为+/-45度，与纵轴的夹角为0度。
双曲线的形状呈现两条分离的曲线，这些曲线在图形中心相交，从而分离成两个分支。
双曲线的基本图形如下所示。
在数学中，双曲线具有广泛的应用。
它们可以用于估计斜率和角度，催化反应，评估化学反应和蒸汽轮机热力学等方面。
因此，高中数学教育中，双曲线是一个重要的主题。
下面将介绍一些关于双曲线常用二级结论的知识点。
1. 集中组成单胞双曲线常用二级结论的第一个知识点是：单胞可以由两个集中组成。
在双曲线上，我们可以定义一个“单胞”，它是双曲线上的一个面积单位。
一般地，单胞可以由两个集中组成。
单胞可被定义为椭圆和双曲线的交集所构成的图形。
如果我们仔细研究双曲线的图形，我们会发现它由两个分支组成。
这两个分支之间的夹角是一个重要的几何量，可以用来计算单胞的面积。
2. 平行轴切线相等双曲线的第二个常用二级结论是：双曲线上任意两个平行于其中一条渐近线的切线长度相等。
这个结论非常有用，因为它可以用来解决许多和双曲线有关的问题。
例如，如果我们知道了两条平行于渐近线的切线，那么我们就可以计算出这些切线的长度。
这个结论是由于双曲线的形状导致的。
3. 线段的长度与双曲线的距离比例这一结论的具体形式如下：如果我们从一个点x到双曲线上的两条分支的距离为h(x)，线段的长度为l(x)，那么h(x)/l(x)是一个常数，即与x无关。
这个关系可以被用来证明角度的迹线。
例如，如果我们想要找到从双曲线上一个点观察到的最小角度，我们可以在该点处画一条切线，然后将切线向上和向下平移，直到它们与双曲线的两个分支相交。
然后，我们可以应用上述比例关系来计算角度的迹线，从而找到角度的最小值。
4. 焦点、顶点和焦率的关系双曲线上很重要的一个概念是焦点、顶点和焦率。
双曲正切函数
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c
（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2
∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c
∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c
sinh /双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh /双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh /双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth /双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲函数常用公式
称为映射 f 的值域，记作 R f .
X
f
Y
y( f ( x ))
x
注意： （1）应区别 f 与 f ( x )。
（2） 对任何一个 x X 都有且仅有一个像 y f ( x ) Y ， 即像是惟一的。 （3）对于某个 y Y,如果在映射 f 之下在 X 中有原像，
则其原像可能不止一个，即原像不一定是惟一的。
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
例1 公共电话收费。在公共电话亭打市内电话，每 3分钟收费0.4元，不足3分钟按3分钟收费，这 样便规定了打电话用时t与费用S的关系：
为奇函数 .
ch x
双曲余弦
o
x
e x e x 又如, y f ( x) 2
记
奇函数
e
x
y
e y sh x
o
x
sh x 双曲正弦
奇函数
y 1
x
sh x e x e x x 再如, y ch x e e x
记
th x 双曲正切
o 1
y th x x
双曲函数常用公式
如果原像是唯一的， 即对于 X 中的任何两个不同元 素 x1 x2 ，他们的像 y1 和 y2 也满足 y1 y2 ，则称映射 f 为单射。若映射 f : X Y 满足 R f Y ，则称映射 f 为 满射。如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一 映射（一对一） 。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全1. 引言双曲线是数学中一类重要的曲线，具有许多有趣的性质和应用。
本文将总结双曲线的相关公式，包括双曲函数的定义、性质、常用公式以及双曲线方程的标准形式等内容，旨在帮助读者更好地理解和应用双曲线在数学和物理中的重要性。
2. 双曲函数定义与性质双曲函数是定义在双曲线上的函数，常用的双曲函数有双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）等。
它们与三角函数有着一些相似的性质，但也有一些不同之处。
双曲函数的定义如下：•双曲正弦函数：$sinh(x) = \\frac{e^x-e^{-x}}{2}$•双曲余弦函数：$cosh(x) = \\frac{e^x+e^{-x}}{2}$•双曲正切函数：$tanh(x) = \\frac{sinh(x)}{cosh(x)}$双曲函数的性质包括：•双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数，双曲正切函数是奇函数；•双曲正弦函数和双曲余弦函数的和差等于双曲函数的积；•双曲正切函数的导数为双曲余弦函数的平方减一。
3. 双曲线方程的标准形式双曲线的标准形式方程为：$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b是双曲线的参数。
根据参数的取值不同，双曲线可以分为以下三种情况：3.1 双曲线的中心在原点当双曲线的中心位于坐标原点时，方程可以简化为：$\\frac{x^2}{a^2} -\\frac{y^2}{b^2} = 1$。
此时，双曲线的焦点坐标为$(\\pm c, 0)$，其中$c =\\sqrt{a^2 + b^2}$。
3.2 双曲线的中心不在原点当双曲线的中心不位于坐标原点时，方程可以表示为：$\\frac{(x-h)^2}{a^2} - \\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(ℎ,k)是双曲线的中心坐标。
此时，双曲线的焦点坐标可以通过平移中心坐标得到。
常用函数公式及函数汇总
常用函数公式及函数汇总在数学和统计学中，常用函数公式是非常重要的工具，可以用来求解各种问题。
下面是一些常见的函数及其公式的汇总。
1.线性函数：线性函数是最简单的函数之一，其函数公式为：y = ax + b，其中a和b是常量。
线性函数的图像是一条直线。
2.幂函数：幂函数是通过变量的幂指数来定义的函数。
常见的幂函数有：y=x^n，其中n是常量。
通过改变幂指数n，可以得到不同的幂函数。
3.指数函数：指数函数是以常量为底数的函数，其函数公式为：y=a^x，其中a是常量。
指数函数的图像是一个逐渐上升或下降的曲线。
4.对数函数：对数函数是指以常量为底数的对数的函数形式，其函数公式为：y = log_a(x)，其中a是常量。
对数函数的反函数是指数函数。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
常见的三角函数公式包括：y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)等。
6.反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。
常见的反三角函数包括：y = arcsin(x)，y = arccos(x)，y = arctan(x)等。
7.指数对数函数：指数对数函数是指指数函数和对数函数的组合。
常见的指数对数函数包括：y = e^x，y = ln(x)等。
8.双曲函数：双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
常见的双曲函数公式包括：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等。
9.上下取整函数：上取整函数是指取不小于给定实数的最小整数。
下取整函数是指取不大于给定实数的最大整数。
常见的上下取整函数符号分别为：⌈x⌉和⌊x⌋。
10.组合函数：组合函数是指两个或多个函数的组合。
常见的组合函数公式包括：y=f(g(x))，其中f和g是两个函数。
11.超越函数：超越函数是指不能通过有限次代数运算得到的函数。
常见的超越函数有：指数函数、对数函数、三角函数等。
12.变换函数：变换函数是指通过特定的变换关系得到的新函数。
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数是一种常见的数学函数，在几何图形和函数有很多应用。
双曲函数能表示级数封闭形成，是一种方便可靠的表示形式。
在微积分学中，级数封闭形的应用很广，如傅里叶级数和拉普拉斯级数等等。
几何图形上也有很多应用，使得空间图形的描绘更加精确和清晰。
双曲函数形式描述类似如下：y=a/b*cosh(x/b)。
其中，a为函数在原点处的加权因子，b为函数图像弯曲因子，cosh为双曲函数。
双曲函数表示级数封闭形和式，需要满足四个条件：一是双曲函数主值无穷大；二是双曲函数的变量单位长度，双曲函数在每个变量单位长度上的变化量都是恒定的；三是变量的变化趋势，变量变化的趋势必须保持一致；四是级数封闭形，双曲函数的变量有上限，参数变量的级数封闭形态。
双曲函数表示级数封闭形和式，可用于几何图形的描绘中，可以起到非常好的参考作用。
它对于函数的研究也有很多的帮助，有助于精确地描绘函数性质和变化趋势，以识别重要的函数表解析几何关系。
总之，双曲函数表示级数封闭形和式，是一种方便可靠的表示形式，在微积分学和几何图形等方面，都有很多应用，可以用来表示几何图形更加精确和清晰，以及拓展函数学研究，是一种重要的数学工具。
高考常考的超越函数—双曲函数
高考常考的超越函数—双曲函数戴又发双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.一．定义我们定义函数2sinh x x e e x --=为双曲正弦函数．函数2cosh xx e e x -+=为双曲余弦函数．函数 xx xx ee e e x --+-=tanh 为双曲正切函数． 并将它们统称为双曲函数．二．双曲函数的图象与基本性质1．双曲正弦函数2sinh xx e e x --=的图象和基本性质定义域：R ； 值域：R ； 单调性：增函数；奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； 零点：0=x ； 反函数：)1ln(sinh21x x x ++=-．2．双曲余弦函数2cosh xx e e x -+=的图象和基本性质定义域：R ； 值域：),1[+∞； 单调性：在)0,(-∞上单调减函数； 在),0(+∞上单调增函数； 奇偶性：偶函数； 最小值：1．3．双曲正切函数xx xx e e e e x --+-=tanh 的图象和基本性质定义域：R ； 值域：)1,1(-； 单调性：增函数； 奇偶性：奇函数； 反函数：xxx +-=-11ln21tanh 1三．重要关系 1．商数关系：xxx cosh sinh tanh =；2．平方关系： 1sinh cosh 22=-x x3．加法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅+⋅=+y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅+⋅=+ yx yx y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅++=+4．减法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅-⋅=-y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=- yx yx y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅--=-5．二倍数公式：x x x cosh sinh 22sinh ⋅=1sinh 21cosh 2sinh cosh 2cosh 2222+=-=+=x x x x xxxx 2tanh 1tanh 22tanh +=四．导数性质1． x x cosh )(sinh ='； 2．x x sinh )(cosh =' 3．x x 2tanh 1)(tanh -='五．高考试卷中的双曲函数例1.【 2009年山东理科第6题】函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 【解析】函数有意义，需使0xxe e--≠，其定义域为{}0|≠x x ，排除C ，D ，又因为22212111x x x x x x xe e e y e e e e --++===+---，所以当0x >时函数为减函数，故选A ． 答案：A ．【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．例2.【 2015年新课标Ⅰ第13题】若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 【解析】因为函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，由0)]ln([)ln()()(22≡++---++=--x a x x x a x x x f x f ， 得 0)ln()ln(22≡++-+++x a x x a x ，1x y 1OA xyO 11B xyO 1 1 C x y 1 1 DO0ln ln(22==-+a x x a ）．所以1=a ．【命题立意】本题已知函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，能得到函数)ln()(2x a x x g ++=应为奇函数，而函数)1ln(2x x ++正是双曲正弦函数2x x e e --的反函数，且为奇函数，故1=a ．本题的根仍为双曲函数．例3. 【 2015年湖北文科卷21】设函数)(x f ，)(x g 的定义域均为，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，x e x g x f =+)()(，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求)(x f ，)(x g 的解析式，并证明：当0>x 时，0)(>x f ，1)(>x g ； （Ⅱ）设，，证明：当时，)1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+. 【解析】（Ⅰ）由)(x f ，)(x g 的奇偶性及x e x g x f =+)()(①得： xe x g xf -=+-)()( ②联立①②解得)(21)(x x e e x f --=，)(21)(x x e e x g -+= 当0>x 时，1>x e ，10<<-x e ，故0)(>x f ③又由基本不等式，有1)(21)(=>+=--x x x xe e e e x g ，即1)(>x g ④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得)(21)(x x e e xf --=，)(21)(x x e e x g -+= )()(21)(x g e e x f x x=+='-， ⑤ )()(21)(x f e e x g x x=-='-， ⑥ 当0>x 时，)1()()(a x ag xx f -+>等价于x a x axg x f )1()()(-+>， ⑦)1()()(b x bg xx f -+<等价于x b x bxg x f )1()()(-+< ⑧ 设函数x c x cxg x f x h )1()()()(---= ，由⑤⑥，有)1()()()()(c x cg x g cx x f x h ---'-'='R 0x >0a ≤1b ≥0x >)(]1)()[1()1()()()(x cxf x g c c x cg x cxf x g ---=----=，当0>x 时，（1）若0≤c ，由③④，得0)(>'x h ，故)(x h 在),0[+∞上为增函数，从而0)0()(=>h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+>，故⑦成立（2）若1≥c ，由③④，得0)(<'x h ，故)(x h 在),0[+∞上为减函数，从而0)0()(=<h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+<，故⑧成立)1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+ 综合⑦⑧，得 )1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+. 【命题立意】本题正是一道较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的试题．涉及双曲函数的奇偶性、单调性、值域和导数性质，是一道综合性较强的试题．例4.【 2014年江苏第19题】已知函数xxe e xf -+=)(，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：)(x f 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式1)(-+≤-m ex mf x在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立，试比较1-a e 与1-e a 的大小，并证明你的结论．【解析】（1）函数)(x f 的定义域为R ，又)()(x f e e x f x x=+=--，所以，)(x f 是R 上的偶函数．（2）因为),0(+∞∈x 时，22)(=>+=--x x xx e e e e x f ，原不等式可变为1]1)([-≤--xex f m ，即1]1[-≤-+--x x x e e e m ，命题转化为：关于x 的不等式11-+-≤--xx x e e e m 在),0(+∞上恒成立． 令 11)(-+-=--x x x e e e x g ，则43)21(111)(2+--=-+-=--xxxxxe e e e e x g ，当2ln =x 时，)(x g 取得最小值31-， 所以实数m 的取值范围为31-≤m ． （3）要比较1-a e 与1-e a 的大小，需先找到正数a 的范围．将)3()(0300x x a x f +-<化为000331x x ee x x a -++-<． 令 xx e e x x x h -++-=3)(3，),1[+∞∈x ，条件等价于max )(1x h a <． 由 232)())(3())(33()(x x x x x x e e e e x x e e x x h ---+-+--++-='，再令))(3())(33()(32xxxxe e x x e e x x t ---+--++-=．+-+-++-='--))(33())(6()(2x x x x e e x e e x x t))(3())(33(32x x x x e e x x e e x --+-+--+ ))(9(3x x e e x x -+-=．在),1[+∞∈x 上，))(9(3x x e e x x -+-存在零点3=x ．当31<≤x 时，0)(<'x t ，此时0)1()(<<t x t ，0)(<'x h ， 1m a x 2)1()(-+==ee h x h ． 当3≥x 时，0)(<x h ，所以1max 2)(1-+=<e e x h a ，即21-+>e e a ．要比较两正数1-a e 与1-e a 的大小，只需比较e a ln )1(-与a e ln )1(-的大小．作函数1ln )(-=x x x u ，则2)1(ln 1)(---='x xx x x u ， 再令x x x x v ln 1)(--=，则22111)(xx x x x v -=-='． 当1>x 时，有0)(<'x v ，0)1()(=≤v x v ．0)(<'x u ．所以1ln )(-=x xx u 在1>x 时，为减函数． 当e a e e <<+-21时，1ln 1ln ->-e e a a ，即>-1e a 1-a e ； 当e a =时， =-1e a 1-a e ； 当e a >时，1ln 1ln -<-e ea a ，即<-1e a 1-a e ．【命题立意】本题所给函数xxee xf -+=)(正是双曲余弦函数的2倍．涉及双曲函数的奇偶性、单调性和导数的应用，也是一道综合性较强的试题．此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．例 5.在工程技术中，常常用到双曲正弦函数2xx e e s h x --=和双曲余弦函数2xx e e c h x -+=，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余弦函数有y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+成立．而关于双曲正、余弦函数满足shxshy chxchy y x ch +=+)(． 请你类比此关系式，写出关于双曲正、余弦函数的一个新关系式 ．【解析】这是一道类比推理题．考生可以有很多新关系式可以填，例如shy chx chy shx y x sh ⋅-⋅=-)(，当然要保证符号不错，考生用类比的方法找到关系式后，需要简单的证明． 其实考生可以利用双曲正、余弦函数的奇偶性，在所给关系式中用y -代替y ，得到y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=-也可以将替y 换成x ，得到x x x 22sinh cosh 2cosh +=等等．双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生，适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力，搞定那些雷人的高考题是非常必要的．。
高考数学中的圆锥曲线双曲线图像特征
高考数学中的圆锥曲线双曲线图像特征圆锥曲线作为高考数学中的核心内容之一，双曲线是其中的重要一种。
在高考数学中，我们经常会涉及到双曲线图像的特征，包括图形的对称性、渐进线、离心率以及焦点等等。
下面，笔者就具体介绍一下高考数学中的圆锥曲线双曲线图像特征。
一、双曲线的定义在坐标系中，若平面上的点P(x,y)到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值为定值2a（a>0），则称P(x,y)所代表的点是一个双曲线上的点。
在此前提下，该曲线称为双曲线。
二、双曲线的图像特征1. 对称性：双曲线分为两支，其确切的分界线称为双曲线的渐近线。
双曲线的渐近线为两支双曲线的交点。
同时，与x轴和y轴的交点分别为A、B点，双曲线的两个准线为l1、l2。
易知，l1、l2、x轴、y轴分别为双曲线的四条对称轴。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指双曲线两支所逐渐趋向的直线。
一般而言，双曲线的两支曲线的渐近线分别为y=±ax和x=±a。
其中，+a和-a是双曲线的顶点。
需要注意的是，双曲线无公共渐近线。
3. 离心率：与椭圆相似，双曲线也有离心率。
其定义为c/a（c>0）, 其中c是两个定点F1和F2到双曲线的顶点的距离之差，a是顶点所在直线与双曲线的横轴的距离之一半。
当离心率大于1时，双曲线称为超越双曲线；当离心率等于1时，双曲线称为平面双曲线。
4. 焦点：与椭圆相同，双曲线也有两个焦点，分别为F1和F2。
对于给定的双曲线，其两个焦点的坐标可以通过根据双曲线的方程和离心率运用数学公式推导得到。
三、实例分析以下示例为一个由函数f(x) = 1/2√(25+x^2)和g(x) = -1/2√(25+x^2)分别组成的双曲线。
根据上述特征及相应的公式，我们可以画出该函数的图像，并分析其各种特征。
首先，我们可以看到图像的两支分别趋向于y=x/2和y=-x/2的直线，这两条直线便是其渐近线。
其次，我们可以根据其方程计算出其离心率为1.2；同时，根据离心率与方程的关系，我们还可以通过提取开方和加减运算后得到该双曲线的两个焦点的坐标。
经典数学函数图像(大全)
经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。
当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。
2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。
正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。
5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。
当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。
6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。
当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。
8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。
当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。
经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。