江苏省常州市高一上学期期末数学试卷
2023-2024学年江苏省常州市高一上学期期末学业水平监测数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末学业水平监测数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}2|650,3A x x x B x x =++<=<-，则() U A B ð为（）．A ．()3,1--B ．[)3,5-C ．[)3,1--D ．∅【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式求集合A ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：{}{}{}2|65051,|3U A x x x x x B x x =++<=-<<-=≥-ð，则()[) 3,1U A B =--I ð.故选：C.2．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-【正确答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于12cos 13α=，且α为第四象限角，所以5sin 13α==-，sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D3．下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D4．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A．B．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D5．设函数()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()3f a >，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.【详解】当0a ≤时，则()33af a -=>，即1a ->，解得1a <-；当0a >时，则()11221log 3log 8f a a =>=，解得108a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.6．函数()1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.【详解】函数()1x f x x =-的定义域为1x ≠±，(),0111,011xx x x x f x xx x x x ⎧>≠⎪⎪-==⎨-⎪<≠-⎪--⎩且且(2)20f =>，排除BC 选项，(2)20f -=-<，排除D 选项.故选：A7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A ．36平方米B ．48平方米C ．64平方米D ．72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()160060064000x y xy ++≤，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()640001600600600x y xy xy ≥++≥+.0t =>，则26003200640000t t +-≤()()2003408008t t t ⇒+-≤⇒<≤，即64xy ≤，当且仅当8x y ==时取等号.故选：C8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式可以是（）．A ．()2cos3x g x =B ．()π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()5π2sin 612x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】先根据图象求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象变换求()g x .【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象可得：311ππ3π2,41264A T ==-=，可得2ππT ω==，解得2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+∵函数()f x 图象过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，由ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ5π,366ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故ππ32ϕ+=，解得π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到1π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到()1ππ1π2sin 2sin 32633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.方法点睛：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定（1）A 由最值确定，max min2y y A -=；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．二、多选题9．下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A ．63cos y x =-B ．2427x x y +=-+C ．229sin 4sin y x x=+D ．e 94ex xy =+【正确答案】ABD【分析】对A ：根据余弦函数的有界性分析运算；对B ：换元结合二次函数分析运算；对C ：换元结合对勾函数分析运算；对D ：利用基本不等式分析运算.【详解】对A ：∵[]cos 1,1x ∈-，则[]63cos 3,9y x =-∈，故63cos y x =-的最小值为3，当且仅当cos 1x =时取到最小值，A 正确；对B ：令20x t =>，则()22242747233x x y t t t +=-+=-+=-+≥，故2427x x y +=-+的最小值为3，当且仅当2t =，即1x =时取到最小值，B 正确；对C ：令(]2sin 0,1t x =∈，且94y t t=+在(]0,1上单调递减，故113|4t y y =≥=，故229sin 4sin y x x =+的最小值为134，C 错误；对D ：e 934e x x y =+≥=，当且仅当e 94e x x =，即ln 6x =时等号成立，故e 94ex x y =+的最小值为3，D 正确.故选：ABD.10．下列不等式中，正确的有（）．A ．1113332.12 1.8<<B ．0.90.8.80.80.8 1.20<<C ．420.5log 9log 5log 0.1<<D ．π2π4πsinsin sin 777<<【正确答案】BCD【分析】对A ：根据幂函数单调性分析判断；对B ：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C ：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D ：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.【详解】对A ：13y x =在()0,∞+上单调递增，则1113332.12 1.8>>，A 错误；对B ：0.8y x =在()0,∞+上单调递增，则0.8.80.8 1.20<，0.8x y =在R 上单调递减，则0.90.80.80.8<，故0.90.8.80.80.8 1.20<<，B 正确；对C ：2121420.5222log 9log 3log 3,log 0.1log 10log 10--====，2log y x =在()0,∞+上单调递增，则222log 3log 5log 10<<，故420.5log 9log 5log 0.1<<，C 正确；对D ：sin y x =关于直线π2x =对称，则4π4π3πsin sin πsin 777⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π2π3ππ,0,7772⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π3πsin sin sin 777<<，故π2π4πsinsin sin 777<<，D 正确.故选：BCD.11．关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z D ．关于x 的方程()1f x =的解集为π2π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【正确答案】AC【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.【详解】由题意可得：()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；对B ：令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调增区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C ：令()ππ2π32x k k -=-∈Z ，解得()ππ212k x k =-∈Z ，故()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z ，C 正确；对D ：令()π2sin 213f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()ππ22π36x k k -=-∈Z 或()π7π22π36x k k -=+∈Z ，解得()ππ12x k k =+∈Z 或()3ππ4x k k =+∈Z ，可得关于x 的方程()1f x =的解集为ππ12x x k ⎧=+⎨⎩或3ππ,4x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，D 错误.故选：AC.12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()log a g x f x x =-（其中1a >）恰有3个不同的零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】根据题意分析函数()f x 的性质，将零点问题转化为()y f x =与log a y x =的交点问题，数形结合，列式运算即可.【详解】∵()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，又∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，又∵()()()222f x f x f x +=---=--+，即()()220f x f x ++-+=，故函数()f x 关于点()2,0对称，令()()log 0a g x f x x =-=，则()log a f x x =，原题等价于()y f x =与log a y x =有3个交点，且()log 1a y x a =>的定义域为()0,∞+，如图所示，则可得log 51log 911a a a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得59a <<，故B 、C 正确，A 、D 错误.故选：BC.方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题13．给定3个条件：①定义域为R ，值域为[]22-,；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【正确答案】()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.【详解】对于函数()2sin πf x x =的定义域为R ，()[]2sin π2,2f x x =∈-，即()f x 的值域为[]22-,，符合①；函数()2sin πf x x =的最小正周期2π2πT ==，符合②；()()()2sin π2sin πf x x x f x -=-=-=-，即()f x 是奇函数，符合③；综上所述：()2sin πf x x =符合题意.故答案为.()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）14．已知函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，则实数a 的值为__________．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，所以()2212121x x x xx x xa a a f x ---⋅-===+++，则有22x x a =，所以a =故答案为15．设函数()()2ln 1f x x x =++，使()()211f a f a +<-成立的充要条件是a I ∈（其中I 为某区间），则区间I =__________．【正确答案】()2,0-【分析】根据题意判断()f x 的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.【详解】∵()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，故函数()f x 在定义域内为偶函数，当0x ≥时，则()()2ln 1f x x x =++在[)0,∞+上单调递增，故()f x 在(],0-∞上单调递减，若()()211f a f a +<-，等价于211a a +<-，等价于()()22211a a +<-，整理得220a a +<，解得20a -<<，则使()()211f a f a +<-成立的充要条件是()2,0a ∈-，即()2,0I =-.故答案为.()2,0-16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】9【分析】根据题意列不等式20.030.0013n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过n 次过滤后该溶液的杂质含量为12130.03,33％nnn *⎛⎫⎛⎫-⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，则20.030.10.0013％n⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22331lg 30lg 3lg10lg 31log log 308.392230lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3n ++≥=-=--=≈--，∵n *∈N ，则n 的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．四、解答题17．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【正确答案】(1)4(2)7【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log22log 212log 2927ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.18．已知二次函数()21f x ax bx =++，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22x xf m ≥⋅对[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2,3a b ==-(2)(,3⎤-∞⎦【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；（2）换元12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据恒成立问题利用参变分离可得123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）由题意可得：方程210ax bx ++=的两根为1,12，且0a >则032112a b a a ⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，故2,3a b ==-.（2）由（1）可得()2231f x x x =-+，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2231t t mt -+≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，故123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，∵123323t t +-≥=，当且仅当12t t =，即1,222t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时成立，∴3m ≤，即实数m的取值范围为(,3⎤-∞⎦.19．已知角θ是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin θ，cos θ，tan θ的值；(2)求()()πsin tan sin π2cos θθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值．【正确答案】(1)343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-(2)32-【分析】（1）利用三角函数的定义求出cos θ，再根据同角三角关系求sin θ，tan θ；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：4cos 5θ=-，且角θ是第二象限角，则3sin 3sin ,tan 5cos 4θθθθ====-，故343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-.（2）由（1）可得：3tan 4θ=-，则()()πsin tan sin πcos tan sin 2sin 322tan cos cos cos 2θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⋅+⎝⎭====--.20．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，π2ϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx5π1211π12()sin A x ωϕ+0505-0(1)请将上表数据补充完整，并求函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．【正确答案】(1)()π5sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表格见详解；(2)π12【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；（2）利用三角函数的平移变换原则可得π()5sin(22)3g x x θ=+-，根据整体代入法可得π22πZ,3x k k θ+-=∈，解方程即可求解.【详解】（1）根据表中的数据，得5A =，11π5ππ,212122T =-=2ππ,2T Tω∴=∴==，又5πππ2,1223ϕϕ⨯+=∴=-，函数的解析式为()5sin(2).3f x x π=-分别令π20,23π,x π-=，依次解得6π2,63π7,x π=数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ65π122π311π127π6sin()A x ωϕ+0505-0所以函数的解析式为()5sin(23f x x π=-；（2）由（1）知π()5sin(2)3f x x =-得π()5sin(223g x x θ=+-，因为函数sin y x =图像的对称中心为Z ,0()k k π∈，令π22πZ,3x k k θ+-=∈，解得ππ,Z 26k x k θ=+-∈.因为函数()y g x =图像的一个对称中心为7π(,0)12，所以ππ7π,Z 2612k k θ+-=∈，解得π5π,Z 212k k θ=-∈.由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值为π12.21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，定义域均为R ，且()()1233x xf xg x +-+=-．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)判断()g x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)解关于x 的不等式()28029g x x +<．【正确答案】(1)()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.(2)函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明见详解.(3)(11---+【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；(2)利用指数函数的单调性判断函数为R 上的增函数，然后利用定义即可证明；(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.【详解】（1）由()()1233x xf xg x +-+=-①可得：()()1233x x f x g x -+-+-=-，又因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()1233x xf xg x -+--=②，①+②可得：()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.（2）函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明如下：设任意的12,R x x ∈，且12x x <，则2111221212121212331()()3333(33)(33)(1)33x x x x x x x x x x x x x x g x g x --++--=--+=--=-+，因为12x x <，所以12121330,103x xx x +-<+>，则12()()0g x g x -<，所以12()()<g x g x ，故函数()33x x g x -=-在R 上单调递增.（3）因为()33x x g x -=-，所以180(2)999g =-=，则不等式()28029g x x +<可化为()22(2)g x x g +<，由（2）可知：函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，所以222x x +<，解得：11x -<<-，所以不等式()28029g x x +<为(11---+.22．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在R 上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，且对任意x ∈R ，都有()()20g x g x ++=．(1)求使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合；(2)求证：()g x 为周期为4的周期函数，并直接写出．．．．()g x 在区间[]22-,上的解析式；(3)若不等式()()2sin sin 4e e y yg x x a --++<+对任意,x y ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z (2)证明见详解，()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩(3)211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数()g x 的性质求解析式；（3）先利用换元令[]sin 1,1t x =∈-，结合二次函数求得2172sin sin 44x x ≤-++≤，再根据()g x 的性质求()2sin sin 4g x x -++的最大值，再利用基本不等式求得e e 2y y -+≥，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：()()()()()2222log ta ta n 13t n log 3tan log an 13tan 0x f x f x x x -+=+=<-，则2tan 03tan 03tan 1x x x >⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得0tan 3x <<，则()πππ6k x k k <<+∈Z ，故使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵()()20g x g x ++=，即()()2g x g x +=-，则()()()()42g x g g g x x x =--=⎡⎤⎣-⎦+=+，∴()g x 为周期为4的周期函数，又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2g x g x g x +=-=-，即()()2g x g x =-，当(]1,2x ∈时，则[)20,1x -∈，故()()()()222log 21log 3g g x x x x -=-+=-+=；又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则有：当[)1,0x ∈-时，则(]0,1x -∈，故()()()2log 1g x g x x -=---+=；当[)2,1x ∈--时，则(]1,2x -∈，故()()()2log 3g x g x x -=--+=；综上所述：当[]2,2x ∈-时，则()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩.（3）对于2sin sin 4m x x =-++，令[]sin 1,1t x =∈-，则22117424m t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭的对称轴为12t =，故当12t =时，24m t t =-++取到最大值174，故当1t =-时，24m t t =-++取到最小值2，故2172sin sin 44x x ≤-++≤，由（2）可知：()g x 在[)2,1--上单调递减，在11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()221512,20,log 2log 5044g g g ⎛⎫-=--===-+> ⎪⎝⎭，故当12,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，又∵()g x 为周期为4的周期函数，则当172,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，∴()2sin sin 4g x x -++的最大值为22log 5-+，则()22log 5e e y ya --+<+对任意y ∈R 恒成立，又∵e e 2y y -+≥=，当且仅当e e y y -=，即0y =时等号成立，则有：当0a ≤时，则()22log 5e e y ya --+>+，不合题意，舍去；当0a >时，则22log 52a -+<，解得211log 52a >-+，综上所述：实数a 的取值范围为211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：（1）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∀∈≥，则()()min max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∃∈≥，则()()min min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∀∈≥，则()()max max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∃∈≥，则()()max min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。
易错汇总江苏省常州市高一上学期期末数学试卷与答案
元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算： 若旅行团的人数不超
过 35 人时，飞机票每张收费 800 元；若旅行团的人数多于 35 人时，则予以优惠，
每多 1 人，每个人的机票费减少 10 元，但旅行团的人数最多不超过 60 人．设旅
行团的人数为 x 人，飞机票价格为 y 元，旅行社的利润为 Q 元．
则
=kπ
∴
．
∵
，
∴当 k=0 时，可得：
．
）是奇函数，
18．（ 10.00 分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 16000 元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算： 若旅行团的人数不超 过 35 人时，飞机票每张收费 800 元；若旅行团的人数多于 35 人时，则予以优惠， 每多 1 人，每个人的机票费减少 10 元，但旅行团的人数最多不超过 60 人．设旅 行团的人数为 x 人，飞机票价格为 y 元，旅行社的利润为 Q 元． （ 1）写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式； （ 2）当旅行团人数 x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润． 【解答】 解：（1）依题意得，当 1≤x≤35 时， y=800． 当 35＜ x≤60 时， y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150；
且
．
（ 1）若 sin α＝，求 cos∠POQ；
（ 2）若
，求 α的值；
（ 3）求△ OPQ面积的最大值．
20．（ 12.00 分）若
，
， x∈ R， p1，p2 为常数，
记
（ 1）若函数 f1（x）是偶函数，求 p1； （ 2）当 p1=0，p2=1 时，求函数 f（x）的解析式； （ 3）若 f （x）=f1（ x）对任意 x∈ R 恒成立，求 p1，p2 满足的条件．
江苏省常州市高一上学期数学期末考试试卷
江苏省常州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·莆田模拟) 若实数a、b、c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·杭州期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A .B .C .D .4. （2分）设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A . f（）<f（）<f（）B . f（）<f（）<f（）C . f（）<f（）<f（）D . f（）<f（）<f（）5. （2分） (2018高一上·佛山月考) 已知幂函数在上单调递减，则的值为（）A .B .C . 或D .6. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·武威期末) 若某直线过(3,2),(4,2+ )两点,则此直线的倾斜角为（）.A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°8. （2分）若直线与幂函数的图象相切于点A，则直线的方程为（）A .B .C .D .9. （2分）若圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=4，直线l的方程为x﹣y+1=0，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（）A .B . +=4C . +=4D . +=410. （2分）直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都经过定点（）A . (0,0)B . (0,1)C . (3,1)D . (2,1)11. （2分）(2017·湖南模拟) 圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A . 相外切B . 相内切C . 相交D . 相离12. （2分） (2020高一上·那曲期末) 直线与圆的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交但直线不过圆心D . 相交且直线过圆心二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知g（x﹣1）=2x+6，则g（3）=________14. （1分） (2020高一上·天津期末) 已知函数f（x）＝ax﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A 的坐标为________．15. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．16. （1分）已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．18. （10分）已知函数f（x）=x2+4x+3，（1）若f（a+1）=0，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+cx为偶函数，求c的值；（3）若函数g（x）=f（x）+cx在区间[﹣2，2]上是单调的，求c的取值范围．19. （10分） (2017高一下·哈尔滨期末) 已知平面内两点 .（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程．20. （10分） (2016高一下·奉新期末) 已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：（1） l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2） l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．21. （5分） (2017高三上·沈阳开学考) 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|= ，求l的斜率．22. （10分） (2016高三上·成都期中) 如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
江苏省常州市高级中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【点睛】本题考查了解分式不等式，意在考查学生的计算能力.
5.若函数 则 ( ）
A。 B. 2C。 D。 —2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数据计算得到答案.
【详解】 ， .
故选: 。
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力。
6。要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度B。 向右平移 个单位长度
C。 向左平移 个单位长度D。 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给函数化为 ,根据三角函数相位变换原则可得结果.
【详解】
只需将 的图象向左平移 个单位长度即可得到 的图象
故选：
【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对 的变化量的变换，遵循“左加右减"原则。
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性,对称，得到答案.
【详解】 ，画出函数图像，如图所示：
故函数的最小正周期为 ，关于 对称，区间 上单调递减。
且函数 的图象与函数 的图象不关于直线 对称。
故选： .
【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用。
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2。若 , ，则 的坐标为( ）
A。 B。 C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算直接得到答案.
【详解】 .
故选： .
【点睛】本题考查了向量的坐标运算,意在考查学生的计算能力。
2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−122．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 25．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 327．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣110．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π711．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+212．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f （x ）的最小正周期为π； ②函数f （x ）的图象经过点(0，32)；③函数f （x ）的图象关于点(5π12，1)对称； ④函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．则这3个条件的序号可以是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ ．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ ． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 ．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．21．（12分）已知结论：设函数f （x ）的定义域为R ，a ，b ∈R ，若f （a +x ）+f （a ﹣x ）＝2b 对x ∈R 恒成立，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，反之亦然．特别地，当a ＝b ＝0时，f （x ）的图象关于原点对称，此时f （x ）为奇函数．设函数g(x)=2e 2x +1． （1）判断g （x ）在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g （x ）+g （﹣x ）的值，并根据结论写出函数g （x ）的图象的对称中心； （3）若不等式g(m −1x)+g(−4x)≥2对x ＞0恒成立，求实数m 的最大值．22．（12分）已知f(x)=ln(√x 2+1−x)+ax 2，g （x ）＝a （cos x +1），a ∈R ． （1）若f （x ）为奇函数，求a 的值，并解方程f(tanx)=−ln32； （2）解关于x 的不等式f(sinx)+f(cos(x +π2))≤g(x)．2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−12解：cos840°＝cos （2×360°+180°﹣60°）＝﹣cos60°=−12．故选：D ．2．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N解：因为M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝M ∩N ． 故选：B ．3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减解：设幂函数为f （x ）＝x α，幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则2α=14，解得α＝﹣2，故f （x ）＝x ﹣2，所以f （x ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减． 故选：B ．4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝10，解得r ＝2cm ，所以扇形的面积S =12×3×22＝6． 故选：D ．5．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关解：由a ＞0，b ＞0，m ＞0，且a ＜b ，可得x −y =a+m b+m −a b =m(b−a)b(b+m)＞0，所以x ＞y ，A 项符合题意． 故选：A ．6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 32解：f （x ）＝e x （e x ﹣3），f ′（x ）＝e x （e x ﹣3）+e x •e x ＝2e x （e x −32），令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 32，∴函数f （x ）在（﹣∞，ln 32）上单调递减，在（ln 32，+∞）上单调递增．∴“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是m ≥ln 32．故选：C ．7．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]解：将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1：y ＝sin （x +π6）的图象；再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2：y ＝sin （2x +π6）的图象；最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3：y ＝2sin （2x +π6）的图象．由于曲线C 3恰好是函数f （x ）＝2sin （2x +π6）的图象．在区间[0，π2]上，2x +π6∈[π6，7π6]，sin （2x +π6）∈[−12，1]，2sin （2x +π6）∈[﹣1，2]．故f （x ）在区间[0，π2]上的值域是[﹣1，2]．故选：B ．8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)解：令u （x ）=12x −a 在[﹣2，0]单调递减，所以u 的最小值为u （0）＝1﹣a ＞0，可得a ＜1， 且u （x ）∈[1﹣a ，4﹣a ]，所以g （u ）＝log 2u 在[﹣2，0]单调递减，所以g （u ）∈[log 2（1﹣a ），log 2（4﹣a ）]， 因为存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则f （x ）max ﹣f （x ）min ≥3，所以g （u ）max ﹣g （u ）min ＝log 2（4﹣a ）﹣log 2（1﹣a ）＝log 24−a 1−a ，由题意可得log 24−a 1−a ≥3，解得47≤a ＜1．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣1解：∵函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0+b ＜0，即a ＞1，b ＜﹣1． 故选：BD ．10．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π7解：对于A ，幂函数y ＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，所以0.2﹣3＞0.3﹣3＞0.4﹣3，故A 错误；对于B ，指数函数y ＝0.8x 在（﹣∞，+∞）上单调递减，0.81.1＜0.80.9＜0.80.7，故B 正确； 对于C ，对数函数y ＝log 0.2 x 在（0，+∞）上单调递减，log 0.25＜log 0.24＜log 0.23，故C 正确； 对于D ，余弦函数y ＝cos x 在（0，π2）上单调递减，cos 3π7＜cos 2π7＜cos π7，故D 正确．故选：BCD ．11．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+2解：根据题意，若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则函数的图象在（0，+∞）上为直线或向上凸， f （x ）＝e x 和f （x ）=−1x+2的图象不符合该特点，而f （x ）=√x 和f （x ）＝lnx 的图象符合该特点． 故选：BC ．12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）的图象经过点(0，32 )；③函数f（x）的图象关于点(5π12，1)对称；④函数f（x）的图象关于直线x=−π6对称．则这3个条件的序号可以是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：若满足①，则π=2πω，可得ω＝2，即函数的解析式为f（x）＝cos（2x+φ）+1，若满足②，则cosφ=12，|φ|＜π，可得φ=−π3或φ=π3，若①②正确时，则③代入可得cos（2×512π+π3）+1≠1，所以函数不关于（5π12，1）对称，或者cos（2×512π−π3）+1＝1，此时关于点(5π12，1)对称，④代入因为sin[2×（−π6）+π3]+1＝1，所以关于直线x=−π6对称，或者sin[2×（−π6）−π3]+1≠±1，所以不关于x=−π6对称，此时φ=−π3时，符合①②③；φ=π3时，符合①②④；②③④不能同时成立；若满足①③正确时，则cos（2×5π12+φ）+1＝1，|φ|＜π，可得φ=−π3，则②正确，④不正确，所以符合条件；若满足①④正确时，则2•（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，|φ|＜π，可得φ=π3，此时②正确，③不正确，符合条件；②③④不能同时成立；综上所述：①②③或①②④符合条件故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ √2 ．解：函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝f （﹣2）=√2．故答案为：√2．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ −512． 解：∵sinα+cosα=−713， ∴两边平方，可得1+2cos αsin α=49169， ∴2cos αsin α=−120169， ∴（cos α﹣sin α）2=289169， ∵α为第二象限角， ∴cos α﹣sin α=−1713， ∴cos α=−1213，sin α=513， ∴tan α=sinαcosα=−512． 故答案为：−512． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 150 ．解：设矩形与AB 、AC 分别交于点E 、F ，与B C 交于点G 、H ，且GH ＝x ，那么EG ＝FH ＝y ， 根据题意，得y =3(40−x)8，矩形的面积为S ＝xy =3(40−x)x 8≤38×(x+40−x 2)2=150， 当且仅当x ＝40﹣x ，即x ＝20时，S 取得最大值150． 故答案为：150．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 4047 ． 解：因为f （x ）+g （x ）＝2x ①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2﹣x ， 又因为f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ）， 故﹣f （x ）+g （x ）＝2﹣x ②， 由①②可知，f(x)=2x−2−x2，g(x)=2x +2−x2，y =f(x)g(x)=2x−2−x2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1为奇函数，图象关于原点对称， 当x →+∞，y →1，且y ＜1，sin x 最大值为1，如图，曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为1011×2×2+3＝4047个． 故答案为：4047．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．解：（1）3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4＝2+823−14×（﹣2）4＝2+4﹣4＝2；（2）因为3x ＝5y ＝15，所以x ＝log 315，y ＝log 515， 1x+1y=log 153+log 155＝log 1515＝1，因为1=1x +1y，所以xy ＝x +y ，x ＞0，y ＞0，x ≠y ， 所以xy ＝x +y ＞2√xy ，即xy ＞4，18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 解：（1）因为A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}={x |x ＞3或0＜x ＜13}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }＝{x |0＜x ＜1}，所以∁R A ＝{x |13≤x ≤3或x ≤0}，故I ＝（∁R A ）∩B ＝{x |13≤x ＜1}；（2）当13≤x ＜1时，x 4x−1=14−1x∈[13，1），所以﹣1≤f （x ）＜0， 故函数f （x ）的值域为[﹣1，0）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．解：（1）因为角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ）， 所以cosα=1√12+m2=−√510m ，即√1+m 2=−√510m ，且m ＜0，解得m ＝﹣2； （2）sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)=cosα⋅(−tanα)⋅(−cosα)cosα=cos αtan α＝sin α，因为P （1，﹣2），所以sin α=−2√1+4=−2√55，所以原式=−2√55． 20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．解：（1）当θ=π4时，f(x)=(2x −2tan π4)(2x −tan π4)=(2x −2)(2x −1)，令2x ＝t ，t ∈[1，8]，则f （x ）＝g （t ）＝（t ﹣2）（t ﹣1）， g （t ）的图象对称轴为t =32，开口向上，∴当t =32即x =log 232，时，f （x ）取得最小值，最小值为−14；当t ＝8即x ＝3时，f （x ）取得最大值，最大值为42，∴f （x ）在区间[0，3]上的最小值为−14，此时x =log 232；最大值为42，此时x ＝3．（2）∵f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ）＝（2x ）2﹣（3tan θ）2x +2（tan θ）2=(2x−32tanθ)2−14(tanθ)2的最小值为−34，∴−14(tanθ)2=−34⇒tanθ=±√3，又−π2＜θ＜π2，∴θ=±π3．21．（12分）已知结论：设函数f（x）的定义域为R，a，b∈R，若f（a+x）+f（a﹣x）＝2b对x∈R恒成立，则f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，反之亦然．特别地，当a＝b＝0时，f（x）的图象关于原点对称，此时f（x）为奇函数．设函数g(x)=2e2x+1．（1）判断g（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g（x）+g（﹣x）的值，并根据结论写出函数g（x）的图象的对称中心；（3）若不等式g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，求实数m的最大值．解：（1）g（x）在R上单调递减，证明如下：任取x1＞x2，则e2x1+1＞e2x2+1＞0，所以21+e2x1＜21+e2x2，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在R上单调递减；（2）g（﹣x）+g（x）=21+e−2x+21+e2x=2⋅e2x1+e2x+21+e2x=2，所以g（x）的图象关于（0，1）对称；（3）令h（x）＝g（x）﹣1，则h（x）的图象关于（0，0）对称，即h（x）为奇函数且h（x）在R上单调递减，若g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，即h（m−1x）+h（﹣4x）≥0，即h（m−1x）≥﹣h（﹣4x）＝h（4x），所以m−1x≤4x，即m≤4x+1x在x＞0时恒成立，因为4x+1x≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4．22．（12分）已知f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2，g（x）＝a（cos x+1），a∈R．（1）若f（x）为奇函数，求a的值，并解方程f(tanx)=−ln3 2；（2）解关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．解：（1）f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝ln（√2+1）+ln（√2−1）+2a＝ln1+2a＝0，解得a＝0，故f（x）=ln(√x2+1−x)，又y=√x2+1与y＝﹣x在[0，+∞）上均为增函数，故奇函数f（x）在[0，+∞）上均为增函数，所以f（x）在R上为增函数，又f(tanx)=−ln32=−ln√3=ln√33，所以tan x=√33，解得x＝kπ+π6（k∈Z）；（2）因为g（x）＝a（cos x+1），a∈R．y=ln(√x2+1−x)为奇函数，cos（x+π2）＝﹣sin x，所以关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．可转化为2a sin2x≤a（cos x+1），a∈R．即a（2﹣2cos2x﹣cos x﹣1）≤0⇔a（cos x+1）（2cos x﹣1）≥0，①当a＝0时，x∈R；②当a＜0时，x＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）；③当a＞0时，x＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）；综上，当a＝0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）}．。
2022-2023学年江苏省常州市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省常州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知22ππsin ,,322x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则cos x =（）A ．223B ．13-C ．13D ．13±【答案】C【分析】由同角三角形函数平方关系结合x 的范围求出答案.【详解】ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故cos 0x >，则281cos 1sin 193x x =-=-=.故选：C2．若函数()()22415mm f x m m x-+=--为幂函数，且在区间()0,∞+上单调递减，则m =（）A ．2-B ．3C ．2-或3D ．2或3-【答案】B【分析】根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案.【详解】由题意函数()()22415mm f x m m x-+=--为幂函数，且在区间()0,∞+上单调递减，可得251m m --=，且2410m m -+<，解得3m =，故选：B 3．不等式605x x -≤+成立的充分不必要条件可以是（）A ．{}6x x ≥B ．{}56x x -<<C ．{}56x x -<≤D ．{}56x x -≤≤【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义分析判断即可【详解】由605x x -≤+，得(6)(5)050x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得56x -<≤，所以不等式的解集为{}56x x -<≤，对于A ，因为{}{}{}5666x x x x -<≤⋂≥=，所以{}6x x ≥是不等式成立的既不充分也不必要条件，所以A 错误，对于B ，因为{}56x x -<< {}56x x -<≤，所以{}56x x -<<是不等式成立的充分不必要条件，所以B 正确，对于C ，因为{}56x x -<≤不等式的解集，所以{}56x x -<≤是不等式成立的充要条件，所以C 错误，对于D ，因为{}56x x -<≤ {}56x x -≤≤，所以{}56x x -≤≤是不等式成立的必要不充分条件，所以D 错误，故选：B4．已知集合[)[)0,,1,A B ∞∞=+=+，下列对应关系中从A 到B 的函数为（）A ．:f x y x →=B ．2:f x y x →=C ．:2f x y x →=D ．:22f x y x →=+【答案】D【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．【详解】对于A ，在对于关系:f x y x →=中，当0x =时，0y =，则集合B 中没有元素和x 对应，不是从集合A 到集合B 的函数，故A 错误，对于B ，在对于关系2:f x y x →=中，当0x =时，0y =，则集合B 中没有元素和x 对应，不是从集合A 到集合B 的函数，故B 错误，对于C ，在对于关系:2f x y x →=中，当0x =时，0y =，则集合B 中没有元素和x 对应，不是从集合A 到集合B 的函数，故C 错误，对于D ，在对于关系:2f x y x →=中，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2,y ∈+∞ [)1,+∞，且则集合A 中任意一个元素x 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合A 到集合B 的函数，故D 正确，故选：D ．5．已知函数()22f x x bx b =+-的零点为12,x x ，满足1211x x -<<<，则b 的取值范围为（）A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,10,3∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】B【分析】分析二次函数的图象，根据根的分布，结合根的判别式和对称轴，列出不等式组，求出答案.【详解】()22f x x bx b =+-开口向上，对称轴为x b =-，要想满足1211x x -<<<，则要()()2Δ440113011011b b f b f b b ⎧=+>⎪-=->⎪⎨=+>⎪⎪-<-<⎩，解得：10,3b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B6．已知实数322lo ,3,3g a b c ===，则这三个数的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】D【分析】由题意可得()2,a ∈+∞，(),1,2b c ∈，比较出,b c 的大小即可的结论；通过观察()223log b =和323log 2c ==的特征可知，可借助中间值 1.62按照同指数倍扩大比较大小进而得出结论.【详解】由函数2x y =为单调递增可得31222a =>=，即()2,a ∈+∞；由2log y x =在()0,∞+单调递增可得()231,2log b ∈=，易知()31,2c =∈；所以,a b a c >>；只需要比较,b c 的大小即可：由2log 33,b c ==可得323log 2c ==，即只需比较3和32的大小；易知 1.6322<，而5832432256==<，所以5832<，即()()1158 1.6553322==<所以 1.63223<<，即可得332<所以322log 3log 23=<，即b c <；所以a c b >>.故选：D7．下列说法不正确．．．的是（）A ．若0a b >>，则bb m aa m+>+B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>，则11a b b a+>+D ．若0a b >>，则33223a b ab +>【答案】A【分析】对于A ，举例判断，对于B ，利用不等式的性质判断，对于CD ，作差判断【详解】对于A ，若2,1,1a b m ===，则12b a =，23b m a m +=+，此时b b ma a m +<+，所以A 错误，对于B ，由22ac bc >可得0c ≠，则20c >，所以由不等式的性质可得a b >，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以0,0a b ab ->>，所以11111()()10a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b b a+>+，所以C 正确，对于D ，因为0a b >>，所以0,20a b a b ->+>，所以332332222233()()()3()a b ab a b b b a a b a ab b b a b +-=-+-=-++--222()(2)()(2)0a b a ab b a b a b =-+-=-+>，所以33223a b ab +>，所以D 正确，故选：A8．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =--，则()10xf x -≤的解集是（）A ．][(,10,3∞⎤--⋃⎦B ．[]1,3-C ．][(,30,1∞⎤--⋃⎦D ．][)1,03,∞⎡-⋃+⎣【答案】A【分析】根据题意先得到()f x 在0x ≥时大于0和小于0的取值区间,再根据偶函数性质得到()f x 在定义域内的取值情况，然后根据函数平移规则得到平移后()1f x -大于0和小于0的取值区间，最后分类讨论0x ≥和0x <时满足()10xf x -≤的区间即可.【详解】当0x ≥时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，其中()20f =故当0x ≥时，()0f x >的区间为()2,+∞，()0f x ≤的区间为[]0,2因为()f x 为偶函数，所以()0f x >的区间为(),2-∞-，()2,+∞，()0f x ≤的区间为[]22-,，故()10f x ->的区间为(),1-∞-，()3,+∞，()10f x -≤的区间为[]1,3-当0x ≥时，()()1010xf x f x -≤⇒-≤，即[]0,3x ∈当0x <时，()()1010xf x f x -≤⇒-≥，即(],1x ∈-∞-故选：A二、多选题9．已知关于x 的不等式0ax bx c+≥-的解集为(](),21,∞∞--⋃+，则（）A ．1c =B ．点(),a b 在第二象限C ．12a b+的最小值为2D ．关于x 的不等式20ax ax b +-≥的解集为(][),21,-∞-+∞ 【答案】ACD【分析】根据题意，由原不等式的解集可得1c =，20a b -+=，即可判断ABD ，然后再由基本不等式即可判断C.【详解】原不等式等价于()()00ax b x c x c ⎧+-≥⎨-≠⎩，因为其解集为(](),21,∞∞--⋃+，所以0a >且1c =，20a b -+=，故A 正确；因为0,20a b a >=>，则点(),a b 在第一象限，故B 错误；由20b a =>可得，1112222222a a a b a a +=+≥⋅=，当且仅当1220a a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩时，即12a =时，等号成立，所以12a b+的最小值为2，故C 正确；由20b a =>可得，不等式20ax ax b +-≥即为220ax ax a +-≥，化简可得()()220210x x x x +-≥⇒+-≥，则其解集为(][),21,-∞-+∞ ，故D 正确；故选：ACD10．已知函数()241f x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递增B ．函数()y f x =在[]2,0-上是单调递增C ．当0x =时，函数()y f x =有最大值D ．当2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值【答案】BD【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．【详解】()22241,04141,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，作出函数()f x 的图象如下：由图象可知函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递减，在[]2,0-上是单调递增，故A 错误，B 正确；由图象可知()f x 在2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值，没有最大值，故C 错误，D 正确；故选：BD ．11．已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<,对任意x ∈R 均有4π04πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且()()π,2f x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则下列说法正确的有()A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图像可由函数sin2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若()()2f x f x >在(),m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3【答案】BCD【分析】首先根据已知条件确定π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心,π2x =为()f x 的对称轴,结合已知中的范围确定,ωϕ的值,从而确定函数()f x 的解析式.对于A,利用奇偶函数的定义进行判断即可;对于B,2πT ω=进行判断即可;对于C,根据图像的平移得到平移后的解析式进行判断即可;对于D,根据()()2f x f x >,解出x 的取值范围进行判断.【详解】 4π04πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴π,04⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心,即()11ππZ 4k k ωϕ+=∈,①()π2f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭,∴π2x =为()f x 的对称轴,即()22πππZ 22k k ωϕ+=+∈,②②-①得:()()21333ππππ=π=2+4Z 422k k k k k ωω=+-+⇒∈,代入①得:()()31ππ24ππ,Z 42k k k k ϕ=-++=-+∈,0πϕ<< ,π2ϕ∴=,则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,ππ2ω∴≤,即02ω<≤,又()33=2+4Z k k ω∈,2ω∴=,()cos 2f x x ∴=,对于A,()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==,∴()f x 为偶函数,故A 错误;对于B,函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,故B 正确;对于C,函数sin2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到ππsin 22sin 2cos 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故C 正确;对于D,根据题意()()2f x f x >,即2cos 4cos 22cos 2cos 210cos 21x x x x x >⇒-->⇒>或1cos 22x <-,1cos 21x -≤≤ ,1cos 22x ∴<-,即()2π4π2π22π,Z 33k x k k +<<+∈,解得()π2πππ,Z 33k x k k +<<+∈, ()()2f x f x >在(),m n 上恒成立,()max π3n m ∴-=,故D 正确.故选:BCD.12．若0,0a b >>,且1a b +=,则（）A ．40a b ab +-≥B ．2222aa b+≥+C ．221a b +≥D ．221214a b a b +≥++【答案】ABD【分析】根据基本不等式求出14ab ≤,将1a b +=代入4a b ab +-,结合14ab ≤即可得选项A 的正误;将2+aa b 写为()2a b a a b++,再进行分离常数,用基本不等式即可得选项B 的正误;将22a b +写为()22a b ab +-,代入1a b +=,结合14ab ≤即可得选项C 的正误;对2221a b a b +++进行分离常数化简可得41221a b +-++,再用“1”的代换,即可得选项D 的正误.【详解】解:因为0,0a b >>,1a b +=,所以12a b ab =+≥,解得14ab ≤,当且仅当12a b ==时取等号,所以4140a b ab ab +-=-≥,故选项A 正确;因为()2222222222b b a a b a a a a a b a b ba b ++=+=++≥+⋅=+,当且仅当2b aa b=,即22,21a b =-=-时取等号,故选项B 正确;因为14ab ≤,()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥,故选项C 错误;因为2222444421122211a a ab a b a b b b a b ++--++--+=+++++44214821421211422a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=+++-+=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝++++-⎭-442221214141a b a b ⎛⎫=--+-=+- ⎪++++⎝⎭,因为1a b +=,所以214a b +++=,所以()121214142141a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭()()1195524141224214214b b a a a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪=++≥+⨯+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+++,当且仅当()24112a b b a =++++,即223a b ==时取等号,所以4191222144a b +-≥-=++,即221214a b a b +≥++,故选项D 正确.故选：ABD三、填空题13．25172log 30612124(π1)946+--⋅⋅.【答案】70【分析】由对数运算法则和指数运算法则计算即可.【详解】222111385g 16666575172log 34log lo 066612122132213224(π1)94666+--⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯++-⨯=1566811628212706=⨯+-⨯=-=.故答案为：7014．如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点C 、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ， BF的长为4π3，则扇形CBD 的面积为．【答案】15π2【分析】由题意易知△CDF 为等边三角形，若正五边形边长为a 且各内角为3π5，利用弧长公式、扇形面积公式求结果.【详解】如下图，△CDF 为等边三角形，若正五边形边长为a ，且各内角为3π5，所以3ππ()354π3BF a =-⨯=，则5a =，故 π353πDF a =⨯=，所以 3πBD BF DF +==，故扇形CBD 的面积为15π3π1522⨯=⨯.故答案为：15π215．已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：x123x123()f x 131()g x 321满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦的x 的集合是.【答案】{}1,3【分析】分别计算出1,2,3x =时，()f g x ⎡⎤⎣⎦与()g f x ⎡⎤⎣⎦的值，比较后得到答案.【详解】()()()()31,1311f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，故()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦，满足要求，()()()()23,3122f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，故()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，不满足要求，()()()()11,1333f g f g f g ⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦，故()()11f g g f ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦，满足要求，所以满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦的x 的集合为{}1,3.故答案为：{}1,3四、双空题16．已知sin cos ,0,2t t θθ⎡⎤+=∈⎣⎦，当12t =时，则sin cos θθ-的值为；若关于θ的方程()sin cos sin cos 1a θθθθ-++=有实数根，则实数a 的取值范围为.【答案】72-[)1,+∞【分析】由辅助角公式得到θ的范围，由12t =，求出sin20θ<，得到π2π,2π,Z 4k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，故sin cos 0θθ-<，计算出()2sin cos θθ-，得到sin cos θθ-的值；换元后得到2210t at -+-=在0,2t ⎡⎤∈⎣⎦有实数根，参变分离后得到实数a 的取值范围.【详解】πsin cos 2sin 4θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2t ⎡⎤∈⎣⎦，故π2sin 0,24θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以[]πsin 0,14θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π32π,π2π,Z 44k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，12t =时，1sin cos 2θθ+=，两边平方得：11+sin24θ=，故3sin24θ=-，因为π32π,π2π,Z 44k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，所以π324π,π4π,Z 22k k k θ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，因为sin20θ<，所以π24π,4π,Z 2k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，π2π,2π,Z 4k k k θ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则sin 0,cos 0θθ<>，故sin cos 0θθ-<，()237sin cos 1sin 2144θθθ-=-=+=，故7sin cos 2θθ-=-，因为21sin cos 2t θθ-=，所以2112t at -+=有实数根，即2210t at -+-=在0,2t ⎡⎤∈⎣⎦有实数根，当0=t 时，10-=，无解，舍去，当(0,2t ⎤∈⎦时，12a t t=+，其中()1g t t t=+在(]0,1t ∈上单调递减，在(1,2t ⎤∈⎦上单调递增，故()1g t t t=+在1t =处取得最小值，()12g =，故()[)2,g t ∈+∞，所以[)22,a ∈+∞解得：[)1,a ∈+∞，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞故答案为：72-，[)1,+∞五、解答题17．已知集合{}2320M xx x =-+->∣，集合(){}2log 1,715N y y x x ==+<<∣.(1)求R M N ð；(2)设{2}A xa x a =<<+∣，若R R A N ⋃=ð，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}R 12xM N x ⋂=∣ð<<(2)[]2,3【分析】（1）根据一元二次不等式解法可得{}12M xx =∣<<，再利用对数函数单调性可得{}34N y y =<<∣，由集合基本运算即可求出结果；（2）根据（1）中结论和R R A N ⋃=ð可限定两集合端点处的取值范围即可求出结果.【详解】（1）解集合{}2320M xx x =-+->∣可得{}12M x x =∣<<，根据对数函数单调性可知()2log 1,715y x x =+<<时，226l o 8og l 1g y <<，所以{}34N yy =<<∣，{R 3N y y =≤∣ð或}4y ≥，因此{}R 12xM N x ⋂=∣ð<<（2）由（1）中{R 3N yy =≤∣ð或}4y ≥，且R R A N ⋃=ð，可得实数a 需满足324a a ≤⎧⎨+≥⎩（等号不会同时取到），所以解得23a ≤≤；即实数a 的取值范围为[]2,3.18．在平面直角坐标系xoy 中，,αβ是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O ）于,A B 两点.(1)已知点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将OA 绕原点顺时针旋转π2到OB ，求点B 的坐标；(2)若,A B 两点关于x 轴对称，且2tan 3α=，求sin sin sin cos cos cos αβαβαβ++的值.【答案】(1)43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)1113【分析】（1）根据三角函数定义可得角α的正弦、余弦值，再根据π2βα=-即可求得点B 的坐标；（2）由,A B 两点关于x 轴对称可知sin sin ,cos cos αβαβ=-=，将表达式转化成含α的式子，再利用同角三角函数之间的基本关系代入2tan 3α=即可求得结果.【详解】（1）由三角函数定义可得43sin ,cos 55αα==，不妨设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭根据题意可得，画出示意图如下所示：则可得π2βα=-，所以π4cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭；π3sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以点B 的坐标为43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设点A 的坐标为(,)A x y ，又,A B 两点关于x 轴对称，所以(,)B x y -由三角函数定义得sin sin ,cos cos αβαβ=-=，即可得22sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαααα++=-++22222222221sin sin cos cos tan tan 11133sin cos tan 113213ααααααααα⎛⎫-++ ⎪-++-++⎝⎭====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，11sin sin sin cos cos cos 13αβαβαβ++=19．已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．(1)判断()f x 的单调性，并证明；(2)解关于x 的不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->．【答案】(1)()f x 在R 上是递减函数，证明见解析(2)()1,2【分析】（1）利用奇函数性质求得1a =，再由单调性定义判断函数单调性即可；（2）根据函数奇偶性、单调性可得22log (1)log (1)x x +<--，再由对数函数性质求解集即可.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()0f x f x -+=，即()()22222212()()21212121221x xx x x x xxx x x x x a a a a a a f x f x --------⋅-+--+=+=+=+++++()(1)211021x xa a -+==-=+，解得1a =，所以()221212()1212121x x x x xf x -+-+===-+++，故()f x 在R 上是递减函数．证明：任取1x 、2R x ∈，且12x x <，()()()()()21121212222221122121121x x x x x x f x f x -=-++-=++++-，12022x x <<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 是定义在R 上的递减函数；（2）∵()()22log (1)log (1)0f x f x ++->，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的奇函数，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的减函数，∴22log (1)log (1)x x +<--，∴1011x x <+<-，解得12x <<，∴不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->的解集为()1,2．20．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.我市“运河五号”的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()110P x x=+，日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：x1015202530()Q x 5055605550(1)根据上表中的数据研究发现，函㪚模型()()0Q x a x m b a =-+≠适合描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值.【答案】(1)()40,12080,2030x x Q x x x +≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，*N x ∈(2)441元【分析】（1）利用表格提供数据求得,,m a b ，由此求得()Q x .（2）先求得()f x 的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得()f x 的最小值.【详解】（1）根据表格数据可知，20m =，()()1010205015152055Q a b Q a b ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得1,60a b =-=，所以()40,120206080,2030x x Q x x x x +≤<⎧=--+=⎨-+≤≤⎩，*N x ∈.（2）()()()()()14010,12018010,2030x x x f x P x Q x x x x ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⋅=⎨⎛⎫⎪-++≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()4040110,1208079910,2030x x xf x x x x ⎧++≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，*N x ∈，当120x ≤<时，404040110401210441x x x x++≥+⋅=，当且仅当4010,2x x x==时等号成立，当2030x ≤≤时，()8079910f x x x=-+单调递减，最小值为()80150530799300303f =-+=，15054413<，所以()f x 的最小值为441元.21．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且图象经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调增区间；(2)方程()()()2210f x a f x +-+=在π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】(1)πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()f x 的最小正周期计算出2ω=，代入π,13⎛⎫⎪⎝⎭得到π6ϕ=，求出解析式，得到单调递增区间；（2）求出()(]2,0f x ∈-时x 有两个解，令()f x t =，得到()2210t a t +-+=有两个不相等的实数根，且两根均在(]2,0-内，由二次函数根的分布得到不等式组，求出答案.【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为π，0ω>所以2ππω=，故2ω=，所以()()2sin 2x x f ϕ=+，因为图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以2π2sin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2π1sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，所以ππ22ϕ-<<，6π2ππ637ϕ<+<，故623π5πϕ+=，解得：π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得：ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，故单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）π11,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ3π2,622x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π3π2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()(]2,0f x ∈-时x 有两个解，所以要使()()()2210f x a f x +-+=在π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有4个不相等的实数根，令()f x t =，则关于t 的一元二次方程()2210t a t +-+=有两个不相等的实数根，且两根均在(]2,0-内，因为()200201a +-⨯+>，所以()()()22Δ240220222210a a a ⎧=-->⎪-⎪-<-<⎨⎪⎪---+>⎩，解得：102a -<<，故a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=．(1)求函数()f x ，()g x 的解析式；(2)若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln 3上恒成立，求正实数a 的取值范围．【答案】(1)()e e 2x xf x -+=，()e e 2x xg x --=(2)150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）由奇偶性有()()e x f x g x +=、()()e xf xg x --=，即可求解析式；（2）问题化为()0,ln 3x ∈上24(e e )(e e )x x x x a --+≤-恒成立，应用换元法及函数单调性求不等式右侧取值范围，即可得参数范围.【详解】（1）因为()f x ，()g x 分别为R 上的偶函数和奇函数，()()e xf xg x +=①，所以()()e x f x g x --+-=，即()()e xf xg x --=②，联立①②可解得()e e 2x xf x -+=，()e e 2x xg x --=.（2）不等式()()220f x ag x -≥可化为2(e e )e e 04x x xxa ---+-⋅≥，因为()0,ln 3x ∈，则e e 0x x-->，故24(e e )(e e )x x x x a --+≤-，设e e x x t -+=，则()()222e eee44xx xx t ---=+-=-，故24444t a t t t≤=--，因为e e x x t -=+，令120ln 3x x <<<，则2111221212121212e 1()()e e ee ee e e e )e e e(1e x x x x x x x x x x x x x x t t ----=--=+=--+-，由12e e 0x x -<，12110e ex x ->，故12t t <，故e e x x t -=+在()0,ln 3上是增函数，则102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t>-，因为24(e e )(e e )x x x x a --+≤-在()0,ln 3x ∈恒成立，所以158a ≤．所以正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦。
江苏省常州市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= ．2．cos300°的值是．3．函数的最小正周期为．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为．5．已知向量，，则的值为．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．8．函数的定义域为．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为cm2．10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．（1）求A∪B；（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．16．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= {1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，∴∁U B={1，3}，又A={1，4}，∴A∩∁U B={1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．cos300°的值是．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=故答案为【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．3．函数的最小正周期为．【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为{﹣2，0} ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．∴f（x）的值域为{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．5．已知向量，，则的值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出的坐标，再计算模长．【解答】解： =（3，4），∴||==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模长计算，属于基础题．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（﹣1，0）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα 的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴ =2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．8．函数的定义域为（﹣2，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣2＜x≤4．∴函数的定义域为（﹣2，4]．故答案为：（﹣2，4]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，训练了指数不等式的解法，是基础题．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为： =1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为c，a，b ．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由有理指数幂的化简与求值可得a＜1，b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵ =，＜0， =log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．【点评】本题考查实数的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ=0，求得φ=，故f（x）=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】设=， =，则=， =+，从而=，由此能求出λ+μ．【解答】解：设=， =，∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，∴=， =+，∵，λ，μ均为实数，，∴=，∴，解得，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，即±3也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，即或，解得．故答案为：．【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==， ==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解： ====， ====．∴（）•（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．： =．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．（1）求A∪B；（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．【考点】子集与真子集；并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】（1）由已知条件利用并集定义能求出A∪B．（2）先求出A∩B，从而求出C={2，3}．由此能写出集合C的所有子集．【解答】解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}．…（2）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，∵C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，∴C={2，3}．…∴集合C的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2，3}．…【点评】本题考查并集的求法，考查集合的子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．16．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，∴．（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求s inθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；（2）由∥得，对进行化简得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∴．∴．∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴．（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．∴，．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．（2）由题意y=e kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）由题意，，∴…∴当x=30时，．…答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（2）由题意y=e kx+b≥80，∴，…∴kx≥10k．由可知k＜0，故x≤10．…答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x）•log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）令t=log2x，则t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x）•log2x，令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…（2）∵f（x3）•f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，∴k≤﹣20；…②当，即k≥16时，由φ（3）＞0，得，不成立；…③当，即﹣20＜k＜16时，由，得，∴．…综上，．…【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出f（x）的解析式并化简，根据函数类型判断f（x）的单调区间；（2）分离参数得，作出其函数图象，根据函数图象得出m的范围．【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=x2+3x﹣|1﹣x2|．①当﹣1≤x≤1时，．∴f（x）在递减，在递增．②当x＜﹣1或x＞1时，f（x）=3x+1．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．（2）∵f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，∴方程x2+mx﹣|1﹣x2|=0在区间（0，2）上有且只有1解，即方程在区间（0，2）上有且只有1解，从而函数图象与直线y=m有且只有一个公共点．作出函数的图象，结合图象知实数m的取值范围是：或m=﹣1．【点评】本题考查了分段函数的单调性与单调区间，分段函数的零点个数判断．属于中档题．21．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．【考点】函数单调性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，∴f（x）在上为减函数，在上为增函数．…①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴，且，∴．…②由①知，∴，∵，∴．…（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．∵，∴．…①若，∵f（x）在上为减函数，∴解得或，不合题意．…②若，∵f（x）在上为增函数，∴解得不合题意．…综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．。
2023届江苏省常州市高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析
5．已知三个函数 f x 2x x 2 ， g x x3 8 ， h x log2 x x 2的零点依次为 a 、 b 、 c ，则 a b c
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6．函数 y 1 的图像与函数 y 2sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 1 x
A.[1, 0] [1, 2]
B. (,1][2, )
C.[1,1][3, )
D.[1,1] [2, )
12．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13、1ln 2
【解析】由基本不等式及二次函数的性质可得
f
(x)
g(x)
3
，结合等号成立的条件可得
e
x0
a
2
，即可得解.
x0 1
【详解】由题意， f (x) g(x) exa 4eax x2 2x ，
,1
；
故选 D
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将 f 2x 1 f x 转化为关于 x 的不等式，属于基础题
5、C
【解析】令 f x 0 ，得出 2x 2 x ，令 h x 0 ，得出 log2 x 2 x ，由于函数 y 2x 与 y log2 x 的图象关
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江苏省常州市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）下列四个命题中错误的是（）
A . 若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B . 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C . 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D . 两条异面直线不可能垂直于同一个平面
3. （2分） (2017高一上·嘉峪关期末) 如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）
A . 2+
B .
C .
D . 1+
4. （2分） (2017高一上·西安期末) 直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣1）x+（m﹣4）y+2=0互相垂直，则m 的值为（）
A .
B . ﹣2
C . ﹣或2
D . ﹣2或
5. （2分）下列命题中正确的是（）
A . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
B . 平面α⊥平面β，且α∩β=l，若在平面α内过任一点P做L的垂线m，那么m⊥平面β
C . 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α∥平面β
D . 如果直线l∥平面α，那么直线l平行于平面α内的任意一条直线
6. （2分）圆O1：x2﹣2x+y2+4y+1=0的圆心坐标为（）
A . （1，2）
B . （﹣1，2）
C . （1，﹣2）
D . （﹣1，﹣2）
7. （2分） (2019高二上·余姚期中) 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
其中正确的个数为（）个
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
8. （2分） (2017高二下·南昌期末) 某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 18
9. （2分） (2019高一下·长春期末) 在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点
是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）在直线y=2x+1上有一点p，过点p且垂直于直线4x+3y-3=0的直线与圆x2+y2-2x=0有公共点，则点p的横坐标取值范围是（）
A .
B . (-1,1)
C .
D .
11. （2分） (2019高二下·上海期末) 若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（）
A . 椭圆
B . 双曲线
C . 直线
D . 线段
12. （2分）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）
A . -2或12
B . 2或-12
C . -2或-12
D . 2或12
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （2分）在空间直角坐标系中，点M（1，﹣2，3）关于xoy平面及z轴对称的点的坐标分别为________，________．
14. （1分）已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A（3，2），B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b=________．
15. （1分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________
16. （1分）(2018·石嘴山模拟) 利用一个球体毛坯切削后得到一个四面体，其中底面中，
，且，平面，则球体毛胚表面积的最小值应为________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分）(2016·南平模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB 上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（1）求证：CD∥面ABF；
（2）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．
18. （10分） (2019高二上·九台月考) 已知点和直线 .
（1）求过点，且和直线平行的直线方程；
（2）求过点，且和直线垂直的直线方程.
19. （10分）(2019高二上·西安月考) 如图，在三棱锥中，，
，O为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点M在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
20. （5分） (2016高二上·公安期中) 已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．
21. （10分） (2016高二上·定州期中) 如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且．
（1）若∠BCD=60°，求证：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．
22. （5分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与圆交于不同的两点，以为邻边作平行四边形 .是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、21-1、
21-2、
22-1、。