快速傅里叶变换实验报告

快速傅里叶变换实验报告

机械34班 刘攀 58

一、 基本信号（函数）的FFT 变换

1. 000()sin()sin 2cos36

x t t t t π

ωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16； 取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==。 最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。

截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。

频谱图如下：

幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。

2) 采样频率08s f f =，截断长度N=32；

取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==。 最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。

截断长度04T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。

频谱图如下：

幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。

2. 00()sin()sin116

x t t t π

ωω=++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16； 取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==。 最高频率c f =110f =11Hz ，s f <2c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。

截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。

频谱图：

由上图可以看出，并未体现出110f 的成分，说明波形出现混叠失真。为了消除混叠现象，应加大采样频率， 使之大于等于 22Hz 。 0f 处的幅值误差0A ∆=，110f 处由于出现了混叠现象，幅值误差没有意义；相位误差0ϕ∆=。

2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；

取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =32Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==1Hz 。 最高频率c f =110f =11Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。

截断长度0T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。

频谱图：

该频谱图体现出了0f 和110f 的成分，说明未失真，且幅值均为1,。 幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。

3. 0()x t t =

1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；

取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==。

最高频率c f 0f Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。

频谱图：

在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：

0()0.9098cos(356.9520)x t t ω≈+︒

故幅值误差0.909610.0904A ∆=-=-，相位误差56.9520ϕ∆=︒。 2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；

取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =32Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==1Hz 。

最高频率c f 0f Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。

频谱图：

在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：

0()0.9820cos(327.6898)x t t ω≈+︒

则幅值误差A ∆==，相位误差ϕ∆=27.6898︒。

分析：很明显，出现了泄露现象，主要原因是截断时加了矩形窗。与（1）相比，（2）的窗宽度减小，主瓣变宽，能量更加分散，而其旁瓣却被压低，幅度A 明显减小。泄漏使能量分布变得分散，使要求的谱线能量降低（幅值减小）。 为减少泄漏的影响，可以选择性能更好的特殊窗（如汉宁窗等）来代替矩形窗进行加窗处理。

0()x t t =

的周期0T ==，而截断长度12T s =，21T s =，非正周期截取，故出现了“栅栏效应”

。信号本身的频率≈ Hz ，但是频谱图中只在整数点有值，所以原本应该在 3 和 4

之间

的左右的谱线峰值出现在了3 处。与（1）相比，（2）的频率分辨率降低，两峰值间的点数减少，栅栏效应更为明显。 栅栏效应的主要原因是没有进行整周期截取。若进行整周期截取，可以消除栅

栏效应。例如0s f =，N=16得到：

4. 0()x t t =

对信号加窗（ Hanning Window ）：

12()(1cos )2t w t T

π=- 0t T << 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；

频谱图：

此时0()0.4657cos(358.1027)x t t ω≈+︒

则幅值误差0.465710.5343A ∆=-=-，相位误差58.1027ϕ∆=︒ 2) 采样频率032s f f =，截断长度N=32；

频谱图：

此时0()0.4914cos(330.4390)x t t ω≈+︒

则幅值误差0.49171-0.5086A ∆=-=，相位误差30.4390ϕ∆=︒ 分析：加窗之后，主瓣变宽，主瓣能量分散，旁瓣的泄漏有改善。

5. 0()sin(0.99)6

x t t π

ω=+ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16； 取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N ∆==。最高频率c f =0f =，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。截断长度02T T =，而信号周期为0

10.99T ，非整周期截取，会发生栅栏效应。由于进行了矩形窗加窗处理，所以存在泄露现象。