苏教版高中数学知识点必修2空间几何知识讲解
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
苏教版高中数学必修二知识讲解_空间中两条直线的位置关系
空间中两条直线的位置关系： ：【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；【要点梳理】【空间直线与平面的位置关系399458知识讲解1及例1】要点一：空间两条直线的位置关系(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.要点二：平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等. 要点三：异面直线1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a ⊂α，直线b β⊂，a ∥b ，不能由a 、b 不同在平面α内就误认为a 与b 异面，实际上，由a ∥b 可知a 与b 共面，它们不是异面直线．（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．2.定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
苏教版高中数学必修2知识归纳：空间直角坐标系
空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox，Oy，Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
3．在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。
4.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴，Oy轴，Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M
点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
5.空间中两点间的距离公式：
d=
6．不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。
1/ 1。
苏教版学高中数学必修二平面解析几何初步空间两点间的距离讲义
学习目标核心素养１．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．（重点）２．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．（难点）通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.１．空间两点间的距离公式（１）平面直角坐标系中，两点P１（x１，y１），P２（x２，y２）间的距离为P１P２＝错误!．特别地，点A（x，y）到原点距离为OA＝错误!．（２）空间两点P１（x１，y１，z１），P２（x２，y２，z２）的距离公式是P１P２＝错误!．特别地，点A（x，y，z）到原点的距离公式为OA＝错误!．２．空间两点的中点坐标公式连结空间两点P１（x１，y１，z１），P２（x２，y２，z２）的线段P１P２的中点M的坐标为错误!．１．点P（—２，—１，１）到原点的距离为________．错误![PO＝错误!＝错误!.]２．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0（４，１，２）的距离为错误!，则该点的坐标为__________．（9，0，0）或（—１，0，0）[设点P的坐标是（x，0，0），由题意得，P0P＝错误!，即错误!＝错误!，∴（x—４）２＝２５，解得x＝9或x＝—１．∴点P的坐标为（9，0，0）或（—１，0，0）．]３．若O为原点，P点坐标为（２，—４，—6），Q为OP中点，那么Q点的坐标为________．（１，—２，—３）[设Q（x，y，z），则x＝错误!＝１，y＝错误!＝—２，z＝错误!＝—３，∴Q（１，—２，—３）．]４．如图，在长方体OABCO１A１B１C１中，OA＝２，AB＝３，AA１＝２，M是OB１与BO１的交点，则M点的坐标是________．错误![∵OA＝２，AB＝３，AA１＝２，∴O（0，0，0），B１（２，３，２）．又∵M为OB１的中点，∴M错误!.]空间中两点间距离的计算＝３NC′，试求MN的长．思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a，所以B（a，a，0），A′（a，0，a），C′（0，a，a），D′（0，0，a）．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M错误!，O′错误!.因为A′N＝３NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N错误!，根据空间两点距离公式，可得MN＝错误!＝错误!a.利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤（１）建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；（２）代入空间两点间的距离公式求值．１．已知△ABC的三个顶点A（１，５，２），B（２，３，４），C（３，１，５）．（１）求△ABC中最短边的边长；（２）求AC边上中线的长度．[解] （１）由空间两点间距离公式得AB＝错误!＝３，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝错误!，∴△ABC中最短边是BC，其长度为错误!.（２）由中点坐标公式得，AC的中点坐标为错误!.∴AC边上中线的长度为错误!＝错误!.确定空间点的坐标１．在空间直角坐标系中，已知点A（１，0，２），B（１，—３，１），点M在y轴上，且M到A 与到B的距离相等，则M的坐标是什么？[提示] 设M（0，a，0），由已知得MA＝MB，即错误!＝错误!，解得a＝—１，故M（0，—１，0）．２．方程（x—１）２＋（y—２）２＋（z—３）２＝２５的几何意义是什么？[提示] 依题意错误!＝５，点（x，y，z）是空间中到点（１，２，３）距离等于５的点，即以点（１，２，３）为球心，以５为半径的球面．【例２】已知A（x，５—x，２x—１），B（１，x＋２，２—x），求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．[解] 由空间两点间的距离公式得AB＝错误!＝错误!＝错误!，当x＝错误!时，AB有最小值错误!＝错误!，此时A错误!，B错误!.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．２．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是１，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0<a<错误!）．（１）求MN的长；（２）当a为何值时，MN的长最小．[解] 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵正方形ABCD，ABEF的边长都是１，且CM＝BN＝a（0<a<错误!），∴易得点M，N的坐标分别为M错误!，N错误!.（１）|MN|＝错误!＝错误!（0<a<错误!）．（２）∵MN＝错误!＝错误!，∴当a＝错误!时，MN的长最小，且最小值为错误!.１．本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）求空间中对称点坐标的规律．（２）空间两点间距离公式的应用．３．本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算．１．已知A（１，１，１），B（—３，—３，—３），则线段AB的长为（）Ａ．４错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．３错误!A[AB＝错误!＝４错误!.]２．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（３，１，２），B（４，—２，—２），C（0，５，１），则BC边上的中线长为________．错误![∵B（４，—２，—２），C（0，５，１），∴BC的中点为错误!，∴BC边上的中线长为错误!＝错误!.]３．已知点A（x，１，２）和点B（２，３，４），且AB＝２错误!，则实数x的值是________．—２或6 [由题意得错误!＝２错误!，解得x＝—２或x＝6．]４．已知A（１，—２，１１），B（４，２，３），C（6，—１，４）为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．[证明] 由空间两点间的距离公式得AB＝错误!＝错误!，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝错误!，∵AB２＝BC２＋AC２，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．。
苏教版高中数学知识点必修2空间几何
高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
苏教版高中数学必修二课件《空间几何体的结构》(1课时)+1
三棱锥，Ｓ-ＡＢＣ 四棱锥，Ｓ-ＡＢＣＤ
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台
球
结构特征
o
用一个平行于棱
D’
锥底面的平面去截棱
D
锥,底面与截面之间的 A’
部分是棱台.
A
C’
B’
C
B
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台
球
1. 两底面平行
2. 侧棱的延长线相交于同一点
o
D’
D A’
C’
B’
C
A
B
如图，是长方体ＡＢＣＤ－Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’中被截去一部分，其中ＥＨ∥Ａ’Ｄ’。 剩下的几 何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？
Ｓ
Ｂ
由此我们就知道像这样的棱锥，它每一个面都可以 作为底而且不同的面作底时，棱锥的形状和大小都 不变。
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台
球
Ｓ S
Ａ
Ｃ
D
C
棱锥的分类：
Ｂ
A
B
以底面的边数对棱锥进行分类。底面为三角形
的为三棱锥；底面是四边形的叫做四棱
锥……
棱锥的表示法：
我们用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥
A
B
侧面
顶点
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台
球
E’
D’
F’ A’
C’ B’
底 面
ED
侧棱 F
C
A
B
侧面
顶点
思考：倾斜后 的几何体还是 柱体吗？
思考！
有两个面互相平行，其余平面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？为什么？ 棱柱的特征： • 有两个面互相平行 • 其余各面都是四边形； • 每相邻两个四边形的公共边互相平行。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
苏教版学高中数学必修二立体几何初步章末复习课讲义
空间中的平行关系１１１１１１１１点．求证：（１）GE∥平面BDD１B１；（２）平面BDF∥平面B１D１H.思路探究：（１）取B１D１的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．（２）证B１D１∥平面BDF，HD１∥平面BDF.[证明] （１）取B１D１的中点O，连结GO，OB，易证OG错误!B１C１，BE错误!B１C１，∴OG BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD１B１，GE平面BDD１B１，∴GE∥平面BDD１B１.（２）由正方体性质得B１D１∥BD，∵B１D１平面BDF，BD平面BDF，∴B１D１∥平面BDF.连结HB，D１F，易证HBFD１是平行四边形，得HD１∥BF.∵HD １平面BDF，BF平面BDF，∴HD１∥平面BDF.∵B１D１∩HD１＝D１，∴平面BDF∥平面B１D１H.１．判断或证明线面平行的常用方法：（１）利用线面平行的定义（无公共点）；（２）利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥b⇒a∥α）；（３）利用面面平行的性质定理（α∥β，aα⇒a∥β）；（４）利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β）．２．证明面面平行的方法：（１）利用面面平行的定义；（２）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（３）垂直于同一条直线的两个平面平行；（４）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（５）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．１．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[证明] 如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M 为AC的中点．由Q为PA的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，所以OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.空间中的垂直关系的中点．求证：（１）DE＝DA；（２）平面BDM⊥平面ECA；（３）平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.（１）证△DFE≌△ABD，（２）证BN⊥平面ECA，（３）证DM⊥平面ECA.[证明] （１）如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝错误!EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.（２）取CA的中点N，连结MN，BN，则MN错误!EC，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.（３）∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空间垂直关系的判定方法（１）判定线线垂直的方法１计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）；２线面垂直的性质（若a⊥α，bα，则a⊥b）．（２）判定线面垂直的方法１线面垂直的定义（一般不易验证任意性）；２线面垂直的判定定理（a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A⇒a⊥α）；３平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；４面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α）；５面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．（３）面面垂直的判定方法１根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°）；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．２．如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．（１）求证：AP∥平面MBD；（２）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.[证明] （１）如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.（２）因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.空间几何体的体积及表面积４，M为线段AD上一点，AM＝２MD，N为PC的中点．（１）证明MN∥平面PAB；（２）求四面体NBCM的体积．思路探究：（１）利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；（２）先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．[解] （１）证明：由已知得AM＝错误!AD＝２．如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝错误!BC＝２．又AD∥BC，故TN AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.（２）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为错误!PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝３得，AE⊥BC，AE＝错误!＝错误!.由AM∥BC得M到BC的距离为错误!，故S△BCM＝错误!×４×错误!＝２错误!.所以四面体NBCM的体积V NBCM＝错误!×S△BCM×错误!＝错误!.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．３．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.（１）证明：平面PAB⊥平面PAD；（２）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为错误!，求该四棱锥的侧面积．[解] （１）证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（２）如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由（１）知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝错误!x，PE＝错误!x.故四棱锥PABCD的体积V PABCD＝错误!AB·AD·PE＝错误!x３.由题设得错误!x３＝错误!，故x＝２．从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝２，AD＝BC＝２错误!，PB＝PC＝２错误!.可得四棱锥PABCD的侧面积为错误!PA·PD＋错误!PA·AB＋错误!PD·DC＋错误!BC２sin 60°＝6＋２错误!.平面图形的翻折问题E，F分别为PD，PC的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.（１）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（２）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.思路探究：（１）转化为证EF⊥平面PAD；（２）转化为证平面PAB∥平面EFG.[证明] （１）在直角梯形ABCP中，∵BC∥AP，BC＝错误!AP，D为AP的中点．∴BC AD，又AB⊥AP，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥PABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.（２）法一：∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP.∵GF平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB.由（１）知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB.∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二：取AD中点H（略），连结GH，HE.由（１）知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由（１）知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA平面EFGH，EH平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．（１）解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．（２）在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．４．如图（１）所示，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（２）所示．（１）（２）（１）求证：BE∥平面ADF；（２）求三棱锥FBCE的体积．[解] （１）证明：法一：取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝错误!DF，∴EG CD.又∵AB CD，∴EG AB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE平面ADF，AG平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二：由图（１）可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC平面ADF，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF.（２）法一：∵V FBCE＝V BCEF，由图（１）可知BC⊥CD.∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图（１）可知DC＝CE＝１，S△CEF＝错误!CE×DC＝错误!，∴V FBCE＝V BCEF＝错误!×BC×S△CEF＝错误!.法二：由图（１），可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为１，由图（１），可知BC＝CE＝１，S△BCE＝错误!BC×CE＝错误!，∴V FBCE＝错误!×CD×S△BCE＝错误!.法三：过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图（１），可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝错误!＝错误!，S△BCF＝错误!BC×CF＝错误!，在△CEF中，由等面积法可得EH＝错误!，∴V FBCE＝V EBCF＝错误!×EH×S△BCF＝错误!.。
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（2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B'C ' D' E '
公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直
线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是2直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b；
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3 直观图：斜二测画法
4 斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积 S 2rl 2r 2
3 圆锥的表面积 S rl r2
4 圆台的表面积 S rl r2 Rl R2
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如
图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四
个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
3 三个公理：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、c 是三条直线
a∥b c∥b
=>a∥c
强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
A
B
α· C ·
·
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 β 共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
α
P
·
L
1 空间的两条直线有如下三种关系：
符号表示：
aα
bβ
=> a∥α
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L B∈L A∈α
=> L α
A
α·
L
D
α A
C B
B∈α
公理 1 作用：判断直线是否在平面内
（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
aα
a∩α=A
a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台 P A' B'C ' D' E '
5 球的表面积 S 4R2
（二）空间几何体的体积
1 柱体的体积 V S底 h
3 台体的体积
V 4 R3 3
V
1（ S 3
上
2 锥体的体积
V
1 3 S底
h
S上S下 S下 ) h 4 球体的体积
第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
高中数学 必修 2 知识点 1.1 柱、锥、台、球的结构特征
第一章 空间几何体
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B'C ' D' E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD'