动力学平均场理论及其应用
动力学平均场理论的发展及其应用
Issue-1: 关联效应的动量 k 依赖 动量空间各项异性的起源：正方晶格对称性
Kotliar 2006
低维电子系统
CDMFT、DCA、DGA， dual fermion DMFT Rubtsov 2008 DMFT+FRG Taranto 2015
DFG Forschergruppe 1346 Dynamical Mean-Field Approach with Predictive Power for Strongly Correlated Materials 15-19 September 2014, Forschungszentrum Jülich
压缩率κ、磁化率χ、比热 可以由微分得到。
CV
电子密度n 能量E
光电导
热电势Q
热力学巨势Ω
DMFT 的扩展
团簇DMFT —— D=∞ D=2, 1
晶格模型 有效团簇模型 部分 k-分辩的自能
求解团簇模型，自洽计算
开放边界条件
Cellular DMFT
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
团簇
周期边界条件 Dynamical Cluster Approximation
M. H. Hettler et al, PRB 58, 7475 (1998).
LDA ＋ DMFT —— 实际材料的电子结构
给定晶体的电子哈密顿量
LDA Hamiltonian
K. Held, Adv. Phys. 56, 829 (2007).
格点 Hamiltonian 等效外场（环境） 杂质格点： 通过自洽 方程间接 耦合
量子力学中的多体问题求解及其数值算法
量子力学中的多体问题求解及其数值算法引言量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，它的基本原理是薛定谔方程。
然而，当涉及多个粒子的相互作用时，求解薛定谔方程变得异常困难。
本文将介绍量子力学中的多体问题求解以及相关的数值算法。
多体问题的复杂性在量子力学中，多体问题指的是涉及多个粒子的系统。
这些粒子之间可能存在相互作用，这使得求解薛定谔方程变得非常困难。
多体问题的复杂性主要体现在以下几个方面。
1. 粒子数目巨大：在宏观尺度下，物质由大量的粒子组成。
例如，一个小水杯中的水分子数量就达到了约10^24个。
求解涉及如此多粒子的薛定谔方程是一项巨大的挑战。
2. 相互作用的复杂性：多体系统中的粒子之间可能存在各种各样的相互作用，如库仑相互作用、强相互作用等。
这些相互作用的复杂性使得薛定谔方程无法简单地通过解析方法求解。
3. 维度的增加：对于一个含有N个粒子的系统，其在三维空间中的描述需要3N个坐标。
当N很大时，系统的维度也随之增加，使得求解薛定谔方程的计算量变得巨大。
多体问题的求解方法为了解决多体问题，研究者们提出了多种求解方法。
以下是一些常用的方法：1. 平均场理论：平均场理论是一种简化多体问题的方法。
它假设每个粒子只受到平均场的作用，忽略了粒子之间的相互作用。
这种方法适用于某些特定情况下，如理想气体模型，但在处理相互作用较强的系统时效果较差。
2. 近似方法：由于多体问题的复杂性，研究者们发展了许多近似方法来求解薛定谔方程。
其中一种常用的近似方法是微扰理论，它将相互作用看作是一个小的扰动，通过对薛定谔方程进行级数展开来求解。
此外，还有变分法、哈特里-福克方法等。
3. 数值方法：数值方法是求解多体问题的一种重要方法。
它通过将薛定谔方程转化为一个离散的数值问题来求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法将连续的薛定谔方程转化为离散的方程组，通过迭代求解来获得系统的波函数。
数值算法的应用数值算法在解决多体问题中发挥着重要的作用。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复DMFT方法，全称为Dynamical Mean-Field Theory（动力平均场理论），是一种用于研究强关联电子系统的计算方法。
DMFT方法的提出与发展，为理解和解析复杂材料的物理性质提供了强有力的工具。
本文将一步一步回答有关DMFT方法的问题，详细介绍其原理、应用和发展。
一、什么是动力平均场理论（DMFT）？动力平均场理论是一种用于研究强关联系统的计算方法，它将原本复杂的电子系统转化为一个等效的单个电子在平均场下运动的问题。
该理论通过将决定电子系统行为的动力学效应纳入到平均场近似中，从而能较好地描述强关联电子体系中的物理现象。
二、DMFT方法的原理是什么？1. 平均场近似：DMFT方法的核心思想是将电子系统的相互作用效应平均对待，将其视为一个等效的平均场作用，因此DMFT方法着重研究无穷维强关联系统。
平均场近似的优势在于简化了计算，并能较好地描述电子系统的平均行为。
2. 动力学效应的引入：在传统的平均场理论中，电子系统被认为是静态的，忽略了时间演化的影响。
而DMFT方法通过引入动力学效应，将系统的非平衡、动态行为考虑在内。
这种引入动力学效应的方法是通过解决与一个介质相互作用的单个格林函数的方程来实现的。
3. 图像创建：DMFT方法将原子物理问题视为晶格中某个特定原子与其余部分的相互作用问题。
在这个基础上，构建了在图像中生成原子耦合格林函数的表达式，并通过动力学平均场近似来简化这些表达式。
三、DMFT方法的应用有哪些？DMFT方法的应用范围涵盖了许多强关联电子系统、包括金属-绝缘体转变、磁性、超导、电荷密度波等性质。
以下是该方法在几个具体领域的应用示例：1. 金属-绝缘体转变：DMFT方法可以用来研究金属-绝缘体转变，通过计算格林函数和自能来描述电子的强关联效应。
这有助于理解金属和绝缘体的不同电子行为和导电性质。
2. 磁性：DMFT方法对磁性现象的研究也取得了重要进展。
例如，通过考虑自旋自洽近似和Hubbard模型，可以揭示出某些金属中的磁性行为。
动力学平均场
动力学平均场动力学平均场是一种用于描述大规模复杂系统行为的理论方法。
它基于统计物理学中的平均场理论，将系统中的每个个体视为相互作用的单元，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
通过对整个系统进行平均处理，动力学平均场可以有效地描述系统的宏观行为。
在动力学平均场中，个体之间的相互作用被视为平均场的外部影响。
这些相互作用可以是物理上的相互作用，也可以是信息传递或认知影响等非物理因素。
通过对这些相互作用进行平均处理，可以得到系统的平均行为，并预测系统的动力学演化。
动力学平均场的应用非常广泛，涵盖了许多不同领域。
在生物学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、神经网络和生物化学反应等。
在社会科学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、市场竞争和社会网络等。
在物理学和化学中，动力学平均场可以用于研究相变、化学反应和自组织等。
动力学平均场的基本思想是将系统分解为许多个体，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
具体而言，动力学平均场将系统的状态表示为每个个体的状态的集合，并假设每个个体的状态变化仅依赖于平均场和个体自身的状态。
通过对每个个体的状态进行平均处理，可以得到系统的平均状态，并预测系统的演化。
动力学平均场的关键是建立个体之间的相互作用和个体自身的状态变化之间的关系。
这可以通过数学模型和计算方法来实现。
常用的动力学平均场模型包括Ising模型、Hopfield模型和Kuramoto模型等。
这些模型可以描述不同类型的相互作用和状态变化，并通过数值模拟和解析方法进行分析和预测。
动力学平均场的优点在于它可以有效地描述大规模复杂系统的行为。
由于平均场的影响，系统的行为可以由每个个体的状态和平均场的状态来表示，而不需要考虑个体之间的具体相互作用。
这使得动力学平均场可以简化系统的描述和分析，提供系统行为的整体性和一般性。
然而，动力学平均场也有一些局限性。
首先，它基于对系统的平均处理，可能会忽略个体之间的具体相互作用和异质性。
平均场理论
相对论重离子碰撞过程：
thanks
参与强作用的介子和重子统称强子，所以描 述相对论性原子核多体问题的理论框架应当 是 量子强子动力学 (QHD-QuantumHadron Dynamics)。QHD 比较成熟而常用的理论是 Walecka 模型。当前在Walecka 模型的框架内， 已建立起相对论性的原子核的平均场理论。 在这个理论中， 核子按照包含自洽平均场的 Dirac 方程运动，此时的平均场是由介子场产 生的，而产生介子场的源又是核子的各种密 度和流。 这样，核子与介子场就成为一个耦 合的自洽系统。
7、原子核的平均场理论：原子核的壳层 结构
A. 原子核中核子的独立粒子运动与幻数的存 在： 在量子核子动力学（ QND）的理论框架 内， 原子核是由质子、中子组成的费米子多 体系统，质子和中子统称核子；质子之间存 在着长程的库仓斥力，核子之间存在着短程 的核力。核力是强相互作用，总体表现为很 强的吸引力，但在极小距离也表现出斥力。
而且粒子之间的运动互相影响、相互关联这 也是所有多体体系的共同特点。（如前所述， 如果粒子之间没有相互作用、 没有关联， 相 应的问题总可以转化为单体问题来处理）。 现如今，非相对论量子多体理论的任务是求 解多体体系的薛定谔方程，通过研究多体系 统的物理，计算多体体系的各种物理性质。
3、平均场 的 本理论的基本思想 首先，平均场方法是最常见也最实用的 处理量子多体问题的手段。 其次，我们以多电子体系为例，用一个 （单体）有效场来代替电子所受到的其他电 的库仑相 作用子的库仑相互作用。这个有效 场包含了所有其他电子对该电子的相互作用。 利用有效场取代电子之间的库仑相互作用之 后，每一个电子在一个有效场中运动，电子 与电子之间的运动是独立的(除了需要考虑 泡利不相容原理)， 原来的多体问题就能转 化为单体问题。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复什么是DMFT方法？DMFT方法（Dynamical Mean-Field Theory，动力平均场理论）是一种用于描述复杂物质中电子行为的理论框架。
它是从数学物理学中的自由能最小化原理出发，通过将复杂系统简化为单个相互作用的动力学平均场来研究系统的行为。
首先，DMFT方法基于动力学平均场近似，它假设整个多体系统中的每个格点上的行为可以通过单个局部格点上的行为来近似。
所谓的“动力学平均场”是指系统的时间演化是通过自旋和轨道的动力学方程描述的。
这个近似对于自旋和轨道的强局域约束下的系统非常有效，而在远离局域约束的系统中则并不适用。
其次，DMFT方法将原来的复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题。
这是通过切断多体自能的虚线图来实现的。
自能是描述相互作用系统中电子行为的关键量，通过将自能近似为局域的函数来简化计算。
这里的关键是写出自能的表达式，必须包含所有以相互作用开头和结尾的图的贡献，同时将这些贡献在几何平均的自洽步骤中合并。
进一步，DMFT方法使用Green函数形式描述电子行为。
Green函数是描述系统中电子的传播和相互作用的重要工具。
通过计算格点上的Green函数，可以获得系统的电子束缚态和自能等重要信息。
DMFT将整个多体问题转化为求解一个由格点Green函数组成的动力学问题，通过解决这个动力学问题可以得到系统的电子行为。
最后，DMFT方法通常与其他理论和实验方法相结合，以完整地描述系统的行为。
例如，它常与输运理论和密度泛净汇方法（DFT）结合使用，以研究电子输运性质和材料的电子结构。
同时，通过与角分辨光电子能谱（ARPES）等实验方法的对比，可以验证DMFT方法的有效性。
总的来说，DMFT方法是一种基于动力学平均场理论的方法，通过将复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题来研究材料中的电子行为。
它在研究复杂材料的电子结构和输运性质方面具有重要的应用价值。
动力学方程的求解方法与应用
动力学方程的求解方法与应用引言：动力学方程是描述物体运动规律的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将介绍动力学方程的求解方法及其在实际应用中的重要性。
一、常见的动力学方程求解方法1. 解析解法：解析解法是指通过数学方法直接求解动力学方程的解。
对于简单的动力学方程，如一阶线性常微分方程，可以通过分离变量、积分等方法求得解析解。
这种方法具有精确性和直观性，但对于复杂的动力学方程往往无法求得解析解。
2. 数值解法：数值解法是通过数值计算的方式求解动力学方程的解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将时间和空间离散化，将动力学方程转化为差分方程或差分方程组，然后使用迭代计算的方式逼近真实解。
数值解法具有适用范围广、计算速度快的优点，但精度相对较低。
3. 近似解法：近似解法是通过对动力学方程进行适当的简化和近似，得到近似的解析解。
常见的近似解法包括级数展开法、平均场理论等。
这些方法在一定的假设条件下，可以得到简化后的动力学方程，从而得到近似解。
近似解法具有计算简便、可解释性强的特点，但在某些情况下可能会引入较大的误差。
二、动力学方程求解方法的应用1. 物理学领域：在物理学中，动力学方程的求解方法广泛应用于描述物体的运动规律。
例如，牛顿第二定律可以通过动力学方程求解方法得到物体的加速度、速度和位移随时间的变化规律。
这对于研究物体的运动特性、力学性质等具有重要意义。
2. 工程学领域：在工程学中，动力学方程的求解方法被广泛应用于控制系统、机械振动、电路分析等领域。
例如，控制系统中的状态方程可以通过动力学方程求解方法得到系统的稳定性、响应速度等性能指标。
这对于设计和优化控制系统具有重要意义。
3. 生物学领域：在生物学中，动力学方程的求解方法被广泛应用于描述生物体的生长、代谢、传播等过程。
例如，生物体的生长模型可以通过动力学方程求解方法得到生物体的生长速率、饱和状态等信息。
这对于研究生物体的生物学特性、生态系统的稳定性等具有重要意义。
动力学平均场 k.haule
动力学平均场理论（Kinetics Mean-Field Theory，简称KMFT）是一种研究材料中原子或分子在动力学过程中的平均行为的模型。
该理论是由美国加州大学伯克利分校的Haule教授提出，用于研究高温超导材料中的自旋涨落行为。
在动力学平均场理论中，原子或分子的相互作用被模型化为一系列哈密顿量，这些哈密顿量描述了原子或分子之间的相互作用。
然后，通过求解这些哈密顿量的时间演化方程，可以得到原子或分子的平均行为。
具体来说，动力学平均场理论包括以下步骤：
1.定义原子或分子的哈密顿量，包括自旋-自旋相互作用、自旋-轨道相互作用、电场等。
2.通过求解时间演化方程，得到原子或分子的平均行为。
3.将原子或分子的平均行为代入到哈密顿量中，得到新的哈密顿量。
4.重复步骤2和3，直到达到平衡态。
动力学平均场理论可以用于研究高温超导材料中的自旋涨落行为，以及其他涉及到原子或分子动力学行为的物理现象。
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动力学平均场理论及其应用
中国人民大学物理系
2012.04.18,北京理工大学
提纲
1、动力学平均场理论（DMFT）介绍
2、DMFT理论框架
3、DMFT的扩展
4、DMFT的应用（总结）
原始格点Hamiltonian
原始格点Hamiltonian
（2）DMFT 的推导方法
（e ）动力学CPA
（1）的特点
∞=D （a ）要得到U ＝0 的正确结果，必须对hopping 做变化：动力学平均场理论的推导（历史）
（b ）在此极限下，Gutzwiller 变分可以精确计算[ Vollhardt ，Metzner 1989 ]（c ）自能成为空间局域的)( )(n ij n ij i i ωδωΣ=Σ[ Mueller －Hartman 1989 ]
（a ）微扰理论
[ Metzner, Mueller －Hartman, Brandt, Mielsch 1989 ]
（c ）Cavity 方法
[ Georges, Kotliar 1996 ]
（d ）自能泛函变分理论[ Potthoff 2003 ]
[ Kakehashi 1992]
（b ）“Weiss 场”＋杂质模型[ Georges, Kotliar 1992]
（1）小
（a）U＝0严格解
（
ε
D
∫+∞)(
（3）中间U 区域
最困难的区域：
Hartree-Fock vs Heitler-London
Gutzwiller Appr. vs Hubbard-I、-II、-III Appr.
U-exapansion vs t-expansion
DMFT 可以给出统一的描述。
Hubbard -III 近似J. Hubbard, Proc. Roy. Soc.A 281, 401 (1964).
☯
W. F. Brinkman et al .,PRB 2, 4302 (1970).
∑∑++−
=n n U c c t H
DMFT（IPT）DMFT（NRG）☯A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).
随U 和空穴浓度的变化
DMFT（ED）
Gutzwiller近似
DMFT（ED）（Ns＝6）DMFT（NRG）
☯N. H. Tong et al., PRB 64, 235109 (2001).
☯R. Bulla et al., PRB 64, 045103 (2001).
作用量形式
[]
局域态密度−=
1
)(ερσ可以由微分得到。
求解杂质模型的方法
微扰理论(IPT)
Slave Boson 平均场理论 Non-crossing近似（NCA） 投影自洽技术（PSCT） 双时格林函数运动方程（EOM） 线性化动力学平均场理论（LDMFT） 精确对角化（ED）
量子Monte Carlo（QMC）
数值重整化群（NRG）
密度矩阵重整化群（DMRG）
impurity solver
分辨的自能
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
（a）赝能隙DCA：2×2团簇
不符合Mermin－Wagner定理
☯Th. A. Maier et al, Phys. Rev. Lett. 95, 237001 (2005);
Phys. Rev. Lett. 96, 047005 (2006)
处理非局域相互作用：、
☯Q. Si and J. L. Smith, PRL 77, 3391 (1996).
☯H. Kajueter, Ph.D. thesis, Rutgers University, 1996.
的有效杂质模型：
通常的图像EDMFT产生的新图像
M. Potthof, EPJB 32, 429 (2003);
给定晶体的原始LDA Hamiltonian
构造LDA＋DMFT的Hamiltonian
U ——轨道内部Coulomb排斥
V ——不同轨道之间Coulomb排斥
J ——Hund’s 交换作用
——配对跃迁项
——Double Counting 修正
弱关联金属强关联金属强关联绝缘体
☯I. A. Nekrasov et al, PRB 72, 155106 (2005).
其它
（6）非平衡DMFT
（7）玻色子DMFT
（8）Dual Fermion Approach
巡游铁磁性
D. Vollhardt et al., Advances in Solid State
Physics 38, 383 (1999).
Mott转变
A. Georges et al., Rev. Mod. Phys. 68, 13
(1996).
重费米子体系
Q. Si et al., Nature 413, 804 (2001).
量子化学
Nan Lin et al, PRL 106, 096402 (2011) 高温超导
Th. Maier et al., PRL85, 1524 (2000).
巨磁电阻锰氧化物
A. J. Millis et al., PRL77, 175 (1996).
LDA+DMFT 计算
H. Held et al., Int. J. Mod. Phys. B 15, 2611
(2001).
冷原子体系
A. Hubener et al, PRB 80, 245109 （2009）.
4.DMFT 的应用（总结）
谢谢！。