资金的等值计算
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技术经济学
谭萍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 资金的等值计算
一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。 二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公
式的应用） 三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周
期与支付周期不等情况下的复利计算）
如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称
为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之 外再得到一笔利息，这一过程可表示为：
复利法：I=F – P =1000 ×(1+6%)5 – 1000 =338.23万元 单利法：I= F – P = P × i × n =1000×5 ×6%=300万元
从例中可以看到， ①当单利计算和复利计算的利率相等时，资金的复 利值大于单利值，且时间越长，差别越大。
②由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续 不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义 上来说，复利计算方法比单利计算更能反映货币的 时间价值。因此在技术经济分析中，绝大多数情况 是采用复利计算.
单利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期×m) 利息 P×i期×m 年利率：P×i期×m / P = i期×m = r
复利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息 P(1+i期) m - P 年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1
所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1
这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说, 名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息 周期数的乘积。
但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月 计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应 比12%略大些。
设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周 期的利率应为r／m， 求一年后本利和、年利率？
名义利率与实际利率的计算
在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计 息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小 于一年时，一年内计算利息的次数不止一次了，在 复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息， 因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。
假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常 称为“年利率12%，每月计息一次”。
例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%，每月计息一次， 则年初借款10万元，则1年末一次性需偿还本利和多少？
年名义利率：6.39%； 月实际利率：6.39%/12=0.5325% 年实际利率：（1+6.39%/12）12 –1=6.58% 10*（1+6.39%/12）12=10.658万 10*（1+6.58%）=10.658万
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%,单位：元）
年份 年初帐面余额 年利息
年末本利和
1
100
10
110
2
110
10
120
3
120
10
130
单利计算公式为： F＝P（l ＋ i n） 总利息 :I＝F - P ＝P i n
2）复利：以本金与累计利息之和为基数计 算利息，即“利滚利”。
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%，单位：元)
解： 单利计息法公式：F前3年＝P(1＋ i n) 复利计息法公式：F后4年＝P(1＋ i)n
F=10000(1+10%×3)(1+10%)4 =19033元 最后可收回本利和是19033元。
讨论：
▪ 现在存入银行100元，年利率为12%，一年 末一次性可以取出本利和多少？
▪ 若一个月计息一次，则一年末可以取出本利 和多少？
年份 年初帐面余 年利息 额
年末本利和
1
100
10
110
2
110
11
121
3
121
12.1
133.1
复利计算公式为： 终值F＝P（1＋ i ）n 总利息： I＝F-P
通常，商业银行的贷款是按复利计息的。
例 某企业以6%的年利率向银行贷款1000万元，贷 款期5年，分别以单利、复利计算。问5年后企业支 付多少利息?如果贷款期为十年呢？
③
复利
间断复利：计息周期为一定的时 间区间（年、季、月）
连续复利：计息周期无限缩短
间断复利
连续复利
从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过 生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能 无限缩短，因而采用较为简单的间断复利计息。
例：某人把10000元，按利率10%（以单利计息）借 给朋友3年。3年后，改以复利计息，朋友又使用了4 年。最后他从朋友那里收回的本利和F是多少？
F=P+I
式中: F——本利和 P——本金 I——利息
利率几个习惯说法的解释： “利率为8%”——指：年利率为8%，一年计息一次。
“利率为8%，半年计息一次”——指：年利率为8%， 每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。
计息的方式——单利与复利
1）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不 再计息。
计息期 年
半年 季度
月 星期
日 连续
年计息次数 1 2 4 12 52
365 ∞
计息周期利率（%） 6.0000 3.0000 1.5000 0.5000 0.1154 0.0164 0.0000
年实际利率（%） 6.0000 6.0900 6.1364 6.1678 6.1797 6.1799 6.1837
例:住房按揭贷款 名义利率i =5.04%，每年计息12次 计息期利率：r/m=4.2‰ （月息） i ＝（1+r／m）m - 1
＝ （1+5.04％／12）12 - 1 ＝5.158％ 实际利率：i=5.158%（年利率）
例（P36）现设年名义利率r＝6%，则年、半年、季、 月、星期、日的年实际利率如下表所示。
▪ 每年计息周期越多，年实际利率和名义利率相差就 越大。
▪ 在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同， 就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利 率进行评价，否则会得出不正确的结论。
总结
当利率周期与计息周期不等时，一般有两种 处理方法： (1)将其换算为实际利率后，再进行计算； (2)直接按单位计息周期利率来计算，但计息 期数要作相应调整。
当m＝1时，名义利率等于实际利率； 当m＞1时，实际利率大于名义利率。 当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的 关系为：
i lim [(1 r / m)m 1] lim [(1 r / m)m/r ]r 1 er 1
m
m
注意： 如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数 情况下都是年名义利率。
谭萍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 资金的等值计算
一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。 二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公
式的应用） 三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周
期与支付周期不等情况下的复利计算）
如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称
为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之 外再得到一笔利息，这一过程可表示为：
复利法：I=F – P =1000 ×(1+6%)5 – 1000 =338.23万元 单利法：I= F – P = P × i × n =1000×5 ×6%=300万元
从例中可以看到， ①当单利计算和复利计算的利率相等时，资金的复 利值大于单利值，且时间越长，差别越大。
②由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续 不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义 上来说，复利计算方法比单利计算更能反映货币的 时间价值。因此在技术经济分析中，绝大多数情况 是采用复利计算.
单利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期×m) 利息 P×i期×m 年利率：P×i期×m / P = i期×m = r
复利方法： 一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息 P(1+i期) m - P 年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1
所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1
这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说, 名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息 周期数的乘积。
但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月 计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应 比12%略大些。
设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周 期的利率应为r／m， 求一年后本利和、年利率？
名义利率与实际利率的计算
在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计 息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小 于一年时，一年内计算利息的次数不止一次了，在 复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息， 因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。
假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常 称为“年利率12%，每月计息一次”。
例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%，每月计息一次， 则年初借款10万元，则1年末一次性需偿还本利和多少？
年名义利率：6.39%； 月实际利率：6.39%/12=0.5325% 年实际利率：（1+6.39%/12）12 –1=6.58% 10*（1+6.39%/12）12=10.658万 10*（1+6.58%）=10.658万
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%,单位：元）
年份 年初帐面余额 年利息
年末本利和
1
100
10
110
2
110
10
120
3
120
10
130
单利计算公式为： F＝P（l ＋ i n） 总利息 :I＝F - P ＝P i n
2）复利：以本金与累计利息之和为基数计 算利息，即“利滚利”。
例：本金100元,三年后本利和为 (i=10%，单位：元)
解： 单利计息法公式：F前3年＝P(1＋ i n) 复利计息法公式：F后4年＝P(1＋ i)n
F=10000(1+10%×3)(1+10%)4 =19033元 最后可收回本利和是19033元。
讨论：
▪ 现在存入银行100元，年利率为12%，一年 末一次性可以取出本利和多少？
▪ 若一个月计息一次，则一年末可以取出本利 和多少？
年份 年初帐面余 年利息 额
年末本利和
1
100
10
110
2
110
11
121
3
121
12.1
133.1
复利计算公式为： 终值F＝P（1＋ i ）n 总利息： I＝F-P
通常，商业银行的贷款是按复利计息的。
例 某企业以6%的年利率向银行贷款1000万元，贷 款期5年，分别以单利、复利计算。问5年后企业支 付多少利息?如果贷款期为十年呢？
③
复利
间断复利：计息周期为一定的时 间区间（年、季、月）
连续复利：计息周期无限缩短
间断复利
连续复利
从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过 生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能 无限缩短，因而采用较为简单的间断复利计息。
例：某人把10000元，按利率10%（以单利计息）借 给朋友3年。3年后，改以复利计息，朋友又使用了4 年。最后他从朋友那里收回的本利和F是多少？
F=P+I
式中: F——本利和 P——本金 I——利息
利率几个习惯说法的解释： “利率为8%”——指：年利率为8%，一年计息一次。
“利率为8%，半年计息一次”——指：年利率为8%， 每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。
计息的方式——单利与复利
1）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不 再计息。
计息期 年
半年 季度
月 星期
日 连续
年计息次数 1 2 4 12 52
365 ∞
计息周期利率（%） 6.0000 3.0000 1.5000 0.5000 0.1154 0.0164 0.0000
年实际利率（%） 6.0000 6.0900 6.1364 6.1678 6.1797 6.1799 6.1837
例:住房按揭贷款 名义利率i =5.04%，每年计息12次 计息期利率：r/m=4.2‰ （月息） i ＝（1+r／m）m - 1
＝ （1+5.04％／12）12 - 1 ＝5.158％ 实际利率：i=5.158%（年利率）
例（P36）现设年名义利率r＝6%，则年、半年、季、 月、星期、日的年实际利率如下表所示。
▪ 每年计息周期越多，年实际利率和名义利率相差就 越大。
▪ 在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同， 就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利 率进行评价，否则会得出不正确的结论。
总结
当利率周期与计息周期不等时，一般有两种 处理方法： (1)将其换算为实际利率后，再进行计算； (2)直接按单位计息周期利率来计算，但计息 期数要作相应调整。
当m＝1时，名义利率等于实际利率； 当m＞1时，实际利率大于名义利率。 当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的 关系为：
i lim [(1 r / m)m 1] lim [(1 r / m)m/r ]r 1 er 1
m
m
注意： 如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数 情况下都是年名义利率。