三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
等参单元及其应用
等参单元及其应用摘要本文主要讲述等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。
等参单元的数值积分方法，等参单元刚度矩阵的数值积分方法及确定积分阶的原理。
全积分、减缩积分单元讨论和评价。
线性等参单元和非协调元，全积分、减缩积分线性等参单元和非协调元有关问题的分析讨论。
关键词等参单元; 数值积分; 应用1.引言用有限元法划分单元时，单元的节点数越多，单元精度越高。
因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元。
但单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。
所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。
任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。
这类单元称为等参单元。
等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。
2.等参单元的数值积分方法2.1 高斯数值积分的基本概念一维高斯数值积分公式：i ni i H x f dx x f I )()(111∑⎰=-== 其中：积分点-i x ，积分点数目，积分阶-n ，权重系数-i H结论：n 阶高斯积分公式对 2n-1 次多项式被积函数可求得精确积分！ 同理，对二维高斯积分：),(),(111111i i j n i nj i F H H d d F I ηξηξηξ∑∑⎰⎰==--==积分公式对ξ，η方向最高方次为 2n-1 的多项式可求得精确值。
2.2 减缩积分的原理实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数，这种积分方案称为减缩积分。
三维高次等参元退化单元在有限元中的应用
Ｅ Ｃ设 计效 果非 常好 。 Ｍ
５ 结论 和建议
通 过两种 不 同机车 的 Ｅ ＭＣ设 计 可 以看 出 ，严格 遵 循 Ｅ ＭＣ设 计原则 ，先 将所有 电缆 进行 分类 ，在 实 际布 线 中将不 同类别 的 电缆 尽 可 能分 开 、金 属 薄 板 和屏 蔽 等 方式 进 行分 离 ，使用绞 合 电缆 和 绞 合缆 芯 ，安装 时 尽 可能 靠 近机 车 的 导 电结 构 ，使 用 金 属 线 槽 ，屏 蔽 多 点 接地 ， 接地 线尽 可 能 得 短 ，接 地 在 尽 可 能 大 的 面积 上进 行 ，
中 图 分 类 号 ：Ｏ ４ ．２ ２ １８ 文 献 标 志 码 ：Ａ
周伟 （９ ２ １８ 一）男 ，湖南 宁乡人 ，硕士生 （ 收稿 日期 ：２０ — ７ ６ （ ７ ０ —２ ） １
（）控制 用导线 、行 车 安 全 设 备线 和 电 台线 采 用 １
预布线 型式 ，车下 预 布 好后 吊装 上 车 即 可 ，导线 位 于 车体 两侧顶 上 的布线 槽 内 ，布 线 槽 采用 铝 制 线 槽 ，各 线 槽 间用编 织线互 连 ，线槽 就 近多 点接地 ； （ ）牵 引 电机线 和辅 助 电路 导 线 位 于 中 间走 廊地 ２ 板下方 ，也采 用预 布线 型式 ，车下 预 布好 后 吊装 上 车
况下单元节点插值 形函数 的构造 和修改 ，研究 了混合单元 的有限元求解流程 ，并编写了相关 的求解程序 ，通过 具体算例比较 了混合单元 与全六 面体等参元 网格 的计算情况 ，结果表 明三维高次等参单 元及 其退化单元 的混合
应用不仅可以适应较 为复杂 的空 间实体计算 网格 ，而且还能满足精度上的要求 ，具 有重要的工程意义 。 关键词 有限元 ；等参元 ；退化单元
有限元分析与应用详细例题
《有限元剖析与应用》详尽例题试题 1：图示无穷长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元剖析，并对以下几种计算方案进行比较：1）分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采纳不一样数目的三节点常应变单元计算；3）入选常应变三角单元时，分别采纳不一样区分方案计算。
一．问题描绘及数学建模无穷长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无穷长的地基看着平面三角形的底边受固定支座拘束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。
二．建模及计算过程1.分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下边简述三节点常应变单元有限元建模过程（其余种类的建模过程近似）：进入 ANSYS【开始】→【程序】→ANSYS → ANSYS Product Launcher → change the working directory→ Job Name: shiti1 → Run设置计算种类ANSYS Main Menu: Preferences → select Structural→ OK元型元是三节点常应变单元，能够用 4 节点退化表示。
ANSYS Main Menu: Preprocessor→ Element Type→ Add/Edit/Delete→ Add→ select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options ⋯→ select K3: Plane Strain →OK→ Close (the Element Type window)定资料参数资料，可找的参数并在有限元中定，此中性模量E=210Gpa，泊松比 v=。
ANSYS Main Menu : Preprocessor → Material Props → Material Models→ Structural→ Linear→Elastic → Isotropic→ input EX:, PRXY:→ OK生成几何模型生成特点点ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→Keypoints→ In Active CS→挨次入四个点的坐：input:1(0,0),2(3,0),3(6,0),4(3,5),5(0,10),6(0,5) → OK生成体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→ Areas→ Arbitrary→ Through KPS→挨次接1,2,6;2,3,4;2,4,6;4,5,6 三个特点点→ OK网格区分ANSYS Main Menu : Preprocessor→ Meshing→ Mesh Tool→ (Size Controls) Global: Set→ input NDIV: 1→ OK → (back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free → Mesh → Pick All (in Picking Menu) → Close( the Mesh Tool window)模型施加束分下底和直的施加x 和 y 方向的束ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→ Structural→ Displacement→ On lines →底→OK → select:ALL DOF → OK斜施加x 方向的散布荷ANSYS 命令菜: Parameters→ Functions→ Define/Edit→ 1)在下方的下拉列表框内x ,作置的量；2) 在Result窗口中出{X},写入所施加的荷函数：1000*{X} ；3) File>Save(文件展名：func)→返回：Parameters→ Functions→ Read from file：将需要的.func文件翻开，任一个参数名，它表示随之将施加的荷→ OK→ ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→Structural→ Pressure→ On Lines→拾取斜；OK→在下拉列表框中，：Existing table (来自用定的量)→ OK →需要的荷参数名→OK剖析算ANSYS Main Menu: Solution→Solve→ Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window)→OK果示确立目前数据最后步的数据ANSYS Main Menu: General Postproc→ Read Result→ Last Set看在外力作用下的形ANSYS Main Menu: General Postproc→ Plot Results → Deformed Shape→select Def + Undeformed→ OK看点位移散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: DOF solution→Displacement vctor sum→ Def + Undeformed→OK看点力散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: Stress→ XY shear stress→Def + Undeformed → OK退出系ANSYS Utility Menu: File→ Exit ⋯→ Save Everything→ OK三．结果剖析三节点常应变单元（ 6 个节点， 4 个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图六节点常应变单元（ 6个节点， 4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较单元区分方案变形大小应力大小应变大小值的比较剖析三节点三角形DMX:DMX:DMX: 1.最大变形值小；单元SMX:SMN:2778SMN: 2.最大应力值小；SMX:8749SMX: 3.最大应变值小。
岩石力学三维有限元分析的代数多重网格求解法
第25卷第11期岩石力学与工程学报V ol.25No.11 2006年11月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov.，2006岩石力学三维有限元分析的代数多重网格求解法谢学斌1，肖映雄2，舒适3，潘长良1(1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083；2. 湘潭大学基础力学与材料工程研究所，湖南湘潭 411105；3. 湘潭大学计算与应用数学研究所，湖南湘潭411105)摘要：多重网格法是一种求解由偏微分方程边值问题所导出的代数方程组的快速算法，几何多重网格法存在某些缺陷，影响它的推广应用。
采用代数多重网格法求解岩石力学三维有限元离散线性方程组，简要介绍代数多重网格三维粗网格形成方法与三维插值算子，利用研制的基于代数多重网格法的三维有限元程序进行一系列数值试验。
结果表明：代数多重网格法求解各种复杂计算条件下岩石力学三维有限元方程时具有良好的收敛特性和较强的适应能力，计算效率远高于直接法求解器，为大规模岩土工程三维有限元分析提供一种快速有效的方法。
关键词：岩石力学；代数多重网格法；粗化技术；插值算子；三维有限元；数值方法中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)11–2358–06 ALGEBRAIC MULTIGRID METHOD FOR THREE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENT ANALYSIS OF ROCK MECHANICSXIE Xuebin1，XIAO Yingxiong2，SHU Shi3，PAN Changliang1(1. School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha，Hunan410083，China；2.Institute of Fundamental Mechanics and Material Engineering，Xiangtan University，Xiangtan，Hunan411105，China；3. Institute of Computational and Applied Mathematics，Xiangtan University，Xiangtan，Hunan411105，China)Abstract：Multigrid method solver is of high numerical efficiency when used in solving linear equations derived from boundary-value problems of partial differential equations. There are some shortages in geometrical multigrid method which restricts its application area. The algebraic multigrid method is used to solve finite element linear equations which are derived from three-dimensional finite element analysis of rock mechanics and engineering. The three-dimensional coarse-grid selection method based on element agglomeration and the three-dimensional interpolation operator are briefly introduced. By using the newly developed three-dimensional finite element program based on algebraic multigrid method，four different numerical experiments are designed，and carried out to validate its convergence character，numerical efficiency and practical application to modeling excavation problem of rock engineering. The numerical experiments show that the algebraic multigrid method is of better stability，good convergence character and better adaptability，with much higher numerical efficiency with increasing of the number of linear equations and much less computer memory compared with direct method. Increasing. The algebraic multigrid method has much better numerical efficiency. The algebraic multigrid method is suitable and efficient for three-dimensional finite element modelling of large-scale geomechanical engineering. Key words：rock mechanics；algebraic multigrid method；coarsening technique；interpolation operator；three-dimensional finite element；numerical method收稿日期：2005–12–28；修回日期：2006–06–05基金项目：国家自然科学基金资助项目(10376031)；高性能科学计算研究资助项目(2005CB321702)作者简介：谢学斌(1968–)，男，博士，1989年毕业于中南工业大学采矿工程专业，现任副教授，主要从事岩土工程数值模拟研究和岩土灾害防治方面的教学与研究工作。
有限元分析与应用 第6讲、等参单元
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
岩土工程极限分析有限元法及其应用 张文君
岩土工程极限分析有限元法及其应用张文君摘要：在经济迅速发展的形势下，我国的各行各业都在自己的领域不断发展与进步，当然岩土工程也不例外，作为人类赖以生存和发展对象（岩土体），服务于人类的重要工程项目，为保障岩土工程特别是各类建设工程的建造质量和投资效率，科学合理地利用岩土体，确保工程项目顺利建成，运用有限元分析对岩土工程进行解读和利用是很有必要的，但是，就目前情况而言，岩土工程有限元分析中还存在着一些问题，这将直接影响工程的建造质量。
此文就岩土工程极限分析有限元法相关问题的解决方案展开分析。
关键词：岩土工程；有限元分析；若干问题；风险一、前言岩土工程是一种涉及诸多学科的项目类型，涉及岩土勘察、治理设计、施工规划和风险处理。
岩土工程可选择有限元分析的方式，完成对岩土工程的风险分析、岩土工程稳定分析等。
但是，在实际岩土工程有限元分析中，一些问题是确实存在的，这些问题影响了岩土工程的稳定性分析评价、设计思路与原则、治理措施选定等，可能会导致岩土工程治理以及安全事故的发生，亟需改进。
基于此，本文对岩土工程有限元分析展开解读，分析具体存在的几点问题，具体内容如下。
二、简述岩土工程理论的形成及发展岩土工程理论从时间段上看，可以大致分为以下几个时期：首先，原始时期人类对岩土可以用于抵御自然气候及凶猛动物的基本认知；其次，西方国家开展岩土工程实践，如修建地铁等，在此过程中所形成的基于岩土和水电利用及防护的认知；第三，工程力学的分支之一，土力学的诞生为研究土体与地质作用之间的应力关系提供了理论支撑及指导,岩土工程理论在此时期获得了较快发展，第四，进入近代社会后,在岩土信息勘察及工程施工技术的联合促进下，岩土工程理论的精度和广度都有了大幅扩展，岩土工程理论趋于成熟。
作为我国岩土工程理论来讲，其在形成发展中实现了与水文地质、工程地质、环境地质等水工环地质理论的互相融合,并在一些大型水电工程建设实践的印证下,对理论内容不断加以丰富及拓展，形成了岩土工程理论与实践并行,国内外岩土工程理论并存的理论架构体系。
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Abstract: In the 3-D finite element analysis of complex geotechnical structures such as earth-rockfill dams, the hexahedral elements with a high precision are generally adopted with being supplemented by some degradation elements as transition. Because of their poor geometric properties, the degradation elements could degrade the precision of the finite element method. One way to overcome such a problem is to adopt transitional isoparametric elements. Here the interpolation functions, integral coordinates and weighting coefficients are summarized for some common transitional elements such as 3D wedge, tetrahedron and pyramid elements and implemented into a finite element program. By comparing the finite element analysis results of an ideal earth dam using hexahedron elements and pyramid elements, respectively, it is shown that the pyramid elements are sufficient with regard to the precision. The three kinds of transitional elements are then used in analyzing a real earth-rockfill dam, and the numerical results show that use of transitional isoparametric elements can improve the computional accuracy to some extent. Finally, the quadratic isoparametric elements are analyzed and adopted in a dynamic analysis of the elastoplasticity problem. Use of the quadratic isoparametric elements can substantially improve the precision in calculating the excess pore pressure. Keywords: geotechnical engineering; finite elements; transitional isoparametric element; interpolation function; integral scheme
1
引
言
程的数值分析中，有限元方法也是一种非常重要的 方法[1
－2]
。
有限元计算在现代工程问题的仿真分析中起着 举足轻重的作用，特别是随着现代计算机硬件、计 算科学的飞速发展，有限元几乎成了大型工程安全 评估的不可或缺的手段。在土石坝、边坡等岩土工
几何模型在空间上的离散是有限元前处理中的 重要一环。 有限元网格剖分的质量， 如单元长宽比、 单元形状扭曲程度等，会在一定程度上影响数值计 算的精度。在常用的三维有限元单元类型中，六面
第5期
董威信等：三维过渡等参单元在岩土工程有限元分析中的应用
1457
在这 3 种单元（图 1(b)、(c)、(d)）中，对于四 面体单元和楔形体单元，文献[10] 已给出了其插值 函数和高斯积分方案。 表 1、 2 分别给出了四面体单 元和楔形体单元的高斯积分点局部坐标和积分点权 重。
表 1 四面体等参单元积分点局部坐标和权重 Table 1 Integral coordinates and weighting coefficients of tetrahedron isoparametric element
5 13 6 17 18 ζ 14
16
12 11 η
6
15
1
3
(a) 六面体单元 ζ 4
5 10 11 η 7 6 3 2 ξ 1 6 7 10
9 1 5 ξ 2
8
13 12 9 8 3 4 η
(c)四面体单元
(d)金字塔单元
图 1 六面体单元和各过渡单元 Fig.1 Hexahedral element and some transitional elements
ζ 8 15 7 19 1 9 2 ξ 10 3 12 11 2 (b)楔形单元 ζ η 20 4 5 14 ξ 7 10 13 9 8 4
。土石坝由于施工分级
较多且材料分区复杂，导致网格剖分比较困难。 解决该问题的途径之一是将几何模型全部剖分 成六面体单元，其优点是整体精度较高，但其缺点 也很明显，即在复杂边界的细部或材料分区交界处 需要剖分大量的细小单元以实现渐进过渡，这不仅 要花费大量的时间和精力，还会因产生大量的节点 和单元而增加有限元计算规模。 解决该问题的另一途径是在复杂的边界处采用 退化的过渡性六面体单元，即四面体单元、楔形单 元和金字塔（四棱锥）等按六面体单元处理，采用 六面体单元的形函数，这不可避免地出现实际一个 点表示两个或多个节点的现象。这种方法的优点是 编程简单，整体单元数和节点数较少，计算速度较 快，而其明显的缺点是在很多情况下精度较低[6]。 还有一种解决问题的途径是，在复杂的边界条 件或材料分界处采用混合的等参元过渡，即四面体 单元、楔形单元和金字塔（四棱锥）等采用各自的 形函数，而不是按六面体单元处理。这种方法的优 点是，既能使网格数目适中，又能保证计算具有较 高的精度，其缺点是在划分网格时要区分不同的单 元类型。本文将对这一方法进行总结和讨论。 另外，在某些情况下，如渗透系数很小时的动 力固结分析，需要用到高阶单元。本文也引入了各 过渡单元的二次单元的插值形式，并进行了弹塑性 有限元动力计算。
[8]
3
过渡单元的插值函数和积分格式
有些文献中，仅从六面体等参单元的插值公式
3.1 C0 型单元 出发，将过渡单元理解为单元节点的“合并” ，相应 的插值函数累加作为新的节点的插值函数，如将 图 1(a)的节点 5、 6、 7、 “合并” 8 ， 只需将 N5 N6 N7 N8 作为图 1(d)中金字塔单元的插值函数 N5，N1～ N4 不变。这样处理导致的结果就是，在某些角点出 现雅克比矩阵行列式为 0 的情况。虽然这样处理后 的过渡单元可以应用于有限元计算（因为数值积分 点一般在单元内部，不会出现雅克比行列式为 0 的 情况） ， 但由于过渡单元形态不好， 会导致其精度较 差[6]。所以，过渡单元需要推导其本身的插值函数 和积分格式。
收稿日期：2013-12-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ No. 51379103，No. 51179092） ；国家重点实验室项目（ No. 2013-KY-4） 。 第一作者简介：董威信，男，1988 年生，博士研究生，主要从事高土石坝方面的研究工作。E-6 年生，博士，教授，主要从事边坡和高土石坝方面的研究工作。E-mail: yuyuzhen@
Application of three-dimensional transitional isoparametric elements to finite element analysis of geotechnical engineering problems
DONG Wei-xin, WANG Xiang-nan, WANG Yuan, YU Yu-zhen
第 36 卷第 5 期 2015 年 5 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.05.029
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 No.5 May 2015
三维过渡等参单元在岩土工程 有限元分析中的应用
董威信，王翔南，王 远，于玉贞
（清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084）
摘 要： 土石坝等复杂土工结构物有限元三维建模中多采用精度较高的六面体单元辅以部分过渡用的退化单元， 而退化单元 由于形态不好，会导致有限元计算精度较差。解决该问题的途径之一是采用过渡性的等参元。总结了几种常遇到的过渡等参 单元（楔形体、四面体、金字塔）的插值函数和高斯积分局部坐标和权重，并编入了有限元程序。通过比较六面体单元和金 字塔单元剖分理想土石坝的有限元计算结果， 说明所引入的金字塔单元是满足精度要求的。 将各种过渡单元应用于实际土石 坝工程的有限元计算，结果表明，使用过渡等参单元是可以在一定程度上提高计算精度的。最后讨论了二次单元在弹塑性有 限元动力计算中的应用。二次单元的使用，可以改善动力计算中的超静孔压分布，提高计算精度。 关 键 词：岩土工程；有限元；过渡等参单元；插值函数；积分格式 文献识别码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 05－1455－08 中图分类号：TB 115
积分点号 1 2 3 4