高中数学必修三综合检测试题

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.总体容量为203,若采用系统抽样法进行抽样,当抽样间距为多少时不需要剔除个体( D )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由于203=7×29,即203在四个选项中只能被7整除,故间隔为7时不需剔除个体.2.在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标大于1的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:根据几何概型可知,在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标大于1就是1<x≤3,所以所求的概率为,故选B.3.一个射手进行射击,记事件E1:“脱靶”,E2:“中靶”,E3:“中靶环数大于4”,E4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有( B )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对解析:E1,E2互斥且对立,E1与E3,E1与E4均为互斥而不对立的事件.E2与E3,E2与E4包含关系,E3与E4有同时发生的情况,故选B.4.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,设“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为( D )(A)0.95 (B)0.7 (C)0.35 (D)0.05解析:“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65+0.3=0.95,“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,故其概率为1-0.95=0.05.5.用秦九韶算法求多项式f(x)=0.5x5+4x4-3x2+x-1,当x=3的值时,先算的是( C )(A)3×3=9(B)0.5×35=121.5(C)0.5×3+4=5.5(D)(0.5×3+4)×3=16.5解析:由题f(x)=(((0.5x+4)x-3)x+1)x-1.从里到外先算0.5x+4的值,即先计算0.5×3+4=5.5.故选C.6.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( A )(A)91.5和91.5 (B)91.5和92(C)91和91.5 (D)92和92解析:这组数据从小到大排列后可得其中位数为=91.5,平均数为=91.5.故选A.7.如图所示是计算函数y=的值的程序框图,则在①,②,③处应分别填入的是( B )(A)y=-x,y=0,y=x2(B)y=-x,y=x2,y=0(C)y=0,y=x2,y=-x (D)y=0,y=-x,y=x2解析:框图为求分段函数的函数值,当x≤-1时,y=-x,故①为y=-x,当-1<x≤2时,y=0,故③为y=0,那么②为y=x2.故选B.8.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为( A ) (A)(B)(C)(D)解析:如图所示,由几何概型概率公式,得P===.故选A.9.某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校文学社共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示,则从文学社中任意选1名学生,他参加活动次数为3的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:从中任意选1名学生,他参加活动次数为3的概率是=.故选B.10.三个数390,455,546的最大公约数是( D )(A)65 (B)91 (C)26 (D)13解析:用辗转相除法.因为546=390×1+156,390=156×2+78,156=78×2,所以546与390的最大公约数为78.又因为455=78×5+65, 78=65+13,65=13×5,所以455与78的最大公约数为13,故390,455, 546的最大公约数为13.故选D.11.某程序框图如图所示,若输出的结果是126,则判断框中可以是( A )(A)i>6? (B)i>7? (C)i≥6? (D)i≥5?解析:根据题意可知该程序运行情况如下:第1次:S=0+21=2,i=1+1=2;第2次:S=2+22=6,i=3;第3次:S=6+23=14,i=4;第4次:S=14+24=30,i=5;第5次:S=30+25=62,i=6;第6次:S=62+26=126,i=7;此时S=126,结束循环,因此判断框应该是“i>6?”.故选A.12.有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯,设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的,则2个人在不同层离开的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设2个人分别在x层、y层离开,则记为(x,y).基本事件构成集合Ω={(2,2),(2,3),(2,4),…,(2,10),(3,2),(3,3),(3,4),…, (3,10),…,(10,2),(10,3),(10,4),…,(10,10)},所以除了(2,2),(3,3),(4,4),…,(10,10)以外,都是2个人在不同层离开,故所求概率 P==.故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样方法抽取6个城市,则甲组中应抽取的城市数为个.解析:甲组中应抽取的城市数为×4=1(个).答案:114.利用秦九韶算法,求当x=23时,多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.①第一步:x=23,第二步:y=7x3+3x2-5x+11,第三步:输出y;②第一步:x=23,第二步:y=((7x+3)x-5)x+11,第三步:输出y;③算6次乘法,3次加法;④算3次乘法,3次加法.以上描述正确的序号为.解析:利用秦九韶算法,y=((7x+3)x-5)x+11,算3次乘法,3次加法,故②④正确.答案:②④15.执行如图所示的程序框图,输出的T= .解析:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.答案:3016.甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①,“C为弧AB的中点”),任意转动转盘一次,指针指向圆弧AC时甲胜,指向圆弧BC时乙胜.后来转盘损坏如图②,甲提议连接AD,∠OAD=,取AD的中点E,若任意转动转盘一次,指针指向线段AE时甲胜,指向线段ED时乙胜.然后继续游戏,你觉得此时游戏还公平吗?答案: ,因为P甲P乙(填“<”“>”或“=”).解析:连接OE(图略),在直角三角形AOD中,∠AOE=,∠DOE=,若任意转动转盘一次,指针指向线段AE的概率是÷=,指针指向线段ED的概率是÷=,所以乙胜的概率大,即这个游戏不公平.答案:不公平<三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如表所示:类别文艺节目新闻节目总计20至40岁40 18 58大于40岁15 27 42 总计55 45 100(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,则大于40岁的观众应该抽取几名?解:(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目,而20至40岁的58人中,只有18人收看新闻节目,故收看新闻节目的观众与年龄、有关.(2)×5=3(名),所以大于40岁的观众应抽取3名.18.(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素个数是4×4=16,所以基本事件总数为n=16.(1)记“xy≤3”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.则事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.19.(本小题满分12分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查,调查问卷共10道题,答题情况如下表所示.答对题目数[0,8) 8 9 10女 2 13 12 8男 3 37 16 9 (1)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查,求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率.解:(1)答对题目数小于9的人数为55,记“答对题目数大于等于9”为事件A,P(A)=1-=0.45.(2)设答对题目数小于8的出租车司机为A,B,C,D,E,其中A,B为女出租车司机,任选出2人包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种情况,至少有一名女出租车司机的事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,共7种.记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M,则P(M)==0.7.20.(本小题满分12分)某培训班共有n名学生,现将一次某学科考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据,求出a及n的值;(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本,求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩;(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率.解:(1)第四组的频率为1-0.05-0.075-0.225-0.35=0.3,所以a==0.03,n==120.(2)第一组应抽0.05×40=2(名),第五组应抽0.075×40=3(名).(3)设第一组抽取的2个分数记作A1,A2,第五组的3个分数记作B1,B2,B3,那么从这两组中抽取2个的结果有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,共10种,其中平均分不低于70分的有9种,故所求概率为P=.21.(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如表所示:零件的个数x/个 2 3 4 5加工的时间y/h 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求出y关于x的回归直线方程=x+,并在坐标系中画出回归直线;(3)试预测加工10个零件需要多少时间.解:(1)散点图如图.(2)由表中数据得x i y i=52.5,=3.5,=3.5,=54.代入公式得=0.7,=-=3.5-0.7×3.5=1.05,所以=0.7x+1.05.回归直线如图中所示.(3)将x=10代入回归直线方程,得=0.7×10+1.05=8.05(h).所以预测加工10个零件需要8.05 h.22.(本小题满分12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动,在[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查,若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.组数分组“低碳族”的人数占本组的频率第一组[25,30) 120 0.6第二组[30,35) 195 p第三组[35,40) 100 0.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50) 30 0.3第六组[50,55] 15 0.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.解:(1)第二组的概率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以==0.06.补全频率分布直方图如图,第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1 000.因为第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1 000×0.3=300,所以p==0.65.第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为1 000×0.15=150.所以a=150×0.4=60.(2)因为年龄在[40,45)岁的“低碳族”与[45,50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取6人,[40,45)中有4人,[45,50)中有2人.设[40,45)中的4人为a,b,c,d,[45,50)中的2人为m,n,则选取2人作为领队的情况有(a,b),(a,c),(a,d), (a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种,其中恰有1人年龄在[40,45)岁的情况有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8种,所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率P=.。