离散数学第7章 图论 习题
离散数学第七章部分答案
列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2，3（2）2，2，2，2，2（3）3，3，3，3（4）1，2，3，4，5（5）1，3，3，3解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。
（1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。
设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。
解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。
设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。
它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗？解：由定理可知，有向图的总入度=总出度。
该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。
35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于370的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少？解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1）∴每个顶点的度数为nn n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-1一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点？解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数，∴共有r 个奇度顶点在G 中７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少？解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身，∴m=n （n-1）有向图D 入图所示。
求D 中长度为4 的通路总数，并指出其中有多少条是回路？又有几条是V3到V4的通路？答: D中长度为四的通路总数：15其中有3条是回路2条是V3到V4的通路评语：此题的结果是对的，但是应该写出求解过程，即：先写出邻接矩阵A，然后求A的四次幂，通过矩阵指出通路或回路的条数。
离散数学习题解答_(9)
第七章图7.1 图的基本知识定义8.8设图G＝<V，E，Ψ >（1）G－e表示对G作删除边e的运算，G－e = <V，E’，Ψ’ >，其中E’＝E－{e}，Ψ’= Ψ↑E’。
（2）G－v表示对G作删除顶点v的运算，G－v = <V’，E’，Ψ’ >，其中V’= V－{v}，E’＝E－{e |e以v为端点}，Ψ’＝Ψ↑E’。
（3）边e切割运算。
设G中Ψ (e) = (u,v),对G作边e切割得G’＝<V’，E’，Ψ’ >，其中，V’＝V⋃{v’}，E’= (E－{e})⋃{e1,e2}, Ψ’= (Ψ－{<e,(u,v)>})⋃{<e1, (u,v’)>，<e2,(v’,v)>}（4）顶点v贯通运算。
设G中顶点v恰为边e1,e2的端点，且Ψ (e1) = (u,v)，Ψ (e2) = (w,v)。
对G作顶点v贯通得G’＝<V’，E’，Ψ’ >，其中V’= V－{v}, E’= (E－{e1,e2})⋃{e}, Ψ’=( Ψ－{<e1,(u,v)>,<e2,(w,v)>})⋃{<e, (u,w)>}。
切割与贯通是互逆的，两者常被称为同胚运算。
定义8.9 设G1＝<V1，E1，Ψ1>，G2＝<V2，E2，Ψ2>为两个图，称G1与G2同构（isomorphic），如果存在双射f：V1→V2，双射g：E1→E2，使得对每一边e∈E1，Ψ1(e)＝(u,v)（或<u,v>）当且仅当Ψ2(g(e)) = (f(u),f(v))（或< f(u),f(v)>）当限于讨论简单图时，可以用顶点的偶对表示边，即当Ψ(e)＝(u,v)时，边e用(u,v)来表示。
这时两图同构的条件可以简化为(u,v)∈E1当且仅当(f(u),f(v))∈E2习题解答练习7.11、想一想，一只昆虫是否可能从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行、它爬行过每条梭一次且仅一次，并且最终回到原地？为什么？解不可能。
离散数学图论作业7-二部图匹配
离散数学图论作业7-二部图匹配Problem1证明：一个无回路的简单连通图最多只有一个完美匹配。
（完美匹配指能饱和所有顶点的匹配）Problem2从下图G=(A,B,E)中，找出相对于匹配M(粗边的集合)的任意三条交错路径(alternating path)和至少两条增广路径(augmenting path)，然后利用增广路径扩大M来找到最大匹配。
a0 a1 a2 a3 a4 a5b0 b1 b2 b3 b4 b5Problem3对于哪些n值来说，下列图是存在完美匹配的二部图？a)K nb)C nc)Q n对于每一个二部图G=(A,B,E)，判断G是否有饱和A的匹配。
如果没有，请说明理由。
(1)(2)(3)(4)Problem5令k为一整数。
对于任意有限集合，证明对它的任意两个k划分都存在一个相同的代表集。
•集合的k划分指划分为大小相同的互不想交的k个子集，为简便起见，设集合的大小为k的整数倍从而每个子集均有相同个元素。
•一个划分的代表集指从每个子集中取出一个元素而构成的集合。
举例：集合{1,2,3,4}的一个2划分为A:{1,2}{3,4}。
此划分的代表集有{1,3},{2,3},{1,4},{2,4}，但{1,2}不是其代表集。
集合的另外一个划分为B:{2,3}{1,4}。
易见，A与B存在相同的代表集{1,3}。
Problem6假设某校计算机系学生选导师时出现了这样的情况：对于每一位学生，至少对k名导师感兴趣；对于每一位导师，至多有k名学生对他感兴趣。
假设每位导师只能指导1名学生，且每位学生也只能选择1名导师。
试证明：存在这样的匹配，使得每位学生都能选到自己感兴趣的导师。
证明一个6×6的方格纸板挖去左上角和右下角后不能用剪刀裁剪成若干1×2的小矩形。
离散数学课后习题答案第七章
第七章 特 殊 图 类习题7.11．解 因 m=n-1,这里m=6,所以n=6+1=7.2．解 不正确。
与平凡图构成的非连通图中有4个结点3条边，但是它不是树。
3K 3．证明 必要性。
因为G 中有n 个结点，边数m=n-1，又因为G 是连通的，由本节定理1可知，G 为树，因而G 中无回路。
再证充分性。
因为G 中无回路，又因为边数m=n-1，由本节定理1，可知G 为树，所以G 是连通的。
4．解 因 m=n-r,这里n=15,r=3,所以m=15-3=12，即G 有12条边。
5．解6个结点的所有不同构的树如图7-1所示。
图7-16．证明 由定理1，在任意的树中，边数),(m n 1−=n m；所以，由握手定理得)1(22)(1−==∑=n m v d ni i①⑴若T 没有树叶，则由于T 是连通图，所以T 中任一结点均有，从而2)(≥i v d n v d ni i2)(1≥∑= ②则①与②矛盾。
⑵若树T 仅有1片树叶，则其余1−n个结点的度数不小于2，于是121)1(2)(1−=+−≥∑=n n v d ni i③从而①、③相矛盾。
综合⑴，⑵得知T 中至少有两片树叶。
7．解 图7-2⑴中共有两棵非同构的生成树（如图7-3⑴，⑵）。
图7-2⑵中共有3棵非同构的生成树（如图7-3⑶，⑷，⑸）。
⑵⑴⑶⑷ ⑸图7-38．解 在图7-4中共有8棵生成树，如图7-5⑴～⑻所示，第i 生成树用表示。
，，，)8,,2,1( =iT i 7)(8=T W 8)()(61==T W T W 6)()(52==T W T W )()(73==T W T W 9)(4=T W 。
其中T 2，T 5是图中的最小生成树。
9．解 最小生成树T 如图7-7所示，W （T ）=18。
a bc da b cda ba bcdabc d⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ ⑻图7-5图7-4图7-6图7-7习题7.21．解 不一定是。
如图7-8就不是根树.2．解 五个结点可形成3棵非同构的无向树，如图7-9⑴，⑵，⑶所示。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法（3） Warshall算法
无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。
第21页
河南工业大学离散数学课程组 例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩阵。
分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、3、4、 v1 v4 5次幂，然后做布尔加即可。 解： v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
第5页
河南工业大学离散数学课程组
图的邻接矩阵例
例7-3.1(2)：写出下面有向图的邻接矩阵 v1
v2 0 A(G)= 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
v4
v3
第6页
河南工业大学离散数学课程组 图的邻接矩阵说明：
(1)邻接矩阵的主对角线元素aii=0。A(G)= (2)主对角线以外的元素aij v2 aij=1 (i<>j)，说明图G是完全图； v1 aij=0 (i<>j)，说明图G是零图。 (3)无向图的邻接矩阵是对称的； 而有向图的邻接矩阵不一定对称； v4 因为在无向图中一条无向边应看成方向相反的两条v3 有向边，因此无向图的邻接矩阵关于主对角线对称。
第9页
aij(2) 河南工业大学离散数学课程组 =ai1•a1j+ai2•a2j+ai3•a3j++ain•anj
v5 v1
v4
图G的邻接矩阵为 ij(L+1)=ai1•a1j(L)+ai2•a2j(L)+ai3•a3j(L)++ain•anj(L) v2 a
v3
A2中：G中从结点v2到结点v3 长度为2路数目为0。 A3中：G中从结点v2到结点v3 长度为3的路数目为2。 A2中：G中长度为2的路(含回 路)总数为8，其中6条为回路。 A3中： G中长度为3的路(含回 路)总数为10，其中0条为回路。
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
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7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
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7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
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300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。 证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数，故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分 为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
300页（3） 邻接矩阵为
0 0 0 0 0 A=
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0
用Warshall算法求可 达性矩阵。 i=1时，因为A的第一行 全为0，所以A不变。 i=2时，因为A的第2列 全为0，所以A不变。
i=3时，因为A[2，3]=A[4，3]=1，将第3行 加到第2行和第4行。 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 A= 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行 加到第2行，A不变。
第7章 习题课
练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。 任取一个结点v， 由已知G是简单图没有环和重边， v至多和n-1个结点相邻， 也即deg(v) ≤n-1, 而 △(G)＝max deg(v) ≤ n-1, 因此 最大度小于结点数。
练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点， 则这两个结点之间必有一条路。
v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4
v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
在无孤立结点图G中，经过图 中每条边一次且仅有一次的一 条回路，称为欧拉回路。
a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
给定图G，经过图中每 个结点恰好一次的回路称作 汉密尔顿回路。
b)画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
P327 (6)(a)的最小生成树：
P327 (6)(b)的最小生成树有5棵，最小生成树的 树权为11。
3 2 2 3 1 2 2
2
1
2 2
1
4
3
2
1
1
2
1
2
关联矩阵，并验证其秩如定理7-3.2所述。
完全关联矩阵为:
e1 A B C 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 1 0 e4 0 0 1 e5 0 0 1 e6 1 0 0 e7 0 1 0 e8 1 0 1 e9 0 0 0
D
E F
1
0 0
1
0 0
0
0 1
0
0 1
0
1 0
0
1 0
0
1 0
0
0 0
1
0 1
此图为连通图，由定理 7-3.2，其秩为5。
311页（2）构造一个欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件 a)v，e的奇偶性一样。 b) v，e的奇偶性相反。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通的，并且 所有结点度数全为偶数。下面的 图中所有结点度数全为偶数，所 以都是欧拉图。
如果不可能，说明原因。
7-2（4）:当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时， e才是G的割边。
证明：必要性。（ e是G的割边） 设e是连通图G的割边，e关联的两个结点是u和v。如果e包含在 G的一个回路中，那么除边e=(u,v)外还有另一条分别以u和v为 端点的路，所以删去边e后，G仍为连通图，这与e是割边相矛盾。 充分性。 如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只 有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有 不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导 致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
证明：若G=<V,E>是不连通的，可设图G的连通分支为 G[V1],G[V2],……,G[Vm](m≥2)。 由于任意两个连通分支G[Vi],G[Vj]不连通，因此Vi与Vj之 间的连线在补图中，在G中任取两个结点u和v，则u和v 的位置有两种情况： 1)若u和v均在同一个连通分支G[Vi]中,根据上面的分析， 可在另一个连通分支G[Vj]（i≠j)中取一个结点w，使得 u与w，v 与w在G中连通，故有u－w－v，即u与v在G 中连通 2)若u与v分别属于两个不同的连通分支G[Vi]与G[Vj]，由 上面的分析可知，u与v在G中连通。 故当图G不连通时，则补图G是连通的
练习 317页（1）
317页（2）证明：少于30条边的平面连通简单图
至少有一个顶点的度不大于4 。 证明： 用反证法。假设任一顶点的度均大于或等于5，
则5v≤2e＜60，即v＜12。
又因为e≤3v–6，所以5v≤2e≤6v–12
于是5v≤6v–12，即v≥12。矛盾。
因此至少有一个顶点的度不大于4
闭迹上每个结点都是关联偶数条边,而deg(u)为奇数,所以至少还 有一条关联于结点u的边不在此闭迹上。继续从u出发,沿着该边 到达另一个结点u1’,依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样 经过有限次后必可到达结点v,这就是一条从u到v的路。
练习7-2（3）： 若图G是不连通的，则G的补图G) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶的，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶的，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶的，则e=2v-2。
i=5时，因为A的第5列全为0，所 以A不变。 0 0 0 0 0 故A的可达 P= 性矩阵为： 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
距离矩阵为 0∞∞∞∞
1 0 1 1∞ 1∞ 0∞∞ 2∞ 1 0∞ ∞∞∞∞0
300页（4）：写出如图7-3.11所示的图G的完全