两条平行线之间的距离.ppt
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高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
点到直线的距离、两条平行线间的距离 课件
法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点． ∵直线AB的斜率kAB＝4， 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1， 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
点到直线的距离 两条平行线间的距离
点到直线的距离与两条平行线间的距离
定义 公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点 到 直 线 的 垂 线 夹在两条平行直线间公垂
段的长度
线段的长度
点 P0(x0，y0)到直 两条平行直线 l1：Ax＋By 线 l：Ax＋By＋C ＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2
点到直线的距离
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由 点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|－2－6|＝8.
由题意，得|C1－3 6|＝2， 所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝ 52|＋C－－6|122， 解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|3－4|＝1.
[类题通法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般 式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适 用．
新教材高中数学第二章两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2
四年级数学平行线之间的距离(共6张PPT)
B
c
4)线段AB的长可指
的距离.
课堂练习:
第一组
1.P18,T5
2.P17,做一做
3.P17,T2 4.P18,T1 5.P18,T2 6.P17,T1
第二组
1.P17,T2
2.P17,例题
3.P18,T3
4.P21,T10
三种距离长度. 2.点到直线的距离
-----直线外一点到这条直的垂线段的长度.
两条平行线之间距离. 4)线段AB的长可指
的距离.
四年级数学平行线之间的距离
即:线段PM的长度叫平行线a与b之间的距离
b M
-----直线外一点到这条直的垂线段的长度.
即:线段PM的长度叫平行线a与b之间的距离 如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C,
-----连接两点的线段的长度. 温馨提醒:不是垂线段本身, 而 是垂线段的长度
-----直线外一点到这条直的垂线段的长度.
3.两平行线间的距离
-----两条平行线中,一条直线上的点到另一条 直线的垂线段的长度
四年级数学平行线之间的距离
-----两条平行线中,一条直线上的点到另一条
-----连接两点的线段的长度.
温馨提醒:不是垂线段本身, 而 是垂线段的长度
温馨提醒:不是垂线段本身, 而 是垂
线段的长度
A
D
a
b
123如)))点 点 两图平BDa与到∥行b点直线,AD线aB的,bb⊥的距的a距离距于离是离A,是指是CD指线⊥段或b于C, 的;; 长; -温 ----2-四-------即--温如--温-4P即-3---------------------)))--------------------2点线两--------------------馨年:馨图馨:1线 线--------------------直连两连连连直连 连连直连两连连连连连连直,D段平提级 提 ,提T段两段到线接条接接接线接 接接线接条接接接接接接线1A行醒 数醒醒0P条PB直外两平两两两外两 两两外两平两两两两两两外线MM:学::的不 不平不线一点行点点点一点 点点一点行点点点点点点一的的a平长是 是行是,b点的线的的的点的 的的点的线的的的的的的点b长长行的可垂 垂线垂的到线中线线线到线 线线到线中线线线线线线到度度线距指线 线中线距这段段段段这段 段段这段段段段段段段这,,叫叫一一之离段 段段,离一条的的的的条的 的的条的的的的的的的条平平条条间是本 本本是条直长长长长直长 长长直长长长长长长长直行行直直的指身 身身直线度度度度的度 度度的度度度度度度度线线线线线距,,,线垂垂..............或aa而 而而上上离与与上线线的的的bb的的的段段之之点点是 是是距垂垂;点的的;间间到到垂 垂垂离线线到长长的的另另线 线线.段段另度度距距一一段 段段的的一..离离条条的 的的长长条长 长长度度直度 度度..线的距离处处相等.
课件3：2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离
直线 AC 的方程为 y－(－1)＝3(x－0)，
即 3x－y－1＝0.
又因为|AC|＝ （2－0）2＋（5＋1）2＝2 10，
x＋3y－7＝0，
所以点 B 和点 D 的坐标满足
3|32＋x－（y－－11）| 2＝
10，
解得yx＝＝14，，或yx＝＝3－，2，
故顶点 B，D 的坐标分别为(4，1)，(－2，3)或(－2，3)，(4，1)．
探究题 3 已知正方形 ABCD 的相对顶点 A(0，－1)和 C(2，5)， 求顶点 B 和 D 的坐标. 解：线段 AC 的中点为 M(1，2)，直线 AC 的斜率 kAC＝5－2（－－01）＝3.
因为 AC⊥BD，所以 kBD＝－13， 所以直线 BD 的方程为 y－2＝－31(x－1)，即 x＋3y－7＝0.
题型三 距离公式的应用 探究题 1 已知直线 l 过点 P(0，2)，且点 A(1，1)，B(－3，1)到 直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程.
解：方法一：由于点 A(1，1)与 B(－3，1)到 y 轴的距离相等， 所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 在 y 轴上的截距为 2， 则直线 l 的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0. 由点 A(1，1)与 B(－3，1)到直线 l 的距离相等得 |k－k21＋＋12|＝|k×（－k32）＋－1 1＋2|， 解得 k＝0 或 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝2 或 x－y＋2＝0.
所以点
M(－1，0)到
AD，AB，BC
的距离均为3
10 5.
由|3×（－112＋）3－2 0＋n|＝3 510， 得|n－3|＝6，解得 n＝9 或－3. 由|－1＋132＋×302＋m|＝3 510，得|m－1|＝6, 解得 m＝7 或－5(舍去), 所以其他三边所在的直线方程分别为 x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0， 3x－y－3＝0.
湘教版七年级数学下册课件-两条平行线间的距离
7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗?
拓展提升
1.如图1，MN∥AB, P、Q为直线MN上的任意两点， ΔPAB和ΔQAB的面积相等吗？为什么？ 相等
MP
Q
N
MP
P• 1
N
a cm2
A
图1 B
A 图2
B
2.如图2，MN∥AB, P是MN上的一动点，P沿MN的方 向每次移动1cm,当它移动10cm 时得到ΔP1AB,那么
A两平行线的距离 B点到直线的距离 C 点到点的距离
情境引入
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为 了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作， 你应该怎样确定两条铁轨平行呢？
讲授新课
两条平行线间的距离 活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？ 量在课本的哪个位置？大家量得的 结果是一样的吗？
_____. a
b m
AC
E
m
┒ n ⑴
┒ n
BD F⑵
合作探究
活动2：请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a 上，任意取两点A、B.然后量出点A、B到直线b的距离， 并加以比较，你能得到什么结果？
A
Ba
b
C
D
AC＝DB
a
b
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移 动，请观察三角尺的另一条直角边与直线a交点 处的刻度，问：刻度有改变吗？
优质 课件
七年级数学下（XJ） 教学课件
第4章 相交线与平行线
4.6 两条平行线间的距离
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握公垂线段的概念及其性质； 2.会求平行线段的距离. （重点）
2.3.4两条平行直线间的距离公式课件高二上学期数学人教A版选择性
3x 4 y 0
2 13
(2) 在l2 : 3 x 4 y 0上取一点(0, 0), 将3 x 4 y 10化为3 x 4 y 10 0,
则d
3 0 4 0 10
32 42
2.
2. 已知两条平行直线l1 : 3 x 4 y 6 0与l 2 : 3 x 4 y C 0间的距离为3,
2.3.4 两条平行直线间的距离公式
课前回顾：
1.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0
的距离为6,则点P的坐标为(
)
A.(8,0)
B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)
D.(0,0)
解析:设P(a,0),则
3a 6
9 16
6
,解得a=8或a=-12.
故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
故直线 l 的方程为 5x-y-6=0.
=
3
2
3
22
-
,即 5x-y-6=0,
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
|-1|
由两条平行直线间的距离公式,得
2
=
|+1|
,解得
2
C=0,即 l3:x-y=0.
由题意知,点 M 在直线 l3 上,也在直线 x+y-3=0 上.
d
x0 2 y0 1
1
5
.
2
2
5
5
1 ( 2)
y
B
C
l2
A
l3
O
l1
(第3题)
x
2 13
(2) 在l2 : 3 x 4 y 0上取一点(0, 0), 将3 x 4 y 10化为3 x 4 y 10 0,
则d
3 0 4 0 10
32 42
2.
2. 已知两条平行直线l1 : 3 x 4 y 6 0与l 2 : 3 x 4 y C 0间的距离为3,
2.3.4 两条平行直线间的距离公式
课前回顾：
1.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0
的距离为6,则点P的坐标为(
)
A.(8,0)
B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)
D.(0,0)
解析:设P(a,0),则
3a 6
9 16
6
,解得a=8或a=-12.
故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
故直线 l 的方程为 5x-y-6=0.
=
3
2
3
22
-
,即 5x-y-6=0,
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
|-1|
由两条平行直线间的距离公式,得
2
=
|+1|
,解得
2
C=0,即 l3:x-y=0.
由题意知,点 M 在直线 l3 上,也在直线 x+y-3=0 上.
d
x0 2 y0 1
1
5
.
2
2
5
5
1 ( 2)
y
B
C
l2
A
l3
O
l1
(第3题)
x
第2章2.3.4 两条平行线间的距离 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)
思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么 要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00， 可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：65y－－00＝75x＋＋11，即 x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为 x－2y＋1＝0 或 2x＋2y＋2＝0.
【解析】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得 52＋|b－－6|122＝3， 解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
当堂检测
1．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( )
A．1
B．0
C． 10
D．3
【答案】A [l1、l2 的距离为 d＝| 3120＋－102|＝1.选 A.]
2．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直 线间的距离是________．
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5， 它们之间的距离为 5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.