Z正逆变换方法总结.
Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
反Z变换
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
§6.3 逆z变换PPT课件
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
Z反变换方法
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
Z变换及逆变换与-稳定性
数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。
另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。
有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
常用的z变换基本公式
常用的z变换基本公式
常用的Z变换基本公式包括：
1. 单边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=0}^{∞} x(n) * z^(-n)
2. 双边Z变换公式：X(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} x(n) * z^(-n)
3. 收敛域判断：根据x(n)的系数，判断Z变换的收敛域。
收敛域通常由极点、零点和因果序列、反因果序列等决定。
4. Z变换的性质：线性性质、时移性质、频移性质等。
5. Z变换和离散傅里叶变换（DFT）的关系：X(z) = ∑_{k=0}^{N-1} x(k) * z^(-k)，其中N是序列长度。
6. Z变换和拉普拉斯变换的关系：在Z变换的收敛域内，X(z)可以转换为拉普拉斯变换的形式。
这些公式是Z变换的基础，可用于离散信号的处理和分析，如滤波器设计、系统稳定性分析等。
在实际应用中，需要针对具体问题选择合适的公式和方法，并注意收敛域的判断和处理。