一元二次方程的概念及一般形式
临夏县三角中学课时计划
教学内容
一元二次方程的概念及一般形式。
教学目标
1.了解一元二次方程及整式方程的概念；掌握一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其系数、常
数项；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
2.通过设置问题，建立数学模型，培养学生用数学的意识。
．
重难点关键
1•重点：一元二次方程的意义及其一般形式。
2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入
1、什么是方程？曾经学过那些方程？
2 、一元一次方程的“元”和“次”的含义？
3、引例
学生活动：列方程．
问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．
问题（2）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面两个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
三、巩固练习教材P27练习1、2
四、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六.板书设计一元二次方程概念
1.复习引入 3.课堂练习
2.例题讲解 4.课时小结
七、布置作业
教材P28习题22．1 1、2．
八、作业收交及完成情况：
九、缺课学生及原因：
十、教学反思：。
一元二次方程—知识讲解
一元二次方程知识讲解【学习目标】1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识；2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程；3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.【要点梳理】要点一、一元二次方程的定义及一般形式1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.要点二、一元二次方程的解及有关结论1.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.2.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【典型例题】 类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【思路点拨】根据定义去判定：一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【思路点拨】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正 数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0． 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】（2015秋•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．【答案】解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0，一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得 ，解得．类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．4.（2015春•北京校级期中）已知m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，求代数式5m 2﹣5m+2004的值．【思路点拨】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m 代入原方程即可求m 2﹣m+1的值．【答案与解析】解：把x=m 代入方程x 2﹣x ﹣1=0可得：m 2﹣m ﹣1=0，即m 2﹣m=1，∴5m 2﹣5m+2004=5（m 2﹣m ）+2004=5+2004=2009．【总结升华】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m 2﹣m 当成一个整体．利用了整体的思想．举一反三：【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念知识点：一、一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。
识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2次【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y(4)03x12=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x二、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a ≠0）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项.例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， .练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。
①()x x x x 3422-=- ②()()221248-+=+x x x③12132=+-x x ④()0p 22≠+-=++-n m q nx mx nx mx小结：理解一元二次方程以下方面入手：（1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
方程的解的定义: 使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
例如：x=2,x=3都是一元二次方程x 2-5x+6=0的根。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程概念及其解法
对于一元二次方程，最多有两个解，也 可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根 （即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后 的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工 作量。
05 一元二次方程与函数关系 探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称， 对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛 物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛 物线与x轴有交点，交点 坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求 解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化 为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$， 即 $x_1=1$，$x_2=-7$。
一元二次方程及其解法
1 / 8第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c2 / 8（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习: 关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值三，一元二次方程的解法的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程 的要点
一元二次方程 一元二次方程要点要点一：1.一元二次方程的定义及一般形式定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般式是)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做 ，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项， 叫做一次项系数，c 叫做常数项.2.一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的 叫做一元二次方程的解（或根）.例题1 下列方程中，属于关于x 的一元二次方程的是 （ ） A.()()12122+=-x x B.2XC.02=++c bx ax D.()()0712=+--x x x例题2 一元二次方程x x 642=-的一般形式是 ，二次项系数是 ， 一次项系数是 ，常数项是 . 要点二：一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接平方法.把方程变为形如())0(2≥=+b b a x 的方程可用直接开平方法求解，两边直接开平方得b a x b a x -=+=+或，.,21b a x b a x --=+-=∴例3 解方程：()212=-x2.因式分解法如果一元二次方程经过因式分解能化成0=∙b a 的形式，且a 与b 都是含未知数的一次式，那么它就可以化成两个一元一次方程0=a 或0=b ，根据这种思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法.例4 解方程：（1）0862=+-x x （2）()()03432=-+-x x x3.配方法通过配方把一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 变形为=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22a b x 的形式，再利用直接开方法解之，这就是配方法.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为1：可在方程两边都除以二次项系数；（2）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边为常数项（移项时注意变号）；（3）配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式，把方程化为()()02≥=+n n m x 的形式；（4）如果方程右边的幂数为非负数，用直接开平方法解变形后的方程. 例5解方程：（1）0522=-+x x （2）03832=-+x x（3）()()0453422=----x x （4）x x 7322=+4.公式法公式法就是利用求根公式求出一元二次方程解的方法，它是解一元二次方程的一般方法，具有通用性.应用配方法导出一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式 ()042≥-ac b 用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）化方程为一般形式，即 )0(02≠=++a c bx ax ； （2）确定a 、b 、c 的值（注意符号），并计算ac b 42-的值；（3）当 042≥-ac b 时，将a 、b 、c 及ac b 42-的值代入求根公式，得出方程的根aac b b x 242-±-=；当ac b 42-<0时，原方程无实数解. 例5 解方程：（1） （2）()62342=+-x x（3）0132=++x x （4）01432=-+x x要点三 一元二次方程根的判别式及应用1.一元二次方程根的判别式的概念及定理内容概念：我们知道，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实数根，完全取决于ac b 42-与零的关系，因此，我们把ac b 42-叫一元二次方程的根的判别式.用“△”表示，即 注意：（1）△=ac b 42-只适用于一元二次方程.只有确认是一元二次方程时，才确定a 、b 、c ，求出△.（2）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a 、b 、c ，求出△. （3）当△0≥时，方程有两个实数根. （4）当△>0时，方程有两个不等实数根 . （5）当△=0时，方程有两个相等实数根. （6）当△<0时，方程无实数根.2.一元二次方程根的判别式主要有一下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况；②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；③证明字母系数方程有实数根或无实数根.例6 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 （ ） A.012=+x B.012=-+x xC.0322=++x xD.01442=+-x x例7 关于x 的一元二次方程()012132=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.例8 已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.例9 关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足 （ ）A.1≥aB.51≠>a a 且 B.C.51≠≥a a 且D.5≠a例10 若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1->kB.01≠->k k 且C.1<kD.01≠<k k 且 要点四 一元二次方程根与系数的关系及应用如果1x 、2x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，那么1x 、2x 与系数a 、b 、c 有何关系？答：如果方程02=++c bx ax 的两个根是1x 、2x ，那么a b x x -=+21，ac x x =∙21. 推论：以1x 、2x 两个数为根的一元二次方程（二次项系数1）是()021212=∙++-x x x x x x . 例10 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()03222=++-m x m x 的两个不相等的实数根，且满足221m x x =+，则m 的值是 （ ） A.-1 B.3C. 3或-1D.-3或1例11 已知方程062=-+kx x 的一根是2，则另一根为 ，k= 例12 已知关于x 的一元二次方程0162=++-k x x 的两个实数根是1x 、2x ，且，则k 的值是 （ ） A.8 B.-7 C.6 D.5例13 关于x 的一元二次方程()0552=-+-m mx x 的两个正实数根分别为1x 、2x ，且7221=+x x ，则m 的值是 （ ） A.2 B.6 C.2或6 D.7例14 设1x 、2x 是一元二次方程0342=-+x x 的两个根，()23522221=+-+a x x x ，则a =例15 已知关于x 的一元二次方程()01222=+-+m x m x 有两个实数根1x 和2x（1）求实数m 的取值范围； （2）当02221=-x x 时，求m 的值.能力提高例题方法一 根据方程根的基本意义来求参数的值例1 已知m 、n 是方程0122=--x x 的两根，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ） A.-5 B.5 C.-9 D.9例2 若()0≠n n 是关于x 的方程022=++n mx x 的根，则n m +的值为 （ ）A.1B.2C.-1D.-2 方法二 根与系数的关系结合“△判别法”求解字母参数的取值例 3 关于x 的方程()()012132=++--a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+⋅-12211，则a 的值是 （ ） A.1 B.-1 C.1或-1 D.2方法三 分类讨论思想例4 已知实数m 、n 满足0272=+-m m ，0272=+-n n ，则=+nmm n 变式练习已知实数a 、b 满足a a 222-=，b b 222-=，求baa b +的值一元二次方程应用题例题讲解：1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 设每千克应涨价x 元,则：6000)20500)(10(=-+x x2.某商场销售某种彩电，每台进价为2500元，市场调配表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，每台的售价应定为多少元？5000450290082500=⋅-+⋅-）（）（xx 3.某商场销售一批衬衫，当每件盈利40元时，平均每天可售出20件，为扩大盈利，商场决定采取降价促销，经调查发现，每降价1元，就能多卖出2件。
解一元二次方程的格式
解一元二次方程的格式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表达为ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，包括配方法、因式分解法、完全平方法和求根公式等。
1.配方法：首先，通过观察方程中各项的系数，合理选取合适的 a、b、c 的值，使得方程形式可以变为两个完全平方的和。
例如：x^2 + bx = (x + m)^2 - m^2、然后，根据已知条件推导得到一个新的方程 (x + m)^2 - m^2 + bx + c = 0。
接着，将新方程进行简化，得到 (x + m)^2 + b'x + c' = 0，其中 b'、c' 是简化后的系数。
最后，根据简化后的方程中的完全平方形式进行求解。
2.因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为(x-p)(x-q)=0，其中p、q是已知数，那么方程的根x=p或x=q。
通过将方程中各项因式分解，将二次项和一次项写成两个括号的形式，再将其置零，可得到方程的根。
3.完全平方法：如果一元二次方程可以变形为一个完全平方的形式(x+m)^2=n，其中m、n是已知数，那么方程的根x=±√n-m。
将一元二次方程适当进行变形，再通过开平方根的方法求解。
4.求根公式：一元二次方程求根公式是一个通用的公式，可以用于解任何一元二次方程。
求根公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据方程的 a、b、c 的值，将其代入公式，求得方程的两个根。
需要注意的是，根据方程的判别式Δ = b^2 - 4ac 的值来判断方程的解的情况：1.当Δ>0时，方程有两个实数根。
2.当Δ=0时，方程有一个实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，但可能有复数根。
总结来说，解一元二次方程的方法有配方法、因式分解法、完全平方法和求根公式等。
根据方程的形式和已知条件，选择合适的方法进行求解，通过代数运算和数学推导，得到方程的根。
一元二次方程与不等式
一元二次方程与不等式一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一种含有未知数的二次项、一次项和常数项的方程。
通常形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a≠0。
一元二次方程的解即为满足方程的未知数的值。
二、求解一元二次方程的方法1.配方法：即通过乘以一个合适的因式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
例如，对于方程x² + bx = c，我们可以乘以2a来得到2ax² + 2abx = 2ac，然后将左边的两项进行平方，得到(2ax + b)² =b² - 4ac。
最后开根号并移项即可求解出x的值。
2.因式分解法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0的形式，那么方程的解即为x = -b₁/a₁和x = -b₂/a₂。
3.求根公式法：根据一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0，我们可以通过求解根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)来得到方程的解。
三、一元二次方程的实际应用一元二次方程在数学和实际生活中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的实例：1.物体自由落体：根据牛顿第二定律，我们可以得到物体自由落体的距离和时间之间的二次关系。
其中，距离可以表示为s = gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。
2.消费模型：一元二次方程可以用来描述不同商品价格和销售数量之间的关系，从而帮助企业进行合理定价和销售策略。
3.投射运动：当物体在一个斜面上进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程描述物体在x轴和y轴上的运动轨迹。
四、不等式及其基本性质不等式是数学中常见的一种表示关系的工具，用于描述数的大小和大小之间的关系。
例如，x > 3就是一个不等式，表示x的值大于3。
一元二次方程的概念
次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
例题欣赏
例1.下列方程中，关于x的一元二次方程 有：1、x2=0 ，2、ax2+bx+c=0， 3、x2－3=x， 4、a2+a－x=0，
5、(m－1)x2+4x+m5
2
=0，
6、1x2+ x
3、证明方程根的情况
例4、求证：关于x的方程：x2 m 2 x 2m 1 0 有两个不相等的实根。
证明： m 22 42m 1 m2 4m 8 (m 2)2 4
无论m取任何实数都有：m 22 4 0
即：△>0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。
说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△ ，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含 用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的 情况，从而证明出方程根的情况
公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2、求出b2 4ac的值
3、代入求根公式 :
x b
b2 4ac 2a
(如果 b2 4ac 0)
4、写出方程x1，x2 的值
★一化、二求、三代、四解
例题欣赏
例1、下列方程应选用哪种方法求解
(1) x x 6 2 x 6
(2) x2 3x 1 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 0
b2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
例题欣赏
1、不解方程，判别方程的根的情况