高数第十二章 无穷级数 (1)
高等数学-第十二章-无穷级数
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2 3 234
(1)n1 n n1
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
高等数学无穷级数
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 ( un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n ( uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
D12无穷级数
例4.
判断级数
n1
1 n(n
1)
的敛散性.
若收敛,求其和s.
解： un
1 n(n 1)
1 n
1， n1
sn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(
1 n
n
1
) 1
1
1， n1
lnim sn
lim(1 n
1 )
n1
微积分虽然是研究函数的有力工具, 但也有其局 限性, 即一般要求问题本身具有有限形式.如:有限个 无穷小的和仍是无穷小; 有限个函数和的导数等于 导数的和. 有些函数的原函数不是初等函数, 不具有 有限形式. 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 工具就是无穷级数.
本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如
n1
例如
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 S ( n 1 , 2 , n
)的一个子序列, 因此必有
s
逆否命题: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(1 1) (1 1) 0 , 但
发散.
17
例5.证明调和级数 解: 考虑加括号后的级数
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
12
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 s , 即 s u , 则各项 n
高数第十二章 无穷级数 (1)
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
总界面 上页
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
12
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
的收敛性.
解
1 1 1 un , n( n 1) n n 1
1 1 1 sn 1 2 2 3 n ( n 1)
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n1
9
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束lim存在不存在余项第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束aqaqaqaqaqaq第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束lim收敛发散级数变为不存在lim发散综上第十二章无穷级数无穷级数总界面上页下页返回结束是发散的
第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
矛盾! 所以假设不真 .
17
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
2 1 例4 判定级数 n 的收敛性. 2 n1 n
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
12.【高数】第十二章：无穷级数
若 un， vn一收敛一发散, 则 (un vn )发散 若 un， vn均发散, 则 (un vn )敛散性不确定
腾讯课堂app搜索“高数大法好”尽享精品在线课程 高数互助答疑qq群：779104735，小马老师QQ/微信号：2634380668
本节 知识
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
数项级数的基本性质
n 1
1） [齐次性] 若 un收敛于S，则 kun收敛于kS (k不为0）
n 1 n 1 n 1
2） [可加性] 若 un收敛于S1， vn收敛于S 2, 则 (un vn )收敛于S1 S 2 若 un， vn均收敛, 则 (un vn )收敛
定理：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
腾讯课堂app搜索“高数大法好”尽享精品在线课程 高数互助答疑qq群：779104735，小马老师QQ/微信号：2634380668
本节 内容
腾讯课堂app搜索“高数大法好”尽享精品在线课程 高数互助答疑qq群：779104735，小马老师QQ/微信号：2634380668
本节 知识
n 1
绝对收敛与条件收敛
对于任意级数 u n
n 1 n 1 n 1
1）若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n 1 n 1
2）若 un 发散，但 u n 收敛则称 u n条件收敛
定理：绝对收敛必收敛，收敛不一定绝对收敛！
腾讯课堂app搜索“高数大法好”尽享精品在线课程 高数互助答疑qq群：779104735，小马老师QQ/微信号：2634380668
本节 内容
腾讯课堂app搜索“高数大法好”尽享精品在线课程 高数互助答疑qq群：779104735，小马老师QQ/微信号：2634380668
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
7
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无ห้องสมุดไป่ตู้级数
例 2 证明级数
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
n
证: 令 S n
k 1
u k , 则 n c u k c S n ,
k 1
n
lim n
n
cS
这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
11
总界面 上页 下页 返回 结束
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
总界面 上页
第十二章
无穷级数
1 1 , n1
1 lim sn lim(1 ) 1, n n n1
级数收敛, 和为1.
10
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
三、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1 2 3 n
n 1
是发散的.
证明
n( n 1) sn 1 2 3 n , 2
lim sn ,
n
所以级数 n发散.
n 0
8
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
例3
判定级数
1 1 1 1 1 2 2 3 n ( n 1) n1 n( n 1)
第十二章
无穷级数
作业：
P258
2，3(2，5)
19
总界面 上页 下页 返回 结束
un i i 1
5
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
3
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
当 n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛 , 这时极限 s 叫做级数 un 的和 . 并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
6
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
n
无穷级数
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n lim q lim sn 当q 1时, n n
n
所得新级数
n uk l S k n S k
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
14
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
不趋于0, 因此这个级数发散.
16
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
注意:
n
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2n 2
第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
济南大学数学科学学院
总界面 结束
第十二章
无穷级数
一. 级数的历史
u1 u2 u3 un
18世纪，牛顿等人已经广泛使用级数。 但不讨论收敛性。 欧拉认为
1 1 1 1 1 2
19世纪初，高斯开始讨论级数的收敛性， 1821年，柯西利用极限给出了级数收敛 的定义。
发散.
15
下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
性质5 级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: u n S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
的收敛性.
解
1 1 1 un , n( n 1) n n 1
1 1 1 sn 1 2 2 3 n ( n 1)
1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n1
9
总界面 上页 下页 返回 结束
如果sn 没有极限,则称无穷级数
u
n 1
n 发散.
4
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
n 1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 u n (1) 2 n , vn (1) 2 n 1 ,
13
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉,
2
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
二. 常数项级数的定义:
un u1 u2 u3 un n 1
级数的部分和 部分和数列
一般项 (常数项)无穷级数
sn u1 u2 un ui
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
第十二章
无穷级数
性质2. 设有两个收敛级数
S
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
n 1
un ,
n 1
vn
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
矛盾! 所以假设不真 .
17
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
2 1 例4 判定级数 n 的收敛性. 2 n1 n
解
1 2 因为 发散， 所以 发散， n1 n n1 n
1 而 n收敛， 原级数发散. n1 2
18
总界面 上页 下页 返回 结束
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
12
总界面 上页 下页 返回 结束
第十二章
无穷级数
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)