高数无穷级数复习(课堂PPT)
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高等数学第七章无穷级数.ppt
推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
高等数学-无穷级数ppt
级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高数无穷级数复习PPT文档共26页
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
高数课件28无穷级数
绝对收敛性：无穷级数绝对收敛，当且仅当其通项的绝对值极限为0
条件收敛性：无穷级数条件收敛，当且仅当其通项的极限不为0，但存在某 个常数使得其绝对值小于该常数 发散性：无穷级数发散，当且仅当其通项的极限不为0，且不存在某个常数 使得其绝对值小于该常数
收敛性：无穷级数是否收敛，取决于其通项的极限是否为0 绝对收敛性：无穷级数是否绝对收敛，取决于其通项的绝对值的极限是否为0 条件收敛性：无穷级数是否条件收敛，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0 发散性：无穷级数是否发散，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0
洛朗级数：将函数展开为 无穷级数形式
幂级数：将函数展开为无 穷级数形式
拉格朗日级数：将函数展 开为无穷级数形式
敛性
收敛域的求法： 利用比值审敛 法、根式审敛 法等方法求解
收敛域的应用： 在数学分析、 函数论、微积 分等领域有广
泛应用
收敛域的性质： 收敛域是闭集， 且具有连续性、 单调性等性质
泰勒级数：将函数展开为 无穷级数形式
傅里叶级数：将周期函数 展开为无穷级数形式
拉普拉斯变换：将函数展 开为无穷级数形式
无穷级数的和是一个函数，其 值域为全体实数
级数表示：将无穷级数表示为a_1 + a_2 + a_3 + ...的形式 通项表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)的形式，其中f(n)是n的函数 收敛半径表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)/r^n的形式，其中r是收敛半径 幂级数表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)x^n的形式，其中x是幂级数的变量
信号处理：用于滤波器设计、信号分析等 控制系统：用于控制系统的设计和优化 电子工程：用于电路分析、电磁场分析等 机械工程：用于机械系统的动力学分析、振动分析等
条件收敛性：无穷级数条件收敛，当且仅当其通项的极限不为0，但存在某 个常数使得其绝对值小于该常数 发散性：无穷级数发散，当且仅当其通项的极限不为0，且不存在某个常数 使得其绝对值小于该常数
收敛性：无穷级数是否收敛，取决于其通项的极限是否为0 绝对收敛性：无穷级数是否绝对收敛，取决于其通项的绝对值的极限是否为0 条件收敛性：无穷级数是否条件收敛，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0 发散性：无穷级数是否发散，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0
洛朗级数：将函数展开为 无穷级数形式
幂级数：将函数展开为无 穷级数形式
拉格朗日级数：将函数展 开为无穷级数形式
敛性
收敛域的求法： 利用比值审敛 法、根式审敛 法等方法求解
收敛域的应用： 在数学分析、 函数论、微积 分等领域有广
泛应用
收敛域的性质： 收敛域是闭集， 且具有连续性、 单调性等性质
泰勒级数：将函数展开为 无穷级数形式
傅里叶级数：将周期函数 展开为无穷级数形式
拉普拉斯变换：将函数展 开为无穷级数形式
无穷级数的和是一个函数，其 值域为全体实数
级数表示：将无穷级数表示为a_1 + a_2 + a_3 + ...的形式 通项表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)的形式，其中f(n)是n的函数 收敛半径表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)/r^n的形式，其中r是收敛半径 幂级数表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)x^n的形式，其中x是幂级数的变量
信号处理：用于滤波器设计、信号分析等 控制系统：用于控制系统的设计和优化 电子工程：用于电路分析、电磁场分析等 机械工程：用于机械系统的动力学分析、振动分析等
高等数学 课件 PPT 第十一章 无穷级数
第二节 正项级数及其审敛法
定 理3
（比较审敛法的极限形式）设有两个正项级数
(1)如果
级数
收敛.
，且级数 收敛，则
(2)如果
，且级数
发散，则级数
发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 因为 n>N时
对任给ε>0，存在正整数N，当
（1）当n>N时
因为 收敛，由比较审敛法的推论可知
也收敛．
第二节 正项级数及其审敛法
则 （1）当ρ<1时，级数 （2）当ρ>1时，级数 （3）当ρ=1时，级数
收敛. 发散（包括ρ=∞）. 可能收敛也可能发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 由极限的定义可知，对任给ε>0，存在正整数N， 当n>N时，不等式
成立． （1）当ρ<1时，取ε使得ρ+ε=q<1，于是当n>N时，
即
第二节 正项级数及其审敛法
二、收敛级数的基本性质
性质1
设k为非零常数，若级数 敛，且其和为ks.
收敛于和s，则级数
也收
证明
设级数
，
的部分和分别为sn，τn，则
二、收敛级数的基本性质
于是
因此，级数
也收敛，且其和为ks.
二、收敛级数的基本性质
性质2
若级数
与
分别收敛于s与τ，则级数
也收敛，其和为 s±τ.
二、收敛级数的基本性质
第二节 正项级数及其审敛法
容易看出，上式各项小于下面级数所对应的各项，即
因为后一个级数是公比为
的等比级数，并且由
得知r<1．所以该级数收敛．再根据比较审敛法推得前 一个级数也收敛．又因为收敛的正项级数去掉括号后仍收敛，所以 原级数收敛．
高数无穷级数复习26页PPT
高数无穷级数复习
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— 心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— 心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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2 !
n !
x(1,1)
23
二、例题 n1
例1
判
断
级:数 (1)敛
散 n n
性 ;
解
1
1
nn nn
nn
un (n 1 )n
(1
1
, )n
n1(n1)n n
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
又 lim nn 1 n
ln im un10,
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x( , )
co x s 11x 21x 4 ( 1 )n x 2n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
22
ln1(x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
(1x )
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) (n 1 )x n
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
4
2、幂级数
(1) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
a.代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
(其中 cnanbn)
17
b.和函数的分析运算性质:
幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间 n0
(R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
21
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x 2 1 x n x ( , )
2 !
n !
six n x1x 31x 5 ( 1 )n x 2 n 1
(3) 唯一性
定理 如果函数f (x)在U (x0)内能展开成(xx0)
的幂级数, 即 f (x) an(xx0)n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)(x0)
(n0,1,2,)
且展开式是唯一的.
20
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1)求anf(nn)(!x0); (2 )讨 l n iR 论 n m 0 或 f(n )(x ) M , 则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
n 0f(nn )(!x0)(xx0)n称 为 f(x)在 点 x0的 泰 勒 级 数 . f(n)(0)xn称 为f(x)在 点 x0的 麦 克 劳 林 级 数 .
n0 n!
19
(2) 充要条件
定 理f(x )在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x ) 在 U (x 0)内 n l i R m n (x )0.
幂 级 数 a n x n的 和 函 数 s(x )在 收 敛 区 间 n 0
( R ,R )内 可 积 ,且 对 x ( R ,R )可 逐 项 积 分 .
幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间 n0
(R,R)内可导, 并可逐项求导任意次.
18
3、幂级数展开式
(1) 定义
如 果f(x)在 点 x0处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
一、主要内容
为常数
常数项级数
un
un为函un数 (x)
n1
取xx0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
在收敛 条件下
数
级数与数 相互转化
收
幂级数
敛
半 泰勒展开式
径 R
Rn(x)0
泰勒级数
数或函数
函数
1
1、常数项级数
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
14
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ; 当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ; 当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
15
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
n0
设lim an1 n an
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
16
(2)幂级数的运算
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
3
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
(3)
lnn(2) n1 (a1)n
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
当a0时, 原级数收敛；当0a1时,原级数发散；
nl iml(n1n( 1)2n)当 a ,1时 原,级原 数也级 发散数．n为 1 l(n1n( n1)2n),
n
27
例２ 判断级数(1)n 是否敛 收？如果收敛 n1nlnn 是条件收敛还敛 是？ 绝对收
根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
25
nco2sn
(2)
n1
2n 3;
解
un
ncos2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n l im n2 n112nn
n1 lim n 2n
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛． 2n n1
26