第三讲 代数式、整式与因式分解
专题03 整式的运算与因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题03整式的运算与因式分解2023年中考数学必考考点总结1.合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2.整式的加减的实质：合并同类项。
3.整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4.乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
专题练习31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+b 2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值：（1）（x ﹣x 1）2；（2）x 4+41x ．【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵，∴＝＝＝﹣4x •＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°；（2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第一章 数与式 第三节 整式与因式分解
3．计算：
(1)m2·m3＝m m55；
(2)(m2)3＝m m66；
(3)a7÷a4＝a a3 3；
(4)(x2y)3＝x x6y63y3；
(5)－4mn＋3mn＝－－mmnn； (6)(mn－3n)－3(m2－n)＝mnmn－－33mm22；
∵m 是方程 x2＋x－2＝0 的根， ∴m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2， ∴原式＝2×(2－1)＝2.
重难点 1：幂的运算 下列运算中，正确的是
A．x2＋2x2＝3x4 B．x2·x3＝x5 C．(x3)2＝x5 D．(xy)2＝x2y
( B)
【思路点拨】 选项 法则 A 合并同类项法则 B 同底数幂的乘法法则 C 幂的乘方运算 D 积的乘方运算
＝3x2＋2x＋1－4x2＋2x－5 ＝－x2＋4x－4， P＝(2x－5)＋(－x2＋4x－4) ＝－x2＋6x－9， 当 x＝1 时，P＝－1＋6－9＝－4.
(7)(m＋4)2＝m2＋m2＋88mm＋＋116；6 (8)(－a－1)(a－1)＝1－1－aa22；
(9)－4x3y5÷2x2y3＝－2－2xxyy22.
4．(RJ 八上 P112 习题 T7 改编)已知 a＋b＝5，ab＝3，则 a2＋b2＝1199 ， (a－b)2＝113 3.
5．分解因式： (1)m2－3m＝m(mm(m－－33))； (2)a2－9＝(a(a＋＋33))((aa－－3)； (3)8a3－2ab2＝3)2a2a(2(2aa＋＋bb))((2a2－a－b)； (4)2x2－4＝2(x2＋(xb＋))(x2－)(x－ 2) )；(在实数范围内分解) (5)(x－y)2－x＋y＝(x－(x－yy))((xx－－y－y－1)； (6)x2＋5x＋4＝ (x(＋x＋1)11))((xx＋＋44)；)
第3讲 代数式、整式与因式分解
(4)(ab)n= anbn (n 为整数,ab≠0);
(5)am÷an= am-n (m,n 为整数,a≠0).
7.计算:
(1)x2·x5= x7 ;
(2)(3;
(4)x8÷x2= x6 .
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8.整式的乘除 (1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3; (2)单项式乘多项 式:p(a+b+c)=pa+pb+pc; (3)多项式乘多项 式:(a+b )(p+q)=ap+aq+bp+bq; (4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc; (5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.
8.计算:
(1)3x2·5x2= 15x4 ;
(2)3a(5a-2b)=
15a2-6ab ;
(3)(3x+1)(x+ 2)=
3x2+7x+2 ;
(4)10ab3÷(-5ab)=
-2b2
;
(5)(6ab+5a)÷a=
6b+5 .
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9.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 . (2)完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2 .
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19.(2013 广东)下列等式正确的是( B )
A.(-1)-3=1
B.(-4)0=1
C.(-2)2×(-2)3=-26
D.(-5)4÷(-5)2=-52
20.(2015 广东)(-4x)2=( D )
A.-8x2
B.8x2
C.-16x2
D.16x2
中考数学复习讲义课件 第1单元 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
则 3m＋2[3m＋(2n－1)]＝( A )
A．－2
B．－1
C．2
D．3
[解析] ∵(m，n)是“相随数对”， ∴m2 ＋n3＝m2＋＋3n.∴3m＋6 2n＝m＋5 n，即 9m＋4n＝0. ∴3m＋2[3m＋(2n－1)]＝3m＋2[3m＋2n－1]＝3m＋6m＋4n－2＝9m＋4n －2＝0－2＝－2. 故选 A．
[解析] (1)由图可知一块甲种纸片面积为 a2，一块乙种纸片的面积为 b2，一 块丙种纸片面积为 ab.∴取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 a2＋b2. (2)设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新的正方形(x≥0)， 则 a2＋4b2＋xab 是一个完全平方式． ∴x 为 4.故答案为 4.
A．2x－x＝x
B．a3·a2＝a6
C．(a－b)2＝a2－b2
D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
[解析] A．原式合并同类项得到结果为 x，A 计算正确；B．原式利用同底 数幂的乘法法则计算得到结果为 a5，B 计算错误；C．原式利用完全平方公 式展开得到结果为 a2－2ab＋b2，C 计算错误；D．原式利用平方差公式计 算得到结果为 a2－b2，D 计算错误．故选 A．
26．(2021·怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23 ＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199， 若 2100＝m，用含 m 的代数式表示这组数的和是 m2－m ．
[解析] 由题意，得 2100＋2101＋2102＋…＋2199＝(2＋22＋23＋…＋2199)－(2＋22＋23＋…＋299)＝ (2200－2)－(2100－2)＝(2100)2－2100＝m2－m.故答案为 m2－m.
2024年中考数学总复习第二部分考点精练第一单元数与式第3课时代数式、整式与因式分解
班级：________姓名：________第3课时代数式、整式与因式分解基础题1. (2022湘潭)下列整式与ab2为同类项的是()A. a2bB. －2ab2C. abD. ab2c2. (人教七下P125练习第2题改编)某校七年级举行航天知识竞赛，规定答对一题得10分，答错一题扣5分，若七年级(1)班答对了a道题，答错了b道题，则七年级(1)班的分数为()A. 5a－10bB. 5a＋10bC. 10a－5bD. 10a＋5b3. (2023吉林省卷)下列各式运算结果为a5的是()A. a2＋a3B. a2·a3C. (a2)3D. a10÷a24. (2023扬州)若()·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是()A. aB. 2aC. abD. 2ab5. (2023营口)下列计算结果正确的是()A. a3·a3＝2a3B. 8a2－5a2＝3a2C. a8÷a2＝a4D. (－3a2)3＝－9a66. (2023重庆A卷)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()第6题图A. 39B. 44C. 49D. 547. (2023江西)单项式－5ab的系数为________．8. (2023广西)分解因式：a2＋5a＝________．9. (2023兰州)因式分解：x2－25y2＝________．10. (2023凉山州)已知y2－my＋1 是完全平方式，则m的值是________．11. [新设问——结论开放](2023舟山)一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：________．12. (2023湘潭)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则a b＝________．13. (2023乐山)若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝________．14. 观察下列一组数：12，49，38，825，518，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第11个数是________．15. (2023长春)先化简，再求值：(a ＋1)2＋a (1－a )，其中a ＝33.16. (2023舟山)已知a 2＋3ab ＝5，求(a ＋b )(a ＋2b )－2b 2的值．17. (人教八上P112第4题改编)先化简，再求值：(a ＋b )2－(a －b )(a ＋b )＋b (a －2b )，其中a ＝2－1，b ＝2＋1.拔高题18. (2023随州)设有边长分别为a 和b (a >b )的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a ＋b 的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片. 若要拼一个长为3a ＋b 、宽为2a ＋2b 的矩形，则需要C 类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9第18题图19. (2023济宁)已知实数m 满足m 2－m －1＝0，则2m 3－3m 2－m ＋9＝________． 20. (2023福建)已知1a ＋2b ＝1，且a ≠－b ，则ab －a a ＋b的值为________．创新题21. (2023河北)根据下表中的数据，写出a的值为________，b的值为________.x2 n结果代数式3x＋1 7 b2x＋1a 1x22. (2023丽水)如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.(1)若a＝3，b＝4，则图①阴影部分的面积是________；(2)若图①阴影部分的面积为3，图②四边形ABCD面积为5，则图②阴影部分的面积是________．图①图②第22题图1. B2. C3. B【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误a2与a3不是同类项，A×无法合并4. A5. B 【解析】A . a 3·a 3＝a 6≠2a 3，故此选项不符合题意；B . 8a 2－5a 2＝3a 2，此选项符合题意；C . a 8÷a 2＝a 6≠a 4，故此选项不符合题意；D . (－3a 2)3＝－27a 6≠－9a 6，故此选项不符合题意．6. B 【解析】由题图可知，第①个图案木棍根数为4＋5×1＝9(根)，第②个图案木棍根数为4＋5×2＝14(根)，第③个图案木棍根数为4＋5×3＝19(根)，第④个图案木棍根数为4＋5×4＝24(根)，…，由此规律可知，第⑧个图案中木棍根数为4＋5×8＝44(根)．7. －58. a (a ＋5)9. (x ＋5y )(x －5y )10. ±2 【解析】∵y 2－my ＋1是完全平方式，∴－m ＝±2，解得m ＝±2.11. x 2－1(答案不唯一) 【解析】∵x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，因式分解后有一个因式为(x ＋1)，∴这个多项式可以是x 2－1(答案不唯一)．12. 12 【解析】∵(a －2)2＋|b ＋1|＝0，∴a －2＝0且b ＋1＝0，解得a ＝2，b ＝－1，∴a b ＝2－1＝12.13. 16 【解析】8m ÷2n ＝23m ÷2n ＝23m －n ，∵3m －n －4＝0，∴3m －n ＝4，∴8m ÷2n ＝24＝16. 14.1172 【解析】12＝24＝2×1（1＋1）2，49＝2×2（2＋1）2，38＝616＝2×3（3＋1）2，825＝2×4（4＋1）2，518＝1036＝2×5（5＋1）2，…，∴这一组数的第n 个数是2n （n ＋1）2，当n ＝11时，2n （n ＋1）2＝2×11（11＋1）2＝22122＝1172. 15. 解：原式＝a 2＋2a ＋1＋a －a 2 ＝3a ＋1， 当a ＝33时，原式＝3×33＋1＝3＋1. 16. 解：原式＝a 2＋2ab ＋ab ＋2b 2－2b 2 ＝a 2＋3ab ， ∵a 2＋3ab ＝5， ∴原式＝5.17. 解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2－(a 2 －b 2)＋ ab －2b 2 ＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋b 2＋ ab －2b 2 ＝3ab ，当a ＝2－1，b ＝2＋1时， 原式＝3×(2－1)×(2＋1)＝3.18. C 【解析】长为(3a ＋b )、宽为(2a ＋2b )的矩形的面积为(3a ＋b )(2a ＋2b )＝6a 2＋2b 2＋8ab ，需要6张A 类纸片，2张B 类纸片和8张C 类纸片．故选C .19. 8 【解析】∵m 2－m －1＝0，∴m 2－m ＝1，∴2m 3－3m 2－m ＋9＝2m (m 2－m )－m 2－m ＋9＝2m －m 2－m ＋9＝m －m 2＋9＝－(m 2－m )＋9＝－1＋9＝8.20. 1 【解析】∵1a ＋2b ＝1，∴b ＋2a ab ＝1，∴ab ＝2a ＋b ，∴ab －a a ＋b ＝2a ＋b －a a ＋b ＝a ＋b a ＋b＝1.21. 52，－2 【解析】根据表格可知，当x ＝2时，2x ＋1x ＝2×2＋12＝52＝a ；当x ＝n 时，2n ＋1n ＝1，解得n＝－1(使分母不为0，符合题意)，当x ＝n 时，3n ＋1＝b ，将n ＝－1 代入，得b ＝－2.22. (1)25； (2)53 【解析】(1)S 阴影＝a 2＋b 2＝32＋42＝25；(2)由题图①得a 2＋b 2＝3，由题图②得S 四边形ABCD＝（m ＋n ）22＝5，∴(m ＋n )2＝10，∴m 2＋n 2＋2mn ＝10.由am －bn ＝2，可知(am －bn )2＝4，化简，得a 2m 2－2abmn ＋b 2n 2＝4①，由an ＋bm ＝4，可知(an ＋bm )2＝16，化简，得a 2n 2＋2abmn ＋b 2m 2＝16②，①＋②，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝20，∴m 2＋n 2＝203，∴S 阴影＝5－12(m 2＋n 2)＝53.。
中考数学专题复习全攻略第三节 代数式、整式与因式分解
第三节 代数式、整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念1. 代数式（代数式按定义分类）整式里有单项式、多项式两种。
共学了加减乘除四种运算。
乘法运算整式 有同底数幂的乘法、单项式x 单项式，单项式x 多项式，多项式x 多有理式 项式，除法运算有同底数幂除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式。
代数式分式里只学了分式的加减乘除运算。
分式无理式 只学了二次根式的运算（包括加减乘除）变式练习1：已知方程x -2y+3＝8，则整式x -2y 的值为( )A. 5B. 10C. 12D. 15【解析】A ∵x -2y+3＝8，∴x-2y ＝8-3，即x-2y ＝5.总结：求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
变式练习2：按下面程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是______．【解析】12 当输入x ＝3时，先立方得27，再减3得24，再除以2得12.或者由程序可列出式子为：23x x ，把x ＝3代入得12. 总结：求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
2.整式 （单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数. 。
如36x 4y 3z+3x 5yz 3-4xy-1叫做九次四项式。
注意：多项式的升降幂排列：指的是按某一个字母的指数从大到小排列叫降幂排列，从小到大排列叫升幂排列。
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.观察下列等式：变式练习1：下列式子：①-3a 2;②5a-6b ；③x/8;④9/x;⑤2a 2;⑥3x 2+48x 3y ；⑦2018.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.变式练习2：多项式4m 5n-5mn 2+6是六次三项式，常数项是 __6 .变式练习3： 第1个等式：a 1＝11×3＝12×(1-13)； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×(13-15)； 第3个等式：a 3＝15×7＝12×(15-17)； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×(17-19)； …(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝________＝____________；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝__________＝___________(n 为正整数)；(3)求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值．解：(1)19×11；12×(19-111) (2))12)(12(1+-n n ；)121121(21+--n n (3)1a +2a +3a + (100)＝11×3+13×5+15×7+…+1199×201＝12×(1-13)+12×(13-15)+12×(15-17)+…+12×(1199-1201) ＝12(1-13+13-15+15-17+…+1199-1201) ＝12(1-1201) ＝100201知识点二：整式的运算1.整式的加减运算整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项；（3）按降幂排列。
第3课时 整式及因式分解(含代数式)
2、字母是
相同字母
；
3、字母的次数 相同字母的最低次数 。
练习：①5x2－25x的公因式为 5x ； ②－2ab2＋4a2b3的公因式为 -2ab2 ， ③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是 x-1 。
第一单元 数与式
（2）公式法
①a2 -b2 =
因式分解 整式乘法
(a b)(a b)
②a2 2ab+b2 =
1.
【解析】 a 5 6 5 1.
第一单元 数与式
【点评与拓展】解决此类问题,一般注意有 三种形式:①所给代数式已是最简形式,直接 代入数字求值即可;②所给代数式通过变形 后有的部分与已知代数式相同,可考虑用整 体代入法;③所求代数式虽复杂,但可进行因 式分解、合并同类项等,先化简代数式,再代 入求值．
。
7 、4 ( x
2
2y)
2
25 ( x y ) ＝
。
中考考点清单
3.一般步骤 （1）如果多项式各项有公因式,应先提取公 因式; （2）如果各项没有公因式,可以尝试使用公 式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时, 考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组 的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底,必须分解到每 一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”
酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价
格下降15％，那么最终每桶的价格是_____________元。
第一单元 数与式
3.代数式求值 (1)一般地，用数值代替代数式里的字母,按照代数式中 的运算关系计算得出结果,叫代数式求值. (2)常用代数式求值的方法:直接代入求值法、整体代入 求值法.如:①直接代入法:若 x 1, y 2,则代数式 x2 y2 的值为① 5 ．②整体代入法:已知ab=１,a-b=２,则
中考数学 考点系统复习 第一章 数与式 第三节 整式与因式分解
9．已知(2x－11)(3x－7)－(3x－7)(x－3)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)， 其中 a，b 均为整数，则 a＋3b＝－－3311，ab＝5656 .
10．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化
(5)若 x2－x－1＝0，则 x3－x2－x＋2 021＝2 2 020211.
3．计算：
(1)m2·m3＝m m55；
(2)(m2)3＝m m66；
(3)a7÷a4＝a a3 3；
(4)(x2y)3＝x x6y63y3；
(5)－4mn＋3mn＝－－mmnn； (6)(mn－3n)－3(m2－n)＝mnmn－－33mm22；
B.12－1＝－2 D．a6÷a3＝a3(a≠0)
( D)
5．(2017·省卷第 9 题 4 分)下列计算中正确的是
A．2a·3a＝6a
B．(－2a)3＝－6a3
C．6a÷2a＝3a
D．(－a3)2＝a6
( D)
6．(2018·曲靖第 32·a＝a2
B．a6÷a2＝a3
第三节 整式与因式分解
1．(1)“m 的 8 倍与 n 的差”用代数式表示为 8m8m－－nn； (2)“b 比 a 的 4 倍多 7”，用含 a 的代数式表示 b 为 4a4a＋＋77，用含 b
b－7 的代数式表示 a 为 4 ； (3)已知原量为 a，增加 20%，总量为 a(1a＋(1＋ 20%)；
20%)
(4)已知原价为 a 元，打八折为 8080%%aa 元；在原价基础上提高 m%后再 打七五折为 75%7a5(%a(1＋＋mm%)%元)； (5)购买 x 个单价为 a 元的商品和 y 个单价为 b 元的商品的总价是 (ax(＋ax＋bbyy))元．
整式与因式分解
整式与因式分解知识点梳理【例题分析】【例题1】下了各式运算正确的是()A. 2(a— 1)=2a- 1B. a2b —ab2=0C. 2a3- 3a3=a3D. a2+a2=2a2【例题2】已知4a+3b=1，则整式8a+6b- 3的值为 __________ .【例题3】分解因式：X3-9x= ___________ .【例题4】由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1 月份下降a%, 3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24元/千克.设3月份鸡的价格为m元/千克，则()A. m=24(1 - a% - b%) B . m=24(1 - a%)b%C . m=24 - a% - b%D . m=24(1 - a%)(1 - b%)【例题5】分解因式：2a2- 8= ______________ .【例题6】阅读理解：用十字相乘法”分解因式2x2- x-3的方法.(1)二次项系数2=1 X2；(2)常数项-3=- 1X 3=1 X ( - 3),验算：交叉相乘之和”①②③ ©1 X 3+2X (-1)=1 1X (-1)+2 X 3=5 1X (-3)+2 X 1 = - 1 1 X 1+2X (-3)= - 5 (3)_____________________________________________________ 第③个交叉相乘之和”的结果1 X (- 3)+2 X仁-1,等于一次项系数-1 . 即：(x+1)(2x - 3)=2x2-3x+2x- 3=2x2- x- 3,则2x2-x - 3=(x+1)(2x- 3). 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3x2+5x - 12= __________________________________________ .【习题练习】2. 3-2=错误!未找到引用源。
第3节 代数式、整式与因式分解
整式的运算(2023.8，北部湾5年5考)
例1 (2023广西)下列计算正确的是( B ) A．a3＋a4＝a7 B．a3·a4＝a7 C．a4÷a3＝a7 D．(a3)4＝a7
(2024广西模拟)下列运算错误的是( C ) A．－3(a－b)＝－3a＋3b B．3xy2－xy2＝2xy2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(－mn3)2＝m2n6
(2024南宁一模)先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋2y)(x－2y)]÷4y，其中x ＝1，y＝－1.
解：原式＝[x2＋4xy＋4y2－(x2－4y2)]÷4y＝(x2＋4xy＋4y2－x2＋4y2)÷4y＝(4xy ＋8y2)÷4y＝x＋2y，
当x＝1，y＝－1时，原式＝1＋2×(－1)＝－1.
例2 (2022北部湾)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝12 . 【规范答题】
解：原式＝__x_2－__y_2_＋__y_2_－__2_y_(去括号)
＝__x_2_－__2_y__(合并同类项) 当x＝1，y＝12 时，原式＝1_2－__2_×_12__＝__0_____．(代入求值)
(4)乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝㉖____a_2－__b_．2 几何背景：
完全平方公式：(a＋b)2＝㉗_____a_2＋__2_a_b_＋__b__2 __．(a－b)2＝㉘__a_2_－__2_a_b_＋__b_2___． 几何背景：
4．整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，结果作为商的因式，对于只 在 被 除 式 里 含 有 的 字 母 ， 则 连 同 它 的 指 数 作 为 商 的 一 个 因 式 ． 如 4a2b ÷ 2a ＝ (4÷2)·a2－1·b＝2ab. (2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 如(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b. 5．整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左 到右的顺序进行计算．
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思路点拨：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时， 要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
2． （2013 长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客 m 人，第二天接待游客 mn 2 n 人，则这 2 天平均每天接待游客 人（用含 m、n 的代数式表示） ．
思路点拨： 用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．
3
2
2 6
思路点拨： 分别根据合并同类项法则以及完全平方公式和整式的除法以及积的乘方分 别计算得出即可．
8． （2013 台州）化简： （x+1） （x-1）-x2．
思路点拨：本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以
及合并同类项法则，原式第一项利用平方差公式化简，合并即可得到结果．
8.乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 . (2)完全平方公式：(a± b)2＝ 9.分解因式的基本方法
a2±2ab＋b2
.
m (a+ b+ c ) . (2)运用公式法：平方差公式：a2-b2= (a+ bb+ m c = 完全平方公式：a2±2ab+ b2=
★课前预习★
1.东莞市 2012 年 11 月份某日一天的温差为 11℃，最高气温为 t℃，则最低气温可表示 为（ C ） A.(11+t)℃ B.(11-t)℃ C.(t-11)℃ D.(-t-11)℃
2 2 2 x 3 x 2． （2013 苏州）计算 的结果为（
D ）
2
A． 5 x
A．3
B ．2
C ．1
D．-1
2． （2013 苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入 x 的值为 2，则输出的值 为 20 ．
-5 3． （2013 岳阳）单项式-5x y 的系数是 ． 2 4 4．（2013 连云港）计算 a •a 的结果是（ A ）
2
A．a
6
B ．a
2 8
8
C．2a
2 3 5 3
6
D．2a
2
8
5．（2013 漳州）下列运算正确的是（ C ） A．m •m =m
4
B． （m ） =m
C．m ÷m =m
D．3m-m=2 D. 5 5
4 2
6．（2013 广东）下列等式正确的是（ B ）
3 （ 1） 1 A. 0 B. （ 4） 1
C. 2 2
查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点.
5． （2013 苏州）计算：a ÷a = a 2 ． 思路点拨：根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
6. （2013 佛山）下列计算正确的是（ C ） 3 4 12 3 4 7 2 3 6 3 A．a •a =a B．（a ） =a C．（a b） =a b D．a ÷a =a（a≠0）
2 2
D．y （x+y）
2
第一部分 数与代数
第一章 数与式 第3讲 代数式、整式与因式分解
高分突破在手
中考高分无忧
★中考导航★
⊙考纲要求⊙
1.能理解用字母表示数的意义， 2.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示， 3.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义， 4.会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会 代人具体的值进行计算. 5．了解整数指数幂的意义和基本性质． 6．了解整式的概念，会进行简单的整式加.减运算；会进行简单的整式乘法 运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)． 7．会推导乘法公式： ，了解公式 的几何背景，并能进行简单计算． 8.会用提取公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数 是正整数)．
3
2
a(a-2b)(a+2b)
．
思路点拨：提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到 不能再分解为止．
11． （2013 深圳）分解因式：4x -8x+4= 4（x-1）2 ．
2
思路点拨：先提取公因式 4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
★随堂检测★
2 1. （2013 威海）若 m-n=-1，则（m-n） -2m+2n 的值是（ A ）
2013
7分
1．从近三年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度不大，考查的 重点是列代数式求值、实数运算中零指数幂和正负指数幂的运用、利用乘法公式进行 化简、因式分解及整式的混合运算. 2．题型以填空、计算题为主． 3．2014 年考查重点可能是列代数式求值、实数运算中零指数幂和正负指数幂的 运用、利用乘法公式进行化简、因式分解及整式的混合运算.
⊙命题趋势⊙
2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 2010 2011 2012 试题类型 填空题、计 算题 填空题、计 算题 填空题、计 算题 选择题、填 空题 知识点 零指数幂、负指数幂、用乘法公式进 行化简 列代数式求值、零指数幂、正指数幂 零指数幂、负指数幂、因式分解、整 式的混合运算 负整数指数幂、同底数幂的乘法、同 底数幂的除法、零指数幂、因式分解 分值 10分 10分 16分
考点 2 整式的概念、幂的运算（2007～2013 年考） 3、 （2013 佛山）多项式 1+2xy-3xy 的次数及最高次项的系数分别是（ A A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，3
2
）
思路点拨： 根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得此多项式为 3 次，最高次项是 -3xy2，系数是数字因数，故为 -3．
解：原式=x2-1-x2=-1．
考点 4 ．因式分解、乘法公式（2007～2009、2012、2013 年考） 2 9． （2013 梅州）分解因式：m -2m= m（m﹣2） ．
思路点拨：一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时
因式分解要彻底，知道不能分解为止.
10． （2013 扬州）分解因式：a -4ab =
; .
(a±b)2
相信自己一定行
10.分解因式的基本步骤 （1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式； （2）再考虑运用 公式法； （ 3） 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止， 简记为一“提” 、二“套” 、三“检查”.
★课堂精讲★
考点 1 ．代数式（2007、2011 年考） 1.在下列表述中，不能表示代数式 “4a”的意义的是（ D ） A. 4 的 a 倍 B. a 的 4 倍 C. 4 个 a 相加 D. 4 个 a 相乘
3 4
4
2
思路点拨：根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，利用排除法求解．
考点 3 ．整式的运算（2007、2010～2012 年考） 7． （2013 江西）下列计算正确的是（ D ） A．a +a =a
6 3 2 5
B． （3a-b） =9a -b
3
2
2
2
C．a b÷a =a b
2
D． （-ab ） =a b
2 2 2
B．a （a-1）
2 2 2 2
2 3
C．a （a+1）（a-1）D．（a +a）（a-1）
2
2
10．（2013 恩施州）把 x y-2y x+y 分解因式正确的是（ C ） A．y （x -2xy+y ） B．x y-y （2x-y） C．y （x-y） 11． （2013 湖州）因式分解：mx -my . 2 2 3 解：x y-2y x+y 2 2 =y（x -2yx+y ） 2 =y（x-y） ．
a 1 x 4．（2013 凉山州）如果单项式
1 y 3 与 2 y b x 2 是同类项，那么 a、b 的值分别
C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
为（ C ） A．a=2，b=3 B．a=1，b=2
思路点拨：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出 a，b 的值．本题考
n n (4)(ab)n＝ a b
相加减 ，所含字母及字母的指数不变.
＝
an
.②性质：正数的任何次幂都是正数
；负数
正数 ，奇次幂是 负数 ；0 的任何次幂(0 除外)都是 0
；任何数 a 的偶次幂
(m，n 为整数，a≠0)；
(n 为整数，ab≠0)； (5)am÷ an＝
a m-n (m，n 为整数，a≠0).
2 x A． x 1
2 B． x 2 x 1
2 x C． 1
2 D． x 6 x 9
1.代数式的概念 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫代数式.单 独的数字与单独的字母 2.代数式的值 用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值.求代数式的值分两 步：代数，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值. 3.整式分类：整式分为单项式和多项式. 4.单项式与多项式 (1)由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. (2)一个单项式中，所有字母的 指数和 (3)几个单项式的和叫做多项式. (4)一个多项式中， 叫做这个单项式的次数.
是
(是或不是)代数式.
次数最高的项 的次数，叫做这个多项式的次数.
5.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项. 6.整式加减的一般步骤 (1)如果有括号先去括号； (2)合并同类项： 只把系数 7.幂的运算性质 (1)有理数的乘方：① 的偶次幂是 为 非负数 . (2)aman＝ a m＋n (m，n 为整数，a≠0)； (3)(am)n＝ a mn